前言：尋找寫作靈感？中文期刊網用心挑選的數學美對數學教學的啟示，希望能為您的閱讀和創作帶來靈感，歡迎大家閱讀并分享。
摘要：
許多學生把學習數學歸結為死記硬背結論與陷在沒完沒了的計算中。這種對數學的偏見影響了學生學習數學的積極性與自信心?？茖W史表明，數學美在科學探究中有“以美啟真”“以美審真”“以美悅心”“以美輔理”的作用。在數學教學中彰顯數學美，可以增強學生的內部學習動機，讓學生更本質更快樂地學好數學。在數學教學中挖掘數學美，教師要有一顆易感之心，學生要有一只跳躍思維之膽，師生共同擁有一個美學之念。
關鍵詞：
中學數學；數學美；科學探究；啟示
一、問題的提出
學生對數學的認識與學習興趣，直接或間接影響著學生學習數學的動力，從而也影響數學學習效果。在當前的應試大環境下，諸多因素導致學生普遍對數學沒有太好印象。“數學是法則與公式的集合，解數學題只是從一大堆他們學過的公式中，利用各種提示，找出適當的法則代入數字加以應用，最后得出答案。”[1]“數學是數字與圖形的組合，以計算為主……是枯燥乏味、不得不學的深奧、神秘、高深的學問……”[2]這種把數學學習歸結為只是死記硬背結論，總是陷在枯燥乏味計算中的偏見，極大地影響了學生學習數學的積極性與自信心。事實上，從萌芽狀態的原始數學，到當今五彩繽紛的現代數學，數學美作為數學的重要內涵，一直得到所有數學家的公認。數學中存在美，對此沒有人持有異議。但在數學中哪些地方存在美，如何去感知數學美，不少學生依然朦朧和模糊。因此在數學教學中彰顯數學美，讓學生了解數學美在科學探究中的重要作用，可以增強學生的內部學習動機，消除數學給人帶來的枯燥乏味的壞印象以及高深莫測的神秘感。然而，正如馬克思所說：“對于不懂音樂的耳朵，最美的音樂也沒有意義。”并非人人都有欣賞數學美的能力。因為數學與音樂所表現的，都是一種脫離了具體的實物場景的高度抽象的對象，是“人類性靈最富于創造的產物”[3]。高度抽象的結果是大量的“下里巴人”總難領略其神韻，只有具備較高的數學素養與數學領悟力的人，在數學研究中才可能有深入心竅的愉悅體驗。才能在數學學習時于枯燥中感新奇，于平凡中見奇崛，才能教學探索時時被數學美所吸引而神與物游。
二、數學美在科學探究中的作用
（一）以美啟真
許多物理學家都把“符合數學美”作為他們研究物理規律、建立物理學理論的重要準則，對數學美宗教般狂熱推崇，并在科學研究中以數學美導航，最終得以寫出劃時代的巨著。諾貝爾獎得主狄拉克在哈佛大學演講時說：“學物理的人用不著對物理方程的意義操心，只要關心物理方程的美就夠了。”[4]這正是這位物理學巨匠科學研究中一貫遵循的信條，因為狄拉克恰恰就是在完全不考慮任何物理模型的情況下，直接從理論和數學結構美的制高點出發，得出了一個大大出乎他意料之外的狄拉克方程。同樣，科學巨匠牛頓一再聲稱自己是畢達哥拉斯的忠實信徒。因為畢氏學派以數字7為美，所以牛頓在做三棱鏡的色散實驗時，雖然開始只注意到5種顏色，他還是在沒有任何實驗證實情況下主觀加上了橙和青兩種顏色，為的是將顏色的總數湊足7種。[5]這是牛頓忠實于畢氏數學美觀念，“以美啟真”的又一個例證。對平行線公理數學美的苛求，是非歐幾何創立的直接動因。我們知道，平行線公理的表述比起其它公理顯得冗長難懂，數學家認為它不美。因此他們懷疑它不應成為公理而應是定理。但看似簡單的一個證明卻令“無數英雄競折腰”。2000多年來，數學家前赴后繼地努力但都無功而返。直到19世紀初葉經高斯、波約、羅巴切夫斯基、黎曼等人的努力，問題才得以完滿解決，并由此創立了劃時代的偉大數學分支——非歐幾何。科學史上的事例一再向我們昭示：從追求數學形式美、結構美出發，卻常?？梢詫С隹茖W理論真的結果。隨著科學數學化的加劇，數學美愈加成為科學探究中“以美啟真”的方法論準則。
（二）以美審真
實踐是檢驗真理的標準，這無疑是馬克思主義的基本觀點，也是大多數科學家的信條。但科學的數學化，已使得許多理論像現代數學那樣朝著越來越抽象化的方向發展，其研究對象和結果在現實中往往找不到它的對應物，無法回到實踐中去檢驗。故在科學認識系統中，把實踐作為選擇、評價、檢驗科學理論及其真理的唯一標準是不可能的，也是遠遠不夠的。狄拉克認為，有時候數學形式美要比理論與實驗相符合更重要，因為數學美與普遍的自然規律有關，而理論與實驗的符合則常常與一些具體的細節有關。[6]例如在愛因斯坦的廣義相對論中，大概沒有比時空彎曲更能挑戰公眾的想象力了，但不管他的理論多么讓人難以置信，愛因斯坦卻認為肯定可以由日食時觀測證實。有人問：“如果觀測與您的理論不相符合，怎么辦？”愛因斯坦回答：“那我為上帝感到遺憾。”其言外之意是，上帝怎能如此愚蠢，居然違背具有如此對稱美的理論來設計宇宙？[7]愛因斯坦僅僅憑借數學對稱美，就敢于大膽預測物理結果真。在這里我們看到了愛因斯坦“以美審真”的研究風格及數學美給予愛因斯坦的超強霸氣?？茖W發展史表明，“以美審真”是科學家們共享的一條科學研究原則。
（三）以美悅心
匈牙利數學家雷尼說：“如果我感到憂傷，我會做數學變得快樂。如果我正快樂，我會做數學保持這種快樂。”[8]陳省身曾為少年兒童題詞“數學好玩”。的確，許多數學家終身癡迷于數學，與其說是功利心的驅使，毋寧說是因為數學美對他們的深深吸引力。彭加勒曾指出，科學家研究自然，并不是囿于有用性的動因，而是為比較深奧的理性美引起的樂悅所驅使，科學家之所以投身于長期而艱巨的勞動，也許為此緣故甚于為人類未來的福利。[9]同時，許多數學理論往往要超越當前現實數百年，才能在其它學科或數學學科中派上用場。例如古希臘人公元前4世紀就開始研究橢圓的性質，他們不可能預感到2000年后會在開普勒的行星運行及牛頓的萬有引力中起作用。埃列•嘉當1912年考慮了一個分析與幾何變換群，當時除了它的非凡美感外，根本沒有想到它會在15年以后，用來解釋關于電子的若干現象。事實表明，純粹是思維的樂趣與美的召喚，才是支撐眾多數學家持之以恒鉆研數學的最深層動因。另外，數學的嚴謹性與高度抽象性，日積月累在看不到成功前景的黑暗中摸索，朝夕面對缺乏生命原色的材料，長期繁重的腦力負擔使得數學家常與正常生活產生疏離，這一切容易導致數學家精神生活的單調與貧乏，甚至造成心理痼疾。[10]而數學美則可以豐富他們的精神生活，緩解邏緝思維所致的情緒緊張，審美愉悅會使數學家產生一種類似游戲的體驗，使其身心趨向于一種更悠閑的境界。故數學美對他們可起到“以美悅心”的作用。
（四）以美輔理
科學發展史上徹底突破舊觀念的新思想，通常不是沿襲傳統的邏輯模式，對經驗材料進行概括、演繹與推理而得。彭加勒對此深有體會：“邏輯用于證明，直覺用于發明。”[11]例如，盧瑟福通過直覺想象力把原子世界看成巨大太空世界的摹制品，建立了原子的行星模型說；威爾遜受到大自然美景的觸發，直覺地構建了威爾遜云室，這些理論的創立都得益于想象而非邏輯。再如非歐幾何的創立，在漫長的2000年時光中，無數數學家試圖用邏輯推理的方法去證明第五公設，結果都是徒勞。直到19世紀，一批思想敏銳的數學家意識到需要換一種思路。羅巴切夫斯基擺脫了邏輯思維的束縛，憑借自己的超凡想象力，構建了一種全新的幾何體系——非歐幾何，它的創立不僅是數學史上的一座豐碑，而且引起了人類時空觀的一次重大變革。綜上可見，直覺力、想象力等形象思維在科學發明發現中占有重要地位，而數學美恰恰能在促進人的形象思維方面發揮重大作用，邏輯則常常只是事后的補充完善。
三、數學美對數學教學的啟示意義
在數學學習之旅中，學生若能時常有美的感受與體驗，數學美在學生的學習中就同樣可起到“以美啟真”的作用，有效開發解題智慧；起到“以美審真”的作用，準確篩選出思維路徑；起到“以美輔理”的作用，化抽象為直觀形象；起到“以美悅心”的作用,消除學生的焦慮與疲乏，快樂有趣地學習數學。教學中教師要大力挖掘數學美，滲透數學美，培養學生初步感知數學美，鑒賞數學美的能力。為此，筆者認為數學教學需從如下幾方面努力。
（一）教師要有一顆易感之心
教學中滲透數學美，首先要求教師有一顆易感之心。要能感受教材中無處不在的數學美，比如實數與數軸，復數與平面，平面上的點與有序實數對等，形與數的對稱美，三角誘導公式推導中的對稱美，奇偶函數圖像與性質的對稱美，大量數學符號與其深刻寓意體現出的簡潔美，橢圓、雙曲線、拋物線用第二定義及用極坐標公式表現出來的統一美等。其次要有文、史、哲等方面的初步修養，對教材內容除能用演繹方式闡述外，還能從文學與藝術的視角來幫助學生展開詩人般的想象，因為只有教師自己對數學的形式美、結構美、思維美深有感觸，才能將這種感發的力量傳遞給學生。再比如，教師恰當地運用詩歌，可將數學的抽象語言化為鮮明生動的形象化語言，讓學生的思維文理合流，培養其形象思維力。例如在得出正弦函數y=sinx的圖象后，來一句感嘆：這可真是“風乍起，吹皺一池春水”??！講完y=sinx的圖象，引用杜甫的“天地一沙鷗”抒發其圖象之美……通過數學與文學的交相輝映，數學課不再是枯燥乏味的演算與記憶，而將散發出詩歌形象美與數學內涵美的獨特魅力，達到“以美悅心”的教學效果。再如，對一些司空見慣的教學內容，要能用數學美的眼光予以揭示。例如，推導橢圓的標準方程時，教師可以提出下列問題串。（1）不去根號是不是橢圓方程？（2）為什么要去根號？（3）為什么要把一個根號移到等號另一邊？（4）為什么要令a2-c2=b2。這些問題，其實無它，都是源于簡潔美與對稱美的追求。再比如對已知條件的刪繁就簡，對例題解法的不斷改進（追求思維與過程的簡潔美），對形異質同題目的歸納與本質揭示（追求抽象與統一美）等。當教師習慣于對教材上的諸多細節向學生刨根問底，學生就能發現“以美啟真”“以美審真”在數學研究中的普適有效，就會悟出先前諸多莫名其妙的規定，原來都是源于對數學美的追求。就會感嘆原來數學并非深奧、神秘，而是講推理更講道理的。
（二）學生要有一只跳躍思維之膽
形象思維與創新思維關系密切，故不僅要培養學生的邏輯思維能力，也要讓學生經歷先猜后證的數學，類比的、歸納的數學。例如對于楊輝三角形的直觀觀察，可以推出許多組合恒等式。教師教學時可以多留出時間，讓學生獨立分析與思考，學生就會琢磨出先觀察（a+b）n在n=2，3，4，5展開式的每一項特征，再歸納概括，猜想出若干恒等式，然后讓學生先猜后證。再如，設xyz∈R+且試求xy+2yz+3zx的值[12]若按常規方法計算xy+2yz+3zx的值，繁瑣單調。讓學生觀察三個式子充分發揮想象，由②式不難聯想到勾股定理，由①，③聯想到余弦定理，我們就可巧妙地構造△ABC，其中一點P滿足∠APC=120°，∠BPC=150°，∠APB=90°，且PC=x，PA=z，PB=，由條件易得AB=3，AC=4，教學探索BC=5，從而S△ABC=S△APB+S△APC+S△BPC=（xy+2yz+3zx）=6，故xy+2yz+3yz=24心中沒有對數學美的執念，本題便只能按部就班地陷入繁瑣計算中,是“以美啟真”與“以美審真”的觀念誘發了我們的解題靈感，從而促使我們尋覓到這一漂亮解法。
（三）師生要共同擁有一個美學之念
一方面數學是一門科學，另一方面數學也是一門藝術。這門“高尚的藝術”表現為一種“至高無上”“冷而嚴肅”的美，是“潛藏在感性美之后的理性美”。它的花朵只開放在抽象思維領域，它的形式是由邏輯的彩帶編織而成。數學給人的感覺是一種冰冷的美麗。要把數學冰冷的美麗化為師生火熱的思考，教師需在長期的教學中，持之以恒、堅持不懈地挖掘強化數學美。通過追問、反思等行為，揭示數學美是一些技能行為背后的真正動因。同時學生在學習中，尤其在思維的岔路口要用“以美啟真”“以美審真”支配自己的思維活動，養成在問題解決過程中用數學美的眼光作一番定奪取舍的習慣。日積月累下來，解題能力、思維水平的提升就會不求而至、不為而成。數學美在科學探究中的作用已充分說明了這一點。數學教育如果沒有美育，只剩下技巧、分數，學生就只有題海之苦，沒有探秘尋幽之樂，這樣的學生就只能是做題的機器，永遠不能成為大師。
參考文獻：
[1]黃毅英，林智中．中國內地中學教師的數學觀[J].課程•教材•教法,2002(1).
[2]劉次律，張維忠．高中學生“心目中的數學”調查及啟示[J].學科教育,2003(6).
[3]陳朋紅，丁蓓英.論數學美的價值和意義[J].華東理工大學學報,1999(4).
[4]楊建鄴.物理學之美[M].北京:北京大學出版社,2011:2.42.122.
[5]楊忠泰.數學美在科學探索中的功能[J].寶雞師范學院學報（自然科學版）,1992(1).
[6]王青建，李鐵安.數學娛樂的理論與實踐[J].數學教育學報,2010(4).
[7]何池友.試論科學審美之于科學的發展[J].安徽師范大學學報（人文社會科學版）,2002(9).
[8]郭思樂，喻緯.數學思維教育論[M].上海:上海教育出版社，1998:39.
[9]芮國英.展示數學美培養探索欲提高創造力——數學美育教學的認識與實踐[J].中學教研(數學),2004(1).
作者:王應標 單位:江蘇省清江中學
