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平面直角坐標系習題范文1
一、位置的確定
例1（蘇州）如圖1，圍棋盤的左下角呈現的是一局圍棋比賽中的幾手棋．為記錄棋譜方便，橫線用數字表示，縱線用英文字母表示，這樣，黑棋①的位置可記為(C，4)，白棋②的位置可記為(E，3)，則白棋⑨的位置應記為 _____．
分析：本題是一道與確定位置有關的試題，要表示白棋⑨位置，則需要仔細理解題意，根據黑棋①的位置可記為(C，4)，白棋②的位置可記為(E，3)可以發現：用表示列的字母和表示行的數字來確定棋子的位置，其中表示列的字母在前，表示行的數字在后．
解：觀察白棋⑨在D列，6行，所以其位置可記作(D，6)．
二、點的坐標特點
例2（南昌）若點A(2、n)在x軸上，則 點B(n－2 ，n+1)在（）．
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D．第四象限
分析：本題主要考查點的坐標特征.因為點A(2，n)在x軸上，則可根據x軸上的點的坐標特點確定n的值，然后寫出點B的坐標，再根據象限內的坐標特征確定點B所在的象限．
解：因為點A(2，n)在x軸上，所以n＝0，所以點B的坐標為(0－2，0+1)，即B(－2，1)，根據第二象限內的點的坐標特征可知選B．
三、確定點的坐標
例3 （永州）如圖2為九嶷山風景區的幾個景點的平面圖，以舜帝陵為坐標原點，建立平面直角坐標系，則玉宮巖所在位置的坐標為 ．
分析：要確定玉宮巖所在位置的坐標，即E點的坐標，應根據點坐標的求法，從點E分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸上對應的數為點的橫坐標，垂足在y軸上對應的數為點的縱坐標．
解：觀察坐標系可知點E的坐標為（2，4），所以玉宮巖所在位置的坐標為（2，4）．
例4（武漢）如圖3，在直角坐標系中，右邊的圖案是由左邊的圖案經過平移以后得到的.左圖案中左右眼睛的坐標分別是(－4，2)、(－2，2)，右圖中左眼的坐標是(3，4)，則右圖案中右眼的坐標是 ．
分析：本題主要考查平移與點的坐標，要確定右圖案中右眼的坐標，則需要找出平移與點的坐標之間的變化關系．
解：因為根據左圖與右圖左眼坐標之間的關系，可以看作左圖形先向右平移3－(－4)＝7個單位，再向上平移4－2＝2個單位，根據平移的特征可知右眼也平移同樣的單位，所以右圖中右眼的坐標是(－2+7，2+2)，即(5，4).
四、畫平移后的圖形確定點的坐標
例5(海南)如圖4，已知ABC，ABC向右平移6個單位，作出平移后的A1B1C1，并寫出A1B1C1各頂點的坐標；
平面直角坐標系習題范文2
關鍵詞：習題課；一題多解；立體幾何；線面角
在高中數學的教學過程中，筆者認為要上好習題課，要從有限的例題和習題上下工夫，采取一題多解的形式進行教學。對一道題采用不同的方法、對一類問題的多種解法采用同一道例題，這樣不僅節省了時間、減輕了學生的負擔、教授了解題技巧，更重要的是通過不同的思路去引導學生講述各自的解題思路及算法，溝通解與解之間的聯系，促進學生思維發展，提高學生的數學思維能力和學習數學的興趣。
例如：在講授如何求解線面角的時候，筆者以一道立體幾何題為例，從三個方面探究線面角的求法。
例題：四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BCCD，側面SAB為等邊三角形。AB=BC=2，CD=SD=1。（1）證明：SD平面SAB；（2）求AB與平面SBC所成的角的正弦值。
在第二問求解線面角的大小時，可從三個角度進行研究：（1）利用定義尋找線面角的位置直接求解；（2）借助點到平面距離間接求解；（3）建立空間直角坐標系，利用法向量求解。
方法一：利用定義尋找線面角的位置直接求解
（1）一般在斜線L上找一點A，過該點作平面的垂線，斜足O與垂足B的連線OB為斜線在平面內的射影，則射影與斜線所成的角即為該斜線與平面所成的角。
解法1：如圖，因為CD∥AB，所以CD與平面SBC所成的角即為AB與平面SBC所成的角。取SC中點M，連結BM，DM。
因為DS=DC，BS=
BC，所以SCDM，SCBM，所以SC平面BDM，所以平面BDM平面SBC，作DNBM，垂足為N，則DN平面SBC，連結CN，則∠DCN即為CD與平面SBC所成的角。
因為SDAB，CD∥AB，SDCD，|SC|=■，|BM|=■，cos∠DBM=■，sin∠DBM=■，DN=■?■=■，sin∠DCN=■=■=■
所以AB與平面SBC所成的角的正弦值為■。
（2）過直線L做平面的垂面，直線L與交線的夾角即為線面角。
解法2：由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE。作SFDE，垂足為F，則SF平面ABCD，作FGBC，垂足為G，連結SG。又FGBC，SFBC，SF∩FG=F，故BC平面SFG，平面SFG平面SBC，
因為FG∥AB，所以FG與平面SBC所成的角α即為AB與平面SBC所成的角。
方法二：借助點到平面距離間接求解
求直線上一點A到平面的距離h，該點與斜足的距離OA，h與OA的比值即為線面角的正弦值，即sinα=■。
解法3：VA-SBC=VS-ABC
VS-ABC=■SABC|SF|=■?■|AB||BC||SF|=■?■?2?2?■=■
如圖，設A到平面SBC的距離為h，取SC中點M，連結BM，因為SDAB，CD∥AB，SDCD，|SC|=■，
|BM|=■，VA-SBC=■?■?■?■?h=■h，又■h=■，所以h=■?■=■，即A到平面SBC的距離為■。
又因為AB=2，設AB與平面SBC所成的角為α，則sinα=■=■=■，所以AB與平面SBC所成的角的正弦值為■。
方法三：建立空間直角坐標系，利用法向量求解
建立空間直角坐標系，求平面的法向量，直線與法向量所成角的余弦值即為線面角的正弦值。
解法4：如圖，以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz。D（1，0，0），則A（2，2，0）、B（0，2，0）。
因為平面SDE平面ABCD，CD=1，DF=■，SF=■，所以S（1，■，■）。設平面SBC的法向量■=（x，y，z），■=（1，-■，■），■=（0，2，0），故x-■y+■z=0？圯■=（-■，0，2）2y=0
平面直角坐標系習題范文3
一、教材分析本章將在上章學習了直線與方程的基礎上，學習在平面直角坐標系中建立圓的代數方程，運用代數方法研究直線與圓，圓與圓的位置關系，了解空間直角坐標系，在這個過程中進一步體會數形結合的思想，形成用代數方法解決幾何問題的能力。二、教學目標1、知識目標：使學生掌握圓的標準方程并依據不同條件求得圓的方程。2、能力目標：(1)使學生初步熟悉圓的標準方程的用途和用法。(2)體會數形結合思想，形成代數方法處理幾何問題能力(3)培養學生觀察、比較、分析、概括的思維能力。三、重點、難點、疑點及解決辦法1、重點：圓的標準方程的推導過程和圓的標準方程特點的明確。2、難點：圓的方程的應用。3、解決辦法充分利用課本提供的2個例題，通過例題的解決使學生初步熟悉圓的標準方程的用途和用法。四、學法在課前必須先做好充分的預習，讓學生帶著疑問聽課，以提高聽課效率。采取學生共同探究問題的學習方法，五、教法先讓學生帶著問題預習課文，對圓的方程有個初步的認識，在教學過程中，主要采用啟發性原則，發揮學生的思維能力、空間想象能力。在教學中，還不時補充練習題，以鞏固學生對新知識的理解，并緊緊與考試相結合。六、教學步驟一、導入新課首先讓學生回顧上一章的直線的方程是怎么樣求出的。二、講授新課1、新知識學習在學生回顧確定直線的要素——兩點（或者一點和斜率）確定一條直線的基礎上，回顧確定圓的幾何要素——圓心位置與半徑大小，即圓是這樣的一個點的集合在平面直角坐標系中，圓心可以用坐標表示出來，半徑長是圓上任意一點與圓心的距離，根據兩點間的距離公式，得到圓上任意一點的坐標滿足的關系式。經過化簡，得到圓的標準方程2、知識鞏固學生口答下面問題1、求下列各圓的標準方程。①圓心坐標為（-4，-3）半徑長度為6；②圓心坐標為（2，5）半徑長度為3；2、求下列各圓的圓心坐標和半徑。①②3、知識的延伸根據“曲線與方程”的意義可知，坐標滿足方程的點在曲線上，坐標不滿足方程的點不在曲線上，為了使學生體驗曲線和方程的思想，加深對圓的標準方程的理解，教科書配置了例1。例1要求首先根據坐標與半徑大小寫出圓的標準方程，然后給一個點，判斷該點與圓的關系，這里體現了坐標法的思想，根據圓的坐標及半徑寫方程——從幾何到代數；根據坐標滿足方程來看在不在圓上——從代數到幾何。三、知識的運用例2給出不在同一直線上的三點，可以畫出一個三角形，三角形有唯一的外接圓，因此可以求出他的標準方程。由于圓的標準方程含有三個參數,,因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓。引導學生找出求三個參數的方法，讓學生初步體驗用“待定系數法”求曲線方程這一數學方法的使用過程四、小結一、知識概括1、圓心為，半徑長度為的圓的標準方程為2、判斷給出一個點，這個點與圓什么關系。3、怎樣建立一個坐標系，然后求出圓的標準方程。二、思想方法（1）建立平面直角坐標系，將曲線用方程來表示，然后用方程來研究曲線的性質，這是解析幾何研究平面圖形的基本思路，本節課的學習對于研究其他圓錐曲線有示范作用。（2）曲線與方程之間對立與統一的關系正是“對立統一”的哲學觀點在教學中的體現。五、布置作業（第127頁2、3、4題）
y
x
o
r
平面直角坐標系習題范文4
一、創設問題情景，引導學生“進門”
在現在的數學課堂上，我們經常發現很少學生有“舉手踴躍回答問題”的習慣，有些學生一方面本身就懼怕數學，對自己解題沒有信心，另一方面又怕自己回答錯了，招來同學們的“議論”。這時候，我們作為教師應該鼓勵、幫助這些學生克服心理障礙、挖掘學習潛能，應先向他們提出一個小問題，“進門”之后循序漸進。
例1：在平面斜坐標系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一點P關于斜坐標的斜坐標是這樣定義的：若=xe1+ye2，（其中e1，e2分別為與x軸，y軸同方向的單位向量），則P點的斜坐標為（x，y）。
1.若P點的斜坐標為（2，-2），求P到O的距離|PO|；
2.求以O為圓心，1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程。
學生看到此題后楞了，從未見過在斜坐標系中討論向量有關問題，心里沒了底，我適時抓住學生的心態，采取這樣的策略：
師：這次我要請“沒舉手的、頭低著的”來回答。要求回答一下在平面直角坐標系中向量坐標的定義，生1，你來回答。
生1：在直角坐標系內，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底。任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x，y，使得 ，(x，y)叫做向量的坐標。
師：很好！在平面直角坐標系中向量的模又是如何求的呢？（要求用基底代入運算）。
生1：
師：太棒了！，現在你對照剛才自己回答的問題，再來看一下這道題目的第一問，會分析了嗎？
生1：我會了，|PO|為向量 在斜坐標系中的模，與直角坐標系中一樣，只需將 用斜坐標系中的基向量e1，e2表示，所不同的是平面直角坐標系中基底 的數量積為0，而斜坐標系中基向量e1，e2的數量積為。所以 。
然后我又請剛才也沒舉手，而現在躍躍欲試的生2站起來回答此題的第二問。
生2：與第一問類似，只需在圓上任取一點M設其斜坐標為（x，y），即為，其余同第一問，我得到的在斜坐標系xOy中的圓的方程為x2+y2+xy=1。
師：很好！非常棒！以后見了陌生的題目，千萬別忙著宣布自己“不會”，而要說“讓我試試”吧，“敢問路在何方？路就在自己的腳下！”
二、鋪設問題臺階，幫助學生拾級而上
有些數學題目的已知條件與結論之間距離遙遠，整體駕馭能力不強的學生，往往棄而不解。這就需要我們教師首先將問題分解，給出一個容易實現的子問題，讓學生沿著這些“臺階”拾級而上，逐步培養學生分析問題、解決問題的能力。
例2：已知數列{an}滿足，an+1=an2-an+1，設
，求證： 1＜Sn＜2。
本題研究對以遞推數列形式給出的數列的求和問題，從題設到問題跨度較大，學生對正確解完本題存在一定的困難。為此，我們教師可設計出以下的“階梯”：
1.求證： （由an+1-1=an（an-1）兩邊取倒數即得結論）；
2.求Sn（由（1）裂項相消求和即得 ）；
3.求證：an+1＞an＞1（由an+1-an=an2-2an+1=（an-1）2≥0及， an+1=an2-an+1即得結論）。
事實證明：多數學生能夠順著 “階梯”登上制高點，嘗到解題勝利的喜悅。所以我們在教學中要努力為學生創造解題的“階梯”，使他們逐步掌握數學解題思維的過程，讓他們樂于親近數學，學會解題。
三、分塊處理，減輕學生心理壓力
有些數學習題文字冗長，條件繁雜，信息較多，學生見了心理壓力較大，我們教師在講解此類問題時常采取“分塊”處理，逐步剖析，使其所涉及的問題落到學生們所學的具體知識點上。
例3：已知二次函數 有最大值且最大值為正實數，集合 ，集合B={x|x2＜b2}。
1.求A和B；
2.定義A與B的差集：A-B={x|x∈A且x∈B}。設a，b，x均為整數，且x∈A。P（E）為x取自A-B的概率，P（F）為x取自A∩B的概率，寫出a與b的三組值，使P（E）= ，P（F）= ，并分別寫出所有滿足上述條件的a（從大到小）、b（從小到大）依次構成的數列{an}、{bn}的通項公式（不必證明）；
3.若函數f（t）中，a=an，b=bn。設t1、t2是方程f（t）=0的兩個根，判斷|t1-t2|是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應的值；若不存在，請說明理由。
講解時，由于本題涉及到函數、集合中的新定義、概率、數列及不等式等知識點，條件復雜，僅新定義型的概念問題就對學生構成了較大的心理壓力，于是在分析解決此題時，可將題目條件拆開，分塊處理，而后分析清楚它們之間聯系。在教學思路上可進行這樣的設計：
1.先拋開后兩問的信息，去求第一問答案；
2.分析P（E）、P（F）的含義；
3.確定集合A與集合B的元素個數，最終確定a與b的值；
4.得數列{an}、{bn}的通項公式；
5.確定|t1-t2|的表達式及最值的求法；
6.綜合回顧，合理作答。
平面直角坐標系習題范文5
一、數形結合，化抽象為具體
數形結合方法是數學中解決習題的一種常用方式，在數學的多種習題中都有應用，比如，函數類問題需要結合函數圖像進行解決，橢圓、雙曲線問題需要借助畫圖等，在立體幾何中，數形結合方法也同樣適用，甚至應用數形結合的方法可以使立體幾何的習題更加簡單化.數形結合方法就是指，在進行習題的解決過程中，將數學問題與立體幾何的圖形問題進行相互轉化，將原本抽象的數學圖形問題轉換為圖形與代數相結合的方式進行解決.通過數形結合的解題方法，可以使原本抽象的圖形變得具體化、形象化、方便理解，從而使得解決問題的過程變得更加輕松.在立體幾何中應用數形結合方法需要我們讀懂題目，了解題目中圖形的具體特征，能夠根據圖形的特點和規律構造相關的代數方程，最終通過解方程的形式解決立體幾何的相關問題.
例1如圖所示，在一個長方體房間中，一只螞蟻要從房間的A點爬到C′點，已知長方體房間為6 m×8 m×10 m，求螞蟻需要爬行的最短距離？
分析題目要求的是螞蟻的最短路程，這是一個最短距離的問題，但是最短距離的問題只在平面圖形中涉及，在立體幾何中又該如何解決呢？于是解決問題的最簡單有效的方法就是將立體幾何的問題轉化為平面圖形的問題，進而通過代數運算進行解決.在這道題目中，可以將立體圖形進行展開，于是所求的最短路程就是平面中線段AC′的距離，計算的方法就是AC′=（AD+CD）2+CC′2.這樣，通過將立體幾何的問題與代數問題進行結合，就可以使立體幾何的問題變得簡單、具體、易于理解.
二、向量計算，化復雜為簡單
在立體幾何的解決方法中，還有一種簡單有效的解決問題的方法，就是向量計算法.向量計算法是指在利用立體幾何的三視圖以及斜二測圖，通過在立體幾何中建立三維坐標系，代入向量，應用數學知識以及數學語言，實現立體幾何的計算的方法.立體幾何的計算往往涉及平方計算、開方計算，在計算數據簡單的情況下，平方與開方計算能夠相對簡單，但是在計算數據復雜的情況下，計算的難度就大幅度提升，計算的錯誤率也會隨之提升，而在立體幾何的計算中應用向量可以大大降低計算的難度.在立體幾何的向量計算法中，需要對向量的位置關系以及數量關系進行判斷，進而找出向量的夾角或者利用向量之間的平行以及垂直關系實現題目的計算.向量計算的方法在立體幾何求解異面直線間距的問題時，可以有效減少計算的時間，同時大大提高解題的正確率.
例2如圖所示，在空間直角坐標系中，有一個正方體ABCO-A′B′C′D′，其棱長是a，則A′C的中點E與AB的中點F之間的距離為多少？
解析由于題目中給出了直角坐標系，顯然是讓我們利用向量法進行計算.由于題目的已知，所以不需要我們再建立直角坐標系進行計算，我們可以根據給出的圖，找出所需要的點
三、分割補充，化雜亂為規則
在數學習題中，對圖形進行分割或者補充來簡化原本的題目也是一種數學思想.立體幾何中的割補法就是這種數學思想的產物，割補法分為兩個方面，分割：即將原來的立體圖形進行分割，分割成多個易于計算的幾何體，方便問題的解決.補充：即在原有立體圖形的基礎上，對原來的圖形進行補充，使之成為一個易于觀察的幾何體，方便計算.不管是分割還是補充，其根本目的都是為了簡化計算，從而將原本的不規則立體圖形轉換為規則的立體幾何圖形，通過這樣的分割和補充的方法解決立體幾何的問題，對數學思維以及空間想象能力的培養也大有好處，是一種高效、有益的解決數學問題的方法.
例3如圖所示，有一個被平面截得的圓柱體，被截后，其最長的母線長為5，最短的母線長為2，且圓柱體的底面半徑為3，求被截后的幾何體的體積是多少？
平面直角坐標系習題范文6
【關鍵詞】數學探究；問題設計；數學思維
12月21日―23日，筆者去淄博十一中參加山東省優質課觀摩活動，選手是優中選精，課亦是精心準備，亮點頻現，節節精彩！《普通高中數學課程標準》提出的基本理念：學生發展為本，“立德樹人”，提升素養.課堂教學以學生為主體，重視調動學生的積極性，促進學生數學學習的發展，成為優質課教學設計的共性.如何進行教學設計，讓導學案的“引”和“導”更有效，筆者認為要注重數學探究教學.
數學探究是指學生圍繞某個數學問題，自主探究、學習的過程.這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明.使學生在這一系列的數學活動中進行數學創造和獲得數學經驗.
1數學探究教學的原則
1.1立足教材，精選內容
探究問題的選擇要基于以下幾點考慮：（1）突出關鍵的知識點；（2）突破學習中的難點；（3）凸顯知識的易錯點；（4）注重思維的增長點.分析本節課在本章中的地位和作用，本節課在本知識模塊中的地位和作用，以及本節課在高中數學中的地位和作用十分必要.一節課不可能開展次數過多的探究活動，要根據教學的重點和難點，進行一次或兩次高效的探究活動即可.
1.2基于學情，啟發思考
探究學習要讓學生利用已知發現未知，所以要對學情進行評估.問題設置要注意起點合理，提倡“跳一跳摘桃子”.可以采取“小步子”的策略，化大為小，分解難點.必要時進行小組合作學習，讓學生的思維進行碰撞，產生新知識的增長點.
1.3提升素養，優化思維品質
數學探究要幫助學生提高興趣，認識自我，激發自信，提高學習的質量.數學探究活動要注重數學思想方法培養，使學生在學習的過程中認識數學、理解數學、熱愛數學，能抓住“主線”進行學習，進而提升發現問題、分析問題和解決問題的能力.在探究結束后，要注意進行小結，彰顯規律性.
2數學探究教學的方法
多年來，我們一直強調“用教材教”而不是“教教材”.其實，這就是要求教師要研究教材，創造性地使用教材，教師要有開發校本課程資源的意識，提升課堂教學內涵.探究性問題設計可以將教材內容優化，變平淡為精彩.
2.1從“特殊”到“一般”
特殊到一般的方法重點在于“鋪墊”，教師創設問題情境，學生借助問題情境循序漸進，得到問題的解決思路.
案例1平面上兩點間的距離公式推導（課例：兩點間的距離.）
問題1：在直角坐標系中，x軸上有兩點P1（x1，0）和P2（x2，0），那么P1和P2之間的距離為多少？如果線段P1P2平行于x軸呢？
問題2：在直角坐標系中，y軸上有兩點P1（0，y1）和P2（0，y2），那么P1和P2之間的距離為多少？如果線段P1P2平行于y軸呢？
問題3：在直角坐標系中，已知x軸上一點P1（x0，0）和y軸上一點P2（0，y0），那么P1和P2之間的距離為多少？
問題4：一般地，已知平面上兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2），如何求P1和P2之間的距離？
這4個探究問題的設計：問題1和問題2提供與坐標軸平行或重合的線段長度求法；問題3的解決辦法是勾股定理；問題4與前面3個問題自然銜接，解決辦法是構造直角三角形，利用勾股定理求解，必須首先利用問題1和問題2的方法求出兩條直角邊長.
從“特殊”到“一般”的問題探究思路是優質課中大部分選手采用的方法，遞進的問題設計，得出一般問題的解決思路，小梯度、慢節奏，最后思維得到提升.
2.2趣味性的問題設計
通常情況下，學生對數學公式的感受要差于對數學圖形的理解，而對數學圖形的理解要差于對空間幾何體的感受.問題的設計能夠激發學生數學學習的興趣很關鍵.
案例2點到直線的距離公式的推導（課例：點到直線的距離.）
引入：有一天，笛卡爾生病臥床，但他一直在反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？同樣幾何圖形可不可以通過代數形式來表達？
不經意間，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲.蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗.他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子里可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？據此，他創建了直角坐標系，在代數和幾何上架起了一座橋梁.
同學們請看：
現在蜘蛛網上有一只蜘蛛P.
思考1：蜘蛛網上粘住一只蜻蜓M，蜘蛛如何爬行才能最快到_蜻蜓的位置？為什么？
思考2：蜘蛛要用最短的時間到達蜘蛛網上的直線l，蜘蛛應該如何爬行？為什么？
總結：這個最短距離就是點到直線的距離.
假設蜘蛛的位置P（1，-1），
問題1：如何求出點P到x軸的距離？
問題2：如何求出點P到y軸的距離？
假設直線l的方程為x+y-2=0，
問題3：如果蜘蛛在蜘蛛網中心的位置，如何求出蜘蛛到直線l的距離？
問題4：如何求出點P（1，-1）到直線l的距離？
小組合作學習：有幾種不同的解決辦法？
注：選擇最優化的解決方案.
問題5：請同學們自主推導，平面直角坐標系中點P（x，y）到直線l∶Ax+By+C=0的距離公式.
2.3開放性問題設計
這里講的開放性的問題，是指答案不固定的題目.高考中數學問題的答案一般唯一，但是日常教學有些問題的答案不必唯一，給學生足夠的想象空間，發散思維，利于學生的思維拓展.
案例3習題設計（課例：兩點間的距離.）
習題：精準扶貧是全面建成小康社會、實現中華民族偉大“中國夢”的重要保障.某地政府在實施精準扶貧的工作中，為幫助位于省級公路同一側的A、B兩個貧困村實現脫貧，準備在該公路的邊上選擇一點P，修兩條可直達A、B兩村的鄉村公路.
（1）假如你是決策人，你將如何選擇P點的位置？
（2）若以該公路所在直線為x軸，公路上某一點O為原點，建立平面直角坐標系.此時A（-1，2），B（2，7），當點P滿足到兩村的距離相等時，試求出點P的坐標，并求出|PA|的值.
本題（1）的答案開放，合理即可.
思路1：到兩村的距離之和最近，成本最低，體現節約；
思路2：也可以是到兩村的距離相等，體現公平、公正.
眾所周知，國家“精準扶貧”的目的是為了“人民幸?！保赃@道題目體現了“中國夢”、“四節”和“核心價值觀”，與時俱進，德育滲透較好.既拓展了學生思維，又體現了《普通高中數學課程標準》數學教學要 “立德樹人”的基本理念.
2.4選擇“入口寬”的題目
“入口寬”的題目是指容易尋找突破口，思路多的題目.高考中許多題目都屬于這種類型，這種類型的題目既適合自主探究，又適合開展小組合作學習.
案例4一題多解（課例：點到直線的距離.）
習題：求三角形ABC的面積，這里A（-1，0），B（3，1），C（1，3）.
注：事先老師準備好小黑板，把圖形畫在黑板上，分到每個小組.
師：大家小組合作學習，將你的結果畫在小黑板上，然后小組展示.
生1：（展示方法1，分割法）過B作直線平行于x軸，分成兩個三角形求面積，利用底乘以高的一半.
生2：（展示方法2，補形法）過B、C作x軸、y軸的垂線，構造矩形，用矩形的面積減去三個直角三角形的面積.
生3：（展示方法3，點到直線的距離公式）求出AB的長度，再求出點C到直線AB的距離，得到三角形ABC的面積.
可能老師原來的預設是進行小組合作學習，每個小組選擇不同的底邊，然后求出第三個點到底邊所在直線的距離作為高，這樣會得到三種不同的做法.學生的解法盡管與本節課的教學重點“不合節拍”，但是展示了更多的數學方法――“分割法”、“割補法”、“公式法”，從數學學習的角度講，數學素養得到提升.
2.5形成結論
某些數學問題不容易理解，并且難以抽象出一個結論，我們可以采用問題探究的方法尋找結論，然后加以證明.
案例5經過兩條直線交點的直線系方程（課例：兩條直線的交點坐標.）
問題1：當λ變化時，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示什么圖形？
問題2：當λ變化時，這些圖形有什么共同的特點？
探究：變換λ的值，并把這個值與此時對應的方程填寫到下列表格中，然后在同一坐標系中畫出這些圖形.
合作探究：小組合作，匯總全組所有成員的圖形，尋找共同點，選派代表投影展示.
發現：這些直線的共同特點：.
證明：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0表示的直線恒過定點.
總結：方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0具體表示什么圖形？
提升：經過兩條直線l1∶A1x+B1y+C1=0與l2： A2x+B2y+C2=0的交點的直線的方程如何表示？
至此，經過兩直線交點的直線系方程結論呈現，完成本節課的一個教學重點.
這種問題探究的方式起點低，銜接自然，符合學生的認知規律.當然，探究結束后，應該有必要的數學證明和說明，譬如講清楚這不是經過兩條直線l1∶A1x+B1y+C1=0與l2： A2x+B2y+C2=0交點的所有的直線的方程.
3對數學探究教學的思考
3.1 數學探究有助于學生了解數學概念和結論產生的過程.
日常教學中我們有時會“簡化”教學過程，直接給出概念或結論，讓學生記憶，然后“套公式”解題.學生盡管會做題了，但是不知道概念和結論的來龍去脈，不會分析一些概念性的問題，不利于數學思維的培養.
3.2數學探究有助于培養學生勇于質疑和善于反思的習慣.
數學探究離不開“問題串”教學，在問題解決的過程中，會涉及一些相P的邊緣知識，或者出現思維“死角”.這樣就會產生“新知”與“舊知”的思維碰撞，學習新知需要質疑探索，溫故舊知需要反思，能將主動學習落到實處.
3.3數學探究有助于發展學生的創新意識和實踐能力.
問題探究的過程就是一個尋求問題解決辦法的過程，思維發散容易創新.探究過程中的合作學習往往是一個頭腦風暴的過程，眾人拾柴火焰高，會產生許多奇思妙想，譬如一題多解，知識的交匯運用等.
