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等腰三角形的性質范文1
閱讀與思考
等腰三角形是一類特殊三角形，具有特殊的性質，這些性質為角度的計算、線段相等、直線位置關系的證明等問題提供了新的理論依據．因此，在解與等腰三角形相關的問題時，除了要運用全等三角形知識方法外，又不能囿于全等三角形，應善于利用等腰三角形的性質探求新的解題途徑，應熟悉以下基本圖形、基本結論．
⑴
圖1中，，，．
⑵
圖2中，只要下述四個條件：
①；②；③；④中任意兩個成立，就可以推出其余兩個成立．
B
C
A
D
圖1
A
D
B
C
1
2
圖2
例題與求解
【例1】如圖，在ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，
則∠A=___________．
（五城市聯賽試題）
解題思路：圖中有很多相關的角，用∠A的代數式表示這些角，建立關于∠A的等式．
A
B
C
D
E
【例2】如圖，在ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D為AC中點，AEBD于E，延長AE交BC于F，求證：∠ADB=∠CDF．
（安徽省競賽試題）
解題思路：∠ADB與∠CDF對應的三角形不全等，因此，需構造全等三角形，而在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是一條常用的輔助線．
A
B
C
D
E
F
【例3】如圖，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E，又AE=BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．
（北京市競賽試題）
解題思路：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故應作輔助線補全圖形，構造全等三角形、等腰三角形．
A
E
B
C
D
【例4】如圖，在ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M為ABC內一點，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度數．
（北京市競賽試題）
B
C
M
A
B
C
M
A
圖3
N
解題思路：作等腰ABC的對稱軸(如圖1)，通過計算，證明全等三角形，又440+160=600；可以AB為一邊，向點C所在的一側作等邊ABN，連結CN，MN(如圖2)；或以AC為一邊，向點B所在的一側作等邊ACN，連結BN(如圖3)．
B
C
M
A
圖1
D
O
B
C
M
A
圖2
N
【例5】如圖，ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D為頂點作一個600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結MN，形成一個三角形．求證：AMN的周長等于2．
（天津市競賽試題）
解題思路：欲證AMN的周長等于2，只需證明MN=BM+CN，考慮用補短法證明．
B
A
C
D
N
M
【例6】如圖，ABC中，∠ABC=460，D是BC邊上一點，DC=AB，∠DAB=210，試確定∠CAD的度數．
（北京市競賽試題）
解題思路：解本題的關鍵是利用DC=AB這一條件．
B
D
C
A
能力訓練
A級
1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為450，那么這個等腰三角形的底角為_____________．
2．如圖，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，則∠FEM=_____________．
3．如圖，在等邊ABC的AC，BC邊上各取一點P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點O，則
∠BOQ=____________.
4．如圖，在ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延長線取點D，使AD=AB，則D，B兩點之間的距離是____________．
(第2題)
B
A
C
D
E
F
M
N
A
B
C
Q
P
O
(第3題)
A
B
C
D
(第4題)
5．如圖，在ABC中，AB=AC，D為BC上一點，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（
）
A．900-∠A
B．900-∠A
C．1800-∠A
D．450-∠A
6．如圖，在ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，則∠ECF=（
）
A．600
B．450
C．300
D．不確定
（安徽省競賽試題）
A
C
B
E
F
第5題圖
第6題圖
7．ABC的一個內角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（
）
A．1400
B．800或1000
C．1000或1400
D．800或1400
(“希望杯”邀請賽試題)
8．三角形三邊長，，滿足，則三角形一定是（
）
A．等邊三角形
B．以為底邊的等腰三角形
C．以為底邊的等腰三角形
D．等腰三角形
（北京市競賽試題）
9．如圖，在ABC中，AB=AC，D，E分別是腰AB，AC延長線上的點，且BD=CE，連結DE交BC于G，求證：DG=EG．
（湖北省競賽試題）
A
B
C
D
G
E
10．如圖，在ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CEBE，求證：CE=BD．
（江蘇省競賽試題）
A
B
C
D
E
11．已知RtABC中，AC=BC，∠C=900，D為AB邊中點，∠EDF=900，將∠EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC，BC(或它們的延長線)于E、F，當∠EDF繞D點旋轉到DEAC于E時(如圖1)，易證：SDEF+SCEF=SABC，當∠EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．
（牡丹江市中考試題）
A
B
C
A
B
C
A
B
C
E
D
F
E
D
F
D
F
圖1
圖2
圖3
12．如圖，在ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O為ABC內一點，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度數．
（天津市競賽試題）
B級
1．如圖，在ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，則∠MNP=_________．
A
B
C
N
M
P
(第1題)
A
B
C
P
E
F
(第2題)
A
B
C
N
M
(第3題)
2．如圖，在ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，給出以下4個結論：①AE=CF；②EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=SABC；④EF=AP．當∠EPF在ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A，B重合)．上述結論正確的是____________．
（蘇州市中考試題）
3．如圖，在ABC中，AB=BC，M，N為BC邊上兩點，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，則∠MAC的度數是____________．
4．如圖，在ABC中，AB=AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（
）
A．800
B．500
C．400
D．200
A
(第4題)
B
C
D
(第5題)
A
B
C
D
A
B
D
E
C
M
(第6題)
5．如圖，在ABC中，∠BAC=1200，ADBC于D，且AB+BD=DC，則∠C的大小是（
）
A．200
B．250
C．300
D．450
6．如圖，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延長線于M，連CD，下列四個結論：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正確結論的個數為（
）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個
7．如圖，已知ABC為等邊三角形，延長BC至D，延長BA至E，并且使AE=BD，連結CE、DE，求證：CE=DE．
A
B
C
D
E
8．如圖，ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又ABC′、A′BC、AB′C都是ABC外的等邊三角形，而點D在AC上，且BC=DC．
⑴
證明：C′BD≌B′DC；
⑵
證明：AC′D≌DB′A；
⑶
對ABC、ABC′、A′BC、AB′C，從面積大小關系上，你能得出什么結論？
（江蘇省競賽試題）
A
B
C
D
A′
B′
C′
9．在ABC中，已知AB=AC，且過ABC某一頂點的直線可將ABC分成兩個等腰三角形，試求ABC各內角的度數．
（江蘇省揚州中學測試題）
10．如圖，在ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求證：CD=BD．
A
B
C
D
等腰三角形的性質范文2
教學目標
（一）教學知識點
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性質．
3．等腰三角形的概念及性質的應用．
1．經歷作（畫）出等腰三角形的過程，從軸對稱的角度去體會等腰三角形的特點．
2．探索并掌握等腰三角形的性質．
（三）情感與價值觀要求
通過學生的操作和思考，使學生掌握等腰三角形的相關概念，并在探究等腰三角形性質的過程中培養學生認真思考的習慣．
教學重點
1．等腰三角形的概念及性質．
2．等腰三角形性質的應用．
教學難點
等腰三角形三線合一的性質的理解及其應用．
教學方法
探究歸納法．
教具準備
師：多媒體課件、投影儀；
生：硬紙、剪刀．
教學過程
Ⅰ．提出問題，創設情境
[師]在前面的學習中，我們認識了軸對稱圖形，探究了軸對稱的性質，并且能夠作出一個簡面圖形關于某一直線的軸對稱圖形，還能夠通過軸對稱變換來設計一些美麗的圖案．這節課我們就是從軸對稱的角度來認識一些我們熟悉的幾何圖形．來研究：①三角形是軸對稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對稱圖形？
[生]有的三角形是軸對稱圖形，有的三角形不是．
[師]那什么樣的三角形是軸對稱圖形？
[生]滿足軸對稱的條件的三角形就是軸對稱圖形，也就是將三角形沿某一條直線對折后兩部分能夠完全重合的就是軸對稱圖形．
[師]很好，我們這節課就來認識一種成軸對稱圖形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．導入新課
[師]同學們通過自己的思考來做一個等腰三角形．
作一條直線L，在L上取點A，在L外取點B，作出點B關于直線L的對稱點C，連結AB、BC、CA，則可得到一個等腰三角形．
[生乙]在甲同學的做法中，A點可以取直線L上的任意一點．
[師]對，按這種方法我們可以得到一系列的等腰三角形．現在同學們拿出自己準備的硬紙和剪刀，按自己設計的方法，也可以用課本P138探究中的方法，剪出一個等腰三角形．
……
[師]按照我們的做法，可以得到等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角．同學們在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角．
[師]有了上述概念，同學們來想一想．
（演示課件）
1．等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸．
2．等腰三角形的兩底角有什么關系？
3．頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？
4．底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？
[生甲]等腰三角形是軸對稱圖形．它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．因為等腰三角形的兩腰相等，所以把這兩條腰重合對折三角形便知：等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．
[師]同學們把自己做的等腰三角形進行折疊，找出它的對稱軸，并看它的兩個底角有什么關系．
[生乙]我把自己做的等腰三角形折疊后，發現等腰三角形的兩個底角相等．
[生丙]我把等腰三角形折疊，使兩腰重合，這樣頂角平分線兩旁的部分就可以重合，所以可以驗證等腰三角形的對稱軸是頂角的平分線所在的直線．
[生丁]我把等腰三角形沿底邊上的中線對折，可以看到它兩旁的部分互相重合，說明底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸．
[生戊]老師，我發現底邊上的高所在的直線也是等腰三角形的對稱軸．
[師]你們說的是同一條直線嗎？大家來動手折疊、觀察．
[生齊聲]它們是同一條直線．
[師]很好．現在同學們來歸納等腰三角形的性質．
[生]我沿等腰三角形的頂角的平分線對折，發現它兩旁的部分互相重合，由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等，而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高．
[師]很好，大家看屏幕．
（演示課件）
等腰三角形的性質：
1．等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）．
2．等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、底邊上的高互相重合（通常稱作“三線合一”）．
[師]由上面折疊的過程獲得啟發，我們可以通過作出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等來證明這些性質．同學們現在就動手來寫出這些證明過程）．
（投影儀演示學生證明過程）
[生甲]如右圖，在ABC中，AB=AC，作底邊BC的中線AD，因為
所以BAD≌CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
[生乙]如右圖，在ABC中，AB=AC，作頂角∠BAC的角平分線AD，因為
所以BAD≌CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[師]很好，甲、乙兩同學給出了等腰三角形兩個性質的證明，過程也寫得很條理、很規范．下面我們來看大屏幕．
（演示課件）
[例1]如圖，在ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，
求：ABC各角的度數．
[師]同學們先思考一下，我們再來分析這個題．
[生]根據等邊對等角的性質，我們可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形內角和為180°，就可求出ABC的三個內角．
[師]這位同學分析得很好，對我們以前學過的定理也很熟悉．如果我們在解的過程中把∠A設為x的話，那么∠ABC、∠C都可以用x來表示，這樣過程就更簡捷．
（課件演示）
[例]因為AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等邊對等角）．
設∠A=x，則
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[師]下面我們通過練習來鞏固這節課所學的知識．
Ⅲ．隨堂練習
（一）課本P141練習1、2、3．
練習
1．如下圖，在下列等腰三角形中，分別求出它們的底角的度數．
答案：（1）72°（2）30°
2．如右圖，ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底邊BC上的高，標出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度數，圖中有哪些相等線段？
答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．
3．如右圖，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數．
答：∠B=77°，∠C=38.5°．
（二）閱讀課本P138～P140，然后小結．
Ⅳ．課時小結
這節課我們主要探討了等腰三角形的性質，并對性質作了簡單的應用．等腰三角形是軸對稱圖形，它的兩個底角相等（等邊對等角），等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上的高．
我們通過這節課的學習，首先就是要理解并掌握這些性質，并且能夠靈活應用它們．
Ⅴ．課后作業
（一）課本P147─1、3、4、8題．
（二）1．預習課本P141～P143．
2．預習提綱：等腰三角形的判定．
Ⅵ．活動與探究
如右圖，在ABC中，過C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE∥AB交AC于E．
求證：AE=CE．
過程：通過分析、討論，讓學生進一步了解全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質．
結果：
證明：延長CD交AB的延長線于P，如右圖，在ADP和ADC中
ADP≌ADC．
∠P=∠ACD．
又DE∥AP，
∠4=∠P．
∠4=∠ACD．
DE=EC．
同理可證：AE=DE．
AE=CE．
板書設計
§14．3．1．1等腰三角形（一）
一、設計方案作出一個等腰三角形
二、等腰三角形性質
1．等邊對等角
2．三線合一
三、例題分析
四、隨堂練習
五、課時小結
六、課后作業
備課資料
參考練習
一、選擇題
1．如果ABC是軸對稱圖形，則它的對稱軸一定是（）
A．某一條邊上的高;B．某一條邊上的中線
C．平分一角和這個角對邊的直線;D．某一個角的平分線
2．等腰三角形的一個外角是100°，它的頂角的度數是（）
A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°
答案：1．C2．C
二、已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm，并且它的周長為16cm．
求這個等腰三角形的邊長．
解：設三角形的底邊長為xcm，則其腰長為（x+2）cm，根據題意，得
2（x+2）+x=16．
等腰三角形的性質范文3
例1已知一個等腰三角形一腰上的中線將這個三角形的周長分為12和9兩部分，求這個三角形的腰長和底邊長.
分析：等腰三角形被一條中線分成的兩部分，一部分是由一腰和另一腰的一半組成的，另一部分是由底和一腰的一半組成的.哪部分為12，哪部分為9呢？從下面兩圖形（圖1）中可以看出，存在兩種可能，故應當把兩種情況都考慮進去.
所以三角形的腰長為8，底邊長為5；或腰長為6，底邊長為9.
例2已知一個等腰三角形的一條邊上的高等于這條邊的一半，求頂角的度數.
分析：這條邊可能是底邊，也可能是腰，所以需要分情況討論.
解：(1)若這條邊為底邊時，如圖2，ADBC，AD＝BD＝CD，則ABD和ACD為等腰直角三角形，所以∠BAC＝45O＋45O＝90O；
(2)這條邊為腰時，
所以∠DAC＝30O，所以∠BAC＝150O.
故可知這個等腰三角形的頂角可能是90O或30O或150O.
例3 已知點A和點B，以它們為兩個頂點作等腰直角三角形，則一共可作出（ ）.
A.3個 B.4個 C.6個 D.7個
分析：本題沒有指明AB是腰還是底邊，所以需分類討論.
解：（1）以AB為底邊，有C1、C2兩個點符合要求，如圖5；
解析：當10cm的邊為腰，6cm的邊為底時，其周長為10＋10＋6=26cm；當10cm的邊為底，6cm的邊為腰時，其周長為10＋6＋6=22cm.因此，該等腰三角形的周長是22cm或26cm.應選D.
請思考：若等腰三角形的兩邊長分別為9cm和4cm，求其周長時，還會有兩解嗎？為什么？（一解，22cm）
例5已知等腰三角形的周長為20cm，一邊長為8cm，則其它兩邊長分別是______.
解析：若長為8cm的邊是腰，則另一腰也是8cm，底邊為4cm；若長為8cm的邊是底邊，則每一條腰長＝（20－8）＝6cm.故答案為8cm，4cm；或6cm，6cm.
請思考：若等腰三角形周長為20cm，一邊長為4cm，求其它兩邊長時，還會有兩解嗎？為什么？（一解，8cm，8cm）
等腰三角形的性質范文4
一、相關知識回顧
1，等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
2，線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上任何一點到這條線段兩端點距離相等。
二、已知等腰三角形兩個頂點，探求第三點的位置所在已知線段AB，求作一點C，使AABC為等腰三角形。
由等腰三角形的定義可知：點C在以點A為圓心，AB為半徑的圓上或在以點B為圓心，BA為半徑的圓上(與直線AB的交點除外)。
由線段垂直平分線的性質可知：點C在線段AB的垂直平分線上(與AB的交點除外)。
由此可得：點C只能在以上述作法的兩個圓上或AB的垂直平分線上(與AB的交點除外)，如圖1虛線部分。
三、中考試題分析
例l (2005年山東省東營市)如圖2，在直角坐標系中，O為坐標原點，已知點A(1，1)，在X軸上確定點P，使AOP為等腰三角形，則符合條件的點P的個數共有(
)。
(A)4個
(B)3個
(C)2個
(D)1個
析解：已知點A與O是等腰三角形的兩個頂點，在X軸上尋找滿足條件的點P可按如下方法：
如圖3，(1)以A為圓心，AO為半徑畫圓，與X軸有異于點O的一點，記為Pl；以O為圓心，OA為半徑畫弧，與X軸有兩個交點，記為P2、P3；
(2)線段OA的垂直平分線與X軸有一個交點，記為P4。
綜上可得：符合條件的點P共有4個，故選A。
例2(2007年重慶市)已知，如圖4，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為A(10，0)、C(0，4)，點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當ODP是腰長為5的等腰三角形時，點P的坐標為_____________。
析解：易知，點D與O是等腰三角形的兩個頂點，在邊BC上尋找滿足條件的點P可按如下方法：
如圖5，(1)以O為圓心，OD(長為5)為半徑畫圓，與BC邊有一個交點，記為P1；以D為圓心，DO為半徑畫圓，與BC邊有兩個交點，記為P2、P3，由已知結合勾股定理等知識可算得：P1(3，4)、P2(2，4)、P3(8，4)。
(2)線段OD的垂直平分線與邊BC的交點P4，但此時等腰三角形的腰長不等于5，不合題意。
因此符合條件的點共有3個，其坐標分別是(3，4)、(2，4)、(8，4)。
例3 (2001年江蘇省徐州市)邊長為2的正方形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖6所示，在平面內找點P，使APAB、APBC、APCD、APDA同時為等腰三角形，這樣的點P有幾個?作出這些點(保留作圖痕跡，不寫作法)，并寫出它們的坐標(不必寫出解答過程)。
析解：(1)如圖7，以AD為等腰三角形的底，而X軸為AD的垂直平分線，所以所求的點P必在X軸上。
以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與X軸有兩個交點，記為P1，P2，由AD∥BC且AB=CD可推知，P1，P2兩點符
等腰三角形的性質范文5
三角形的全等和相似是研究圖形問題最基本的方法和策略. 它是研究四邊形、圓等復雜圖形以及函數等知識的重要工具.
三角形的知識在中考試題中占有相當重要的地位，希望同學們努力掌握好基礎知識以及最基本的解決問題的方法和策略，能靈活地解決相關問題.
等腰三角形中的分類討論
等腰三角形是初中數學的基礎內容之一，中考考點的核心就是它與分類討論結合考查. 舉例如下：
一、 關于角的討論
例1 （2013·欽州）等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數是（）.
A. 80° B. 80°或20°
C. 80°或50° D. 20°
【解析】分80°角是頂角與底角兩種情況討論：①80°角是頂角時，三角形的頂角為80°；②80°角是底角時，頂角為180°-80°×2=20°. 綜上所述，該等腰三角形頂角的度數為80°或20°. 故選B.
【變式】若將80°改為100°要注意100°角不能做底角.
例2 在ABC中，∠A=50°，當∠B=_____°時，ABC是等腰三角形.
【解析】①∠B是頂角時，∠A一定是底角，則有∠B=80°；②∠B角是底角時，∠A若是底角，則有∠B=50°，∠A若是頂角，得∠B=65°.
【點評】這一類問題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；題目中沒有明確頂角或底角，做題時要注意分情況進行討論，這是解決問題的關鍵.
二、 關于邊的討論
例3 （2013·淮安）若等腰三角形有兩條邊的長度為3和1，則此等腰三角形的周長為（）.
A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 6
【解析】因為已知長度為3和1兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論. ①當3為底時，其他兩邊都為1，1+1<3，∴不能構成三角形，故舍去；②當3為腰時，其他兩邊為3和1，3、3、1可以構成三角形，周長為7.
【變式1】（2013·涼山州）已知實數x，y滿足x-4+=0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是______.
【答案】20.
【變式2】已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.
（1） 判斷這個一元二次方程的根的情況；
（2） 若等腰三角形的一邊長為3，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長及面積.
【答案】（1） b2-4ac=（2k-3）2≥0，所以方程有實數根.
（2） 分兩種情況討論：①若腰為3，則x=3是方程的一個根，可求得三邊為3，3，2.那么這個等腰三角形的周長為8，面積為2. ②若底為3，則b2-4ac=（2k-3）2=0，可求得三邊為2，2，3. 那么這個等腰三角形的周長為7，面積為.
【點評】本例考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；在已知條件中沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形，這點非常重要，也是解題的關鍵.
例4 （2013·玉林）如圖1，在直角坐標系中，O是原點，已知A（4，3），P是坐標軸上的一點，若以O，A，P三點組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點P共有______個，寫出其中一個點P的坐標是______.
【解析】本例考查了等腰三角形的判定、坐標與圖形的性質. 如圖2，從x軸上考慮，以OA為腰長的等腰三角形有3個，P4（5，0），P2（8，0），P5（-5，0），以OA為底邊的等腰三角形有1個，P8
，0. y軸上情況與x軸相似，P3（0，5），P1（0，6），P6（0，-5），P70
，，故滿足條件的點P共有8個.
【變式1】如圖3，一種電子游戲，電子屏幕上有一正方形ABCD，點P沿直線AB左右移動，當出現：點P與正方形四個頂點中的任意兩個頂點構成等腰三角形時，就會發出警報，則直線AB上會發出警報的點P有______個.
【答案】設正方形邊長為a. 分類討論如下：①腰長為a的等腰三角形有4個；②腰長為a的等腰三角形有4個；③以CD為底邊的等腰三角形有1個. 共9個.
【變式2】如圖4，在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關于y軸對稱，=，點E，F分別是線段AD，AC上的動點（點E不與點A，D重合），且∠CEF=∠ACB.
（1） 求AC的長和點D的坐標；
（2） 說明AEF與DCE相似；
（3） 當EFC為等腰三角形時，求點E的坐標.
【答案】（1） AC=20，D（12，0）；
（2） 欲證AEF與DCE相似，只需要證明兩個對應角相等. ∠CDE=∠CAO，∠AEF
=∠DCE；
（3） 當EFC為等腰三角形時，有三種情況：①當CE=EF時，AEF與DCE的相似比為1，則有AE=CD=20，E（8，0）.
②當EF=FC時，此時過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE的中點，FME∽ABC得出=，那么AEF∽DCE的相似比為5∶6，E
，0.
③當CE=CF時，F點與A點重合，E點與D點重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在.
例5 如圖5，半圓O的半徑為4 cm，AB是☉O的直徑，BC切☉O于點B，且BC=4 cm，當點P在☉O上運動時，是否存在點P，使得PBC為等腰三角形？若存在，有幾個符合條件的點P，并分別求出點P到線段BC的距離；若不存在，請說明理由.
【解析】本例是等腰三角形與圓相結合的一個綜合題，解決問題的關鍵是分BC為腰、BC為底邊兩種情況來解決. 如圖6，①BP1=BC，②CP2=BC，③CP=BP，即作BC的垂直平分線交☉O于P3，P4.
例6 如圖7，拋物線y=-x2+4x+n經過點A（1，0），與y軸交于點B.
（1） 求拋物線解析式和頂點坐標；
（2） 若P是坐標軸上一點，且PAB是以AB為腰的等腰三角形，試求P點坐標.
【解析】本例是等腰三角形與二次函數結合的綜合題.
（1） 由該函數圖像經過A點（1，0），由0=-1+4+n得n=-3，解析式是y=-x2+4x-3
=-（x-2）2+1，頂點坐標為（2，1）.
（2） 由題意知，B點坐標是（0，-3），AB的長是，要注意的是問題中強調“以AB為腰”所以不必習慣性地分AB為腰，AB為底邊兩類討論，而是分P點在x軸或y軸上進行討論. ①當P點在x軸上時，P點坐標為（1+，0），（1-，0），（-1，0）；②當P點在y軸上時，P點坐標為（0，3） ，（0，-3+），（0，-3-）.
【變式】如圖8，已知二次函數的圖像經過點A（3，3）、B（4，0）和原點O. P為二次函數圖像上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點C.
（1） 求出二次函數的解析式；
（2） 當點P在直線OA的上方時，用含m的代數式表示線段PC的長，并求線段PC的最大值；
（3） 當m>0時，探索是否存在點P，使得PCO為等腰三角形，如果存在，請直接寫出所有P的坐標；如果不存在，請說明理由.
【答案】（1） 設y=ax2+bx，把A、B點坐標代入，求出解析式為y=-x2+4x；
（2） 根據點P（m，-m2+4m），點C（m，m）的坐標代入，得PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2
+3m=-m
-2+，PC的最大值為；
（3） 當0
當m≥3時，PC=m2-3m，OC=m，分三種情況：
①當OC=PC時，m2-3m=m，解得：m=3+或m=0（舍去），P（3+，1-2）；
②當OC=OP時，（m）2=m2+（-m2+4m）2，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，-5）；
等腰三角形的性質范文6
所謂“操作”，是指人用手活動的一種行為，也是一種技能，含義很廣泛.一般是指勞動、勞作，或者按照一定的規范和要領操縱動作，數學中的操作題一般是需要對數的設置或對圖形的變換、剪拼等，由于此類試題既可以有效地鞏固數學知識，又可以提高同學們的動手能力，所以中考中頻頻“上演”此類問題.
重點題型例析
一、對數的操作
例1（2014.婁底）按照下面所示的操作步驟，若輸入值為3，則輸出的值為________.
分析：由操作程序可知，32=9
解：由32=9
反思：解此類題時，應正確地選擇運算操作程序，避免：①錯選“否”的運算程序；②錯把10作為一個結果參與運算；③不按每一步的結果得數進行計算，如32+2x5=19.
二、對式的操作
例2 （2014.臺州）有一個計算程序，每次運算都是把一個數先乘以2，再除以它與1的和，多次重復進行這種運算的過程如下：
則第n次的運算結果=________.（用含字母x和n的代數式表示）
分析：要探究操作的第n次運算結果，可分別將第2、3、4次的分式計算、化簡，再將化簡后的分式列表分析、發現規律.
解：依題意，可列表如表1.
四、閱讀與操作
例4 （2014.山西）閱讀下列材料，按要求完成相應的任務.
幾何中，平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對于它們的性質都非常熟悉，生活中還有一種特殊的四邊形――箏形，所謂箏形，它的形狀與我們生活中風箏的骨架相似.
定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱之為箏形，如圖4，四邊形∠ABCD是箏形，其中AB=AD，CB=CD.
判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形.②有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形.
顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點和不同點.如果只研究一般的箏形（不包括菱形），請根據以上材料完成下列任務：
（1）清說出箏形和菱形的相同點和不同點各兩條.
（2）請仿照如圖5的畫法，在如圖6所示的8x8網格中重新設計一個由四個全等的箏形和四個全等的菱形組成的新圖案，具體要求如下：①頂點都在格點上；②所設計的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；③將新圖案中的四個箏形都涂上陰影（建議用一系列平行斜線表示陰影）.
分析：（1）利用菱形的性質以及結合圖形得出箏形的性質分別得出異同點即可.（2）利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義結合題意得出答案，顯然答案不唯一.
解：（1）相同點：①兩組鄰邊分別相等；②有一組對角相等；③有一條對角線垂直平分另一條對角線：④有一條對角線平分一組對角；⑤都是軸對稱圖形；⑥面積等于對角線乘積的一半.不同點：①菱形的對角線互相平分，箏形的對角線不互相平分；②菱形的四邊都相等，箏形只有兩組鄰邊分別相等；③菱形的兩組對邊分別平行，箏形的對邊不平行；④菱形的兩組對角分別相等，箏形只有一組對角相等；⑤菱形的鄰角互補，箏形的鄰角不互補；⑥菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，箏形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形.（2）答案不唯一，如圖7所示中的任意一種情形.
反思：求解此類問題時，一定要充分借助網格特點進行作圖，解題的關鍵是正確理解平移、軸對稱、旋轉以及中心對稱圖形、軸對稱圖形的意義.
五、裁剪操作
例5 （2014.寧波）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個矩形側面和2個正三角形底面組成，硬紙板以如圖8所示的兩種方法裁剪（裁剪后邊角不再利用）.
A方法：剪6個側面：B方法：剪4個側面和5個底面，
現有19張硬紙板，裁剪時x張用A方法，其余用B方法.
（1）用含x的代數式分別表示裁剪出的側面和底面個數.
（2）若裁剪出的側面和底面恰好全部用完，則能做多少個盒子？
分析：（1）根據一張硬紙板用A方法剪6個側面 ，B
六、對圖形的分割操作
例6 （2014.漳州）如圖9，ABC中，AB=AC，∠A=36。，稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形.請完成以下操作（畫圖不要求使用圓規，以下問題所指的等腰三角形個數均不包括ABC）：
（1）在圖9中畫1條線段，使圖中有2個等腰三角形，并直接寫出這2個等腰三角形的頂角度數分別是______度和______度.
（2）在圖10中畫2條線段，使圖中有4個等腰三角形.
（3）繼續按以上操作發現：在ABC中畫n條線段，則圖中有______個等腰三角形，其中有______個黃金等腰三角形.
分析：（1）利用等腰三角形的性質以及∠A的度數，進而得出這兩個等腰三角形的頂角度數.（2）利用（1）中思路進而得出符合題意的圖形.（3）利用畫1條線段可得到2個等腰三角形，畫兩條線段可得到4個等腰三角形，畫3條線段可得到6個等腰三角形，進而得出規律求出答案.
解：（1）如圖9所示AB=AC，∠A =36。，故當AE=BE時，∠A= ∠ABE=36。，則∠AEB=108。，則∠EBC=36。，故這兩個等腰三角形的頂角度數分別是108度和36度.
（2）畫法不唯一，如圖10所示，四個等腰三角形分別是：ABE，BCE，BEF，CEF
（3）如圖11.畫1條線段可得到兩個等腰三角形，畫兩條線段可得到4個等腰三角形，畫3條線段可得到6個等腰三角形，…，在ABC中畫n條線段，則圖中有2n個等腰三角形，其中有n個黃金等腰三角形.
反思：本題既是一道操作題，又是一道問題的探究題，求解時應注意作圖技巧，靈活運用等腰三角形的性質，其中探究出分割圖形的規律是解題關鍵.另外，在（2）中當畫出線段BE時，余下的也可以過C作∠C的平分線交BE于點F
七、折疊操作
例7 （2014 臨沂）對一張矩形紙片ABCD進行折疊，具體操作如下：
第一步：先對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，展開，
第二步：再一次折疊，使點A落在MN上的點A’處，并使折痕經過點B，得到折痕BE，同時，得到線段BA’，EA’，展開，如圖12.
第三步：再沿EA’所在的直線折疊，點B落在AD上的點B'處，得到折痕EF，同時得到線段B’F，展開，如圖13.
（1）證明：∠A BE=300.
（2）證明：四邊形BFB’E為菱形.
分析：（1）根據點M是AB的中點判斷出A’是EF的中點，然后判斷出BA'垂直平分EF，根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BE=BF，再根據等腰三角形“三線合一”的性質可得∠A’BE=∠A 'BF，根據翻折的性質可得∠ABE= ∠A 'BE，然后根據矩形的四個角都是直角計算即可得證.（2）根據翻折變換的性質可得BE=B'E，BF=B'F，然后得出BE=B'E=B'F=BF，再根據四條邊都相等的四邊形是菱形證明.
解：（1）由對折AD與BC重合，折痕是MN，故點M是AB的中點，故A’是EF的中點，因∠BA’E= ∠A =90。，故BA’垂直平分EF，故BE=BF，故∠A' BE= ∠A 'BF，由翻折的性質，∠ABE=∠A'BE，故∠ABE= ∠A 'BE=∠A，BF，故∠ABE（）×90。=30。.
（2）沿EA’所在的直線折疊，點B落在AD上的點B’處，故BE=B'E，BF=B'F因BE=BF，故BE=B'E=B'F=BF，故四邊形BFB'E為菱形.
反思：本題通過操作，意在考查矩形、菱形、線段垂直平分線等知識.解答折疊問題的一般思路：分清折疊前后的對應邊、對應角、對稱軸，利用對稱軸是對應點所連線段的垂直平分線尋找相等的線段或角，進行相關的計算或證明.
中考命題預測
1.在ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點，過點D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有____條.
2.如圖14，將網格中的三條線段沿網格線平移后組成一個首尾相接的三角形，至少需要移動____格.
3.如圖15，將一副七巧板拼成一只小動物，則∠AOB=____.
4.如圖16，小亮拿一張矩形紙如圖16 （1），沿虛線對折一次得圖16 （2），將對角兩頂點重合折疊得圖16（3）.按圖16（4）沿折痕中點與重合頂點的連線剪開，得到三個圖形，這三個圖形分別是（）.
A.都是等腰梯形
B.都是等邊三角形
C.兩個直角三角形，一個等腰三角形
D.兩個直角三角形，一個等腰梯形
5.在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：
第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖17）：
第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖l8）.
請解答以下問題：
（1）如圖18，若延長MN交BC于P，BMP是什么三角形？請證明你的結論.
（2）在圖18中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出{符合（1）中結論的三角形紙片BMP？
6.現有一張長和寬之比為2：1的長方形紙片，將它折兩次（第一次折后也可以打開鋪平再折第二次）.使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個部分（稱為一個操作），如圖19（虛線表示折痕）.
除圖19外，請你再給出三個不同的操作，分別將折痕畫在圖20（1）至圖20（3）中（規定：一個操作得到的四個圖形，和另一個操作得到的四個圖形，如果能夠“配對”得到四組全等的圖形，那么就認為是相同的操作.如圖19（2）和圖19（1）是相同的操作）.（上接第26頁）點同時從點P 出發，點A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運動.設運動時問為t（s）.
（1）求PQ的長.
（2）當t為何值時，直線AB與00相切？
3.如圖8，在平行四邊形ABCD中.AD=4 cm，∠A=60。，BD AD.一動點P從A出發，以每秒l cm的速度沿ABC的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PMAD.