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大學線性代數知識點總結范文1
關鍵詞 線性代數 應用型本科院校 數學軟件
中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2015.09.037
Explore Applied Undergraduate Colleges Linear Algebra Teaching
YANG Wei
（Department of Mathematics and Physics， Shanghai Dianji University， Shanghai 201306）
Abstract Based on the characteristic of application-oriented college and university， the current situation of education of Liner Algebra and the practical teaching experience， this paper discusses how to further improve the teaching quality in teaching process， and shares the teaching experience and result.
Key words Linear Algebra; application-oriented college and university; mathematical software
線性代數同微積分、概率論與數理統計等一樣，是大學數學的一部分，是一門具有實用價值的工具學科。線性代數主要處理線性關系問題，即數學對象之間的關系，是以一次形式來表達的，它的理論與方法已經滲透到數學的很多分支，同時也能應用到物理學、計算機科學、密碼學、力學、經濟學等學科。①因此，在大多數高校中，不管是理工科學生還是文科商科學生，線性代數是安排在大一或者大二上學期，這樣安排既能使學生慢慢適應大學課程的學習節奏，為后續課程打好基礎;又非常有益于提高學生抽象思維能力和邏輯思維能力，為提高學生的創新能力做好鋪墊。因此線性代數的教學既擔負著傳授知識的責任，又起到培養學生理性邏輯思維能力的重要作用。
線性代數的研究對象是向量、向量空間（或稱線性空間）、線性變換和有限維的線性方程組等。②③向量空間是大學數學的一個重要課題，而且被廣泛地應用于抽象代數、泛函分析、物理學、導航等;含有多個未知量的一次方程稱為線性方程，關于變量是一次的函數稱為線性函數，線性關系問題簡稱線性問題，解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由于計算機的發展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。
在一些新建的理工類本科院校中，學生水平參差不齊，學生對數學的需求由于專業的不同而存在差異，這就給數學課的教學增加了難度。下面介紹這些年作者在應用型本科院校線性代數教學實踐中所得出的一些想法和體會。
1 提高教師自身知識水平
教好一門課的首要前提條件是教師能夠深刻理解和把握教學內容。教師在上課之前備課的過程中，要深刻理解所授知識，知道它的來龍去脈、推導過程、演變原因等等。對于線性代數來說，就要深刻理解矩陣和行列式的意義，從實際應用出發，將這些定義介紹給學生，并要認真貫通地講解行列式計算方法、矩陣求逆的方法等，并比較所有方法的優缺點。如果教師對自己所教的內容缺乏深刻的理解，或者處于似懂非懂的狀態，則在教學過程中，將無法把教學內容最本質的東西交給學生。線性代數是數學的一部分，具有很強的邏輯性，是一門要用心去思考的課。教師能夠真正理解它的每個知識點和這些知識點之間的關系，才能在教學的時候游刃有余，把其中的難點、重點用通俗易懂的語言全部點到，縮短學生思考領悟的時間，并且有利于提高學生的學習興趣。④
2 幫助學生樹立學好數學，尤其是線性代數的信心
由于數學的抽象性、邏輯性以及運算的復雜性等原因，使得很多學生在沒有學學數學之前就對它產生了畏懼和抵觸心理，學習過程中，更是有多數學生感覺學習較困難，以至于沒有學好數學的信心。
針對這種情況，教師在教學時，就要逐步加強學生學好數學，尤其是學好線性代數的信心。首先，在教學過程中，擺脫刻板的形象，改變教師的衣著、語氣等外在形象，使學生眼前一亮，引起他們的注意力。其次，在講課的過程中，盡量用他們聽得懂的專業語言。作為數學專業的老師，對線性代數都非常熟悉，講課時很容易用到一些學生并不掌握的數學用語或者符號，此時若不加以說明，學生便會很茫然。在例題的選取過程中，一定要針對學生的接受程度選擇，而且要做到先易后難，循序漸進，切不可揠苗助長，操之過急，使學生感覺無從下手，甚至使得有些學生產生“即使學了也學不會”的想法。再次，教學過程中，應以鼓勵為主，批評為輔。尤其是對那些自暴自棄的學生，更要多鼓勵，從簡單的題目入手，如計算兩階行列式，使其慢慢增加學好線性代數的信心。在證明一些重要結論等講解理論的時候，不能讓學生產生挫敗感，讓他們自認為很難不可能學會，適時適量地鼓勵督促往往能起到事半功倍的效果。
3 解決實際問題，提高學生學習興趣
隨著現代傳播技術的發展，學生感觀方面越來越挑剔，單純的理論講解證明不能吸引大多數學生的注意力，而一些實際問題，尤其是與學生專業相關的實際問題能極大地提高學生的興趣。另一方面，線性代數本身就是一種應用工具，授課過程中，可以將一些日常生活問題或者與學生專業相關的問題作為例子在課堂上講解，并應用線性代數予以解決，以滿足非數學專業學生的需要。⑤此外，可以將一些實際問題甚至一些趣味問題作為實驗的例子建立數學模型，綜合運用線性代數、微積分、概率論等數學知識，并結合計算機軟件的使用，讓學生得出結果，解決問題，做綜合實驗是很有益的。當學生看到線性代數有這么多適合他們專業的應用時，便提高了他們學習線性代數的興趣。
4 簡化理論證明，加強計算能力，學習數學軟件解題目
和高等數學一樣，線性代數中也有較多的理論需要詳細講解和證明，證明的過程較復雜。對于應用型本科院校的學生來說，他們更加想要學的是用現有的方法又快又準確地解決問題，并不是這些解決問題方法的由來與證明，因此教學過程中，可以講解一下證明的思路與方法，并不需要詳細的證明。
線性代數的許多知識點都需要較復雜的計算，比如，計算矩陣的秩、求逆矩陣、行列式計算、求伴隨矩陣等等，這些計算既復雜又容易出錯，是教學的重點，又是學生學習的難點，考試時的易錯點，因此教學過程中，需要著重講解這些計算方法，讓學生掌握計算過程以及容易出錯的地方，通過例題和課后作業，加強學生的計算能力。事實上，對于上述計算問題，數學軟件都能既快又準確地解決，比如Matlab等，因此，在學生學會筆算之后，可以圍繞線性代數的知識點介紹如何使用Matlab解決這些計算問題。
5 布置適量且難度適中的課后作業;布置開放作業以給學生自由發揮的空間
線性代數的知識點較多，而且每個知識點的計算方法有很多種，故需要大量針對性的練習以鞏固所學的內容。結合人們學習過程中的“先快后慢”的遺忘規律，一定要在上完新課后馬上布置對應的作業，讓學生有針對性的練習。但是，布置的作業除了使學生盡可能地記住所學知識，還需要照顧到大多數學生的學習能力和知識水平，盡量布置題量適量且難度適中的作業。促使學生及時復習，提高學生的時間利用率。
另外，結合線性代數在實際應用中的廣泛性，以及學生渴望解決時間問題的愿望，應當布置一定難度的開放作業，例如簡單的建模問題等，這些問題能夠吸引學生自覺自主地復習所學內容，而且學會查閱資料，與同學討論共同進步。
6 精簡內容
在一般的非重點大學、應用型本科院校中，由于越來越重視實踐技能，導致理論課程的學時不斷減少，因此線性代數在教學內容上應當盡可能地簡化與提煉，以適應這種變化趨勢。而且在應用型本科院校中，學生的素質也相對弱一些，學習氛圍并不是太濃厚，若按照重點大學的課程內容授課通常行不通，學生不易接受，教師講解費時費力，到最后，學生的學習興趣被磨沒了，教師的教學熱情也逐漸減弱，而學生能夠真正掌握的東西卻很少。解決這一問題的一個方法就是將線性代數簡化提煉。著重突出講解定義、內涵原理等，讓學生掌握矩陣、行列式、線性方程組系數矩陣的由來、定義等，學會計算矩陣的初等變換、矩陣的秩、逆矩陣、行列式的計算和線性方程組解的情況以及解的求法等。另外，要了解上述內容的計算機軟件如Matlab等的求解方法。
7 總結
線性代數是一門陶冶情操、增強邏輯能力又很實用的一門學科，在教與學的過程中，我們都能體會到它的力量與魅力。作為大學數學教師，自身也要不斷地擴充學習，用心體會線性代數教學的樂趣。總之，作為新建應用型本科院校數學系的老師，要學會把握理論教學與實踐的關系，不斷探索線性代數教學的教學思想，改進教學新方法與手段，充分利用現代傳播演示技術，為我國培養更多合格的應用技術型人才而努力提高教學質量。
基金項目：本文系上海電機學院重點教研教改項目（項目編號：A1-0212-00-010-06）的研究成果
注釋
① 同濟大學數學系.工程數學線性代數（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
② 王海俠，孫和軍，王青云.改進線性代數教學方法的幾點想法[J].高等數學研究，2010.13（6）：13-15.
③ 黃玉梅，李彥.非數學專業線性代數教學改革探討[J].重慶文理學院學報（自然科學版），2009.28（5）：87-89.
大學線性代數知識點總結范文2
關鍵詞：線性代數；研究性學習；創新能力
線性代數課程是大學的一門基礎數學課程，它是學習本科階段數學課程，比如矩陣論、最優化理論與方法、運籌學以及專業課程，比如自動控制原理、線性系統理論等課程的基礎，是學好這些后續課程的前提條件，也是學生進一步深造進入研究生階段學習的前提。然而，由于該課程抽象枯燥容易造成學生學習興趣不濃，學習熱情不高，學習動力不足，再加上很多高校該課程的課時緊等諸多因素，往往致使學生學習效果差。因此，探討提高線性代數課程的教學效果尤為必要。
20世紀60年代以來，歐美等發達國家在國家教育戰略規劃下，提出了基于問題的學習模式，產生了良好的效果?；趩栴}的學習是一種發現探索式的學習，是一種促進創造性思維發展的研究性學習方式。20世紀60年代以來，美國一流大學為本科生提供機會，讓他們積極參加本科生科研項目的研究活動。20世紀80年代中后期，“本科生參與研究”逐漸被美國的教育界所重視?！氨究粕鷧⑴c研究”成為了本科生教育改革中的一個重大舉措，美國研究型大學一般都設有校級本科生科研管理機構。清華大學也提出了“創建研究性的本科教學體系”，是在國內進行研究性學習的一個初步嘗試。教育部在“985”“211”高校推行本科生創新計劃，目的在于高年級本科生參與科研，養成科研創新意識。
所謂研究性學習，是指在教師指導下，學生根據各自的興趣、愛好和特長，選擇不同研究課題，獨立自主地開展研究，從中培養創新精神和創造能力的一種學習方式。
教師講授、學生聽講，是當前大學課堂的主要教學方式，而且很多高校線性代數課程課時少、進度快，采用大班教學，課堂開展研究性學習比較困難。我們選擇在平時將研究性課題的題目布置給學生，將學生分組，讓學生利用課余時間做研究，最后形成研究報告。
為了保證研究性學習的順利進行，教師根據教學的具體情況創設問題情境，促進學生思考，使他們發現問題，并激發他們探索的動機。教師要提供有關文獻資源，以供學生檢索研究。筆者認為，我們可以根據教材的主要內容、知識、方法來設立研究課題，也可以根據近年來相關領域研究的熱點，比如從近兩年來的國際數值代數會議的內容，了解與線性代數課程相關的熱點來確立研究課題。筆者曾在教授線性代數課程時提供如下課題：（1）概念定理的延伸；（2）教材中相關知識點設成的專題；（3）圖像處理中的矩陣計算；（4）線性方程組的常見數值計算算法；（5）大規模線性方程組的數值算法、稀疏線性方程組的求解算法。課堂上概念或定理的引申，可以鞏固基礎還可以培養學生的創新能力；對相關知識點形成專題性的研究性學習，可以培養學生搜集資料，再進行歸納總結的能力，有助于啟迪學生從熟悉的知識點上探索出新的問題。對后四個課題的研究性學習，激發了學生的學習興趣，促進了交叉學科的學習，拓展了知識視野，學生學會了一些科研方法，綜合提高了全面素質。
矩陣是線性代數課程中的一個重要概念，矩陣的秩、矩陣的初等變換是線性代數中研究線性方程組的重要工具。在講矩陣時常常會介紹財務報表，學生的成績表就是一個矩陣。圖像處理是近幾年來研究的熱點，矩陣是圖像處理中的一個基本工具，因此可以將圖像處理中的矩陣計算問題作為一個研究課題。
線性方程組是線性代數的重要內容，教材中研究線性方程組的解的結構、通解的求法。大多線性代數教材沒有介紹線性方程組的數值計算，線性方程組的數值計算可以作為一個研究課題。近年來壓縮傳感是一個研究的熱點，該領域研究線性方程組的稀疏解的計算，而且往往是大規模的線性方程組。大規模線性方程組的求解是近年大數據時代研究的一個熱點，大規模線性方程組的數值算法、稀疏線性方程組的求解算法都可以作為研究的課題。
教師要引導學生通過對問題的分析、探索，進行假說、討論或歸納等一系列再發現的認知操作過程，尋找解決問題的方式。另外，學生在研究性學習中占有主體地位，所以要求學生具有一定的數學以及其他各學科的知識基礎，具有較高程度的學習自主性。同時，學生還要有能力安排自己的研究活動，并利用可用的學習資源。
另外，在課外開設新生研討課是開展研究性學習的有效形式。清華大學、南京大學、浙江大學等高校引進新生研討課，大部分學生認為研討課討論氣氛活躍、主題深入，拓展了知識視野，提高了口頭表達能力。他們在研討課上學會了一些科研方法，學習方式也從被動學習變為了主動學習。哈佛大學認為，從大學生一入校，大學的主要努力方向就是使他們能夠成為參與發現、解釋和創造知識或形成新思想的人，這彰顯了大學研究性學習最基本的價值觀，也是研究型大學在發展學術、開展科研過程中應當要確立的目標。
參考文獻：
大學線性代數知識點總結范文3
關鍵詞：線性相關；線性無關；極大線性無關組；向量組的秩
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）22-0226-02
《線性代數》是高等學校理、工、經、管類各專業的一門重要基礎課程。通過對本課程的學習，學生可以獲得線性代數的基本概念、基本理論和基本運算技能，為后繼課程的學習和進一步知識的獲得奠定必要的數學基礎。通過各個教學環節的學習，可以逐步培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及自學能力，并具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。另外，通過《線性代數》的學習，還可以培養學生的綜合素質和提高學生的創新意識。因此，只有熟練掌握這門課程，才能較好地運用到各個專業中。由于該課程內容抽象，教學課時短，這無疑對教師的教學和學生的學習造成了極大的困擾。本文從筆者個人的教學實際出發，淺談教學過程中的若干個教學難點，幫助學生理解并掌握這些難點，以提高學生對《線性代數》的學習興趣。
一、線性相關性與線性無關性
線性方程組理論是線性代數的基本內容之一，而向量組的線性相關性和線性無關性又是解線性方程組的基礎。教材第三章線性方程組開門見山，直接給出了線性相關及線性無關的定義。線性相關是指一個向量組α1，α2，…，αs，如果存在一組不全為零的數λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，則稱該向量組α1，α2，…，αs線性相關。如果不存在這樣一組不全為零的數，則稱該向量組α1，α2，…，αs線性無關。單純地稱某向量組線性相關或線性無關，對于學生來說是比較抽象的，他們對這一定義總是感覺很模糊，很難理解，如何才能更好地更形象地理解這一定義呢？如果在教學中，把這塊知識與解析幾何聯系起來，用幾何知來解釋什么是線性相關或線性無關，那么學生肯定更容易接受。例如，對于定義中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解為b=（λ1，λ2，…，λs）這樣的一個行向量。如果向量組有兩個列向量構成，即α1，α2，則b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，則經過變換可以得到α1=■，這說明α1和α2共線。對于有三個向量構成的向量組，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，經變換得到α1=■+■，這說明α1，α2，α3三個向量共面。
對于兩個向量，線性相關指兩向量平行（或者說是共線），此時只是在線上的關系，僅僅是一維，線性無關指兩向量相交，確定了一個二維平面。線性無關提供了另一種維度，使得向量所在空間增加了一維。對于三個向量，線性相關指三向量共面，研究的是二維平面，而線性無關指三向量不共面，使得向量所在空間增加了一維，即三個向量若線性無關，那么它們不共面，存在于三維立體空間中。四個向量，五個向量，…，研究方法類似。結合幾何知識，通過幾何圖像可以更直觀地呈現出新的概念，學生更易于接受，而且還有助于提高學生對《線性代數》的學習興趣。
二、極大線性無關組及向量組的秩
由于極大線性無關組和向量組的秩的概念比較抽象，學生較難理解，所以這一知識點也是《線性代數》教學的重點和難點。我們所用的教材是在講述了線性相關性和線性無關性之后，直接給出極大線性無關組及向量組秩的概念，學生很難理解并掌握這兩個抽象的概念。針對這一情況，在教學中可以通過一個例子提出問題，在解決該問題的過程中總結歸納出極大線性無關組和向量組秩的概念，用簡單具體的實例闡明抽象的概念。這樣一來，教師在教學過程中會輕松些，學生學起來也不那么枯燥無味。
例如：判斷向量組β1=100，β2=010，β3=121，β4= 1 0-1的線性相關性。首先我們可以根據前面所學的知識判斷出向量組β1，β2，β3，β4是線性相關的。緊接著，讓學生找出向量組β1，β2，β3，β4中線性無關的子組。通過分析，學生們會發現，在線性相關的向量組β1，β2，β3，β4中，存在線性無關的子組，且這些線性無關的子組所含向量的個數都為2。在此基礎上，進一步引導學生總結出，向量組中的線性無關子組并不是唯一的，但是所含向量的個數是相同的，都是2，并且其余向量都可以由線性無關的子組線性表示。最后總結出向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念。向量組β1，β2，β3，β4的線性無關的子組β1，β2；β1，β3或β3，β4等稱為向量組β1，β2，β3，β4的極大線性無關組，極大線性無關組所含向量的個數2稱為向量組β1，β2，β3，β4的秩，記為R（β1，β2，β3，β4）=2。然后再將這兩個概念推廣到更普遍的情況，歸納總結出向量組的極大線性無關組和向量組秩的概念。
若向量組的一個子組線性無關，但將向量組中任何一個向量添加到這個線性無關子組中去，得到的都是線性相關的子組，則稱該線性無關子組為向量組的極大線性無關組。一個向量組的極大線性無關組所含向量的個數，稱為該向量組的秩。通過恰當的例子引出新的概念，此種方法化抽象為具體，學生更容易接受并掌握相關概念。
由此可見，在《線性代數》的教學過程中，對于一些抽象的概念，直接闡述很難達到理想的教學效果。面對這些教學難點，我們可以結合幾何知識，通過幾何圖像可以更直觀地呈現出新的概念；或者通過引入恰當的例子，在解決問題的過程中把要講述的新概念歸納總結出來?？傊凇毒€性代數》的教學過程中，要靈活運用多種教學方法，才能發揮最好的教學效果，達到教學設計的目標。
參考文獻：
[1]四川大學數學系高等數學教研室.高等數學（第三冊）[M].第2版.北京：高等教育出版社，1990.
[2]同濟大學數學系.工程數學，線性代數[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007.
[3]王新艷，林恒強.向量的線性相關性與線性無關性在平面和空間上的幾何解釋[J].鄭州工業高等?？茖W校學報，2000，16（1）：30-32.
大學線性代數知識點總結范文4
關鍵詞：線性代數；解析幾何；第一堂課；學習興趣；杜勒魔方
中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）12-0076-03
線性代數與解析幾何是大學生知識結構的重要組成部分，相關課程是高等院校各專業重要的通識教育課程之一。隨著計算機技術的飛速發展，線性代數理論在科學研究、工程技術和社會經濟等領域中的作用日益突出，因此對于本課程的學習成效很大程度上影響到學生的學習能力和實踐能力。由于課程具有知識點繁多以及抽象性和邏輯性強的特點，很多學生認為這是一門枯燥難學的課程，甚至對其龐大的研究對象——矩陣、向量空間等產生畏懼心理，更談不上喜歡這門課程。俗話說“好的開始是成功的一半”。每門課第一堂課的一個目的是要使學生對課程的概況有個初步的了解，而對于本課程來說，第一堂課尤其重要，這是因為線性代數與學生對數學已有的認識有很大不同。首先是研究對象不再是單一的數，而是矩陣和向量這樣的高維數組；其次是所涉及的概念不再是直觀具體的，而是基于直觀的抽象；再則課程理論的表述與學生所熟悉的方式有很大差別。這些差別可能會成為學生學習的困難，但是，如果能在第一堂課上處理好上述問題，反而可使學生更加認同這門課并對課程的學習產生濃厚的興趣。本文根據多年來在教學實踐中的思考，介紹我們第一堂課六個方面的內容：課程的重要性、與中學數學的聯系與區別、與“高等數學”的聯系與區別、課程的基本思想、主要內容以及學好本課程的關鍵。
一、課程的重要性
1.眾多學科的廣泛基礎。線性代數是討論數學中線性關系經典理論的課程。掌握線性代數的基本概念、基本理論和基本方法，可以為解決理工醫管科各專業的實際問題奠定必要的數學基礎。線性代數在經濟、管理、運籌學、社會學、人口學、遺傳學、生物學等領域都有廣泛的應用。高校中許多專業的后繼課程都以此為基礎。尤其重要的是，很多工程領域的科學問題在離散數值求解時實際上就是一個線性方程組的求解問題。
2.數學思維的訓練。本課程的教學目的不僅僅是講授課程的理論，更重要的是向學生傳授課程特有的思維方式，給予他們一種熏陶、訓練和磨煉，這些素質會使他們受益終生。
二、本課程與中學數學的聯系與區別
現行中學和大學數學教育有密切聯系，理念上又有很大差別，大學數學基礎課教師要在教學中發掘中學數學與大學數學學習方法的多種聯系與區別：大學數學基礎課在知識上是中學數學知識的延伸和拓展，思想方法上是中學數學的因襲和擴張，觀念上是中學數學的深化和發展。換言之，很多大學課堂里貌似困難的新問題都可以在中學數學中找到原型。這些準備工作可大大降低學生學習數學基礎課的畏難情緒，為實現學生由中學數學學習到大學數學學習的平穩過渡打下堅實的基礎。大學新生要完成兩個轉變。一是完成學習目的從“應試”向“應用”的轉變。當今大學主要培養應用型創新性人才已成為共識，這就要求學生能夠將學到的理論知識應用于實踐，提高自身觀察問題、分析問題和解決問題的實際能力，增強自己日后的就業資本和競爭能力。二是完成學習方式從“被動”向“主動”的轉變。在教學過程中，教師是施教的主體，學生是學習的主體。學習主體性是學生作為學習活動的主體所具有的獨立性、自覺能動性和創造性的內在特性，它是學生主體得以確立的內在依據和根本標志。為配合學生的這兩個轉變，在第一堂課上應該向學生講清楚本課程的考核方式。我們采用由期末成績、期中成績、平時成績、數學實驗、學術小論文等按一定比例構成的綜合考核方式。這樣的考核更強調學生在學習中的主體地位，教師應該充分調動學生的積極性，指導學生合理分配時間。教師要起好引導作用，為學生創造好自學和討論的環境，并選取既能激發學生興趣又能開拓學生思維的題目作為思考題和學術小論文的選題。
三、本課程和“高等數學”的聯系與區別
一般來說，大一學生同期學習的數學課程是“代數與幾何”與“高等數學”，這兩門課既有聯系又有區別?？傮w而言，代數是數量關系的科學，有序思維占主導，培養計算與邏輯思維能力；幾何是空間形式的科學，視覺思維占主導，培養直覺能力和洞察力；分析是數形關系的科學，量變關系占主導，函數為對象、極限為工具，培養周密的邏輯思維能力和建模能力。這兩者的區別體現在多個方面。“高等數學”主要研究實數及關于實數的函數，側重于處理單變量的問題，“線性代數”則主要研究向量和矩陣，側重于處理高維對象的問題?！案叩葦祵W”所涉及的數量是連續型的，“線性代數”所涉及的數量是離散型的，計算機技術的發展使得處理離散型關系數學理論的重要性日益突出。“高等數學”中諸如導數、積分等重要概念直接來自幾何，其許多理論也可以直接用來刻畫幾何現象，而線性代數中諸如n維向量及其線性相關性等重要概念只是借助幾何為之提供直觀，其中大部分都是借助這一直觀經過提煉抽象出來的，這就使得線性代數的理論更具抽象性?！案叩葦祵W”重數學原理的分析，“代數與幾何”則更側重于建立分析問題的框架。
四、“線性代數與解析幾何”的基本思想
1.解析幾何的基本思想——從笛卡爾的解析幾何與古典幾何作圖的三大難題談起。法國的數學家、哲學家笛卡爾（Descartes）引進了直角坐標系，創立了用代數方法研究幾何問題的解析幾何學。直角坐標系的偉大功績是實現了兩個幾何與代數之間的一一對應：平面上的每一個點P與一對有序實數（x，y）之間的一一對應；動點的軌跡產生一條曲線與一個含有兩個變量的方程之間的一一對應。從此，解析幾何揭開了變量數學也即近代數學的新篇章。解析幾何的一個成功的例子是解決了古典幾何作圖的三大難題。幾千年以來，許多卓越的數學家都未能解決這三大難題，既不能找到它的解答，又不能證明它的不可行性。然而，解析幾何僅通過提出并從代數的角度回答了三個問題就輕而易舉地解決了這些難題，將幾何作圖的本質歸結為求一系列二元一次或二元二次圓方程的根；將幾何作圖有解的充要條件歸結為這些方程組的根一定可以由原方程的系數經過加、減、乘、除及開平方這5種運算表示。經檢驗三大難題都不滿足這個充要條件，從而解析幾何用這精彩的三問將困擾數學家幾千年的三大難題化解在無形之中，展現了解析幾何在解決該問題時的科學發現的過程，呈現了新的思維方式，即將一類問題作為一個整體加以考察，而不是對每個問題單獨進行研究。通過大一新生熟悉的平面解析幾何知識來揭示解析幾何的基本思想，將使學生認識到用代數方法研究幾何問題的重要作用，從而激起學生學習空間解析幾何的欲望。
2.線性代數的基本思想——從兩個游戲談起。①從動物連連看談等價分類。學生喜愛的一些游戲的設計思想與線性代數的思想本質上是吻合的。例如，動物連連看游戲蘊含著等價分類的思想。雖然現在大多連連看游戲都只是將完全一樣的動物頭像連起來消掉，但只要將游戲規則改為將同一種類動物連起來消掉就是等價分類。從理論上看，線性代數的一個重要的任務就是將矩陣不同的等價關系進行分類，這些等價關系主要是指矩陣間的相抵關系、相似關系和相合關系。這些分類方法的共同特征就是找出相應的不變量和最簡形式。這就揭示了線性代數的一個重要思想——化繁為簡。②從數獨游戲談向量空間。數獨游戲是學生非常喜歡的數學智力游戲。數獨游戲又稱數字九宮格，即3格寬3格高的正方形，每一格又細分為一個九宮格。在每一個小九宮格中，分別填上數字1至9，讓整個大九宮格每一列、每一行的數字都不重復。不妨嘗試解析幾何帶來的新思維方式：將一類問題作為一個整體加以考察。下面以杜勒魔方為例來闡述其主要思想。杜勒魔方是指一個4×4數字方滿足每行、每列、每一對角線、每一個小方塊上的數字和相等且是一確定數。作為例子，不難構造如下兩個杜勒魔方：
我們不禁要問：杜勒魔方一共有多少個？如何構造所有的杜勒魔方呢？容易看到任意兩個杜勒魔方的和仍是一個杜勒魔方；任意一個杜勒魔方的任意數乘還是一個杜勒魔方。因此，如果杜勒魔方的元素允許取任意實數，且將每個杜勒魔方元素首尾相接構成一個16維列向量，那么所有杜勒魔方的集合就構成了一個向量空間。從而，上述兩個問題就不難回答了：杜勒魔方有無數多個，只要構造杜勒魔方空間的一組基就可得到所有的杜勒魔方。杜勒魔方的魅力還不僅僅局限于引出向量空間和基的概念，它還可以在以后的課堂教學中引領我們揭示線性代數一個又一個的抽象概念：基于化繁為簡的思想，構造由0，1構成的和為1的八個基本杜勒魔方，但它們線性相關，而去掉任何一個就是線性無關的，從而找到了7維杜勒魔方空間的一組基；當增強或者放松杜勒魔方中“和相等”的限制條件時，就可得到向量空間的子空間和擴張。用學生喜愛的游戲來揭示線性代數的基本思想——等價分類和化繁為簡，使學生感受到數學的神奇，從而激發學生學習線性代數的興趣。我們在課堂教學中的這一嘗試收到了很好的效果。
3.線性代數與解析幾何的聯系——從勾股定理說起。解析幾何為線性代數提供幾何直觀，許多線性代數的概念和方法都有其幾何原形。比如說，勾股定理是一個眾所周知的幾何特征，其實在n維空間中，結論仍然成立，即當n維向量α，β垂直時，有||α±β||2=||α||2+||β||2。在實踐中常用的最小二乘法就是建立在此基礎上的。線性代數也為解析幾何提供代數方法。比如說，平面上的二次曲線和空間中的二次曲面的分類在幾何上是比較困難的問題，但是，如果借助于代數上矩陣的特征值和二次型的慣性定理，該問題就可以輕松圓滿地獲得解決。
五、本課程的主要內容
“線性代數與解析幾何”的主要內容顧名思義分為線性代數和解析幾何兩部分，但是不同教材講授的內容不盡相同，講授順序也各有差別，這里僅以教材為例介紹內容。線性代數的核心工具是初等變換，主要任務是求解線性方程組，為此要研究各個方程之間的關系；每一個方程對應一個向量，因此要研究向量組的線性相關性、極大無關組和秩以及向量空間的基和維數；一個向量組構成一個矩陣，又要研究矩陣的各種運算，矩陣中行列數相等的方陣還有一個特殊的行列式運算，因此最先研究的應該是行列式的各種性質和計算。知識點環環相扣，而學習的過程要按照上述從后向前的順序進行。線性方程組的一個主要應用就是計算方陣的特征值和特征向量，從而研究方陣的相似對角化問題。空間解析幾何包括用代數方法研究三維空間的直線、平面和二次曲面?；谙蛄康臄盗糠e、向量積和混合積，可以得到直線、平面的各種方程，并能研究直線、平面間的夾角、距離等位置關系；基于實對稱矩陣的合同關系的等價分類，通過可逆線性變換特別是正交變換將一般二次曲面轉化為標準形，從而判別二次曲面的類型。課程的重點和難點是向量組的線性相關性、極大無關組；矩陣的秩；向量空間的基和維數；二次曲面的類型判別等。
六、學好本課程的關鍵
學好本課程的關鍵是要解決學什么及怎樣學的問題。學什么？課程知識是一個方面，更重要的是課程帶給我們的數學思維方式以及應用數學知識解決問題的意識和能力。在學習過程中應當力求弄清知識產生的背景和課程內容前后的聯系，增強知識的整體感、系統性和連貫性，以免淹沒在知識點的海洋之中。怎么學？第一掌握三基，即基本概念（定義、符號）、基本理論（定理、公式）、基本方法（計算、證明）；第二做好預習復習，課上體會思路，課下學會總結；第三多看多練多想，深入體會思想方法，提高邏輯思維能力；第四培養自主學習能力、獨立分析問題和解決問題的能力。要做好教學工作，需要我們在各個環節上認真細致的努力，作為其中一環，第一堂課的成功與否對整個課程教學有直接的影響。這幾年的教學實踐讓我們越來越感受到努力的成效?，F在，常有學生告訴我們這樣的話，“原本以為這是一門比較枯燥的課程，但是在第一堂課上的杜勒魔方和連連看的例子徹底顛覆了我們原有的認識，原來看似單調的矩陣里也是一個數字的舞臺，在其中向我們展示著數學神奇的魔力，也因此對這門課程產生了濃厚的興趣”。
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大學線性代數知識點總結范文5
1 抽象內容具體化、直觀化
線性代數課程基本概念和定理多而抽象，學生不容易深刻理解和把握，針對獨立學院學生形象思維較強這一特點，對抽象概念、定理及例題的講解盡量由特殊到一般，由具體到抽象。
在對抽象概念的講解中，盡量用最直觀的方式引入，例如在講解向量空間的概念時，可以這樣處理[2]：給出一個具體的線性方程組x1111+x2123=b1b2b3，學生都已經知道并不是對任意的三維向量（b1 b2 b3）T，方程組都有解，也就是說使得方程組有解的向量（b1 b2 b3）T只是三維向量全體所成集合的子集合，是形如：
的向量全體，其中x1，x2是任意常數，（1）式中的向量是由兩個三維向量經線性運算得到的，從幾何上看，這些向量的全體形成三維幾何空間中過原點的一個平面。我們知道平面上任意兩個向量的和還在這個平面內，平面上任意一個向量的數量乘積也還在這個平面內，從而自然地引出向量空間的概念。
參考文獻[3]中定理3.4的敘述很抽象，學生不易理解，在教學過程中可以先給一簡單的例子：向量組101，202線性相關，則10，20必線性相關，這一點學生不僅很容易理解，而且還能將此定理簡化為：“相關組的截短組必相關”，從而也可理解其逆否命題：“無關組的接長組必無關”，收到事半功倍的效果。
在行列式這一章中，大部分教材都會選擇證明n階范德蒙（Vandermonde）行列式的值這一典型例題，但在初次給獨立學院學生上課時，這個例題講了將近一節課，才讓學生明白，而且還有大部分學生對用連乘號表示的n階范德蒙行列式的值不能正確的理解，所以在后來的教學過程中就先選用了一個三階范德蒙行列式來證明，鼓勵學生嘗試求解四階五階范德蒙行列式的值，最后根據規律寫出n階的結果。
2 對比教學
行列式和矩陣是線性代數的兩個重要基礎章節，學生在學完行列式后，緊接著就學習矩陣的知識，而這兩部分內容有很多容易混淆的地方，比如在矩陣的初等變換過程中，將變換過程中的“”寫成“=”。在教學過程中可將矩陣與行列式進行比較教學，首先從本質上說明行列式是一種運算，它是通過規定的一種算法，把n×n個數做運算得到一個結果，最終行列式就是一個數或一個值，而矩陣是一個數表，是由多個數據元素組成的一個陣列，m×n矩陣就是m×n個數陣列的整體。再從外形、表示符號、性質、運算等方面列表比較。這樣就使得學生能比較清楚地理解這兩部分的內容。
矩陣的運算法則也是學生感到頭疼的一個知識點，也可以將矩陣的運算與數的運算進行比較，列表寫出其異同點，而且對于矩陣逆的定義也可以類比數的除法進行講解。同樣矩陣逆、矩陣轉置和矩陣伴隨的性質也可類比進行教學，而且會很容易的發現這三種運算可兩兩交換次序，即：
這樣，利用對比法將各知識點串聯起來。有利于學生更好的掌握知識，使所學知識更加條理化、系統化。
3 抓住重點，善于總結
線性代數課程看似概念多，定理多，不易掌握，學生復習時感覺無從下手。實則重點概念和方法較集中。首先，矩陣的秩是這門課程最重要的概念之一，用矩陣的秩可以解決求向量組的秩、逆矩陣、討論線性方程組解的結構等運算和理論問題。其次，線性代數課程的培養目標也要求學生具有一定的計算能力和邏輯推理能力，而矩陣的初等行變換法是最簡捷、最普遍的方法，它可以用于求逆矩陣、求矩陣的秩、求向量組的秩、求向量組的極大無關組、解矩陣方程、矩陣特征值與特征向量的求解等，并且這種方法學生最容易掌握，所以訓練學生熟練運用矩陣的初等行變換法，也能增強學生的成就感，從而提高學生的學習興趣。最后，解線性方程組是線性代數課程的起源，線性代數中幾乎所有內容都和解線性方程組有關，例如行列式定義的引入、矩陣、向量組的線性相關性，方陣的特征值和特征向量等。所以按照矩陣的秩、矩陣的初等行變換和解線性方程組這三個主線對線性代數課程的內容進行總結，梳理，會得到很好的效果。
4 重視應用，激發學生的學習興趣、調動學生學習的主動性
大學線性代數知識點總結范文6
關鍵詞 知行合一 線性代數 教學模式 應用
中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）21-0004-02
線性代數是求解線性方程組的一個有力工具，幾乎滲透在生活中的各個領域，同時伴隨著計算機技術的飛速發展，這門古老的數學分支其重要性和實用性日益顯著。關于它的教與學的研究也已有時日，但時至今天仍然是一個備受關注的問題。王陽明的“知行合一”理論，闡述了理論與實踐的關系，而線性代數作為一門綜合了數學理論、實際應用、計算機技術的數學基礎課程來說，恰好完美地闡釋了“知行合一”理論。實踐證明，當“知行合一”理論應用到線性代數教學中，極大地激發了學生的學習興趣，形成了良好的師生互動，取得了不錯的教學效果。
一、當前線性代數教學中存在的問題
（一）在大類招生的環境下，學生的主體發生改變。以我校為例，學生的公共基礎課程幾乎都安排在大一，線性代數課程一般安排在大一下半學期，學生的課業繁重，同時線性代數的教學時數少（32學時），教與學的時間相對緊張，如何真正消化理解教學內容是一個大問題。
（二）就教學內容而言，我國傳統的線性代數教材一般偏于理論知識的講授，強調知識體系的邏輯性和完整性，這對于培養學生的數學素質是非常有益的；但由于缺少針對學生專業的應用，學生會因知識的抽象而喪失學習興趣，進而在學業上裹足不前。
（三）就教學效果來看，線性代數是一門系統的學科，但在教學過程中，教師由于學時的原因，課上滔滔不絕生怕完不成教學內容，而學生接受到的主要就是知識碎片，形成不了認識上的連貫性、系統性，只見樹木不見森林，整個線性代數學下來總是糊里糊涂。
（四）就教學關系來看，傳統的教學模式中教師是主體，主要采取講授為主的教學方式，學生被動接受知識，興趣不高，又由于知識本身的抽象性，很容易在聽課過程中分散精力，造成聽課的效率低下。
二、“知行合一”教學模式
王陽明的“知行合一”主張：“知中有行，行中有知”“以知為行，以行為之”。這里的知，我們指科學知識，行指應用實踐。王陽明主張知行是一回事，反對知行脫節甚至知而不行，這在今天，特別是在線性代數的教學過程中，都具有積極意義。線性代數來源于實踐，最終也要回歸于實踐。“知行合一”這一特點恰好完美地在線性代數教學中得到驗證。
（一）教學過程中緊緊圍繞求解線性方程組這個核心
大多數學生更容易接受形象化的概念，通過以解簡單的線性方程組為引例，對于學生來說比較直觀，可以自然地過渡到到行列式和矩陣的章節。比如在講授行列式的時候，由于開篇就導入了線性方程組這個大的背景，所以盡管學生有不同的數學基礎，但都很容易產生強烈的興趣，在好奇心的驅動下，一般一個題目都會主動尋求多種方法求解。
例1
解：（法1：化三角形法）
（法2：降價法）
（法3：改進后的化三角形法）
（法4： 拆列法）
由此可見，當學生真正清楚原理之后，在實踐中會自覺地、靈活地去運用，而通過不同解法的比較，會更好地理解各種方法的優缺點，只是理解上會更系統，應用起來也更加靈活，而只有真正會用，才是真正的“知”。
（二）重點強調幾何特點
線性代數的來源之一是解析幾何，而學生們又剛剛學完了微積分課程，所以在教學時把線性代數知識和微積分的解析幾何部分聯系起來，既可以培養學生把代數和幾何、微積分聯系起來的能力，同時對于理解線性代數中的一些復雜概念有所幫助。比如利用施密特正交化方法由線性無關的向量組得到等價的正交向量組，這個內容學生普遍感覺抽象，教學中引入幾何的例子就比較好理解。
例2 設線性無關的三維向量組 1， 2， 3，利用施密特正交化得到正交向量組。
圖1
解：令 1= 1， 2= 2+l 1，
（ 1， 2）=0=（ 1， 2+l 1）
l=- 2= 1- 2
同理可得 3= 3- 1- 2。
（三）強調實際引用
線性代數當中充斥著大量概念和定理，教師如果照本宣科，學生容易厭煩，理解起來也有一定難度。在實際授課時，盡量和學生的專業相聯系，結合學生的專業特點廣泛取材，利用工程學、生物學、遺傳學、經濟學等學科中的例子解釋基本原理和算法，使學生對所學能有一個直觀的認知，意識到每個知識點都可以轉化為實際應用，從而由被動學習轉變為主動學習。
例3 下圖所示是某地區一些單行道路在某時段的交通流量圖：
圖2
寫出該流量的線性方程組
，用相應的矩陣表示為
A=。
顯然可見，各路口的流入流出情況從矩形表中一目了然。通過此例，大家對矩陣概念的導入就易于理解了，并會積極思考如何用矩陣知識求解線性方程組的解（即此網絡中的車流量）。
（四）優化配置習題
1.配置適量的課后習題，便于鞏固、驗證課堂學到的理論知識；要考慮到習題的深度和啟發性，學生不是在機械地模仿教師解題，而是主動思考理解所學的內容。
2.積極參加課程改革實踐，編寫相應的習題指導書。在《線性代數學習指導與習題解答》書中，根據學科特點，總結了各章節的重點、難點、典型方法和題目，為了適應分層教學的需要，在題目設置上，既有適合初學者的基本題目，還有較難的考研題目，對學生理解和應用所學知識很有幫助。
3.結合應用數學軟件Matlab布置習題，體現時代特色。計算機的快速發展直接影響到了線性代數的發展和實踐，利用計算機和線性代數的理論結合起來，可以解決一些實際問題，但考慮到教學時數限制，課上不可能深入討論，我們進行了考核方法上的改進：結合學生的專業特點，布置一定量的拓展作業，既鞏固了基礎知識，又鍛煉了動手能力，深受學生歡迎。
三、小結
線性代數是大學非數學專業的一門非常實用的數學基礎課，地位十分重要，它既有嚴謹的數學理論，還包含豐富的實際應用，再結合應用數學軟件，可以幫助學生掌握后續課程所需要的基本理論和基本技能，對學生來說是最有幫助的一門數學課程之一。當把“知行合一”理論帶入到我們的課堂，線性代數的三個特征完美地體現出來。雖然學時數目有限，很多問題只能淺嘗輒止，但已經把學生的興趣調動起來，整個教學過程都生動活潑，教學也變被動為主動式，學習也不僅僅局限于課堂上。當給學生的心靈插上翅膀時，他們就能賦予未來無限可能。
參考文獻：
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