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雙曲線的定義范文1
新的數學課程標準是在以學生發展為本的理念下，要求學生轉變學習方式，教師積極探索，轉變教與學觀念，加深對課本內容的拓展理解和應用。所以，在數學教學中，教師應善于引領學生對課本的一些重要問題進行進一步的探索與研究，以提高學生的數學素質與應試能力。雙曲線的定義和焦點弦是圓錐曲線中非常重要的幾何概念，同時也是各類考試的重點和熱點，角度常變，常考不衰。但在普通高中課程標準實驗教科書中，僅僅介紹了雙曲線的第一定義及其直接的、簡單的應用，對于雙曲線的焦點弦問題，幾乎未作出任何探討，教師在教學過程中，也往往局限于新課程標準的教學目標和要求，沒有對這些知識做出進一步的拓展補充。因此，學生往往不能對該類知識點做到透徹理解，巧妙應用。為此，針對雙曲線的兩個定義及焦點弦問題，結合具體事例，做一些簡單探討。
1 雙曲線的兩個定義
定義1：我們把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。
定義2：平面上與一個定點（焦點F）的距離和一條定直線（準線l）的距離的比等于常數e的點的軌跡，當0
例1 (2008湖南）若雙曲線(a>0,b>0)的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．(1，)；B．(，+∞)；
C．(1，)；D．(，+∞)
分析：本題是圓錐曲線中的計算問題，設雙曲線的右支上一點為P(x1,y1)，x1≥a，則點P到左準線的距離為，到右準線的距離為，由雙曲線的第二定義得點P到右焦點的距離為，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1
2 焦點弦問題
2.1 焦點弦的一個性質
設雙曲線方程為，離心率為e，直線l經過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為α，則有
當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的同支上時，|cosα|
當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的異支上時， |cosα|>1-e （2）
當直線l與雙曲線只有一個交點時，|cosα|=1-e （3）
證明：由對稱性，不妨設F為有焦點(c,0)
（1）由漸近線與弦AB斜率的關系知
⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2
⇒|cosα|>1-e 。
（2）首先A，B在雙曲異支上時，由漸近線與弦AB斜率的關系知
，
，
⇒1+tan2α
（3）由于直線l與雙曲線有且只有一個交點，依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行，即 ，
，
。
2.2 弦長公式
設雙曲線離心率為e，直線l經過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點， 傾斜角為θ，焦點F到相應準線的距離為d，則有
當雙曲線方程為，弦AB的長。
當雙曲線方程為，弦AB的長。
證明：當焦點在X軸上時，設雙曲線方程為，焦點F(c,0)到相應準線的距離為，離心率為。
先推導弦AB所在直線的參數方程，首先AB所在直線的一般方程為y=tanθ(x-c)，此直線方程可看做是直線y=tanθ?x按向量(c,0)平移得到的，而對直線y=tanθ?x，設x=tcosθ，則y=tsinθ，即可得上述直線的參數方程為
x=tcosθ+c
{y=tsinθ（t為參數），
事實上，令
=|t1-t2|。
可發現參數t的幾何意義為直線AB上的某段弦長。
將弦AB所在直線的參數方程與雙曲線方程聯立，并整理得
(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，
于是，由上述t的幾何意義，
。
如果直線l斜率為k， 。
2.3 應用舉例
例2已知雙曲線的左焦點是F，過F且傾斜角為45°的直線與橢圓的兩個焦點在y軸的不同側，求橢圓離心率e的取值范圍。
解：由題意及上述性質1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。
參考文獻：
[1]數學課程標準解讀（實驗）[M].北京師范大學出版社，2002
[2]普通高中課程標準實驗教科書（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004
雙曲線的定義范文2
雙曲線不在必修系列中的，是高中的選修2-1里的內容。
在數學中，雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a的兩倍，這里的a是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a還叫做雙曲線的半實軸。焦點位于貫穿軸上它們的中間點叫做中心。從代數上說，雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線使得，這里的所有系數都是實數，并存在定義在雙曲線上的點對（x,y）的多于一個的解。注意在笛卡爾坐標平面上兩個互為倒數的變量的圖像是雙曲線。，雙曲線的圖像無限接近漸近線，但永不相交。
（來源：文章屋網 ）
雙曲線的定義范文3
注意到橢圓與雙曲線在定義與標準方程的差別僅在“和”與“差”上，因此表現在性質的差異上可能就是矛盾的兩個方面。抓住這一點，可以先研究橢圓的幾何性質，然后再類比到雙曲線上。為便于討論，只以焦點在x軸上的圓錐曲線的標準方程進行討論。
一、內外之分
1.設橢圓 （a，b＞0）兩焦點為F1，F2，點Q為橢圓上除頂點外的任一點，過橢圓的一個焦點作∠F1QF2的一個外角平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡是圓的一部分。
證明：如圖1，QP為∠F1QF2的一個外角平分線，過F2作QP的垂線，垂足為P。延長F2P與F1Q的延長線交于點N，則QP為F2N的垂直平分線，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP為F1F2N的中位線,所以OP∥F1N且OP=a，所以P在以O為圓心，半徑為a的圓上。
上述性質類比到雙曲線上，即可得到：
設雙曲線 （a，b＞0）兩焦點為F1，F2，點Q為雙曲線上除頂點外的任一點，過雙曲線的一個焦點作∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡是圓的一部分。
本題結論本身也許并不重要，但解題依據卻是最基本的定義，題目條件中的外角平分線與內角平分線的差別恰好就是橢圓與雙曲線在定義上區別的體現。
二、正余有別
1.設橢圓a，b＞0）兩焦點為F1，F2，點Q為雙曲線上
除頂點外的任一點，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積 證明：如圖2，由橢圓定義得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|?|QF2|
cosθ=4c2 （2）
（1）式平方-（2）式得2|QF1|?|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，
上述性質類比到雙曲線上，即可得到：
設雙曲線 （a，b＞0）兩焦點為F1，F2，點Q為雙曲線上除頂點外的任一點，∠F1QF2=θ，則三角形F1QF2的面積
本題結論中，兩個面積公式的不同之處僅在正切與余切的區別上，這種形式的類似既是曲線性質規律性的反映，也是運用類比方法的典型案例。
三、對立統一
1.直線y=kx+b與橢圓（a，b＞0）交于A，B兩點（圖3），設AB中點為M，O為坐標原點，則有
（其中e為離心率）。
證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），中點M（x0，y0），則有：
整理得， ，所以有上述性質類比到雙曲線上，即可得到：直線y=kx+b與雙曲線
交于A，B兩點，設AB中點為M，O為坐標原點，則有（其中e為離心率）。
雙曲線的定義范文4
在學習圓錐曲線中，首先要抓住定義，只有真正理解和掌握了定義，才能找到解題思路，避免走入死胡同.
一、選擇題中定義的利用
例1 橢圓x26+y22=1和雙曲線x23-y2=1的公共焦點為F1，F2，P是兩曲線的一個交點，那么cos∠F1PF2的值是（ ）.
解 由條件知，|PF1|+|PF2|=26，|PF1|-|PF2|=23（不妨設|PF1|>|PF2|），
|PF1|=6+3，|PF2|=6-3.
又 |F1F2|=4，cos∠F1PF2=13.
答案 A.
分析 直接計算|PF1|，|PF2|，思路混亂，而且計算量較大.如果用橢圓和雙曲線的定義，解題過程會大大簡化.
例2 F1，F2為橢圓兩個焦點，Q為橢圓上任一點，以任一焦點作∠F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡為（ ）.
A圓
B橢圓
C雙曲線
D拋物線
解 延長F2P交F1Q的延長線于M，得|F1Q|+|F2Q|=2a，|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a，則點M（x0，y0）的軌跡方程為
（x0+c）2+y20=4a2.①
設P點坐標為（x，y），P為F2M中點，
x=c+x02，y=0+y02，x0=2x-c，y0=2y.
代入①，得（2x-c+c）2+（2y）2=4a2，x2+y2=a2.
分析 仔細作圖觀察，利用橢圓定義及角平分線，難題就不難了.
二、填空題中定義的利用
例3 拋物線y2=12x上與焦點的距離等于9的點的坐標.
解 設待求點的坐標為（x0，y0），由拋物線的定義，得x0+3=9，解得x0=6.代入拋物線方程得y0=±62，所以滿足條件的點為（6，-62），（6，62）.
答案 （6，-62），（6，62）.
分析 利用拋物線的定義，轉化條件，可以減少運算量.
例4 雙曲線的虛軸長為4，離心率e=62，F1，F2分別是它的左、右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項，則|AB|=.
解 |AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，
|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a.
又 2|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF1|+|BF1|=|AB|，
2|AB|-|AB|=4a，|AB|=4a，而2b=4，ca=62，c2=a2+b2，
|AB|=82.
分析 此題兩次應用雙曲線的定義，步驟清楚簡單，何樂而不為.
三、解答題中定義的利用
例5 設點F（2，0），動點P到y軸的距離為d，求滿足條件|PF|-d=2的點P的軌跡方程.
解 由題意，得|PF|=2+d.
當P在y軸右側時，為|PF|=x+2，
點P在拋物線y2=8x上.
當P在y軸左側時，|PF|=2-x，
有y=0（x
所求軌跡方程為y2=8x（x≥0）和y=0（x
變式 一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時過點（3，0），求動圓圓心M的軌跡方程.
解 由已知，得（x+3）2+y2=4.
設圓心為A，A點坐標為（-3，0），B（3，0），動圓半徑為R，
得|MB|=R，|MA|=R+2.
因此|MA|-|MB|=2
故M點軌跡為雙曲線的右支，且2a=2，2c=6，
即a=1，c=3，b=22.
因此其方程為x2-y28=1（x≥1）.
例5和變式題都是用定義得出軌跡方程的，從這兩道題可以深深體會到定義的重要性.
例6 設橢圓與雙曲線有共同的焦點F1（-4，0），F2（4，0），并且橢圓的長軸長是雙曲線實軸長的2倍，求橢圓與雙曲線交點的軌跡.
解 設橢圓與雙曲線的交點P（x，y），得
|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.
即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.
將點P（x，y）代入，得
（x+5）2+y2=9或（x-5）2+y2=9.
故所求軌跡為圓心在（5，0），半徑為3的圓，除去（2，0）和（8，0）兩點；或圓心在（-5，0），半徑為3的圓，除去（-2，0）和（-8，0）兩點.
雙曲線的定義范文5
[HTH]一、加強定義、標準方程、幾何性質的對比[HT]
圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質是全面深入理解圓錐曲線的基礎.對其進行全面的探討，對易混淆的概念加以對比、甄別，對帶有共性的概念加以概括，可以為解題打下堅實的根基.
1.全面理解橢圓與雙曲線的定義
對于橢圓與雙曲線的定義、方程，教材已給出了明確的說明與推導，但是有一些“隱言”，我們還需全面挖掘.
[HTH]例1[HT] 已知兩定點F1,F2和一動點M,則“|MF1|+|MF2|=2a(2a為正常數)”是“點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓”的( ).
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充要條件
(D)非充分非必要條件
[HTH]解[HT]：當2a=|F1F2|時，點M的軌跡為線段F1F2；當2a＞|F1F2|時，點M的軌跡為橢圓;當2a＜|F1F2|時，[JP3]點M的軌跡不存在.故|MF1|+|MF2|=2a[KG-*3/4]/[KG*2]點M的軌跡為橢圓.由橢圓定義可知，反之可行.故選B.[JP]
[HTH]評注[HT]：本題易錯選C，這不是粗心大意的問題，而是對基本概念認識不全面、不到位.對于雙曲線的定義也需作類似的深入理解.
2.局部甄別橢圓與雙曲線的異同
高考中，與橢圓、雙曲線有關的三個?？键c為：離心率，a,b,c的關系，雙曲線的漸近線.前者在橢圓與雙曲線中的表達形式同為e=ca，而后兩者卻相異，在橢圓中有c2=a2－b2，在雙曲線中有c2=a2+b2，且只有雙曲線有漸近線，橢圓沒有.
[HTH]例2[HT] 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)與雙曲線x2m2－y2n2=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點F1，F2，且一個交點為P，PF1•PF2=0.
(Ⅰ)求橢圓的離心率的取值范圍；
(Ⅱ)若橢圓的離心率為32，求雙曲線的離心率與漸近線方程.
[HTH]解[HT]：(Ⅰ)設橢圓與雙曲線的半焦距均為c，由題意知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|－|PF2|=2m.(不妨設|PF1|＞|PF2|)解之，得|PF1|=a+m，|PF2|=a－m.
又PF1•PF2=0，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
(a+m)2+(a－m)2=(2c)2，
即a2+m2=2c2，故(ac)2+(mc)2=2.
設橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2，則
1e21+1e22=2，1e22=2－1e21.
由0＜1e22＜1,得0＜2－1e21＜1，
解之，得22＜e1＜1.
(Ⅱ)當e1=32時，代入1e22=2－1e21，得e2=62，即cm=62，故m=63c.
又c2=m2+n2， n=33c，于是雙曲線的漸近線為y=±mnx，即y=±2x.
[HTH]評注[HT]：解決本題需要對橢圓與雙曲線的定義、標準方程、離心率及雙曲線的漸近線等概念非常清晰，否則解題思路易混亂.
3.高度概括拋物線的標準方程與圖形的關系
相對于橢圓與雙曲線，拋物線的形式更為多樣化，而且易引起圖形、標準方程、焦點與準線之間的混淆.其實經對比分析，可概括為如下兩點：
(1)對稱軸由一次項決定，開口方向由一次項的系數決定；
(2)焦點與p2相關，準線與焦點對應，結合圖形可確定.
[TPSX3.tif,Y#][TS(1][JZ][HT6H]圖1[TS)][HT]
[HTH]例3[HT] 已知拋物線y=－x2上一點P到其焦點F的距離為54，則點P的坐標為.
[HTH]解[HT]：拋物線標準方程為x2=－y，故其對稱軸為y軸，且開口方向向下，其圖象如圖1所示，又2p=1，p2=14，由圖1知，F(0,－14)，拋物線的準線方程為y=14.
設P(x0,y0)，則14－y0=|PF|=54，
y0=－1.
又y0=－x20，故x0=±1，
點P的坐標為(－1,－1)或(1,－1).
[HTH]評注[HT]：本題從方程回歸到圖形，借助圖形直觀快捷地解決了問題.這得益于從整體上對拋物線的圖形、標準方程、焦點與準線的高度概括與把握.
[HTH]二、關注與圓錐曲線相關典型結論的收集[HT]
過程繁雜，結果簡潔，是解幾問題的特色.長期以來吸引著眾多數學愛好者投身其中，使得一些新結果層出不窮，不少高考題就是以這些結果為背景編擬的，所以我們平時多收集一些典型的結論，對提高解題效率大有裨益.
1.與橢圓相關的一些典型結論
(1)形狀：離心率e1，橢圓越扁.
(2)同焦點：與橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)有相同焦點的橢圓方程為x2a2+k+y2b2+k=1(a＞b＞0,b2+k＞0).
(3)距離：①過焦點F2的弦長中,以垂直F1F2的弦(通徑)最短；
②直線l過焦點F1,與橢圓交于兩點A,B,則ABF2的周長為定長4a(兩次用定義可得)；
[JP3]③弦長公式:斜率為k的直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則|AB|=1+k2|x2－x1|=1+1k2|y2－y1|.[JP]
(4)面積：①點M在橢圓上,則焦點三角形F1F2M的面積SF1F2M=b2tan∠F1MF22(可由定義及余弦定理推導)；
②直線l過橢圓的左焦點F1,與橢圓交于兩點A,B,則當lF1F2時，ABF2的面積的最大值為2b2e(可由SABF2=SOF2A+SOF2B推導).
(5)直線的方程：①直線l過橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)內一點P(x0,y0)(非中心),與橢圓交于A，B兩點,且點P平分弦AB,則直線l的方程為x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2(設出A，B的坐標,代入橢圓方程后,兩式相減,代入P的坐標,可求斜率,進而可求)；
②直線l與橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)切于點P(x0,y0),則直線l的方程為x0xa2+y0yb2=1(由方程組法可得).
以上結論請讀者根據提示自行推導，這里不再詳述，對于雙曲線、拋物線的結論亦然.
[HTH]例4[HT][HTK](2011年全國卷Ⅰ)[HT]橢圓C的中心為原點，焦點F1,F2在x軸上，離心率為[SX(][KF(]2[KF)][]2[SX)].過F1的直線l交C于A,B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為.
[HTH]解[HT]：由結論(3)的②知，4a=16，即a=4，而ca=22，則c=2[]2，得b2=8，
故C的方程為x216+y28=1.
評注：熟悉一些典型結論便于直截了當地處理問題.
2.與雙曲線相關的一些典型結論
(1)形狀：離心率e1，雙曲線越扁.
(2)同焦點:與雙曲線x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同焦點的雙曲線方程為x2a2+k－y2b2－k=1(a,b,a2+k,b2－k＞0).
(3)距離：①過右焦點F2的弦長中,以垂直F1F2的弦(通徑)最短；
②直線l過焦點F1,與雙曲線左(下)支交于兩點A,B,則|AF2|+|BF2|－|AB|=4a.
(4)面積：①點M在雙曲線上,則焦點三角形F1F2M的面積SF1F2M=b2tan∠F1MF22；
②直線l過雙曲線的左焦點F1,與雙曲線交于兩點A,B,則當lF1F2時，ABF2的面積的最小值為2b2e.
(5)漸近線：①兩條漸近線互相垂直兩條漸近線為y=±x等軸雙曲線e=2；
②以直線y=±kx為漸近線的雙曲線方程為y2－(kx)2=λ(λ≠0)；
③與雙曲線x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同漸近線的雙曲線方程為x2a2－y2b2=λ(a＞0,b＞0,λ≠0).
[HTH]例5[HT] 已知雙曲線x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的兩條漸近線互相垂直,則直線l1:ax+by+a=0與直線l2:x+y+k=0(k＞1)的位置關系是.
[HTH]解[HT]：由（5）中的結論①知，該雙曲線為等軸雙曲線，即a=b, l1:x+y+1=0.
又k＞1,于是l1∥l2.
評注：本題省去了(ba)•(－ba)=－1a2=b2a=b的推導過程，直接得到了答案.
3.與拋物線相關的一些典型結論
(1)形狀：p(p＞0)的值越小，拋物線越扁.
(2)距離：過焦點F的弦長中,以垂直對稱軸的弦(通徑)最短.
(3)焦點弦：直線l過焦點F,與拋物線y2=2px(p＞0)交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則
①|AB|=x1+x2+p;
②以AB為直徑的圓與準線相切；
③x1x2=p24,y1y2=－p2；
④∠AOB為鈍角；
⑤設F′(－p2,0)，則當lF′F時，ABF′的面積的最小值為p2.
[HTH]例6[HT] 直線l過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點,O為原點，則OAB的面積的最小值為.
[HTH]解[HT]：由結論（3）中的⑤知，設F′(－1,0)，則SABF′=2SOAB，當ABx軸時，(SABF′)min=p2=22=4，故(SOAB)min=2.
雙曲線的定義范文6
（1）你知道橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義嗎？
作答：______________________
（2）橢圓、雙曲線、拋物線的第二定義你掌握了嗎？
作答：______________________
（1）平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡叫做橢圓；與兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線；與一個定點F和一條定直線l（l不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.
（2）已知點F是平面上的一個定點，l是平面上不過點F的一條定直線，動點P到點F的距離和它到直線l的距離之比是一個常數e． 當0
橢圓的幾何性質
（1）你知道橢圓的焦半徑公式嗎？焦點弦公式還記得嗎？
作答：______________________
（2）如何計算橢圓的焦點三角形的面積？
作答：______________________
（3）你知道如何求解橢圓的切線方程嗎？
作答：______________________
雙曲線的幾何性質
（1）雙曲線的焦半徑公式還會用嗎？
作答：______________________
（2）如何計算雙曲線的焦點三角形的面積？
作答：______________________
（3）與已知雙曲線有同一條漸近線的雙曲線方程如何表示？
作答：______________________
（4）你知道如何求解雙曲線的切線方程嗎？
作答：______________________
拋物線的幾何性質
（1）與拋物線的焦點弦相關的四條性質，你還記得嗎？
作答：______________________
（2）你知道如何求解拋物線的切線方程嗎？
作答：______________________
以y2=2px（p>0）為例．
（2）過拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程是y0y=p（x+x0）；過拋物線y2=2px（p>0）外一點P（x0，y0）所引兩條切線的切點弦方程是y0y=p（x+x0）．
直線與圓錐曲線的位置關系
（1）如何判斷直線與圓錐曲線的交點？
作答：______________________
（2）圓錐曲線與直線的弦長公式你還記得嗎？
作答：______________________
（3）求軌跡方程的常用方法有哪些？
作答：______________________