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數學建模穩定性分析范文1
（1.溫州大學電氣數字化設計技術浙江省工程實驗室，浙江溫州325035；2.浙江埃菲生能源科技有限公司，浙江溫州325032）
摘要：在LCL型光伏并網逆變器中，電流控制器的比例控制系數設計不合理易造成系統不穩定，甚至損壞逆變器。對采用逆變側電感電流反饋的LCL型三相光伏并網逆變器進行數學建模，運用Routh?Hurwitz穩定性判據基于系統離散化模型進行穩定性分析，可求得比例控制系數的精確范圍。分析逆變側電感、濾波電容以及網側電感的取值與比例控制系數的關系，探討濾波電感和電容的取值對系統穩定性的影響。通過Matlab仿真及在50 kW光伏逆變器實驗平臺上進行測試，驗證了所進行的穩定性分析的正確性。
關鍵詞 ：逆變器；電流控制器；穩定性判據；比例控制
中圖分類號：TN710?34；TM464 文獻標識碼：A 文章編號：1004?373X（2015）16?0141?04
收稿日期：2015?03?24
基金項目：國家自然科學基金資助項目（51207112）
0 引言
人類社會的快速發展使能源消耗量劇增，石油等不可再生能源的日益枯竭引起全球各界的擔憂。石油、煤等化石能源燃燒排放出大量的二氧化碳、二氧化硫等氣體引起溫室效應、酸雨等環境問題，對人類的生存和發展構成嚴重的威脅。發展新能源已經成為全球能源變革的大趨勢。太陽能是人類可利用的最豐富的清潔能源而得到世界各個國家的重視，我國先后實施“金太陽示范工程”和頒布一系列政策支持分布式光伏發電，大力推動了光伏產業的發展。
逆變器作為光伏并網系統的核心，其控制技術是整個并網系統的重點。電流諧波含量是逆變器并網技術規范中的一項重要指標，在并網逆變器中一般采用適當的輸出濾波器抑制并網電流諧波含量。L 濾波器的體積大且濾波效果不理想，LCL 濾波器減小了體積且對高頻電流諧波分量有更強的抑制能力而得到廣泛的應用[1?4]。由于LCL 濾波器是三階系統，二階諧振零極點多，若控制器設計不當容易造成系統的不穩定[5?8]。
在工程應用領域，并網逆變器常用的控制方法有比例積分控制（PI）、比例諧振控制（PR）等[9?10]。比例控制對逆變器控制系統的穩定起主導作用，積分控制和諧振控制是為消除靜差而引入。為此，本文運用一種適合工程應用的離散化方法，對采用逆變側電流反饋的LCL型三相并網逆變器的數學模型進行離散化分析，根據Routh?Hurwitz穩定性判據可以得到比例控制系數的精確范圍。在此基礎上，探討電感和電容的取值變化與比例控制系數的關系，由此探討電感和電容對系統穩定性的影響。
1 系統建模及離散化
1.1 光伏逆變器模型
圖1為三相LCL型并網逆變系統原理圖。直流電壓Udc由太陽能電池板產生，經全橋逆變電路后將直流電轉換成交流電，通過控制逆變側電感電流的頻率和相位來跟蹤電網電壓的頻率和相位，使輸出電流保持為與電網電壓同頻同相的正弦信號，從而達到并網運行的目的。圖中L1為逆變側電感，C 為濾波電容，L2為網側電感。
1.2 系統建模及離散化
三相逆變器的調制電壓uM 設計為電網電壓前饋ug加上電流給定i* 與電流反饋i 的誤差乘以比例控制系數kp 的組合，即：
其中，電網電壓前饋ug 抵消電網電壓的變化，因此比例控制的控制方程式為：
為便于分析，假設三相電網平衡，電感、電容及開關管均為理想器件，則三相逆變器的每一相的工作狀態一樣。建立單相LCL濾波器的模型，可分析三相LCL濾波器。單相控制系統數學模型如圖2所示。
這里取逆變側電感電流i1 ，電容電流iC ，及電容兩端的電壓uC 為狀態變量，得到下列方程：
由于實際工程控制中一般是離散數字控制系統，因此需將上式離散化，即已知當前狀態取值的條件下，求解出下一時刻狀態的取值。這里利用Laplace 變換求解，狀態方程的離散化形式為：
采用比例控制，反饋電流從L1處采樣，由式（2）可知：
可知加入比例控制后的離散狀態方程為：
其中轉移矩陣為：
2 系統穩定性分析
2.1 系統的特征方程及穩定性分析
控制系統的特征方程：
于是可得系統的特征方程為：
系統穩定的條件是特征根的模|λ| < 1。為利用勞斯判據，將特征方程作雙線性變換，即令：λ = x + 1x - 1 。整理后的特征方程為：
于是，|λ| < 1 等價于x 的實部小于零。根據Routh?Hurwitz 穩定性判據條件，求得比例控制系數的范圍為：
2.2 仿真驗證
仿真參數：逆變側電感L1=160 μH，濾波電容C=450 μF，網側電感L2=40 μH，采樣周期T=100 μs。根據上述理論推導可知，求得比例控制系數的范圍為：0<kP<3.16。圖3~圖5 分別為kP 取不同值時的逆變器輸出電流波形，比較圖3~圖5 可知：當0<kP<3.16 時，逆變器的電流輸出波形穩定，不存在諧振現象；當kP=3.16 時，系統處于臨界狀態，一開始系統諧振，波形短期內恢復至穩定狀態；當kP>3.16取值kP=3.2時，逆變器系統諧振，電流波形發散，不能穩定控制。由此可知，該離散化方法能夠精確計算出比例控制系統的穩定控制范圍。
2.3 實驗驗證
為進一步驗證所進行的穩定性分析的正確性和有效性，在50 kW 光伏逆變器平臺上進行實驗，根據該平臺的參數計算出相應的比例控制系數。圖6 所示為kP取不同值時，逆變器的A相電流輸出波形。由圖可知，當kP=3.1時，系統穩定；當kP=2.05時，系統接近諧振，輸出波形較差；當kP=2.1時，系統諧振。
3 比例控制系數kP的影響因素
3.1 電容C 的取值對kP的影響
電感L1 的取值范圍為（2.4e-6）~（1e-3）H 時，函數f (L1)的曲線如圖8所示。
分析可知，電感L1與kP幾乎為正比例關系，kP隨著L1的增大而增大。
3.3 電感L2的取值對kP的影響
本仿真的參數為：C=（450e-6）F，L1=（160e-6）H，T=（100e-6）s。
分析可知，電感L2對kP幾乎無影響。
綜上所述，當采用逆變側電感電流反饋時，逆變側電感L1的取值對比例控制系統的影響最大，也就是對逆變系統的穩定性影響最大。
4 結語
詳細介紹一種離散化的比例控制系數整定方法，可精確地計算使系統穩定的比例控制系數范圍。總結電感和電容的取值對比例控制參數的影響，能夠有效地指導逆變器電流控制器的設計。降低并網逆變器的調試難度和風險，具有較高工程應用價值。
參考文獻
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數學建模穩定性分析范文2
【關鍵詞】房價趨勢;沖突分析;穩定性分析;判斷矩陣
從2006年開始房價以較大的幅度上漲，在2013年，北京廣州等7個城市房價全年漲幅在20%-30%，上海、南京等17個城市漲幅在10-20%，漲幅在5-10%和0-5%的城市分別有39個、29個，百城平均漲幅為11.51%，僅溫州?？诘?個城市下跌[1]。房價持續上漲使房地產行業的利潤增高，社會資本流入房地產業，導致其它行業的資源減少，發展緩慢，并會拉大收入差距，不利于擴大內需[2]。
2014年1-3月份，樓市出現了變動跡象，全國商品住宅銷售面積同比下降5.7%，相比去年增幅下滑23.2%;住宅銷售額同比下降7.7%，與去年相比下滑34.3%。在成交量和成交價雙降的情況下，部分開發商選擇降價促銷以加快資金回籠。部分樓盤大幅降價，使已購買住房的業主感到很不滿。房地產業與地區和國家經濟聯系緊密[3]，若房價暴跌將會影響經濟的發展和社會的安定[4]。
房價的波動牽動著中國的神經，房價大漲或暴跌都是我們不愿看到的。政府已經出臺了調控政策，但不同城市房價漲跌各異。由于影響房價的因素較多[5]，這些調控政策的作用難以明確顯示。假如沒有這些調控政策，任由房產市場自由運作，房價會如何？本文用沖突分析法，構建了由政府房產開發商住房剛性需求者和炒房者作為局中人的沖突模型，研究自由市場環境下房價的穩定性趨勢。
1.沖突分析
沖突分析法是國外在經典對策論和偏對策理論基礎上發展起來的一種對沖突行為進行分析的決策分析方法。它能通過對難以定量描述的現實問題的邏輯分析，進行沖突事態的結果預測和過程分析，幫助決策者做出科學的決策[6]。
沖突模型構建的主要要素有：
（1）局中人：是指參與沖突的集團或個人，他們擁有部分或完全的獨立決策權。
（2）選擇或行動：是各局中人在沖突事態中可能采取的行動。
（3）結局：是由各局中人的策略組合形成的局勢。
（4）偏好序列：是各局中人按照自己的目標，對可行結局排出的優劣次序。
得出局中人的偏好序列后，需對各結局進行穩定性分析。
分析過程有三個先決條件：①每個局中人都不斷朝著對自己有利的方向改變策略;②局中人在決定自己的決策時會考慮其他局中人可能的反應及對本人的影響;③平穩結局必須能被所有局中人共同接受。
穩定性分析時須確定每個可行結局對局中人而言的狀態，以局中人A、B為例：
（1）合理穩定結局。若對結局q不存在單方面改進，則q是合理穩定結局，記作R。
（2）連續處罰性穩定結局。若對結局q存在單方面改進結局q'，且q'對于局中人B也存在單方面改進結局q''，但結局q''對于局中人A不比q更優，則稱結局q的單方面改進結局q'存一個連續性處罰。若結局q的所有單方面改進都存在連續性懲罰，則稱q為連續處罰性穩定結局，記作S。
（3）非穩定結局。考慮結局q，如果存在單方面改進局勢，但又不是s，則稱q為非穩定結局，記作U。無單方面改進局勢，記作X。
（4）同時處罰性穩定結局。若對于局中人A、B，結局q是非穩定的，那么在AB同時朝著q進行單方面改進產生的結局{pk}中，存在一個對于局中人A而言，不比q更優的p0，則稱對于局中人A，結局q的單方面改進結局存在一個同時性處罰。若對于局中人A，結局q的全部單方面改進結局，都存在同時性處罰，則稱q為同時處罰性穩定結局，記作U。
2.模型構建
房價沖突問題的局中人為政府、房產開發商、住房剛性需求者和炒房者。在沖突中，政府希望在控制商品住房土地供應量和房價穩定于較低水平的情況下，住房剛性需求者能買到房;房產開發商希望低價從政府手里拿到土地，然后將房屋高價賣出;住房剛性需求者希望能低價買到住房，并且在較長時期內保值;炒房者則希望房價走高，買到更多的房子，然后高價賣給或出租給住房剛性需求者?？梢钥吹?，房價沖突中局中人的目標分歧嚴重，沖突激烈且難以調和。
在沖突中，局中人都會選擇對自己目標更有利的決策。為了便于建模，本文認為局中人的決策為：政府增加或減少商品住房用地供應量;房產開發商抬高或降低房價;住房剛性需者租房或買房;炒房者賣房或買房。
局中人決策的組合共可形成28=256種結局，由于每個局中人的決策相互矛盾，而且必須做決策，所以會有大量不可行結局被排除。建模時用“1”表示采用某決策，“0”表示不采取該決策，將每一列的二進制向量轉換成相應的十進制值作為該結局的代碼，可行結局如表1所示。
3.結局偏好排序
3.1 計算結局權重
為了進行穩定性分析，需要確定各局中人對上述16種可行結局的偏好。本文應用層次分析法中的判斷矩陣來確定權重，以進行偏好排序。由于心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個[7]，所以本文不直接用判斷矩陣計算各結局對局中人的權重，而是先確定各決策對局中人的權重。由于結局是決策的組合，將各決策對局中人的權重累加求和，從而計算出各結局對局中人的權重，做出結局排序即可得到偏好序列。
設與總目標z相關的n個因素為x1，x2，…，xn，對于i，j=1，2，…，n，以aij表示xi與xj關于z的影響的比值，并用9個標度來表示，從而得到這n個因素關于z的兩兩比較判斷矩陣A。標度及含義如表2所示。
表2中第二行描述的是從定性的角度，xi與xj相比較重要程度的取值，第三行描述了介于每兩種情況之間的取值，1～9的倒數分別表示相反的情況。
權重的確定直接影響到分析結果，為保證得到的權重的合理性，需對判斷矩陣進行一致性檢驗[8]。一致性檢驗，步驟為：
（1）計算判斷矩陣的最大特征值：，，的最大特征值所對應的特征向量歸一化后即為排序權重向量。
（2）計算一致性指標C.I.，。
（3）查表求相應的平均隨機一致性指標R.I.。
（4）計算一致性比率C.R.，。
當，認為判斷矩陣具有滿意一致性。查表得，矩陣階數為8的。應用上述構造判斷矩陣的方法可得政府的判斷矩陣，再依據一致性檢驗步驟進行檢驗，結果如表3所示。
，判斷矩陣具有滿意一致性。將各可行結局對應的二進制向量與w向量相乘，得出各可行結局對政府的權重。按照同樣的方法構造判斷矩陣并檢驗，可計算出各可行結局對其他局中人的權重。
3.2 結局偏好序列
對各結局的權重按大小做排序可得政府、房產開發商、住房剛性需求者和炒房者的結局偏好序列，結果如表4所示。
4.穩定性分析
4.1 穩定性分析過程
依據穩定性分析的先決條件和各穩定結局的定義，對結局偏好序列進行穩定性分析。通過邏輯推斷得知結局85對政府而言是同時處罰穩定性結局，可行結局對于各局中人的穩定狀態如表5所示。
4.2 穩定性分析結果
由表5知，只有結局166對于每個局中人都屬于穩定結局，任何局中人都無法通過單方面改進決策獲得更好的局勢，則全局平穩結局為166。結局166對應局中人的決策為：政府減少商品住房用地供應量、房產開發商抬高房價、住房剛性需求者買房、炒房者買房。
5.結論
（1）本文運用沖突分析法研究在自由市場環境下房價的變動趨勢。沖突分析的結果為政府減少商品住房用地供應量、房產開發商抬高房價、住房剛性需求者買房、炒房者買房，比較符合近年的事實。房價變動趨勢為上漲，表明如果政府不干預，房價會持續走高。
（2）住房剛性需求者的單方面改進局勢較少，表明在這場博弈中住房剛性需求者處于劣勢。他們是房價的最終承擔者，在讓市場自由運作不易控制房價上漲的情況下，就需要政府運用科學的調控手段加大調控力度。事實上政府已經出臺了很多政策，例如：增加住房建設用地和保障性住房的有效供應;實行嚴格的差別化住房信貸政策;加強對房產開發企業購地和融資的監管等。開發商住房剛性需求者和炒房者不僅要嚴格執行既定政策，還須自覺規范行為積極配合政府以促進樓市健康發展。
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基金項目：陜西省科學技術研究發展計劃項目（2013KRZ21）;中國紡織工業聯合會科技項目（2013059）
數學建模穩定性分析范文3
關鍵詞：MATLAB；自動控制系統；系統響應；系統設計
0 引言
高職院校的學生重在強化職業技能的培養，而《自動控制原理》這門課程中除了講解控制系統的工作原理外，控制系統的模型是一個非常重要的環節，對控制系統性能進行定量的計算和分析，離不開控制系統的數學模型，涉及到對微分方程數學模型的求解，用到Laplace變換及反變換，對系統響應超調量、上升時間、調節時間、峰值的求取，都要用到繁瑣的數學計算，對系統時域或者頻域穩定性的分析，繪制Naquist曲線和Bode圖以及系統的校正與設計，如果全靠手工計算數據，手工繪圖的話，費時費力，有時還得不到準確的數據和圖像。
MATLAB是Mathworks公司開發的一種集數值計算、符號計算和圖形可視化三大基本功能于一體的功能強大、操作簡單的優秀工程計算應用軟件。MATLAB不僅可以處理代數問題和數值分析問題，而且還具有強大的圖形處理及仿真模擬等功能。
1 MATLAB在控制系統建模中的應用
MATLAB是國際控制界目前使用最廣的工具軟件，幾乎所有的控制理論與應用分支中都有MATLAB工具箱。這里結合自動控制理論的基本內容，采用控制系統工具箱（Control Systems Toolbox）和仿真環境（Simulink），體會MATLAB的應用。
1.1 用MATLAB建立傳遞函數模型
1.1.1 反饋系統結構圖模型
圖1 反饋系統結構圖
設反饋系統結構圖如圖1所示?？刂葡到y工具箱中提供了feedback（）函數，用來求取反饋連接下總的系統模型，該函數調用格式為：G=feedback（G1，G2，sign）。
1.1.2 Simulink建模方法
在一些實際應用中，如果系統的結構過于復雜，不適合用前面介紹的方法建模。在這種情況下，功能完善的Simulink程序可以用來建立新的數學模型。
典型二階系統的結構圖如圖2所示。用SIMULINK對系統進行仿真分析。
圖2 典型的二階系統結構圖
將畫出的所有模塊按圖2用鼠標連接起來，構成一個原系統的框圖描述如圖3所示。
圖3 二階系統的simulink實現
利用MATLAB命令plot（tout，yout），可將結果繪制出來，如圖4所示。比較圖4和圖5，可以發現這兩種輸出結果是完全一致的。
圖4 仿真結果示波器 圖5 MATLAB命令得出
顯示圖 的系統響應曲線
2 利用MATLAB進行時域分析
2.1 線性系統穩定性分析
系統的零極點模型可以直接被用來判斷系統的穩定性。另外，MATLAB語言中提供了有關多項式的操作函數，也可以用于系統的分析和計算。
2.1.1 直接求特征多項式的根
設p為特征多項式的系數向量，則MATLAB函數roots（）可以直接求出方程p=0在復數范圍內的解v，該函數的調用格式為：v=roots（p）
利用多項式求根函數roots（），可以很方便的求出系統的零點和極點，然后根據零極點分析系統穩定性和其它性能。
2.1.2 系統動態特性分析
已知傳遞函數為：
利用以下MATLAB命令可得階躍響應曲線如圖6所示。
圖6 MATLAB繪制的響應曲線
>>num=[0，0，25]；den=[1，4，25]；step（num，den） grid
title（1Unit-Step Response of G（s）=25/（s^2+4s+25
）1）
2.1.3 求階躍響應的性能指標
已知二階系統傳遞函數為：
利用下面的stepanalysis.m程序可得到階躍響應如圖 7及性能指標數據。
>> G=zpk（[ ]，[-1+3*i，-1-3*i ]，3）；
% 計算最大峰值時間和它對應的超調量。
C=dcgain（G） [y，t]=step（G）；plot（t，y） grid；[Y，k]=max（y）；timetopeak=t（k）
percentovershoot=100*（Y-C）/C% 計算上升時間。
n=1；
while y（n）
n=n+1；
end
risetime=t（n） % 計算穩態響應時間。
i=length（t）；
while（y（i）>0.98*C）&（y（i）
i=i-1；
end
setllingtime=t（i）
運行后的響應圖如圖6，命令窗口中顯示的結果為
C=0.3000 timetopeak=1.0491
percentovershoot=35.0914 risetime=0.6626
setllingtime=3.5337
圖7 二階系統階躍響應
2.1.4 利用MATLAB繪制系統根軌跡
控制系統工具箱中提供了rlocus（）函數，可以用來繪制給定系統的根軌跡。
已知系統的開環傳遞函數模型為：
利用MATLAB命令可容易地驗證出系統的根軌跡如圖8所示。
3 利用MATLAB進行頻域分析
3.1 用MATLAB作奈魁斯特圖
慮二階典型環節：
圖8 系統的根軌跡
利用下面的命令，可以得出系統的奈氏圖，如圖9所示。
>> num=[0，0，1]；den=[1，0.8，1]；nyquist（num，den）% 設置坐標顯示范圍
v=[-2，2，-2，2]；
axis（v）
grid
title（′Nyquist Plot of G（s）=1/（s^2+0.8s+1）′）
圖9 二階環節奈氏圖
3.2 用MATLAB作伯德圖圖
給定單位負反饋系統的開環傳遞函數為：
利用以下MATLAB程序，可以直接在屏幕上繪出伯德圖如圖10。
>> num=10*[1，1]；den=[1，7，0]；bode（num，den）grid
title（′Bode Diagram of G（s）=10*（s+1）/[s（s+7）] ′）
該程序繪圖時的頻率范圍是自動確定的，從0.01弧度/秒到30弧度/秒，且幅值取分貝值，ω軸取對數，圖形分成2個子圖，均是自動完成的。
圖10 自動產生頻率點畫出的伯德圖
4 利用MATLAB進行頻域法串聯校正
利用MATLAB可以方便的畫出Bode圖并求出幅值裕量和相角裕量。通過反復試探不同校正參數對應的不同性能指標，能夠設計出最佳的校正裝置。
給定系統如圖11 所示，試設計一個串聯校正裝置，使系統滿足幅值裕量大于10分貝，相位裕量≥45o。
為了滿足上述要求，我們試探地采用超前校正裝置Gc（s），使系統變為圖12的結構。
圖11 校正前系統
圖12 校正后系統
引入一個串聯超前校正裝置：
我們可以通過下面的MATLAB語句得出校正前后系統的Bode圖如圖13，校正前后系統的階躍響應圖如圖14。其中ω1、γ1、ts1分別為校正前系統的幅值穿越頻率、相角裕量、調節時間，ω2、γ2、ts2分別為校正后系統的幅值穿越頻率、相角裕量、調節時間。
>> G1=tf（100，[0.04，1，0]）； % 校正前模型
G2=tf（100*[0.025，1]，conv（[0.04，1，0]，[0.01，1]）） % 校正后模型
% 畫伯德圖，校正前用實線，校正后用短劃線。
bode（G1） hold bode（G2， ′――′）%畫時域響應圖，校正前用實線，校正后用短劃線。
Figure G1_c=feedback（G1，1） G2_c=feedback（G2，1） step（G1_c） hold step（G2_c， ′――′）
圖13 校正前后系統的Bode圖
圖14 校正前后系統的階躍響應圖
可以看出，在這樣的控制器下，校正后系統的相位裕量由28o增加到48o，調節時間由0.28s減少到0.08s。系統的性能有了明顯的提高，滿足了設計要求。
5 結論
通過MATLAB在建模、時域分析、頻域分析、系統校正中的應用可以看到，MATLAB工具箱在自動控制原理課中的應用無處不在，MATLAB不僅可以處理代數問題和數值分析問題，而且還具有強大的圖形處理及仿真模擬等功能，從而很好地幫助老師和學生解決《自動控制原理》這門課中實際的數據計算、圖形繪制、性能指標求取以及系統校正與設計等技術問題。
參考文獻：
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數學建模穩定性分析范文4
【關鍵詞】abaqus；有限元；水閘；位移；應力
1 引言
水閘底板的內力計算傳統方法都是采用彈性地基梁的方法進行，且認為地基是無限均質體，而有限元分析可以將地基和上部結構統一劃分單元，從而使閘室地基協調一致共同變形[1]；有限元法實質是一種在物理或工程問題的數學模型上進行近似數值計算的方法[2]。傳統的受力計算方法難以反映結構的整體作用，也不能準確描述關鍵部位的應力狀態和變形情況[3-4]。本研究采用線彈性有限元法，將整個水閘結構和地基作為一個整體進行計算，考慮了閘墩、底板和地基的不同材料特性，模擬荷載工況和約束條件，反映了水閘結構關鍵部位的位移和應力變形情況，為水閘的整體穩定性分析和配筋計算提供了設計依據。
2 工程概況
西大河水閘總的閘室寬度為42m，布置成3孔，單孔凈寬14m。閘室工作閘門門型為下臥式鋼壩閘門，采用液壓式啟閉機控制。
閘室采用鋼筋混凝土整體塢式結構。水閘底檻標高為-0.20m，閘底板頂高程為-1.50m，底板厚1.80m，閘室順水流方向長18.00m，中墩厚4.20m，邊墩厚3.20m；按防洪要求，閘室邊墩頂面設計標高為4.00m。閘底板為分縫的分離式底板。閘在主體結構基礎設置預制方樁，預制方樁尺寸為400×400×18000mm。
西大河水閘閘室平面布置示意圖如圖1所示；由于閘室左右兩岸成對稱布置，因此平剖面示意圖只顯示閘室一半如圖2；A-A剖面如圖3所示；B-B剖面如圖4所示；C-C剖面如圖5所示；
3 有限元計算模型
由于整個水閘閘室底板采用的是分離式閘底板，因此計算時取側向土壓力較大的邊跨閘室作為計算對象。取高程-4.1m到4.0m的整體混凝土結構和一定范圍的地基作為一個整體結構離散為八結點六面體等參單元。地基沿水流方向上下游分別延伸20m，地基底部高程為-40.0m，兩側的填土高程為5.5m，垂直水流方向左右兩岸各延伸15m。
坐標系取為：以閘室的底板-4.1m高程為坐標原點；x軸順水流方向，y軸垂直水流方向，z軸垂直指向上方。 整個有限元模型單元總數為104590，結點總數為135167。剖分后的閘室有限元模型網格如圖6所示，閘室整體的有限元模型網格如圖7。
計算主要考慮底板的受力和沉降，建模時不考慮樁基與土基的相互作用，分別將樁基和土基的材料特性分別賦予樁基和土基單元上。
計算工況如表1所示。
計算中考慮的荷載：結構自重、側面土壓力（按主動土壓力計算）、內河側靜水壓力、外河側靜水壓力等。
3.2 材料參數和邊界條件
計算中水閘地基基礎、混凝土結構等均近似假定為各向同性、均勻連續的彈性體。計算所采用的物理力學材料參數見表2所示。
邊界位移約束條件為：地基上下游截斷邊界處順河向水平位移為零，地基左右側截斷邊界處橫河向水平位移為零，底部截斷邊界處豎向位移為零。
5 結論
采用abaqus軟件對水閘進行三維有限元計算，較水閘底板的傳統計算方法，不僅可以清楚的反映水閘閘室位移和底板應力的變化規律，還可以反映應力和位移的大小，出現最大應力和最大位移的位置。為水閘閘室整體的穩定性分析和底板的配筋計算提供設計依據。
參考文獻
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數學建模穩定性分析范文5
【關鍵詞】 靜態穩定 多機系統 線性化 特征值分析
1 引言
隨著用電需求的不斷增加，電力系統規模的不斷擴大，電力系統的穩定問題日益突出［1-2］。電力系統靜態穩定性又稱小干擾穩定性，一般是指電力系統在運行中受到微小的擾動后，獨立地恢復到它原來的運行狀態的能力。靜態穩定分析不僅能判斷系統是否穩定，還可獲得在小擾動下系統過渡過程的許多信息。
本文采用慣用的電力系統動態穩定分析元件模型來形成非線性模型，經線性化后化為標準狀態方程形式，采用Matlab語言編程，采用特征值分析法判斷了其穩定性，利用時域分析法給出了系統受到小擾動時的各個參數變化曲線，實現對多機電力系統靜態穩定的分析計算。
2 小擾動法基本原理
設有一個不顯含時間變量t的非線性系統，其運動方程為：
(1)
Xe是系統的一個平衡狀態，若系統受干擾偏離平衡狀態，記X=Xe+ΔX，將其帶入式（1），并將該式右端展開成泰勒級數，可得
(2)
式中，h(ΔX )為ΔX的二階及其以上階次各項之和。
令 (3)
矩陣A稱為雅克比矩陣，它的第i行第j列元素為
(4)
考慮到d Xe/dt=0和F(Xe )=0，并舍去高階項h(ΔX )，便得
(5)
這就是原非線性方程的線性近似方程，或者稱為線性化的小擾動方程。其穩定性判斷原則為：若線性化方程中A矩陣沒有零值和實部為零值的特征值，則非線性系統的穩定性可以完全由線性化方程的穩定性來決定。
3 多機系統的數學模型
由于多機系統情況較為復雜，需考慮各個發電機組間的相互影響。為便于分析，我們對多機系統做如下的簡化［6］：
（1）原動機的功率恒定，即Pm=常數
（2）負荷用恒定阻抗來表示
（3）由于電力網絡內部電磁暫態過程和發電機內部電磁暫態過程相比，衰減的非常快，所以不計電力網絡內部的電磁暫態過程。
基于以上簡化，我們來建立多機系統靜態穩定分析模型。
3.1 微分方程的列寫
設多機電力系統有n臺發電機，則與第i臺發電機有關的各環節及網絡的數學模型如下：
(8)
(9)
(10)
(11)
其中，δij=δi-δj， 表示第i臺發電機的暫態電勢，E、qj表示第j臺發電機的暫態電勢，Bii和Gii分別表示節點i的自電納和自電導，Bij和Gij表示節點i和節點j之間的互電納和互電導。Efdi為第i臺發電機空載電勢的強制分量，Eqi為第i臺發電機機端電勢，T、doi為第i臺發電機勵磁繞組時間常數。VGi表示發電機機端電壓。
3.2 狀態方程的形成
將（7）-（10）式線性化得：
(12)
(13)
(14)
將（6）式線性化，并將（12）、（13）、（14）代入得多機系統線性化以后的特性方程式，采用矩陣形式表示為：
通過解特征方程式（15）的特征根，即可判斷在某一運行方式下，各個機組裝設電壓偏差比例調節器和電壓偏差比例-積分調節器的條件下的靜態穩定性。
4 實例研究與分析
4.1 特征值穩定性分析
將上面分析的結果應用到具體的電力系統中，采用安德森3機9節點系統模型［7］，其結構連接圖如1所示，發電機參數表1所示，系統頻率為120Hz，在計算和仿真中，不計凸極效應。
圖1 3機9節點系統單線連接圖
表1 發電機參數
經過潮流運算，可以計算出系統運行開始時，Pm0，X'q0，δ0(rad)，ω0(rad/s)的初始值如表2所示。
表2 系統的初始運行狀態
根據編制的Matlab程序，可得系統的狀態矩陣如下所示：
從上述特征值中可以看出，所有特征值的實部都是負的，因此系統在所研究的運行點是穩定。
4.2 時域仿真分析
假設系統受到小擾動后，發電機機1的功角由0.0396（弧度）變化到0.06（弧度），發電機3的功角由0.2298（弧度）變化到0.2（弧度），則三臺發電機功角、相對功角、角速度、暫態電
勢的變化曲線如圖2，圖3，圖4，圖5所示：
通過以上仿真結果可以看到，此三機系統是穩定的。
5 結論
本文建立了多機系統靜態穩定分析模型，直接將系統的微分方程進行線性化，推導出系統狀態方程和狀態矩陣。針對一個3機9節點的系統，用Matlab軟件編制程序，采用特征值分析法判斷了其穩定性，并利用時域分析法給出了小擾動時三臺發電機功角、兩兩相對功角、角速度、暫態電勢的變化曲線，仿真結果表明系統是穩定的，驗證了Matlab軟件編制程序的正確性。
參考文獻
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數學建模穩定性分析范文6
中圖分類號:TN911.7-34; G642.4文獻標識碼:A
文章編號:1004-373X(2010)18-0057-03
Design of Mtalab Experimental Simulation Teaching System in Signals and Systems
ZHANG You-sai, MA Guo-jun, HUANG Wei-jia, ZHOU Wen-lan
(School of Electronics and Information, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China)
Abstract: Aiming at the disadvantages of hardware experimental teaching in Signals and Systems, the experimental simulation teaching system of Signals and Systems based on Matlab and Simulink is established by emphasizing experimental teaching requirements of theoretical teaching and actual engineering. Thus, the system design, content design, interface design, development tools and repeatedly development are studied respectively. The effects of experimental teaching show that it overcomes the limitation of hardware experiment, expands experimental contents and level, improves students hands-on ability and comprehensive quality.Keywords: signals and systems; Matlab; experimental simulation teaching; Simulink
0 引 言
信號與系統的基本概念、基本理論與分析方法在不同學科、專業之間有著廣泛應用和交叉滲透[1]?！靶盘柵c系統”課程[2-3]作為電氣信息類專業的學科基礎課程[4],在專業教育中有著非常重要的地位。由于該課程自身的特點[5-6],決定了其是一門數學方法、專業理論、分析方法和工程應用密切相結合的課程,不僅要求學生能靈活地應用多種數學方法解決專業理論問題,而且還強調工程上的應用與實踐,因此對理論教學和實驗[7]都提出了很高的要求。
目前,信號與系統課程實驗的實驗方法和手段大都還局限在硬件實驗上,實驗內容、實驗方法和手段上均不夠深入和靈活,難以滿足對理論教學上的支持和工程實踐上的要求。為了使學生能更好地理解信號與系統的基本概念、基本理論與分析方法及其應用,克服硬件實驗的限制以及實驗條件投入的不足,有必要對“信號與系統”實驗教學進行改革研究,建立軟件仿真實驗系統,拓展實驗教學的內容和靈活性,使學生有能力進行軟件仿真實驗,突出學生實踐能力和創新能力的培養。
1 系統開發工具簡介
Matlab是美國MathWorks公司推出的優秀的科技應用軟件。Matlab功能強大,可以進行數值計算和符號計算,編程界面友好,語言自然,開放性強,而且有眾多的工具箱可以使用。將Matlab軟件用于工程應用和解決實際問題[8],可以不必關心復雜的理論,具有編程快捷方便的特點。
Simulink是Matlab軟件的擴展,是對系統進行建模、模擬和分析的軟件。Simulink以模塊為單元,通過模塊之間的連接和屬性的設置,進行系統模擬和仿真分析[9]。它的模塊庫包括連續模塊、離散模塊、信號和系統模塊、數學模塊以及信號源模塊等。而且模型具有層次性,可以通過底層的子模塊構建復雜的上層模塊。
該實驗系統開發工具采用Matlab和Simulink完成仿真系統的設計與開發。
2 仿真系統設計
2.1 系統設計思路
在系統設計方面采用自上而下的設計方法,對實驗內容進行分類,層層推進。該系統采用模塊的方式,將實驗內容分為3大類、14個子類,圍繞基礎型、綜合提高型和研究創新型3個層次,設計實驗內容。每個模塊均有開發擴展接口,便于二次開發。同時,充分考慮了教師的教學規律和學生的認知規律,具有引導性和啟發性,而且實驗內容與理論課程教學內容同步,便于學生理解。
該實驗系統采用靈活的軟件實驗來代替硬件實驗的方式,彌補了硬件實驗的不足之處。在實驗仿真系統中給出了大量的圖形,并輔以文字說明,做到圖文并茂,使得理論課程的教學內容在實驗中進行時變得直觀、清晰,易于理解。
2.2 實驗內容設計
在實驗內容方面,從基礎型實驗、提高型實驗和創新研究型實驗三個層次,結合工程應用進行設計。注重學生能力的培養和素質的提高。實驗內容涵蓋實驗課程的全部內容,包括連續系統的時域、頻域、復頻域分析和離散系統的時域、Z域分析以及綜合實驗部分即系統分析與仿真。實驗系統不僅介紹理論內容的實驗仿真,而且真正做到理論聯系實際,部分實驗內容(如通信系統仿真、信號頻譜搬移等)與現實生活緊密結合,貼近生活,具有豐富的時代氣息,從而使學生學會用信號與系統的觀點和方法來解決實際問題,真正做到學以致用,從各方面培養學生的創新能力和實踐能力。
實驗內容詳細設計說明如下:
(1) 連續系統的時域分析包括信號的時域運算和二階系統時域分析(見圖1)。該部分屬于基礎性實驗內容,可以通過選擇不同類型的信號進行時域運算。在系統時域分析方面,以二階系統為例,要求掌握系統響應的時域求解方法。
圖1 連續系統的時域分析舉例
(2) 頻域分析包括常用信號的傅里葉變換以及傅里葉變換的性質,作為頻域分析的重要應用,抽樣與恢復部分包括信號的抽樣與重構。該部分實驗屬于綜合提高型,是通信系統仿真的基礎。
(3) 信號分析以方波的合成與分解為例,重點討論信號的合成、分解方法,一步一步完成,每一步都有具體的圖形與信號合成(分解)的效果,步驟清晰,便于學習。信號分析中的雙邊帶信號頻譜,以通信系統為例,介紹頻譜搬移的過程,同時聯系生活實際。該實驗與工程應用緊密結合,討論信號頻譜的搬移過程和方法,只需鼠標點擊和拖曳即可完成實驗,操作簡單,圖形直觀,形象生動。
(4) 復頻域分析包括系統的零極點分析、穩定性分析以及系統響應。該部分屬于提高型實驗,從S域分析系統,并與工程應用中實際系統的穩定性相結合;
(5) 離散系統時域部分包括離散信號的時域運算如信號的加、減、乘。
(6) 離散系統的時域分析包括差分方程的求解,并重點討論序列卷積的計算及說明,如圖2(a)所示;
(7) 離散系統Z域分析包括零極點求解、頻率特性、序列的響應和穩定性分析等,如圖2(b)所示;
圖2 離散系統分析舉例
(8) 信號與系統的綜合分析包括系統分析和系統仿真,采用Matlab軟件的Simulink仿真完成,以系統框圖的形式完成實驗,功能強大,操作方便。時域分析部分內容包括一階、二階系統的時域特性仿真分析(見圖3);頻域仿真分析屬于研究創新型實驗,采用系統仿真的方式,以頻譜搬移過程的系統仿真為例進行,但對復雜的通信系統進行仿真,可以查看各個框圖、部件的時域波形、頻域的頻率特性,對信號與系統的實際應用有充分的了解和認識。具體實驗內容及安排見表1。
圖3 系統仿真舉例
2.3 系統界面設計
實驗仿真教學系統界面設計中,避免繁瑣,崇尚簡潔,親切自然,因而界面直觀、清晰,導航方便,具有良好的人機交互頁面,能夠非常容易的找到需要的實驗內容;同時色彩搭配柔和,給人樸實、安靜而又進取的感覺,有利于集中精力進行教學和學習。實驗內容部分頁面和系統分析與仿真頁面如圖4所示。
表1 實驗仿真教學系統內容設計及分類安排
分類實驗項目實 驗 一實 驗 二說 明實驗類型
連續系統時域運算兩個信號的運算-加、減、乘信號自身的運算-平移、反轉、尺度變換、微分、積分可以任意選擇信號類型基礎型
時域分析系統階躍響應、沖激響應系統的全響應分析二階系統基礎型
頻域分析典型信號的傅里葉變換傅里葉變換的性質可以選擇常用信號提高型
復頻域分析系統的零極點圖穩定性分析及響應極點分布與穩定性關系提高型
抽樣與恢復正弦信號的抽樣正弦信號的重構采樣定理提高型
方波合成周期方波的合成周期方波分解分解的項數對精度的影響提高型
信號頻譜雙邊帶信號頻譜濾波器信號的頻率、幅度對頻譜的影響研究創新型
離散系統信號運算序列的加、減、乘序列移位離散運算基礎型
時域分析差分方程時域解序列的卷積和離散時域解基礎型
Z域分析系統零極點分布圖、頻率響應、穩定性單位序列響應、階躍響應系統分析提高型
系統分析系統分析與仿真
一階系統時域特性仿真二階系統仿真分析
頻譜搬移過程仿真通信系統仿真可以隨時查看時域波形和頻率特性研究創新型研究創新型
圖4 部分導航頁面
3 系統特點
“信號與系統”實驗仿真教學系統內容全面,包含“信號與系統”課程實驗的全部主要內容和知識點,教師與學生可以用軟件來完成實驗內容的教學和學習,有助于學生加強對課程基本概念和重點、難點的理解和掌握,而且不受時間和空間的限制,便于實驗教學工作的開展。
該系統具有二次開發功能。該系統在使用中可以結合實際情況,給教師和學生提供程序源代碼,教師和學生可以進一步補充和完善實驗內容,也可以添加新的實驗內容由學生來完成。因而,學生具有更多的發揮空間,更有利于發揮主觀能動性。
4 結 語
“信號與系統”實驗仿真教學系統,內容全面、翔實,是集計算機技術和現代教育技術手段于一體的多媒體實驗教學系統,便于教師進行課堂實驗教學和學生軟件實驗的學習。
通過近三年的實驗教學使用,采用該實驗仿真系統,避免了硬件實驗過程中的不確定性因素的影響,實驗靈活方便,有利于拓展學生的思維能力和想象空間,為信號與系統課程的實驗教學工作提供有力保障。
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