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雙曲線及其標準方程范文1
從高考內容上看，雙曲線標準方程及幾何性質是命題的熱點，題型多為客觀題，著重考查漸近線與離心率問題，難度不大，但有一定的靈活性.
重點：雙曲線的第一、第二定義， 雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何性質，軌跡問題等.
難點：a，b，c，e等參數值的求法及其取值范圍問題的探討，直線與雙曲線位置關系相關的綜合問題.
（1）研究雙曲線上的點到其焦點的距離問題時，首先應考慮用定義來解題. 關注定義中的“絕對值”，若定義中去掉了“絕對值”，則點的軌跡是雙曲線的一支，由此導致一個點在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的.
（2）研究雙曲線上一點與兩焦點組成的三角形（焦點三角形）問題時，在運用定義的同時還會經常用到正、余弦定理.
①定義法：分析題目條件是否滿足定義；求出a，b，c；寫出方程．
②待定系數法：確定焦點的位置；設出待求方程；確定相關系數；寫出方程．
（4）雙曲線的幾何性質常涉及一些不等關系，例如：雙曲線■－■=1中，x≥a或x≤－a，e>1等. 在求與雙曲線有關的一些量的范圍或與這些量有關的最值時會經常用到這些不等關系.解決雙曲線中有關變量的最值與取值范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數法． 若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法． 若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值，這就是代數法．
（5）直線與雙曲線. 直線與雙曲線位置關系的判斷：直線與曲線的位置關系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數解的個數來確定，通常消去方程組中的變量y（或x）得到關于變量x（或y）的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式δ，則有：δ>0？圳直線與雙曲線相交于兩個點；δ=0？圳直線與雙曲線相交于一個點；δ<0？圳直線與雙曲線無交點． 若得到關于x（或y）的一元一次方程，則直線與雙曲線相交于一個點，此時直線平行于雙曲線的一條漸近線．
（6）直線與雙曲線相交時常見問題的處理方法：①涉及弦長問題，常用“根與系數的關系”，設而不求計算弦長. 直線l被雙曲線截得的弦長ab=■或ab=■，其中k是直線l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直線與雙曲線的兩個交點a，b的坐標，且（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2，x1+x2，x1x2可由韋達定理整體給出． ②涉及求平行弦中點的軌跡，求過定點的弦中點的軌跡和求被定點平分的弦所在的直線方程問題時，常用“點差法”設而不求，將動點的坐標、弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化．
（1）求雙曲線c的方程；
（2）若直線：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）與雙曲線c交于不同的兩點m，n，且線段mn的垂直平分線過點a（0，－1），求實數m的取值范圍．
思索 ①涉及直線與雙曲線相交弦有關的參數范圍的問題，δ>0是必不可少的條件． ②關于直線與雙曲線的某一支的相交問題，不但要考慮δ>0，還要考慮方程根的取值范圍.
建議同學們在復習本節內容時重視以下幾個方面：
（1）重視定義在解題中的作用，對于雙曲線的兩種定義，要在訓練的過程中加強理解和掌握.
（2）重視平面幾何知識在解題中的作用，解題過程中應借助圖形分析條件，尋求最優解法.
（3）重視設而不求的整體化處理思想的應用，遇到有關直線與雙曲線交點及相關問題時，若解方程組求交點，往往運算量大，易出差錯，設而不求利用根與系數的關系便可簡捷求解.
雙曲線及其標準方程范文2
1． （2012上海文16）對于常數m，n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲線是橢圓”的（ ）
A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件
C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件
2． （2012全國大綱卷理3、文5）橢圓的中心在原點，焦距為4，一條準線為x=－4，則該橢圓的方程為（ ）
3． （2012全國新課標卷理4、文4）設F1，F2是橢圓E：■+■=1（a>b>0）的左、右焦點，P為直線x=■上一點，F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為（ ）
4． （2012四川文15）橢圓■+■=1（a為定值，且a>■）的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于點A，B，FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是______．
5． （2012江西理13）橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F2． 若AF1，F1F2，F1B成等比數列，則此橢圓的離心率為___________．
雙曲線及其性質
6． （2102福建文5）已知雙曲線■－■=1的右焦點為（3，0），則該雙曲線的離心率等于（ ）
7． （2012湖南理5）已知雙曲線C：■-■=1（a，b>0）的焦距為10，點P（2，1）在C的漸近線上，則C的方程為（ ）
8． （2012全國新課標理8、文10）等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A，B兩點，AB=4■，則C的實軸長為（ ）
9． （2012全國大綱卷理8、文10）已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2=2的左、右焦點，點P在C上，PF1=2PF2，則cos∠F1PF2等于（ ）
10． （2012江蘇8）在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線■－■=1的離心率為■，則m的值為______．
11． （2012遼寧文15）已知雙曲線x2－y2=1，點F1，F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1PF2，則∣PF1∣+∣PF2∣的值為__________．
12． （2012天津文11）已知雙曲線C1：■-■=1（a>0，b>0）與雙曲線C2：■－■=1有相同的漸近線，且C1的右焦點為F（■，0），則a=________，b=________．
拋物線及其性質
13． （2012四川理8、文9）已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經過點M（2，y■）． 若點M到該拋物線焦點的距離為3，則OM等于（ ）
14． （2012安徽理9）過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是原點，若AF=3，則AOB的面積為（ ）
15． （2012重慶理14）過拋物線y2=2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若AB=■，AF
曲線與方程
16． （2012山東文11）已知雙曲線C1：■-■=1（a>0，b>0）的離心率為2． 若拋物線C2：x2=2py（p>0）的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為（ ）
17． （2012山東理10）已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的離心率為■． 雙曲線x2－y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為（ ）
圓錐曲線的綜合問題
18． （2012福建理8）已知雙曲線■－■=1的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（ ）
D． 5
19． （2012安徽文20）如圖1，F1，F2分別是橢圓C：■+■=1（a>b>0）的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2=60°．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）已知AF1B的面積為40■，求a，b的值．
20． （2012廣東文20）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：■+■=1（a>b>0）的左焦點為F1（－1，0），且點P（0，1）在C1上．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程．
21． （2012全國新課標卷理20）設拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點為F，準線為l，A∈C，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點.
（1）若∠BFD=90°，ABD的面積為4■，求p的值及圓F的方程；
（2）若A，B，F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值．
22． （2012湖南理21）在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在圓C2：（x-5）2＋y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=－2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值．
（1）求曲線C1的方程；
（2）設P（x0，y0）（y0≠±3）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D． 證明：當P在直線x=－4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值．
23． （2012山東文21）如圖2，橢圓M：■+■=1（a>b>0）的離心率為■，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（1）求橢圓M的標準方程；
（2）設直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T，求■的最大值及取得最大值時m的值．
24． （2012江西文20）已知三點O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足■+■=■·（■+■）+2．
（1）求曲線C的方程；
（2）點Q（x■，y■）（-2
25． （2012江蘇19）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，橢圓■+■=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（－c，0），F2（c，0）． 已知（1，e）和e，■都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P．
①若AF1－BF2=■，求直線AF1的斜率；
②求證：PF1+PF2是定值．
26． （2012湖北理21）設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點，l是過點A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點，點M在直線l上，且滿足DM=mDA（m>0且m≠1）．當點A在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線C．
雙曲線及其標準方程范文3
一、考試要求
（1）掌握橢圓的定義，標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程。
（2）掌握雙曲線的定義，標準方程和雙曲線的簡單幾何性質。
（3）掌握拋物線的定義，標準了方程和拋物線的簡單幾何性質。
（4）了解圓錐曲線的初步應用。
二、考情縱覽
圓錐曲線是解析幾何的核心內容，是中學數學各主干知識的交匯點，中學各種思想方法的綜合點，初等數學與高等數學的銜接點，理所當然成為歷屆高考命題的熱點。
圓錐曲線的定義，方程和性質，在高考試卷中分值一般在10分左右，主要以選擇題和填空題形式考查圓錐曲線的概念，標準方程，幾何性質等基礎知識及其應用，以簡單或中檔題為主，個別題目會是中等偏上的難度。圓錐曲線的綜合問題主要考查根據條件，求平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質，縱觀近幾年高考試題，圓錐曲線的綜合問題一般都是一道解答題，通常難度較大，多為把關題或壓軸題，分值為12左右，重點考查圓錐曲線中的幾何量的確定或幾何量取值范圍的確定，主要的題型有：動點的軌跡方程問題，最值或取值范圍問題，定值或定點問題，探索性問題，直線與圓錐曲線的位置關系問題，與其他數學知識的交匯問題。
三、復習建議
1、熟練掌握圓錐曲線的有關概念，方程和幾何性質等基礎知識，它們是準確解題的依據。
2、掌握把幾何條件轉化為代數形式的核心解題思路和坐標法這個核心解題方法。
3、掌握好解答典型問題的通性和通法以及一些常用的求解技巧，如“設而不求，”或“代點法”“整體代入”或“點差法”等，通過強化訓練以體會其中的思維模式與方法。
4、本章綜合性強，能力要求高，還涉及到函數、方程、不等式、平面幾何等許多知識，可以有效地考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想。重視對數學思想方法的提煉，以便優化解題思維，簡化解題過程。
四、知識網絡
五、重難點
重點：掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標準方程和它們簡單幾何勝質。特別橢圓及雙曲線的離心率的求解。
難點：直線與圓錐曲線的位置關系，軌跡問題、最值、范圍問題，定值問題及探索性問題。
六、資料的使用
圓錐曲線問題的求解特點是以代數方法求解幾何問題，所以求解思路易找，但是由于運算量大，不僅影響解題速度，也極容易出錯，因此又易形成“答對困難”的現象。圓錐曲線中蘊含著許多數學思想，若能根據題設特點，靈活地運用相應的數學思想，往往能簡化運算，從而使問題簡捷，準確地獲解。因此需要大量的練習，才能獲得基本功，才會熟能生巧。
第1講：橢圓——它的幾何性質主要是圍繞橢圓中的“六點”（兩個焦點，四個頂點）“四線”（兩條對稱軸，兩條準線）“兩形”（中心，焦點以及短軸端點構成的三角形、橢圓上一點和兩焦點構成的三角形），研究它們之間的相互關系。資料上的東西全部使用。
第2講：雙曲線——可與橢圓類比來理解，掌握雙曲線的定義，標準方程和幾何性質。但應特別注意兩者的不同點，如a ， b， c關系，漸近線等，漸近線是刻畫雙曲線范圍的重要概念，高考特別注意與互相關問題的考查，資料全使用。
第3講：拋物線——重視定義在解題中的應用，靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化。拋物線的標準方程有四種，在求解過程中，首先要根據題目描述的幾何性質判斷方程形式，然后利用已知求解。將方程y=ax2 與方程y2=2px區別開，誰是標準方程很重要。對于拋物線y2=2px(p>0)上的點的坐標設為（ ，y） 常有利于簡化運算。
第4講直線與圓錐曲線的位置關系。
(1)直線與圓錐曲線的位置關系中的中點弦問題：（1）直線與圓錐曲線的關系是解析幾何中一類重要問題，解題時注意應用根與系數的關系及“設而不求”的技巧。
（2）運用“點差法”解決弦的中點問題：涉及弦的中點問題，可以利用判別式和根與系數的關系加以解決，也可以利用“點差法”解決此類問題，若知道中點，則利用“點差法”可得出過中點弦的直線的斜率。
2、對于直線與曲線的交點，常采取設而不求或“代點法”等方法，這是簡化解題過程的常技巧，要認真領會。但采用這些方法，由于避免了方程的過程，方程的解是否存在，必須由>0這一條件進行保證，否則會發生錯誤。
3、解決圓錐曲線的最值與范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數法。若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮得用圖形性質來解決，這就是幾何法。若題目的條件和結論體現一種明確的函數關系，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值，這就是代數法。
在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：
（1）利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；
（2）利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數之間建立等量關系；
（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；
雙曲線及其標準方程范文4
一、優化圓錐曲線的幾何性質教學過程
1.幾何畫板在講解圓錐曲線定義中的應用
幾何畫板中的作圖工具里，可以作出定點、定直線、動點、動直線，可以度量出兩定點之間的距離、點到直線的距離及其這些距離的和、差功能，對于橢圓上的點到兩定點的距離的和是一個常數它也能夠用直觀的數量關系表示出來.比如在講橢圓定義時，可以由“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點得軌跡”著手，如圖（1），令線段AB的長為“定值”，點M為線段AB上一點，分別以F1、F2為圓心，AM、BM的長為半徑作圓，先讓學生猜測這兩圓的交點的軌跡會是什么圖形，等學生各抒己見之后，老師進行演示，學生豁然開朗：“原來是一個橢圓”.這時老師繼續拖動點A，試圖改變線段AB的長度，學生開始認真的思索，當AB=F1F2時，滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，最后比較容易發現當AB
2.通過圓錐曲線第二定義探究曲線的離心率與開口大小之間的關系
運用幾何畫板作出如圖（2）圓錐曲線的圖像，拖動點E，則離心率e的值隨之變化，此時圖形也相應變化，當0
3.幫助學生理解雙曲線的漸近線
新課標人教版圓錐曲線章節對雙曲線的漸近線沒有給出嚴格的定義，在黑板上也只能畫出粗略的簡圖表示，學生較難想象更理解不了，在此借助幾何畫板就可以把雙曲線與漸近線之間的特殊關系準確地顯示出來，如圖（3）所示，拖動點F1或F2雙曲線開口會變大或變小，在第一象限內，點P、點Q分別在雙曲線與漸近線上，拖動點P，使得點P和點Q同時向右平移，PQ的值越來越接近0，這說明，在第一象限內，雙曲線向右上方越來越接近相應的漸近線，但是永遠不會相交.同理在左上方、左下方和右下方也都可以用此方法演示.考察過程中靈活的運用幾何畫板的強大的動畫功能，使圖形動起來，且自然流暢，對想象能力相對差點的學生幫助很大.
4.探究拋物線的開口大小與p之間的關系
橢圓的圓、扁程度和雙曲線的開口大小與其離心率e有著密切的關系，然而拋物線的離心率是不變的.那么拋物線的開口大小跟什么有關呢？通過幾何畫板的演示、探究，如圖（4）以y2=2px（p>0）為例，學生會發現，拋物線的開口隨著p的變大而擴大，且拋物線的焦點F也逐漸的向右平移，通徑AB的長也隨著變長，再通過幾何畫板強大的計算功能顯示，焦點F的坐標與通徑長與p的代數關系，從而使學生比較容易理解拋物線的這一性質.
二、幾何畫板與圓錐曲線整合教學的效果分析
1.創設情境，改善認知環境
創設情境是數學教學的前提條件，建構主義教學理論也是強調學習情境的創設，它可以為學生創設思維情境.用幾何畫板創設問題情景，可以改善學生的認知環境，促進學生對所學內容的建構.幾何畫板可以為圓錐曲線學習創設與學習目標直觀形象的數學情景.如：在學習橢圓第二定義時，學生會感到很困惑，如果直接用教材中的方式來定義，學生會更加摸不著頭腦，他們在學習中會提出如此的問題：第一定義和第二定義是否有本質聯系？為什么要用這種方式對橢圓下第二個定義？如此的問題，如果在傳統的方式下授課，換來的只有學生的盲目附和，無法將學生的疑惑解除.為此筆者借助幾何畫板另辟蹊徑，通過適當的數學實驗，改善認知環境進行整合教學，使學生煙消云散、茅塞頓開，進而大大地增加了學生學習數學的自信心.
2.動態展示教學的內容，使靜態圖形動起來、抽象的內容形象化
幾何畫板的動態功能將圓錐曲線的圖形動起來，通過平移、縮放、旋轉及其翻折等多視角、多方位呈現圓錐曲線的圖形，通過數形結合研究對動態的對象進行“追蹤”，并且顯示對象的“軌跡”問題、直線與圓錐曲線之間的位置關系、通過拖動某個點觀察整個圓錐曲線的變化從而研究曲線方程中變量的關系，使抽象的曲線變得具體、形象、生動且易于理解.比如，高三模擬考里的一道題目：討論方程（5-t）x2+（t-1）y2=（t-1）（5-t）表示的是什么曲線？在講評試卷時，如果我們只是把它化成標準形式從理論到理論，靜態的探究，顯然不直觀.但是如果我們利用幾何畫板，把t值“動起來”，可以觀察到當t連續變化時，此方程表示的曲線是如何動態的由“橫橢圓”變“豎橢圓”逐漸變成雙曲線.學生能夠直觀清晰的看到各種情況的演變，比起老師的講評更有說服力，從而開闊了學生的思維.
雙曲線及其標準方程范文5
明,從而為調控探索活動提供依據.下面我們從以下三方面的數學問題出發與同學們聊聊“大膽猜想,仔細論證”的話題.
一、 定點問題
例1 如圖1,已知圓O的直徑AB=4,圓心到定直線l的距離為4,且直線l直線AB,點P是圓O上異于A, B的任意一點,直線PA, PB分別交l于點M, N.求證:以MN為直徑的圓必過定點.
解析
以O原點,AB所在直線為x軸,建立直角坐標系.
【第一步】 “特值法”猜想.
若∠PAB=30°,如圖2，則M(4, 23), N(4, -23).則以MN為直徑的圓的方程是(x-4)2+y2=12①.若∠PAB=45°,如圖3.則M(4, 6), N(4, -2).則以MN為直徑的圓的方程是(x-4)2+(y-2)2=16②.由①②得兩圓的交點為(4±23, 0).從而可猜想:以MN為直徑的圓必過定點(4±23, 0).
【第二步】 演繹法證明.
設直線AM方程為y=k(x+2),則M(4, 6k),直線BN方程為y=-1k(x-2), N4, -2k.則以MN為直徑的圓的方程是(x-4)2+y-3k+1k2=3k+1k2,化簡得6yk2-(x-4)2+y2-12k-2y=0.由題意,得6y=0，
(x-4)2+y2-12=0
2y=0，,解得x=4±23, y=0.所以以MN為直徑的圓必過定點(4±23, 0).
二、 定值問題
例2 (2010年重慶高考第20題改編)已知以原點O為中心,F(5, 0)為右焦點的雙曲線C的離心率e=52.
(Ⅰ) 求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程;
(Ⅱ) 如圖4,已知過點M(x1, y1)的直線l1:x1x+4y1y=4與過點N(x2, y2)(其中x1≠x2)的直線l2:x2x+4y2y=4的交點E在雙曲線C上,直線MN與兩條漸近線分別交于G， H兩點,試問OGH的面積是否為定值？若是,求出該定值;若不是,說明理由.
解析
(Ⅰ) 標準方程是:x24-y2=1,漸近線方程是:x±2y=0.
(Ⅱ) 【第一步】特殊情況觀察猜測OGH的面積.
首先,觀察l1, l2方程的結構特征易知, M(x1, y1)、 N(x2, y2)在橢圓x2+4y2=4上.其次,設E(x0, y0),則可把直線MN:x0x+4y0y=4視為過E引直線與橢圓x2+4y2=4相切的切點弦所在的直線方程.再次,計算點E為特殊情況下OGH的面積.若選取點E為雙曲線和橢圓的公共頂點(2, 0),如圖5.此時可用“極限思想”把MN視為過E的橢圓的切線,易得此時G(2, -1), H(2, 1),求得OGH的面積為2.若選取ME∥x軸,此時E(22, 1),如圖6.直線MN的方程是x+2y=2,與雙曲線漸進線方程聯立,得xH=222+2, xG=222-2.設漸近線y=12x的傾斜角為θ,求得SOGH=xH?xG?tanθ=2.由以上兩種特殊情況,可猜想:OGH的面積為定值2.
【第二步】演繹法證明(如圖4).
設E(x0, y0),由題得x1x0+4y1y0=4，x2x0+4y2y0=4，即直線MN的方程是x0x+4y0y=4.
由x0x+4y0y=4，
y=12x解得xH=4x0+2y0,由x0x+4y0y=4，
y=-12x解得xG=4x0-2y0.
則xH?xG=16x20-4y20=4.設直線l1的傾斜角為θ,則tanθ=12.
所以SOGH=12|OG||OH|sin2θ=12xHcosθ?xGcosθsin2θ=xH?xGtanθ=2.
該題還可作進一步的推廣:設E是雙曲線x2a2-y2b2=1 (a>b>0)上一點,過E向橢圓x2a2+y2b2=1 (a>b>0)做切線,切點是P， Q,過P， Q的兩點的直線l交漸近線于G， H兩點,則|OG|?|OH|是定值(a2+b2).(證明方法與例2類似)
此題融直線與雙曲線、橢圓相交和相切問題、方程根的定義于一體,題目不難,牽涉到方方面面,是命題者的上乘作品.
三、 方程解(或曲線交點)問題
例3 在實數范圍內解方程:x4+2x3-x-2=0.
解析
先用“特值法”猜想！觀察易得x=1是該方程的一個解.而后用“配湊法”或“多項式的除法”進行推理認證.把方程的左邊因式分解得x4+2x3-x-2=(x-1)(x3+3x2+3x+2).再次觀察猜想得出x=-2是該方程的另一個解,用同樣的方法進行因式分解驗證得出x4+2x3-x-2=(x-1)(x+2)(x2+x+1).從而求出原方程的解為x=1或x=-2.
例4 (日本早稻田大學某年入學考試題)直線y=ax+a+12與曲線lg(4-|x-2|)lg(2y)=12恰有1個公共點,求a值的取值范圍.
解析
首先對曲線方程進行等價轉化.lg(4-|x-2|)lg(2y)=12
lg(4-|x-2|)=12lg(2y) (y>0且y≠12)
y=12(x-6)2， 2≤x
12(x+2)2， -2
其次在同一直角坐標系下畫出直線l:y=ax+a+12與曲線C:lg(4-|x-2|)lg(2y)=12的圖象,如圖7.觀察猜想直線l與曲線C公共點的個數后再進行推理或計算認證.
觀察發現圖象中有5個特殊的點,分別為A(6, 0), B5, 12, C-1, 12, D(-2, 0), E(2, 8).其中A, B, C, D不在曲線C的圖象上,而點E在曲線C的圖象上.
① 當a=0時,從圖象易知直線l與曲線C沒有公共點.
② 當a>0時,易知KDC=12,所以當a∈0, 12時,直線l與曲線C的右支恰有1公共點;當直線l過點C-1, 12, E(2, 8)時,直線l與曲線C恰有1公共點E,此時a=52.如圖8.
而當直線l與曲線y=12(x+2)2(-2
但必須對以上猜想進行如下的驗證:
由y=12(x+2)2, -2
y=ax+a+12消去y,化簡得x2+(4-2a)x+3-2a=0.
③ 當Δ=(4-2a)2-4(3-2a)=0時,可解得a=1,此時x=-1,滿足題意.
所以a>0時,滿足條件的a∈0, 12∪1, 52.
當a
因為KAC=-114,由圖易知當直線l過點C-1, 12和弧AB上任意一點時,即a∈-114, 0時直線l與曲線C恰有1個公共點.如圖10.
事實上,直線l與弧AB相切的切點與直線AC的關系僅憑觀察圖象并不一定準確.為此可作這樣的猜想:若切點在直線AC的下方,則a=-114滿足題意,而且直線l與弧AB相切時還可能存在滿足題意的a,這必須用代數運算驗證后才可知.
由y=12(x-6)2, 5
y=ax+a+12消去y,化簡得x2-(12+2a)x+35-2a=0.
當Δ=(12+2a)2-4(35-2a)=0時,可解得a=-7±43.
當a=-7+43時,x=6+a=-1+43∈(5, 6),滿足題意.
當a=-7-43時,x=6+a=-1-43(5, 6),不合題意.
所以a
綜上所述,滿足條件的a值的取值范圍是-114, 0∪0, 12∪1, 52, -7+43.
雙曲線及其標準方程范文6
一、“活”在探究中，把知識轉化為能力
數學學習是一個探究的過程。知識要“活”起來，需要精心設計探究問題，提高探究活動的質量，增強學生的探究能力。探究型問題往往可以由常規問題衍生拓展得到，如化熟為生，設置新穎陌生背景，形成情境探究型問題；增添材料，提供類似的解題方法，形成借鑒探究型問題；呈現思想，按照解題思路重新設問，形成引導探究型問題；變證明為探索，模糊原本明確的解題方向，形成開放型問題；變常數為參數，用字母替換數字系數，形成規律探究型問題，從而實現明顯條件隱蔽化，直接條件間接化，具體條件抽象化，靜止問題運動化，使學生的探究活動成為教師引導下的“再發現”過程。
如教學“雙曲線的漸近線”。常規問題是“由雙曲線方程得出漸近線方程”或者“由漸近線方程及其他條件，得出雙曲線方程”，思維缺乏挑戰性和探究性。變式為探究題：已知雙曲線的漸近線方程為 ，增加一個條件，求出雙曲線方程。這一開放型問題有較大的思維空間，增加條件的角度可以從過定點、已知實軸長、虛軸長、焦距、離心率等方面來靈活選擇，在驗證存在性的過程中能夠加深對雙曲線幾何性質的理解，密切前后知識的聯系。通過學生自編題目、合作探究、研討共享，擺脫了師生習慣性思維的束縛，點燃了學生探究的欲望，使學生的再創造能力得到開發。
二、“活”在體驗中，把知識轉化為智慧
數學學習是一個體驗的過程。數學學習不是簡單的“告訴”，而應是學生個性化的“體驗”。知識要“活”起來，需要創設富有情趣性、挑戰性的現實生活情境，增加學生的體驗活動。要有效建立“抽象知識”與“形象原型”之間的本質關聯，將數學知識直觀、具體、形象，通過實踐操作、實驗探究、情境模擬等方法，縮短學生（主體）與知識（客體）之間的距離；要注重誘發學生內在的認知沖突，在新舊知識的銜接處、學生認識的模糊處、在學生思維的受挫處設置認知沖突，喚起學生豐富的想象力；要強調學生的親身體驗，解放學生的思維讓他們敢想，解放學生的雙手讓他們會做，解放學生的嘴巴讓他們能說，解放學生的時間讓他們生動活潑地學習。
如教學“二面角的平面角”。準確理解二面角的平面角的概念，是實現二面角直觀化的認知基礎。設計折紙活動：分別將矩形、平行四邊形紙片折疊，折疊的角度可以讓學生自由發揮，如：沿平行于邊的方向折疊，沿對角線折疊等，體驗二面角的實際背景，感知二面角的度量方法，消除認為邊緣線所成角即為平面角的片面認識。同時，理解平面角不能僅限于標準位置的二面角，讓學生將二面角翻轉、換位、變形，在運動中體驗平面角的不變性，促使學生自主歸納和準確生成“平面角”的概念，享受到探索發現的樂趣，學會抽象概括事物本質的方法，形成模式識別。
三、“活”在反思中，把知識轉化成觀念
數學學習是一個反思的過程。數學問題的解決僅僅是學習的一部分，更重要的是解題之后的反思。知識要“活”起來，需要創設民主和諧的反思情境，增加學生的反思活動，提高學生的反思能力?！安凰疾晃?，小思小悟，大思大悟?！苯處熞朴谠谥R發生發展的關節點處、數學思想方法的概括點處、思維的困惑點處，引導學生以問題為疑點，反思解題的探索發現過程及結論，反思問題的優化處理方法，反思錯誤的成因和對策，反思思維過程和思維方法是否合理，反思學習方法是否科學有效，幫助學生積累和提升問題解決的能力，完善問題解決的工具包，使知識不斷地內化、活化、升華。