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一、引言 2007年美國爆發的次貸危機，因其傳播速度快、持續時間長、影響范圍廣、破壞性大，最終演變成全球性的金融危機，導致多數經濟體停滯甚至衰退。這場危機引發的美國和世界主要證券市場劇烈波動為1929年以來之最。本文應用奇異點檢測的小波分析方法對美國證券市場進行回朔剖析，以期對我國證券市場的穩健發展起到警示和借鑒作用。小波分析從工程領域應用于統計領域引起反響與關注［1］(AntoniadisandOppenheim，1995)，近年來被逐漸運用到經濟、金融數據的統計研究中。國內外已有的研究成果顯示:小波方法可以去除股市數據中偶然因素引起的漲跌，凸顯影響股市漲跌的主要因素和宏觀突變的特點，表明小波分析在探討股市行為特別是奇異點檢測及宏觀股價走勢的預測上具有良好的應用前景。目前，國外對金融時間序列變點研究的有:納森［2］(Nason，1996)討論了澳元對美元匯率的模擬數據，比較了“通用門限”法，“全門限”法等之優缺點。瑞斯等［3］(Ramseyetal，1995)首先把小波分析應用于金融市場，分析了標準普爾指數的波動情況。王［4］(Wang，1995)使用小波分析，對美國1953年至1991年月度股票收益的奇異點進行了研究，但沒有檢測出海灣戰爭這一重大事件。斯圖［5］(Struzikw，2001)認為，小波可用來發現金融數據的異常點，他嘗試用小波變換極大模分析多重分形譜，確定了高頻時間序列定位尺度的特征。國內的研究有:黃香，葉維彰等(1997)［6］使用樣條小波研究美元對德國馬克匯率數據，檢驗出了七國工業集團和海灣戰爭的影響。朱洪俊等(2002)［7］采用離散小波變換的直接算法來檢測突變信號峰值奇異點，實現了對突變信號峰值奇異點的準確檢測和精確定位。王哲(1999)［8］等用墨西哥帽小波對上證和深證股價漲跌率，通過二進小波變換多分辨分析，得出小波方法可以剔除股市偶然因素引起的漲跌，發現帶有普遍性漲跌的一般規律。2011年8月6日世界資本市場又經歷了一場災難性打擊。因世界三大評級機構之一的標準普爾，將美國國債信用等級降為AA+，評級展望為負，美國首次失去AAA主權信用評級。受此影響全球投資者大規模恐慌，各國股市持續大跌。美國道瓊斯工業指數從11444．61點跌到10809點，歐洲股市直到8月14日仍在下跌。中國上證指數跌破2500點，創一年來新低。世界與中國經歷的“標普———美債降級風暴”是次貸危機的延續，也是繼危機標志性事件2009年雷曼兄弟破產后的“最大沖擊波”，對各國的股市和經濟影響深遠。標志這場前所未有的世界危機仍將持續，終點仍無法準確預測。美國走上了向世界各國轉嫁危機損失之路。因此，觀測美國證券市場信號中的奇異點及不規則的突變部分，分析其中帶有的重要信息，有助于我們診斷美國的經濟運行故障，同時對本國經濟將受到的影響作出提前反應。本文主要基于小波變換模極大值方法，計算李普西茲指數，尋找美國次貸危機中的突變點及這些突變點對應的關鍵事件，研究次貸危機前后美國證券市場主要特征、次貸危機對美國金融市場的影響以及美國金融市場異常對應的美國經濟系統的重大特別事件。 二、突變點的小波檢測方法 時間序列中包含的信息主要體現在突變點或區域中。小波研究對象是信號，金融時間序列可以看做是金融信號。金融時間序列中的突變反映了市場異常波動和狀態改變，并對應著國內重大事件對金融市場的沖擊及市場的反應。在危機中，對應著危機起源國家市場異常波動及隨后的傳染溢出效應。因此研究突變有以下用途:首先，檢測危機發源國金融市場的突變點和結構變化，為危機前后建立變結構模型提供依據，也使得建立相關預測系統成為可能。其次，分析危機中金融市場的異常狀態及結構變化，有助于對其特征及變化機制進行觀測，是進一步研究這種特征對全球其他金融市場傳染的基礎。小波分析對信號進行時頻分解，研究不同尺度下的突變情況的原理是不同時間尺度對應不同突變點，小尺度突變點多，大尺度突變點少，共同突變點說明這一時間突變強烈，反映了主要波動的特征。因此分析這些突變點的影響因素，有助于揭示時間序列波動的驅動機制。一般用正則性刻畫函數的光滑程度，正則性越高，光滑性越好。信號在某點或區間內可微，則信號在該點或區間正則。反之，函數在某處間斷或導數不連續，則函數在該處奇異。奇異點分為兩類:①峰值點，指某一時刻幅值發生突變，引起信號非連續，相當于在該處疊加了沖激信號，被稱為第一類型間斷點。②過零點，信號外觀光滑，幅值無突變，但一階微分有突變且不連續，被稱為第二類型間斷點。相當于在該處疊加了階躍信號。兩類奇異點均可在小波變換中反映。小波變換一階導數dWfdt=0的點，是Wf()t的峰值點;小波變換二階導數d2Wfdt2=0的點，是Wf()t的過零點。由拉氏變換可以推導出信號經某一函數濾波后求K階導數等效于信號直接用該函數求K階導數后的小波濾波。 三、小波變換模極大值 通常用李普西茲指數α(縮寫L．E．α)，來度量函數的正則性。它刻畫了函數f與局部多項式的逼近程度。函數某點的李氏指數刻畫了該點的奇異性，α越大，該點的光滑度越高;反之，奇異性越大。傅里葉變換是研究信號奇異的基本工具，通過函數傅里葉變換的衰減(趨于零的快慢)來判斷奇異性強弱。缺點是只能給出信號在R上的均勻李氏指數，判斷整體奇異性，但不能確定奇異點在R上的分布及奇異性強弱。小波可以對信號進行局部分析，判斷奇異點位置及強弱。馬拉特等［8］(Mallat，1977，1992)最早研究了小波變換在信號奇異性檢測中的作用。小波變換模Wfs，()u在v領域中小尺度下的衰減性能夠刻畫函數f在點v的局部李氏正則性，但尺度—時間平面上直接計算任意點v在其領域中模Wfs，()u的衰減性的計算量極大，很難直接運用于實際數值計算。Mallat，HWANG［10］給出了局部極大值可以控制Wfs，()u的衰減性的相關證明。如果小波變換Wfs，()u在小尺度上不存在局部模極大值，那么f一定是局部正則的。如果一個模極大值序列在小尺度上收斂于點v，則f在該點是奇異的。跟蹤小波變換模極大值曲線能找到所有奇異點，但模極大值點可能不在同一條極大曲線上，當f是完全正則函數時，有可能其小波變換某個模極大值點列趨于橫坐標。因此僅沿尺度搜索小波模極大點是不充分的，需要從模極大值的衰減判斷函數在該點的奇異性。#p#分頁標題#e# 四、實證分析 本文中研究的時間序列數據來源于美國證券交易所綜合指數的每日收盤價。在納斯達克綜合指數、標普500指數、道瓊斯工業指數中，我們選擇了標普500指數數據。該指數根據紐約證券交易所交易的絕大多數普通股票的價格加權計算，包含股票數目多，數值精確，且具有很好的連續性，能夠靈活地調節市場信息引起的價格變動，比其他兩個指數更具代表性。樣本區間為2005年3月15日至2009年2月13日，共1024個數據。包括了非危機時期:2005年3月15日至2007年2月28日，共512個數據;危機時期:2007年3月1日至2009年2月13日，共512個數據。這樣分組的依據是以2007年3月，美國第二大次級抵押貸款機構新世紀金融宣布瀕臨破產、美國股市大幅下跌作為次貸危機爆發的初始結點。令y()t=x()t/σx，σx為x的標準差。 使用小波方法檢測奇異值前用一般統計方法對數據集中異常點進行檢測。①偏離均值一定倍數標準差法。選擇偏離均值1．5－3倍標準差，結果發現偏離1．5倍標準差時異常點過多，接近總數據的1/4，偏離3倍標準差時不存在異常點。因此將閾值定為2倍標準差，即不屬于區間(珋x－2σ，珋x+2σ)的為異常點，可以檢測出個86異常點，集中分布在2008年10月之后，原因是2008年9月標志次貸危機全面爆發的雷曼兄弟倒閉的影響。②離群值(outliers)檢測法，不屬于(Q1－1．5*IQR，Q3+1．5*IQR)為異常點，Q1、Q3分別為上下四分位數，IOQ=Q3－Q1。對非危機、危機時期分別計算，非危機期有4個離群值，對應日期:2007年2月14日、2007年2月16日、2007年2月22日、2007年2月23日;危機期有12個離群值，對應日期:2008年11月19日、2008年11月20日、2008年11月21日、2008年11月26日、2008年12月1日、2008年12月9日、2008年12月18日、2008年12月19日、2008年1月20日、2008年1月30日、2009年2月2日、2009年2月13日。這兩種方法檢測出了異常值點，但存在缺陷。首先因為實體經濟的信息反映在股票市場價格的變化上是有時滯的，不同事件對股市的影響及持續時間并不一樣。其次，這兩種方法只能判斷第一類間斷點，也就是幅值的間斷點(即與群組中數據存在較大偏差，1階導數為零的點)，而對于幅值無變化，但1階微分有突變且不連續的點無法識別。小波方法彌補了這兩種方法的缺陷，它通過沿著尺度搜索小波模極大點，同時根據模極大值的衰減判斷函數在該點的奇異性，在考慮了峰值點的同時考慮了過零點。進行連續小波變換首先要選擇小波，設?()t=－()1nθ()n()t，θ()n()t為一高斯或樣條函數，對任意f()t∈L2()R，f()t的小波變換的模極大值屬于一條連通的曲線，即隨著尺度的減小，模極大值不會中斷。因此在信號奇異性檢測中使用具有N階導數的高斯小波或B樣條小波族，可以保證小波變換的模極大值曲線連續，準確定位信號奇異點位置。高斯小波族包括高斯函數θ()t=12槡πσe－t22σ2的n階導數，具有n階消失矩，能夠用于檢測不同李氏指數α點的奇異性。樣條函數是分段光滑且在連結點處具有一定光滑型的一類函數，被廣泛應用于工程中的數值分析。其中基數B樣條(CardinalB-Spline)函數具有最小支撐和易實現性，根據求導的階數不同分為n階B樣條小波。這里我們使用二階雙正交B樣條小波作為檢測小波，同時使用高斯二階小波重現研究過程，作為小波類型不會影響中心結論的穩健性檢驗。二階B樣條雙正交小波，其尺度函數θ^2()ω由其傅里葉變換確定：首先對數據進行初步小波分析發現，小波分解中的低頻系數是信號在最高尺度的加權平均，反映了信號的基本信息，變化規律和原始信號相似，代表信號總體發展趨勢。高頻系數是信號加權平均的廣義差分，代表信號在各尺度的波動細節。由于數據是對稱選取，危機的爆發是中后部，可以看出，在危機未爆發前，數據的波動較小，而危機爆發后，數據波動性顯著增大。這種波動性在高頻分解的第四個尺度上依然顯著。進一步對突變點進行分析，信號中突變點的位置，可能反映在小波變換的過零點上，也可能反映在小波變換的峰值點上，但由于過零點易受噪聲的干擾，根據過零點檢測不如根據峰值點檢測來得穩健［11］。因此我們只對超過閾值的峰值點及峰值點之間的過零點進行統計。上下閾值是根據非危機時期的最大、最小值確定的?？梢詮男〔z驗結果看出危機后奇異值變化的幅值更大。進一步我們通過小波變換模極大值曲線計算李氏指數，并將得出的奇異點與次貸危機進行一一對應。具體過程為:①計算連續小波變換。②計算小波變換模的極大曲線。③沿著各極大曲線確定奇異點。④對于奇異點v，求出log2Wf(s，u)作為log2s的函數沿著收斂于v的極大曲線的最大斜率，根據公式(4)，求出v點的李氏指數α。奇異點對應的具體日期及該日期屬于危機的不同階段所發生的重大經濟事件見表1至表3。單一日期代表峰值點，雙日期代表過零點前后日期。通過以上表格可以看出:①小波方法檢測出了13個峰值點及6個過零點，其中峰值點均對應于次貸危機中發生的重大事件。而過零點中，有1個時間段無對應的重大事件，由此可以證明次貸危機反映在美國股票價格指數數據的奇異點上，但過零點檢測不如峰值點檢測穩健。②計算出的奇異點分別對應了次貸危機發生的主要階段:標普降低次貸評級，標志危機開始;美國官方首次預測經濟衰退，標志危機逐步發展;雷曼兄弟倒閉標志著危機全面爆發。檢測出了次貸危機發生后對美國經濟產生巨大影響的關鍵事件:包括最大銀行(華盛頓互惠公司)、最大汽車生產商(通用)、最大保險企業(美國國際集團AIC)和最大電信設備制造商(北電網絡)的瀕危及破產倒閉，以及美國就業率的大幅下降。同時也反映了美國及歐洲的救市計劃，其中包括美國主要的救市政策以及歐洲第一次采取直接注資銀行系統方式救市的具體時間節點。奇異點主要通過檢測數據，判斷具有強烈社會、經濟背景的異常點的個數和位置，為后續建立經濟模型提供依據。而預測危機需要確定用于預測的相關經濟指標并對其進行有效配置。然而，國內外相關研究表明，確定一套能夠被識別且足夠及時、準確檢測出危機而不含虛假信息的指標是不可能的。即使可以確定這套指標，也會因市場利用指標反映的信息采取行動使指標失去效用(如市場或決策當局因指標變化立刻采取行動避免發生危機)。本文嘗試給出一種通過數據特征預測危機的方法，類似于股指穩定程度可以用來判斷市場是否發生異變。#p#分頁標題#e# 五、結論 本文提出證券市場指數奇異點檢測的小波模極大值方法。首先使用二階B樣條小波對股指數據進行檢測，再運用高斯2階小波進行對比檢測，測出了同樣的奇異值點。更深入的穩健性研究表明，奇異值點或者突變點檢測的小波方法對具有N階導數小波的類型均不敏感，結論是可靠的。這與黃香、葉維彰等關于匯率的結論一致［6］。本文運用小波模極大值方法檢測出了從次貸危機到全面金融危機的主要階段及所有標志性事件，這些事件在美國的股票價格指數的奇異點上均有顯著反映。股票市場是實體經濟的晴雨表，總是最先反映出實體經濟的狀態變動、表現為證券市場的奇異點，在成熟市場環境下這個特征尤其突出。因此檢測證券市場的異常點，為研究金融危機預警提供了依據。
