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參數方程范文1
如圖1，以原點為圓心，分別以a，b（a＞b＞0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANox，垂足為N，過點B作BMAN，垂足為M，求當半徑OA繞點O旋轉時點M的軌跡參數方程。
解：設∠xOA=φ,M(x,y), 則A(acosφ,asinφ),B(bcosφ,bsinφ),由已知:{x=acosφy=bsinφ （φ是參數），即為點M的軌跡參數方程.消去參數得:x2a2+y2b2=1，即為點M的軌跡普通方程.(如圖2)注意：1.在橢圓的參數方程中，常數a、b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長且a>b>0,φ稱為離心角,規定參數φ取值范圍為［0,2π)2.焦點在x軸上，參數方程為{x=acosφy=bsinφ（φ是參數）焦點在y軸上，參數方程為{x=bcosφy=asinφ（φ是參數）
二、橢圓參數方程的應用
1. 利用參數方程求最值例1.過點A(0,－2)作橢圓x24+y22=1的弦AM，則|AM|的最大值為
A. 2
B. 3
C. 22
D. 23分析:此題比較簡單，只要注意A點在橢圓上，設出點M的參數方程即可解決。解：設M（2cosθ,2sinθ），則|AM|=(2cosθ)2+(2sinθ+2)2化簡得|AM|=－2(sinθ－1)2+8所以當sinθ=1時取最大值，且最大值為22。所以選C點評：橢圓的參數方程是求解最值問題的最有力工具，所以在解決此類問題時，首先應該想到參數方程求解。例2.設點P（x，y）在橢圓x24+y27=1上，試求點P到直線3x－2y－21=0的距離d的最小值。分析：此題可以設點P（x，y）,然后代入橢圓方程x24+y27=1，然后利用點到直線的距離公式把d表示出來。但仍然很難繼續解答。而考慮橢圓的參數方程卻可以順利解決此問題。解：點P（x，y）在橢圓x24+y27=1上，設點P（2cosθ,7sinθ）（θ是參數且θ∈［0,2π)） 則d=|6cosθ－27sinθ－21|32+22=|8sin(θ－φ)+21|13(其中tanφ=377)。當sin(θ－φ)=－1時，距離d有最小值13點評：在求解最值問題時，尤其是求與圓錐曲線有關的最值時，我們可以考慮利用參數方程降低難度例3.已知橢圓x2a2+y2b2=1有一內接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。分析：此題可以設矩形長為x,然后代入橢圓方程解出寬，但很難解答。而考慮橢圓的參數方程可以迎刃而解。解：設A(acosθ,bsinθ)，則|AD|=|2acosθ|,|AB|=|2bsinθ|所以S=|2a×2bsinθcosθ|=2ab|sin2θ|即矩形ABCD的最大面積為2ab點評：利用參數方程后，再利用三角函數性質可以簡化求解的過程和降低求解的難度。
二、參數方程在求與離心率有關問題上的應用
例4.橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1、F2，若這個橢圓上存在點P，使得F1PF2P。求該橢圓的離心率e的取值范圍。分析：如果按常規設p(x,y), |F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2展開，與離心率沒有明顯的聯系，但用參數方程就非常容易。解：設P(acosα,bsinα)，因為F1(－c,0),F2(c,0)kPF1=bsinαacosα+c,kPF2=bsinαacosα－c,因為F1PF2P所以kPF1?kPF2=－1即bsinαacosα+c?bsinαacosα－c=－1,化簡得cos2α=c2－b2a2－b2因為0≤cos2α≤1，所以0≤c2－b2a2－b2≤1解得b2≤c2，所以e=c2a2=c2b2+c2≥c22c2=12即22≤eb>0）與x軸的正向相交于點A，O為坐標原點，若這個橢圓上存在點P，使得OPAP。求該橢圓的離心率e的取值范圍。 分析：此題可仿照上題解法輕松解決，在此不在詳解。答案:(22,1)
三、參數方程在證明問題上的應用
參數方程范文2
一、探求幾何最值問題
有時在求多元函數的幾何最值有困難，我們不妨采用參數方程進行轉化，化為求三角函數的最值問題來處理。
例1（1984年考題）在ABC中，∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a、b、c，且c=10,，P為ABC的內切圓的動點，求點P到頂點A、B、C的距離的平方和的最大值和最小值。
解由，運用正弦定理，可得：
sinA·cosA=sinB·cosB
sin2A=sin2B
由A≠B，可得2A=π-2B。
A+B=，則ABC為直角三角形。
又C=10,，可得：
a=6,b=8,r=2
如圖建立坐標系，則內切圓的參數方程為
所以圓上動點P的坐標為(2+2cosα,2+2sinα)，從而=80-8cosα
因0≤α＜2π，所以
例2過拋物線（t為參數，p＞0）的焦點作傾角為θ的直線交拋物線于A、B兩點，設0＜θ＜π，當θ取什么值時，｜AB｜取最小值。
解拋物線（t為參數）
的普通方程為=2px，其焦點為。
設直線l的參數方程為：
（θ為參數）
代入拋物線方程＝2px得：
又0＜θ＜π
當θ=時，｜AB｜取最小值2p。
二、解析幾何中證明型問題
運用直線和圓的標準形式的參數方程中參數的幾何意義，能簡捷地解決有關與過定點的直線上的動點到定點的距離有關的問題。
例3在雙曲線中，右準線與x軸交于A，過A作直線與雙曲線交于B、C兩點，過右焦點F作AC的平行線，與雙曲線交于M、N兩點，求證：｜FM｜·｜FN｜=·｜AB｜·｜AC｜（e為離心率）。
證明設F點坐標為(c,0)，
A點坐標為(,0)。
又，設AC的傾角為α，則直線AC與MN的參數方程依次為：
將①、②代入雙曲線方程，化簡得：
同理，將③、④代入雙曲線方程整理得：
｜FM｜·｜FN｜=
｜FM｜·｜FN｜=｜AB｜·｜AC｜。
雙曲線的一條準線與實軸交于P點，過P點引一直線和雙曲線交于A、B兩點，又過一焦點F引直線垂直于AB和雙曲線交于C、D兩點，求證：｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
證明由已知可得。設直線AB的傾角為α，則直線AB
的參數方程為
（t為參數）
代入，可得：
據題設得直線CD方程為（t為參數）
代入，得：，從而得，
即得｜FC｜·｜FD｜=2｜PA｜·｜PB｜。
三、探求解析幾何定值型問題
在解析幾何中點的坐標為(x,y)，有二個變元，若用參數方程則只有一個變元，則對于有定值和最值時，參數法顯然比較簡單。
例5從橢圓上任一點向短軸的兩端點分別引直線，求這兩條直線在x軸上截距的乘積。
解化方程為參數方程：
（θ為參數）
設P為橢圓上任一點，則P(3cosθ,2sinθ)。
于是，直線BP的方程為：
直線的方程為：
令y=0代入BP,的方程，分別得它們在x軸上的截距為和。
故截距之積為：（）·（）=9。
四、探求參數的互相制約條件型問題
例6如果橢圓與拋物線=6(x-n)有公共點，試求m、n滿足
的條件。
分析如果本題采用常規的代入消元法，將其轉化為關于x的一元二次方程來解，極易導致錯誤，而且很難發現其錯誤產生的原因。若運用參數方程來解，則可“輕車熟路"，直達解題終點。
解設橢圓的參數方程為
拋物線的參數方程為
（t為參數）
因它們相交，從而有：
由②得：
代入①得：
配方得：。即
1≤≤9-2≤n-m≤2
參數方程范文3
例1 已知橢圓x29+y24=1，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于P（m，0），試求m的取值范圍.
分析：若用常規方法求解，涉及A，B兩點和線段的中點M的坐標等多個參變量，頭緒繁多，需要不斷進行思維轉移.若引入參數，就可以減少變量個數，簡化運算.
根據橢圓參數方程，設A（3cosθ，2sinθ），B（3cosφ，2sinφ）， P（m，0）.由線段垂直平分線的性質可知|PA|2=|PB|2，
于是（m-3cosθ）2+（2sinθ）2=（m-3cosφ）2+（2sinφ）2，展開整理得5（cos2θ-cos2φ）=6m（cosθ-cosφ）.
又因為AB的垂直平分線與x軸相交，故AB與y軸不平行，故cosθ≠cosφ，所以m=56（cosθ+cosφ）.對任意θ、φ，當cosθ≠cosφ時， cosθ+cosφ∈（-2，2），從而m=56（cosθ+cosφ）∈（-53，53），即m的取值范圍是（-53，53）.
例2 設P是橢圓x26+y24=1上的一個動點，則x+2y的最大值是
，最小值是
.
分析：由于研究二元函數x+2y相對困難，因此有必要消元，但由x，y滿足的方程x26+y24=1表示出來的x或y，會出現無理式，這對進一步求函數最值依然不夠簡潔，能否有其他途徑把二元函數x+2y轉化為一元函數呢？方法是利用橢圓的參數方程x26+y24=1x=6cosθ
y=2sinθ ，代入x+2y中，即可轉化為以θ為變量的一元函數.
解：由橢圓的方程x26+y24=1，可設x=6cosθ，y=2sinθ，代入x+2y，得：x+2y=6cosθ+2·2sinθ=22sin（θ+φ）.
其中tanφ=64，由于-1≤sin（θ+φ）≤1，所以-22≤x+2y≤22.
所以，x+2y的最小值為-22，最大值為22.
小結：使用參數方程，是解決解析幾何中求取值范圍、求最值的重要策略，其優點是思路清晰，運算簡捷.
例3 若圓x2+（y-a）2=4與拋物線x2=2y有公共點，求實數a的范圍.
分析：由于二次曲線中的變量受到取值范圍條件約束，涉及幾條二次曲線公共點問題，使用參數方程往往比較嚴密、簡捷.
解：將圓的方程化為參數方程x=2cosθ
y=2sinθ+a，代入x2=2y得
4cos2θ=4sinθ+2a，所以，a=2cos2θ-2sinθ
①
圓與拋物線有公共點轉化為關于θ的方程①有實數解，
又因為a=2cos2θ-2sinθ=-2sin2θ-2sinθ+2=
-2[（sinθ+12）2-54]
因為-1≤sinθ≤1， 所以-2≤a≤52.
小結：幾條二次曲線有公共點的問題，也可以采用聯立方程組的方法來求解，但其中許多關系不是充要條件，很容易出現錯誤.此題若使用數形結合的方法也是非常困難的.此類問題使用參數方程，將問題轉化為三角函數問題，利用三角函數的有界性能使解答嚴密而又簡捷.
例4 過點P（102，0）作傾斜角為α的直線與曲線x2+2y2=1交于點M和點N，求|PM|·|PN|的最小值及相應的α的值.
分析：由于該題結論中涉及的PM、PN均可看成直線上動點到定點的距離，聯想到直線參數方程的標準形式x=x0+tcosα
y=y0+tsinα（ t是參數），|t|的幾何意義就是直線上動點P（x，y）到定點P0（x0，y0）的距離.因此該題可以設出直線PM、PN的參數方程，使問題迎刃而解.
解：設直線的參數方程為x=102+tcosα
y=tsinα（t是參數），代入曲線方程并整理得
（1+sin2α）t2+（10cosα）t+32=0.
設M、N對應的參數分別為t1、t2，而由參數t的幾何意義得
|PM|=t1，|PN|=t2，
則|PM|·|PN|=|t1t2|=321+sin2α.
所以，當sin2α=1，即α=π2時，|PM|·|PN|有最小值34，此時α=π2.
小結：利用直線參數方程中的參數t的幾何意義，處理兩線段長度的積、和、差以及平方和等問題時有著普通方程無可比擬的優越性，可使求解過程變得簡潔，同學們可以多嘗試.
挑戰思維：
1.已知橢圓x225+y216=1的右頂點為A，上頂點為B，P是橢圓在第一象限部分上的任意一點，則四邊形OABP的面積的最大值為
.
2.實數x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設S=x2+y2，則1Smax+1Smin的值為
.
3.已知直線L：x+y-1=0與拋物線y=x2交于A、B 兩點，求線段AB的長和點M（-1，2）到A、B兩點的距離之積.
答案鏈接：
1.102.提示：設點P的坐標為（5cosα，4sinα）（其中0
因為0
當α=π4時，S四邊形OAPB有最大值102.
2.85.提示：由S=x2+y2>0，設x=Scosθ，
y=Ssinθ，代入4x2-5xy+4y2=5，化簡整理得sin2θ=8S-105S，根據正弦函數的有界性|8S-105S|≤1，解之得1013≤S≤103，Smax=103，Smin=1013，故本題答案為85.
3.解：因為直線L過定點M，且L的傾斜角為3π4，
所以它的參數方程是x=-1+tcos3π4，
y=2+tsin3π4
（t是參數）
即x=-1-22t
y=2+22t，把它代入拋物線方程，得t2+2t-2=0，解得t1=-2-102，t2=-2+102，
由參數t的幾何意義得|AB|=|t1-t2|=10，|MA|·
參數方程范文4
【關鍵詞】SEM 擬合函數 Newton-Raphson迭代 參數估計
【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）01-0231-02
一、研究背景及模型假設
1.研究目的
結構方程模型（SEM）是廣泛應用的統計方法，其對于建立變量之間的因果關系假設有著進行數據擬合驗證的重要作用。近年來結構方程模型在國內逐漸在各個社會科學領域得到應用，相應的統計軟件例如LISREL、AMOS能夠很方便的幫助研究者進行模型建構以及參數估計。但是，對于統計模型的學習和教學來說，能夠提供具體的研究案例是非常重要的。理論知識欠缺的初學者若不能對結構方程的基礎理論有詳細的了解，必然會在使用統計軟件進行分析的過程中無法進行恰當的理論建構并掌握正確的分析方法，因此無法在學習和教學中得到更多收益。本研究的目的在于提供一個詳細的極大似然法參數估計案例，能夠清晰的呈現理論建構和參數估計的整個過程。
2.模型建構
結構方程模型通常包括測量模型、因子分析和全模型三部分，其中全模型包括了前二者，既能分析觀測變量與潛變量的關系，同時能分析各潛變量之間的關系。本研究建立了一個簡單的全模型，使用的數據來自SPSS公司產品AMOS 17.0自帶的Rock（1977）的一個研究資料，數據包括兩個變量：value、performance。其理論假設如下圖：
三、討論
本案例建立的模型屬于結構方程中的簡單模型，出于研究目的，本文沒有對一些可能在實際應用中出現的問題進行闡述，例如ML估計的前提假設是要求各觀測變量正態分布，而且在估計參數之后要進行顯著性的檢驗，或者參數估計產生不恰當的解（Chen，2001）等等。在實際研究中學者往往面臨復雜的多的情形，必須考慮到模型建構是否正確、樣本大小、數據是否分布合理等各方面，才能得出有價值的結論。
另外，在運用Newton-Raphson迭代計算時要特別小心，雖然這種迭代方式有著收斂速度快的優點，但對于一些復雜的函數，若是沒有選擇恰當的初值，會出現無法收斂或收斂為不恰當根的現象。
參考文獻：
[1]Arbuckle，J.L.（2007）.Amos 16.0 user’s guide.Amos Development corporation.
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[3]Chen，F.，Bollen，K.A.，Paxton，P.，Curran，P.J.，&Kirby，J.B.（2001）.Improper solutions in structural equation models―causes，consequences，and strategies.Sociological Methods and Research，29，468-508.
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[5]Kernighan，B.W.，Ritchie，D.M.（2011）.The C programming language.機械工業出版社.
[6]侯杰泰，溫忠麟，成子娟.（2004）.結構方程模型及其應用.教育科學出版社.
參數方程范文5
一、坐標系
了解極坐標系；會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置；會進行極坐標和直角坐標的互化．
特別提醒：
1．平面上任意一點的極坐標不是唯一的；
2．點的直角坐標化為極坐標，通常用如下方法：ρ=x2+y2，tanα=|yx|，α∈（0，π2），
當θ在第一、第二、第三、第四象限時，極角θ分別取α、π－α、π+α、2π－α；
3．極坐標方程與直角坐標方程互化要注意其等效性．極坐標和直角坐標互化的前提條件是：（1）極點與直角坐標系的原點重合；（2）極軸與直角坐標系的x軸正半軸重合；（3）兩種坐標系取相同的長度單位．設點P的直角坐標為（x，y），它的極坐標為（ρ，θ），則互化公式是x=ρcosθy=ρsinθ 或ρ2=x2+y2tanθ=yx；若把直角坐標化為極坐標，求極角θ時，應注意判斷點P所在的象限（即角θ的終邊的位置），以便正確地求出角θ，在轉化過程中注意不要漏解，特別是在填空題和解答題中，則更要謹慎漏解．
例1 取直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，則點M（－1，－3）的極坐標為_____________．
分析：把直角坐標化為極坐標主要是求出求出ρ與角θ即可．
解：利用互化公式，可得ρ=2，tanα=3，又點M是第三象限內的點，可得θ=43π，故點M的極坐標為（2，43π）．
點評：可以利用數形結合，直接得出答案；也可以利用互化的公式得出答案但也要注意點的位置與極角的關系．
例2 若限定ρ≥0，0≤θ≤2π，則曲線ρsinθ=2與曲線ρ=4sinθ的交點的極坐標為_____________．
分析：把極坐標方程化為直角坐標方程，可求出交點的直角坐標，再化為極坐標或聯立方程即可求出ρ與角θ．
解：法一：把兩個極坐標方程化為直角坐標方程，可得y=2與x2+（y-2）2=4，利用數形結合可得到交點坐標為（2，2）和（－2，2），由ρ≥0則ρ=22，由tanθ=±1，又0≤θ≤2π，θ=π4或θ=3π4．則兩曲線交點的極坐標為（22，π4）或（22，3π4）．
法二：把ρ=4sinθ代入到ρsinθ=2，注意到ρ≥0，得到sinθ=22，從而θ=π4或θ=3π4，再得到ρ=22．則兩曲線交點的極坐標為（22，π4）或（22，3π4）．
點評：本題用了兩種解法，化成直角坐標要稍麻煩一點，直接聯立方程可以方便的求出ρ與角θ．
二、曲線的極坐標方程
了解曲線的極坐標方程的求法；會進行曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化；了解簡單圖形（過極點的直線、過極點的圓、圓心在極點的圓）的極坐標方程．
特別提醒
1．在極坐標系中，以極點為圓心，r為半徑的圓的極坐標方程是 ρ=r；
2．在極坐標系中，以 C（a，0）（a>0）為圓心，a為半徑的圓的極坐標方程是ρ=2acosθ；
3．在極坐標系中，以 C（a，π2）（a>0）為圓心，a為半徑的圓的極坐標方程是 ρ=2asinθ；
4．在極坐標系中，θ=α（ρ≥0）表示以極點為起點的一條射線；θ=α（ρ∈R）表示過極點的一條直線；
5．在極坐標系中，過點A（a，0）（a>0），且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是ρcosθ=a．
例3 若曲線的極坐標方程為ρ=2sinθ+4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為_____________．
分析：本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化．要把已知條件與x=ρcosθy=ρsinθ 聯系起來，即可得到曲線的直角坐標方程．
解：將ρ=2sinθ+4cosθ，兩端同乘以ρ得，ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，則
x2+y2=2y+4x，即x2+y2－4x－2y=0．
點評：本題中曲線的極坐標方程只要在兩端同乘以ρ，再根據直角坐標和極坐標直角的關系就很容易得出該曲線的直角坐標方程．
例4 已知圓心在M（a，0），半徑為R，試寫出圓的極坐標方程．
分析：先建立直角坐標系找出動點P所在的三角形，再利用三角形中的余弦定理.
解：如圖，在OPM中，由余弦定理可得：
ρ2－2aρcosθ+a2－R2=0．
點評：建立直角坐標系找出動點P所在的三角形是解決此類問題的關鍵，三解形中的余弦定理是解決本題的工具．
三、參數方程
了解拋物運動軌跡的參數方程及參數的意義．理解直線的參數方程及其應用；理解圓和橢圓（橢圓的中心在原點）的參數方程及其簡單應用．會進行曲線的參數方程與普通方程的互化．
特別提醒：
1．曲線的參數方程不是唯一的，選擇不同的參數，得到的參數方程也不同；
2．注意直線的參數方程中參數的幾何意義及其應用．
例5 直線x=3+tsin40°y=－tcos40° （t為參數）的傾斜角是_____________．
分析：將參數方程化為直線參數方程的標準形式即可得到直線的傾斜角，也可以將參數方程化為直線的斜截式方程，求出斜率k，進而得出傾斜角，但計算量比較大．
解：將參數方程化為x=3－tcos130°y=－tsin130° （－t為參數），對照直線的參數方程可得傾斜角為130°．
點評：本題所給出的直線方程的參數形式比較容易讓人混淆，t不是定點（3，0）與直線上的點之間的距離，如果不認真分析就比較容易出錯．本題解題方法的選擇也至關重要．
3．參數方程與普通方程的互化：
（1）參數方程轉化為普通方程
把參數方程轉化為普通方程，其基本方法是“消去參數”．消去參數的具體方法要根據參數方程的特點來考慮．一般地說，當f（t），g（t）都是多項式時，常采用代入消元法；當f（t），g（t）都是t的三角函數時，常借助三角恒等式等．在轉化的時候，還必須使兩種方程的變量的取值一致．
參數方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：代入法、三角法、平方法等．
（1）代入法：利用解方程的技巧求出參數t，然后代入消去參數．
例6 把參數方程x=21+t2y=2t1+t2（t為參數）化為普通方程．
分析：觀察方程組里的兩個式子的分母相同，所以把兩個式子相比就得到t用x，y來表示的關系式，再將其代入到參數方程中即可．
解：由原方程組得yx=t，把t=yx代入x=21+t2得x=21+（yx）2，化簡得：x2+y2－2x=0（x≠0），這就是所求的普通方程．所以它表示的曲線是以（1，0）為圓心， 1為半徑的圓除去原點（0，0）．
點評：在用代入消元法的時候關鍵要得到t的一個關系式，之后再代入到參數方程中的x式或y式即可．
（2）普通方程轉化為參數方程
把普通方程化為參數方程，一般有如下思路：
（1）F（x，y）=0選取參數tx=f（t），y=g（t），（t為參數）．
例7 直線l的普通方程是2x－y+2=0，把其化為參數方程．
分析：可以選取一個參數t，直接令x=t，代入方程后則可求出y關于t的關系式．
解：選t為參數，令x=t，則y=2t+2．得參數方程為x=t，y=2t+2.（t為參數）．
點評：選定參數t以后，將普通方程化為參數方程的問題就轉化為已知t，分別求解x、y的問題了，它和求動點軌跡的參數方程的方法類似．
4．轉化思想在解題中的應用
（1）在圓中的應用
例8 已知實數x、y滿足x2+y2+2x－23y=0，
（1）求x2+y2的最大值；（2）求x+y的最小值．
分析：從幾何意義來考慮，設P（x，y）是圓C：x2+y2+2x－23y=0上的一點，可利用圓的參數方程得到P點的坐標，再來求解最值問題．
解：原方程配方得：（x+1）2+（y－3）2=4，它表示以（－1，3）為圓心，2為半徑的圓，用參數方程可表示為x=－1+2cosθ，y=3+2sinθ （θ為參數，0≤θ
（1）x2+y2=（－1+2cosθ）2+（3+2sinθ）2
=4（3sinθ－cosθ）+8
=8sin（θ－π6）+8
當θ－π6=π2，即θ=2π3時，（x2+y2）max=16．
（2）x+y=2（sinθ+cosθ）+3－1=22sin（θ+π4）+3－1，
當θ+π4=3π2，即θ=5π4時，（x+y）max=3－22－1．
點評：利用圓（x－a）2+（y－b）2=r2的參數方程x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ為參數），來設P點的坐標，就把目標函數由二元轉化為一元，促使問題順利解決．
（2）在橢圓中的應用
例9 求橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的內接矩形的面積及周長的最大值．
分析：把橢圓的標準方程轉化為參數方程x=acosαy=bsinα，即可設出橢圓的一個點的坐標，從而得到內接矩形的邊長，即可列出面積與周長的表達式來求最值．
解：如圖，設橢圓x2a2+y2b2=1的內接矩形在第一象限的頂點是A（acosα，bsinα）（0
S=4FA×EA=4acosα·bsinα=2absin2α≤2ab，
當且僅當α=π4時，Smax=2ab，
L=4（FA+EA）=4acosα+4bsinα
=4a2+b2sin（α+φ）≤4a2+b2，
當sin（α+φ）=1時，Lmax=4a2+b2，此時α存在．
參數方程范文6
一、“極坐標系與參數方程”的主要內容
1.極坐標系的主要內容
生活中常常用距離和方位兩種元素確定點的位置，將這種方法“數學化”之后便是“極坐標系”的雛形.高中數學教材中關于“極坐標系”延伸了多樣內容，具體為：極坐標系的概念；借互化兩種坐標系方程的方法讓學生明晰了解極坐標方程的形式；對一些簡單曲線、過極點直線、極坐標方程推導等做以闡釋，讓學生更加清楚認知極坐標系；教學過程中重視培養數學思維，使得學生會求簡單曲線的極坐標方程，并明確其價值意義.
2.參數方程的主要內容
在“極坐標系和參數方程”中，數形結合、運動變化、分解合成等數學思想應用范疇較為廣闊，所以數學老師可借此培育學生的辯證思維.“參數方程”涵蓋內容眾多，不僅涉及直線、圓、圓錐曲線方程等內容，而且要求教會學生通過優化參數的方式求出已知曲線方程的參數形式，由此等價互化參數方程與普通方程.除此之外，老師也適時運用現實生活實例，利用數學習題加深并鞏固學生對參數方程的學習和理解.
二、結合例題論述教學“極坐標系與參數方程”過程中常見的問題
在“極坐標系和參數方程”的教學過程中，數學老師必須在高考大綱的指導下開展針對性教學，以便學生能夠掌握該知識點的考試方向，從而降低學習的難度.基于此，此處選定的幾道例題都是高考中曾出現的真題，以期“極坐標系和參數方程”的學習能夠深入學生之心.
1.在極坐標系下探求圖形形狀
例1極坐標方程ρ=cosθ和參數方程x=-1-t，
y=2+3t （t為參數），這兩個方程所表示的圖形分別是什么？
解析直角坐標和極坐標可以互化，根據公式可知，ρ=cosθ等價為（x-0.5）2+y2=0.25，表示圓心在（0.5，0）半徑為0.5的圓.再根據參數方程與普通方程的轉化規則，可知，該參數方程就是直線方程.因此這兩個方程所代表的圖形就是圓和直線.
點撥做好此類題目，一是要熟練記憶簡單圖形的曲線方程，二是利用極坐標轉化為直角坐標、參數方程轉化為普通方程的辦法求出答案.
2.真實掌握兩類轉化
例2已知圓C的參數方程為x=cosα，
y=1+sinα （α是參數），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ=1，求直線l與圓C的交點的直角坐標.
解析將圓的參數方程轉化為普通方程x2+（y-1）2=1，直線的直角坐標方程為y=1，聯立兩個方程即可解得交點的直角坐標為（1，1），（-1，1）.
點撥對于這種類型的題目，老師可教導學生學會用交點含義，轉化成平面直角坐標系的方式解題，亦可用解析幾何知識求解答案.
例3給定曲線C的參數方程為x=2+3cosθ，
y=-1+3sinθ，其中θ為參數，如若直線方程為x-3y+2=0，則曲線C上到直線距離為71010的點有多少個？
解析曲線C的參數方程可以轉化為普通方程，即（x-2）2+（y+1）2=9，所以可得曲線C是圓心在（2，-1），半徑為3的圓.此外，它和直線相交，圓心到直線的距離為71010，3-71010
3.感受直線的參數方程，體會參數所代表的幾何意義
例4在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為x=3-22t，
y=5+22t （t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的單位長度，并且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）圓C的方程為ρ=25sinθ.①求圓C的直角坐標方程；②設圓C與直線l交于點A、B，如若點P的坐標為（3，5），求|PA|+|PB|.
解析①圓C的直角坐標方程為：x2+（y-5）2=5；
②方法一：把直線參數方程轉化為普通方程，即x+y-3-5=0，將此方程與圓C的直角坐標方程相聯立，計算得出交點坐標為（1，2+5），（2，1+5），將這兩個交點坐標代入兩點之間距離公式，得出：|PA|+|PB|=32.
方法二：題目中的直線一定經過定點P，所以可以把直線的參數方程代入圓的直角坐標方程，得出：（3-22t）2+（22）2=5，即t2-32t+4=0.在此基礎上根據圖形和參數t的幾何
意義得出：|PA|+|PB|=|t1+t2|=32.
4.綜合極坐標系與參數方程
例5已知曲線C1的參數方程是x=2cosφ，
y=3sinφ （φ是參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點都在C2上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標為（2，π3）.
（Ⅰ）求點A，B，C，D的直角坐標；
（Ⅱ）設P為C1上任意一點，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.
解析由已知可得
A（2cosπ3，2sinπ3），B（2cos（π3+π2，2sin（π3+π2）），
C（2cos（π3+π），2sin（π3+π）），
D（2cos（π3+3π2），2sin（π3+3π2）），
即A（1，3），B（-3，1），C（-1，-3），D（3，-1）.
（Ⅱ）設P（2cosφ，3sinφ），
令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，
則S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因為0≤sin2φ≤1，所以S的取值范圍是[32，52].
