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數學建模具體步驟范文1
Abstract： People adopt smaller line width CMOS （components of metal oxide semiconductor） product technology to get more pixel unit in the same Sensitive array area. It requires the key work piece-chip to guarantee align quality of pixel point in process. This paper chooses the heating method to make the piece attached. But in the process， because of the difference of coefficient of thermal expansion for materials， it must lead to thermal-stress and dislocation occurred. In this paper， we take the heating adhere process for two chips in image sensor made by different materials as example， using numeral simulation method， making simulation by using general finite element software named Marc. And then， we get the deformation magnitude for representative nodes and the changing curve with time for equivalent Von Mises stress etc， comparing its deformation by manual simply calculation， to prevent pixel offset in the chip caused by the excessive deformation via the optimization of design. thus， improving the image quality.
P鍵詞： 熱機耦合；接觸載荷；瞬態分析；有限元法
Key words： thermal-mechanical coupling；contact load；transient analysis；finite element method
中圖分類號：U461；TP308 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）11-0105-05
0 引言
人們采用更小線寬CMOS（金屬氧化物半導體元件）制造工藝，以求在相同的感光陣列面積中獲取更多的像素單元，從而獲取更高分辨率的圖像，見圖1[1]。由圖1可以看出，感光芯片是將數十至上千個很小的組織整體地排放在一張芯片上，然后在其上面也有一張不同材質的芯片。主要以組織陣列為主。為了能夠得到高質量的圖像傳感器，在加工過程中必須保證每個像素都是整齊排列的，并且能夠使上下芯片能夠完好的粘結在一起。為了達到目的，這里選擇利用加溫的方法，通過將像素材料的物質分步加熱到其熔點的，將上下芯片進行緊密連接。但是在加溫過程中由于上下材料的熱膨脹系數不同，勢必會導致熱應力的產生以及位錯。這是一個屬于熱應力分析的問題，而熱應力分析用于計算一個系統或者部件溫度分布以及在溫度場的作用下，由于材料的熱膨脹系數不同在造成的應力場分布。熱應力分析在許多工程應用中扮演重要的角色，如換熱器、電子元件等。工程結構的優化設計和工藝流程需要考慮各種因素影響對應變和應力狀態影響。熱力耦合分析支持等造成不良的體形狀的變化測定初始邊界條件的實現方法，例如，時變負載和材料的物理性質取決于溫度。他們也用來在生產之后確定殘余應力，以防止重估后殘余應力剛度和剛度的設計結構[2]。結構分析的熱鍛模在整個鍛造過程中鋁合金使用成形分析軟件DEeform3D以及非線性有限元分析軟件Marc，也能夠得到分布著模具上的應力和應變[2]。柴油機活塞的應力和位移場能夠通過有限元三維非線性有限元方法得到。接觸邊界條件在使用有限元軟件MSC.MARC來施加[3]。金屬斜切削過程建模的三維有限元法（FEM）和熱彈塑性耦合分析，作者模擬工件，切片和工具從初始狀態到穩定狀態的的加工過程，得到詳細的計算結果[4]。前人的研究大多是針對大型部件的分析，精度的要求不算高，并且模擬過程相對容易設置。本文的不同之處在于先對部件中心進行溫度和時間的控制，等中間部分的像素點粘結之后，再對部分進行加熱粘結。為此，本文采用三維有限元軟件MSC.Marc進行此過程的模擬，分析在此過程中是否會有過大的應力場、應變場和變形，進而對所設計方案進行優化。
本文結構安排：第1節為有限元熱機耦合的模擬計算理論依據；第2節詳細介紹有限元模型以及計算過程中需要注意的問題；第3節得到相關結果，并對其進行分析；文章最后進行總結。
1 有限元模擬計算理論依據
1.1 熱應力計算相關理論
Marc軟件支持用總體拉格朗日法、更新的拉格朗日法或歐拉法來描述熱彈塑性問題。以下討論以更新的拉格朗日描述為例。給出與溫度場耦合的熱彈塑性分析的增量有限元描述[5]。
其中，Ffr是接觸表面摩擦力，Vr為表面相對滑動速度，M為功熱轉換系數。在處理摩擦生熱時，Marc將兩個接觸表面相互作用生成的摩擦熱流平均分配到這兩個表面作為表面熱流強度[5]。
1.2 接觸問題分析
從力學角度來看，接觸是邊界條件高度非線性的復雜問題，要求準確跟蹤接觸前多個物體的運動以及基礎發生之后這些物體之間的相互作用關系，此關系可分為在接觸前后的法向關系和切向關系。大多數情況下，我們能夠得到一個針對大變形有效接觸的幾何模型，同時討論接觸區域法向和切向應力，而不同的變分公式用來處理不同的變分不等式[6]。一般關注較多的則是法向關系，在法向，必須實現兩點：①接觸力的傳遞。②兩接觸面之間沒有穿透。在數學的上施加無穿透接觸約束的方法也有拉格朗日法、罰函數法、直接約束法以及雜交和混合法。以上方法的優缺點詳見表1。
考慮熱傳遞接觸耦合作用的熱力學分析問題大量存在于工程中，分析的難點在于必須考慮熱與可移動接觸邊界間的耦合作用[5]，張洪武等基于時域的逐步溫度增量分析與參量變分原理的二次規劃算法進行熱與接觸問題兩類問題的求解，為了達到耦合分析目的，引入迭代技術進行兩類問題的交替求解過程，對于熱傳導分析采用的是常規的分析技術[7]。文別注意了接觸問題，三維接觸算法基于帶有四面體單元的離散化的工具表面[8]，而在本文中所選用的則是六面體單元。對比分析表1中的各計算方法以及本文需要計算的模型，這里選用直接約束法計算。
2 模型介紹
2.1 Marc簡單描述
Marc不僅具有較強的處理幾何非線性、材料非線性以及接觸在內的邊界條件非線性和組合的高度非線性的能力，還具有處理各種結構靜力學、動力學問題、溫度場分析以及其他多物理場耦合問題的能力。另外Marc也具有高數值穩定性、高精度和快速收斂的高度非線性問題求解技術 [5]。Marc同其他通用有限元軟件的分析流程相近，它的優勢在于擁有良好的自適應網格劃分技術以及重啟動分析，這些為提高計算精度以及消除影響計算進度的隱患提供保障。在后處理方面能夠得到關鍵部位的各N參數的歷程圖，較好的方便了觀察變化趨勢。
2.2 模型描述
根據圖1，在此我們將原模型簡化為圖2的幾何模型，本文中假定像素點密度為1k*1k，陰影部分為模具，其材料為熱膨脹系數很小的金屬材料。圖3為相對應的施加邊界條件后的有限元模型（部分）。最下層芯片1是用材料1制成，其尺寸為40*40*0.5mm，最上層芯片2用材料2制成，其尺寸為36*36*0.3mm。其中模型單元數為153684個六面體八節點單元，節點數為240645。模具的預熱溫度為150℃，文中是通過溫度隨時間變化的表來控制加熱過程的，加載在模具的底面，所有參數均與實驗相同，具體詳細的參數見表2。實際在兩芯片之間有存在形成像素點的物質，因為其極其薄，這里做簡化處理，對于兩芯片之間的接觸，這里設置為粘接接觸，把具有不同網格的兩個部分粘結在一起。其他位置接觸為接觸，即一般物體之間有接觸的情況，Marc中接觸算法的基本流程為：定義觸體，探測接觸，施加接觸約束，模擬摩擦，修改接觸約束，檢查約束的變化，判斷分離和穿透，判斷熱-機耦合的接觸傳熱等[5]。
為了減少單元數量，同時也為了提高計算精度，這里選擇對幾何模型統一劃分六面體八節點單元。在Marc軟件中，最方便的三維單元網格劃分是自動網格劃分，但是其生成的是四面體單元，不僅質量達不到要求，而且數量極多，大大增加了計算時間。因此我們利用節點來直接建立有限元模型，具體步驟為：首先建立四邊形單元的角節點，然后逆時針連接成一個面單元，利用細化分來控制單元大小，最后利用有限元軟件的拉伸功能，建立體單元。另外，如果選擇先建立幾何模型，在對其進行網格劃分的時候，要注意的問題有：在將幾何體的面轉換成表面的時候，在面與面的交界處會形成兩條線，因此在進行線細化分以及劃分面網格的時候會出現重復節點，這里就需要利用軟件的清除功能，將重復的節點消除掉，不然就會造成網格嚴重的變形，甚至通過調整單元尺寸都不能達到需要的效果，此外針對本文中的模型，由于其尺寸相對較小，這里不建議通過段數而是通過特定長度來控制單元尺寸，因為在某些方向上會出現過度分層；還有一種情況就是建立的幾何模型會出現內部面和外部面不一致的情況，這種情況會在面網格劃分的時候表現出來，處理辦法就是利用Marc軟件的檢查功能進行調整即可[9]。
為了能夠更加真實的模擬加工過程，因為瞬態傳熱過程是一個系統的加熱或冷卻過程，在這個過程中系統的溫度、熱流率，熱邊界條件以及系統內能都隨時間有明顯的變化[10]，因此我們采用瞬態熱機耦合分析。同時，我們另外模擬了將加熱模具的上半部分去掉的情況（不封閉），是為了顯示在沒有約束的情況下，兩芯片在加熱的過程中的變化，為了敘述方便，這里就以封閉和不封閉來區分。其他溫度邊界條件均相同。
3 計算結果分析
在查看結果文件的時候建議關閉節點、線、面等幾何模型，只留下實體單元，好處在于關鍵部件會比較清楚的顯示[11]。
圖4-5左圖顯示的是在模具不封閉的情況下，得到的芯片1和芯片2的等效Mises 應力和等效彈性應變以及關鍵節點在整個模擬過程中的歷程圖表。圖6右圖-圖7為在模具封閉的情況下得到的芯片1和芯片2的等效Mises 應力和等效彈性應變以及關鍵節點在整個模擬過程中的歷程圖表。這里選取的代表性節點為位于芯片2邊上的兩端點。
我們從圖4的左圖和圖6的右圖對比中可以看出，在不封閉的模具中，芯片的邊角處有明顯的翹曲。從圖5的右圖和圖6左圖中可以看出，相比較而言，雖然圖5右圖中芯片2的等效彈性應變的最大值在數值上比圖6左圖中的小，但它的應變變化梯度較大。
由于芯片上像素點的個數為1k*1k，可以計算出兩像素點之間的距離l0=3.515e-5mm，由圖4右圖可以得到X方向的總位移變量為l1=1.834e-6mm，由圖7左圖可以得到X方向的總位移變量為l2=1.1454e-6mm。因為l0>l1>l2，發生的位移量比較小，錯動可以忽略不計。從圖5左圖中代表節點的等效Mises明顯較大于圖7右圖中的，這樣，為了保證邊角處的應力在可靠范圍內，選擇封閉模具來加工較好。
4 結論
本文針對圖像傳感器的重要部件芯片在通過加熱粘合過程的模擬，得到有效的熱應力場。文中所采取的模擬思路為其他類型的熱機耦合問題在溫度控制等方面提供參考。本文以簡單的兩個不同材料的芯片為例分析了該工藝的模擬，主要有以下結論：
①利用Marc軟件的特點，利用節點直接進行有限元模型的建立。模型以六面體單元為主，在一定程度上減少了計算資源并提高了計算精度。同時兩單元芯片的尺寸大小接近，這樣有利于減小接觸發生時的穿透量。另外在定義接觸時，在接觸控制中打開高級接觸控制，設置接觸容限和偏斜系數。數值實驗表明，接觸距離容限的大小對接觸求解精度和計算效率影響很大[5]。文中也設置偏斜系數是為了折中接觸距離容限太小的時候，難以探測到節點和接觸段接觸，在時間步長稍大的情況下，很多點會被處理成穿透的問題。對于收斂準則的選擇，若單選殘余應力residuals的收斂效果不好時，可選用殘余應力+位移，即“residuals and displacement”雙重標準來控制。
②文章直接選擇Marc軟件中的thermal-structure模塊進行模擬計算，得到了在加熱以及冷卻過程中，代表性節點的等效Von-Mises應力隨時間的變化曲線等結果，這對于監控際加工過程具有指導意義。
參考文獻：
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