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摘要:“常微分方程”是高校數學學科的專業基礎課程之一。該文以南昌大學“常微分方程”課程的教學實踐為例,探討在教學中如何融入數學史、數學家故事、數學思想方法和數學模型等數學文化元素，以培養學生的學習興趣、創造性思維和應用實踐能力等各方面數學素養。
關鍵詞:數學文化；常微分方程；數學素養
“常微分方程”是本科數學專業的基礎課程，它是“數學分析”“高等代數”“解析幾何”等基礎課程的理論延續，也是學習“泛函分析”“拓撲學”“微分方程定性理論”“穩定性理論”“數學物理方程”和“偏微分方程”等主干課程的必要基礎[1]。南昌大學數學系面向數學與應用數學專業本科二年級學生開設了“常微分方程”課程，總共授課16周次，共64學時、4學分，使用的教材是王高雄等主編的《常微分方程》第三版。通過學習這門課程，學生能夠掌握構建常微分方程數學模型的思想方法，培養學生運用數學理論解決實際問題的能力。李大潛先生指出：“數學的課堂教學，特別是主干數學課程的數學教學，在講授數學知識的同時，將有關數學的重要發現與發明擺到當時的歷史環境中來分析，并結合現今的發展及應用，揭示它們在數學文化層面上的意義及作用，因勢利導，順水推舟，達到畫龍點睛的效果，使學生在潤物細無聲之情境中得到深刻的啟示。”[2]關于數學文化的內涵，首屆國家教學名師顧沛教授提出：“狹義的數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展；廣義的數學文化是指除上述內涵以外，還包含數學史、數學家、數學美、數學教育、數學與人文的交叉、數學與各種文化的關系。”[3]近年來，“常微分方程”的教學實踐融入了一些數學文化元素，使學生的數學素養得到了較好的提升。
1引入數學史和數學家故事，激發學生的學習興趣
吳文俊先生指出：“如果將數學的歷史發展、一個領域的發生和發展、一個理論的興旺和衰落、一個概念的來龍去脈、一種重要思想的產生和影響等許多歷史因素都弄清楚了，對數學也會了解得更多，對數學的現狀就會知道得更清楚深刻，還能對數學的未來發展起到指導作用，知道數學究竟應該朝怎樣的方向發展才能產生最大的效益。”[4]
1.1常微分方程的發展歷史。17世紀，牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）創立了微積分學，之后出現了常微分方程理論。常微分方程的發展伴隨著解的存在性（Existence）、唯一性（Uniqueness）和穩定性（Stability）三大核心問題，大致經歷了5個時期：（1）發展初期以求通解為主要研究目標。比如萊布尼茨利用分離變量法研究一階微分方程的求解問題，伯努利（Bernoulli）數學文化融入“常微分方程”教學的探索與實踐朱能尹建東（南昌大學數學系江西·南昌330031）方程被提出和求解，歐拉（Euler）利用積分因子法將一階線性微分方程轉化為恰當微分方程求解，拉格朗日（La-grange）利用常數變易法求解非齊次線性微分方程，克萊羅（Clairaut）研究奇解問題等等。（2）定解理論研究時期。比如劉維爾（Liouville）證明了里卡蒂（Riccati）方程不存在一般的初等解，柯西（Cauchy）建立了初值問題解的存在唯一性定理，利普希茨（Lipschitz）條件的提出以及皮卡（Pi-card）逐步逼近法的應用等等。（3）解析理論研究時期。主要通過定義一些特殊函數求解特殊方程,比如貝塞爾（Bessel）方程、勒讓德（Legendre）方程和高斯（Gauss）幾何方程等。（4）定性理論研究時期。這個時期主要以解的大范圍性態為研究內容，這得益于龐加萊（Poincare）創立的定性理論和李雅普諾夫（Lyapunov）創立的運動穩定性理論。（5）到20世紀中后葉，隨著計算機技術的迅猛發展，常微分方程進入了求特殊解時期。比如混沌、奇異吸引子和孤立子等一些特殊解的重要發現。
1.2數學家的趣聞軼事。在“常微分方程”教學中，可以適度穿插數學家的奇聞軼事，以較好地激發學生的學習興趣。如在教學常微分方程緒論時，介紹德國著名數學家萊布尼茨的故事。17世紀末，萊布尼茨在給牛頓的信中首次提出“微分方程”這個數學名詞，并且最早使用分離變量法求解微分方程。萊布尼茨的研究領域非常廣泛，他與同時代的牛頓在不同國家各自創建了微積分學，發明了沿用至今的微積分符號，開創了數理邏輯，提出了二進位制，被后人尊稱為“符號大師”。在教學伯努利方程求解時，介紹伯努利家族成員的故事。17～18世紀的伯努利家族是一個數學家輩出的家族，共出現了10余位數學家，其中雅各布（Jakob）、約翰（Johann）和丹尼爾（Daniel）是伯努利家族在微分方程領域貢獻最卓著的三位數學家。著名的伯努利方程是由雅各布提出的，他在概率論、微分方程、無窮級數求和、變分法和解析幾何等領域都有突出貢獻，比如著名的伯努利大數定律，就是以雅各布的名字命名的。在教學恰當微分方程和積分因子時，介紹數學家歐拉的故事。歐拉是18世紀數學界的中心人物，被同時代數學家尊稱為“大家的老師”。歐拉的研究領域極其廣泛，在許多學科領域都能見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。由于在研究天文學時長期觀測太陽，歐拉的雙眼先后失明。在失明的十余年間，憑借非凡的毅力、驚人的記憶力和心算能力，他完成了生平近一半的著作，且行文流暢，被譽為“數學界的莎士比亞”。在教學非齊次線性微分方程求解時，介紹了數學家拉格朗日的故事。拉格朗日在數學、力學和天文學中都有極其卓越的貢獻，他促進了數學分析及變分法的發展，為分析力學和天體力學發展奠定了理論基礎，被拿破侖稱贊為“一座高聳在數學世界的金字塔”。在教學柯西問題解的存在唯一性定理時，介紹數學家柯西的故事。19世紀初，柯西在微積分中引進了極限概念，為微積分的理論基礎做出了巨大貢獻?？挛魇且晃欢喈a的數學家，年輕時投稿論文一度造成“巴黎紙貴”現象。這些數學家的奇聞軼事能夠使學生得到啟發，有利于培養學生持之以恒和勇于創新的學習精神。
2剖析數學思想，培養創新思維
剖析“常微分方程”課程的數學思想方法，使學生能夠較好地掌握常微分方程的理論方法和發展規律，逐步形成創新思維并提高創新能力。
2.1化歸思想。化歸思想指將復雜難解或生疏未知的問題，通過某種轉化過程歸結為簡單或熟悉已知的問題，從而使原問題得以解決的一種思想方法?；瘹w思想是常微分方程的重要思想方法，主要使用在一階或高階微分方程的求通解和求解初值問題[1]。一階微分方程求通解問題體現的化歸思想：可化為變量分離方程的類型，根據方程系數分類討論，通過適當的變量變換轉化為齊次微分方程，進一步經變量變換后轉化為變量分離方程求通解。伯努利微分方程通過變量變換轉化為線性微分方程求通解，而線性微分方程可以利用常數變易法及通過變量變換轉化為變量分離方程，也可以通過積分因子轉化為恰當微分方程。一階隱式微分方程須引進參數變量，將原方程轉化為導數已解出的方程類型，結合原方程的參數形式得到原方程的參數形式通解。高階微分方程求通解問題通常采用這幾種方法：求常系數齊次線性微分方程基本解組的歐拉待定指數函數法（又稱為特征根法)、求常系數非齊次線性微分方程特解的比較系數法和拉普拉斯（Laplace）變換法、求一般非齊次線性微分方程特解的常數變易法、求一般二階齊次線性微分方程的冪級數解法。一階微分方程求解初值問題體現的化歸思想：利用皮卡逐步逼近法證明解的存在唯一性定理，將求微分方程初值問題的解轉化為求積分方程的連續解，進一步證明積分方程的解的存在唯一性。對于高階微分方程求解初值問題，其主要思想是通過變量變換將求高階線性微分方程的初值問題的解轉化為求一階線性微分方程組的初值問題的解。
2.2逐步逼近思想。一階微分方程初值問題的解的存在唯一性定理是常微分方程理論中最基本的定理，其證明的核心思想是皮卡逐步逼近思想方法。具體分為五個步驟：第一步，證明一階微分方程初值問題y'=f(x,y),y(x0)=y0在區間[x0-h,x0+h]上的解等階于積分方程y=y0+xx0乙f(x,y)dx在同區間上的連續解；第二步，構造皮卡逐步逼近函數序列{φn(x)}:φ(x)=y0,φ(x)=y0+xx0乙f(ξ,φn-1(ξ))dξ(n=1,2,…)，并證明此函數序列在定義區間上有定義、連續且滿足|φn(x)-y0|≤b；第三步，證明構造的函數序列在定義區間上一致收斂；第四步，證明limn→∞φn(x)=φ(x)是積分方程的連續解；第五步，利用利普希茨條件證明解的唯一性。在教學中，增加介紹了用壓縮映像原理證明解的存在性，以及借助Gronwall不等式證明解的唯一性，促進了學生創新思維能力的提升。
3構建數學模型，提高應用實踐能力
列寧指出：“自然界的統一性顯示在關于各種現象領域的微分方程式的‘驚人的類似’中。”常微分方程在物理學、力學、生物學、化學、天文氣象學、生理醫學和電子工程學等領域都具有重要應用，是數學理論解決實際問題的有力工具。例如海王星的發現、放射性物質的處理、電磁波的傳播、天氣變化的預測等，都應用了常微分方程[5]。
3.1傳染病模型。對于突然暴發的各種難以控制的傳染病，為分析受感染人數的變化趨勢，預測傳染病傳播的高峰時間，防止傳染病的蔓延，須建立適當的數學模型。本文就一般的傳染病規律討論傳染病的數學模型。傳染病最基礎的SI模型的建立基于三個基本假設：（1）傳染病傳播期間其地區不考慮人口的出生、死亡和流動，總人數不變；（2）將人群分成易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類，也稱健康者和病人，在時刻t的健康人數為S(t)和染病人數為I(t)則有S(t)+I(t)=N；（3）開始染病人數為I0且一個人染病后經久不愈也不會死亡，單位時間內一個病人能傳染的人數與當時的健康人數成正比，比例常數為k，也稱為傳染系數。根據以上假設可建立微分方程模型：I'(t)=kI(t)[N-I(t)],I(0)=I0。解得I(t)=NI0[I0+(N-I0)e-kNt]-1。當t→∞時，有I(t)→N表明最后每個人都被染病，這與實際情況不符。在現實生活中，已感染者經過隔離或經治愈產生免疫或死亡后，都不會將疾病傳給易感染者，因此，SI模型不太符合預測生活中傳染病的傳播規律。須考慮更多的實際因素，適當修正SI模型，得出更加復雜的SIS、SIR、SIRS、SEIR、SEIRS等模型，從而更加準確地預測傳染病的傳播規律和發展趨勢，為預防和控制傳染病傳播提供理論基礎和數據支撐。
3.2人口模型。18世紀末，英國人口統計學家馬爾薩斯（Malthus）在調查英國100多年的人口統計資料時，假設人口增長率r是常數，建立了著名的人口增長模型：P'(t)=rP(t),P(t0)=P0。其中P(t)表示時刻t的人口數量，P0是初始時刻t0的人口數量。解得P(t)=P0er(t-t0)。當r>0時，可知人口數量按指數規律無限增長。但從長期看來，這與實際情況不吻合。由于自然資源和環境條件的限制，人口增長會減緩。19世紀，荷蘭生物學家Verhulst引入常數Pm表示自然資源和環境條件所能容納的最大人口數，假設凈相對增長率為r[1-P(t)/Pm]，即凈相對增長率隨P(t)的增加而減小，直至P(t)趨于Pm時凈增長率趨于零，從而提出了著名的人口阻滯增長模型（也稱Logistic模型）：P'(t)=rP(t)[1-(P(t)/Pm)],P(t0)=P0，其解為P(t)=(P0Pm)/[P0+(Pm-P0)e-r(t-t0)]，該解函數的圖像呈S型曲線，可見人口增長的速度是先快后慢，隨著時間趨于無窮時，P(t)趨于Pm此模型所描述的人口變化趨勢與實際人口比較吻合。Logistic模型在解決其他實際問題時也有著廣泛應用，比如傳染病傳播的控制、新產品的銷售和技術革新的推廣等。通過對經典數學模型的分析，引導學生認識與理解數學模型的構建，讓學生探究嚴謹的數學問題，同時讓他們學會利用常微分方程數學建模思想解決日常生活中遇到的實際問題。這樣既提高了學生的數學理論水平，又提高了學生的應用實踐能力。
4結語
南昌大學將數學史、數學家故事、數學思想方法和數學模型等數學文化元素融入“常微分方程”課程教學，較好地提升了學生的數學素養。在今后的教學中,應繼續探索將數學文化融入其他數學專業課程教學，促使學生的綜合素養得到全面提高。
作者:朱能 尹建東 單位:南昌大學數學系
