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對角線的規律范文1
例1：觀察下圖，解答問題.
（1）上圖畫出了三到六邊形的對角線，觀察后將下表填寫完整.
（2）若一個多邊形的內角和為1440°，求這個多邊形的對角線條數.
分析與解:
解法1：（1）易知，六邊形的對角線條數為9.通過作圖也易知七邊形的對角線條數為14，那么n邊形呢？
現將多邊形邊數與對角線條數提取進行分析：
邊數 對角線條數分析及梯形面積公式法表達式
觀察上表發現，將相鄰對角線條數兩數作差，再對作差后的相鄰新數作差，它們的結果都為常數1.當設多邊形的邊數為n，對角線條數寫成和的形式時，第一個數是2，最后一個數是1×n-2，共有（n-3）項，用梯形面積公式法求得n邊形對角線條數為：
×（n-3）=（n-3）
（2）由n邊形內角和公式可得：1440°=（n-2）×180°，解之得n=8.
這個多邊形的對角線條數為：×（8-3）=20（條）.
解法2：（只對n邊形的對角線條數進行探究）
現先對二次函數的性質進行研究.對于二次函數y=x+2x+2，有下表成立：
對y相鄰的數求差得：10-5=5，17-10=7，26-17=9，37-26=11，…
對相鄰新數再次求差得：7-5=2，9-7=2，11-9=2，…
發現的值連續兩次作差為同一常數，再對其他的二次函數研究也有這樣的結論，因此可以得出二次函數存在這樣一個性質：二次函數的函數值連續兩次作差為同一常數；反過來，如果一數列存在著：連續兩次作差為同一常數，它的序數與所對應的數的表達式滿足某個二次函數.利用這個性質，求本例n邊形的對角線條數：
由解法1中的（1）可知，對角線條數相鄰兩數作差，再對作差后的新數作差，它們的結果都為同一常數，所以多邊形邊數及所對應的對角線條數滿足某個二次函數.設這個二次函數為y=ax+bx+c，對多邊形邊數x及所對應的對角線條數y取出三對數：（3，0），（4，2），（5，5），于是有0=9a+3b+c2=16a+4b+c5=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.
所以多邊形邊數x及所對應的對角線條數y滿足二次函數:y=x-x，
當x=n時，有y=n-n=n（n-3），
七邊形對角線條數為：×（7-3）=14（條）.
例2：瑞士中學教師巴爾末成功地從光譜數據，，，，…中得到巴爾末公式，從而打開了光譜的奧妙大門，請你按這個規律寫出第七個數據是?搖 ?搖.
分析與解:
解法1：分子中第1個數:9=3；第2個數:16=4；第3個數:25=5；第4個數:36=6，
第n個數分子應該是（n+2）.
分母中：序數 分母對應數分析及梯形面積公式法表達式
分母中的數兩次連續作差后為同一常數2，進一步分析可知，當設序數為n，分母對應的數寫成和的形式時，第一個數是5，最后一個數是2×n+3，共有n項，用梯形面積公式法求得第n個數分母為：
×n=n（n+4）
第n個數為：
當n=7時，所對應的數是=.
解法2：（只對分母存在的規律進行探究）
由解法1知，分母中的數兩次連續作差后為同一常數，所以分母中的序數及所對應的值滿足某個二次函數.設此二次函數為y=ax+bx+c，對分母中的序數x及所對應的值y取出三對數：（1，5），（2，12），（3，21），于是有5=a+b+c12=4a+2b+c21=9a+3b+c，解之得：a=1，b=4，c=0.
所以分母中的序數x及所對應的值y滿足二次函數:y=x+4x，
第七個數的分母為：y=x+4x=7+4×7=77.
由例1和例2的解法2可知，當一數列連續兩次作差后為同一常數，數列序數與對應的數滿足某個二次函數的表達式，利用待定系數法，解出來的二次函數常數項都為0，是不是所有滿足這種情況的二次函數的常數項都為0呢？請看例3.
例3:（2009牡丹江市）有一列數：-，，-，，…那么第7個數是?搖 ?搖.
分析與解:
解法1：易知，數列符號，單序數為負，雙序數為正，分子按序數排列，關鍵的就是找分母的表達式.現將分母序數及所對應的數提取進行分析：
序數 分母對應數分析及梯形面積公式法表達式
分析發現，分母所對應的數兩次連續作差后，為同常數2.可以預測，除符號和2外，第n個數，當寫成和的形式時，第一個數是3，最后一個數是2×n-1，共有（n-1）項.
第n個數除符號外，分母為:2+×（n-1）=n+1
第n個數為:（-1）
第7個數為:（-1）=-.
解法2：（只對分母存在的規律進行研究）
由解法1知，分母所對應的數連續兩次作差后，為一同常數2，所以分母中的序數及所對應的值滿足某個二次函數.設這個二次函數為y=ax+bx+c，對分母中的序數x及所對應的值y取出三對數：（1，2），（2，5），（3，10），于是有2=a+b+c5=4a+2b+c10=9a+3b+c，解之得：a=1，b=0，c=1.
所以分母中的序數x及所對應的值y滿足二次函數:y=x+1，
第七個數的分母為：y=x+1=7+1=50.
由上三例可知，如果一數列存在著：連續兩次作差為同一常數，它的序數與所對應的數的表達式滿足某個二次函數，利用待定系數法，解出來的二次函數常數項不一定為0.
例4:如圖，ABC中邊BC上有n個點，每個點都與A連接，共有多少個三角形？
分析與解：用列舉法進行探究.在BC上：有3個點（即B、D、C）時，有ABD、ABC、ADC共3個三角形；
有4個點（即B、D、E、C）時，有ABD、ABE、ABC、ADE、ADC、AEC共6個三角形；
有5個點（即B、D、E、F、C）時，有ABD、ABE、ABF、ABC、ADE、ADF、ADC、AEF、AEC、AFC共10個三角形；
例4題圖
按同樣方法列舉，可知，當BC上有6個點時，共有15個三角形.
進一步分析還發現，這些三角形個數兩次連續作差后，為同常數1.
即，第一次求差得：6-3=3，10-6=4，15-10=5，21-15=6，…
再次求差得：4-3=1，5-4=1，6-5=1，…
利用本文的二次函數一性質進行求解，設這個二次函數為y=ax+bx+c，對BC上的點數x及所對應的三角形個數y取出三對數：（3，3），（4，6），（5，10），于是有3=9a+3b+c6=16a+4b+c10=25a+5b+c，解之得：a=，b=-，c=0.
所以分母中的序數x及所對應的值y滿足二次函數:y=x-x.
當x=n時，有y=n-n=n（n-1），
即ABC中邊BC上有n個點，每個點都與A連接，共有（n-1）個三角形.
利用梯形面積公式法解決本例也很捷徑，請讀者自行完成.
綜上所述，當一列數，只要兩次連續作差后為同一常數，它的表達式除觀察利用綜合知識解決外，還有兩種方法較為捷徑：
1.它的某一項都可以寫成有規律數的和的形式.當兩次作差為同常數1時，和的最后一項是與1的倍數有關（如例1、例4）;當兩次作差為同常數2時，和的最后一項是與2的倍數有關（如例2、例3）;……然后再求項數，代入梯形面積公式法：
M=（a+b）h
對角線的規律范文2
1.有意義接受學習在學習數學中的作用
在學習數學的時候使用有意義學習的方式，學生可以不用重新發現，而只需要在原有知識體系中尋找和新知識之間穩定的關聯點，讓它們之間進行融合，完成新舊資料之間的同化過程，從而實現知識的積累或者知識結構的改變。比方說，在學習“四則混合運算定理”的時候，學生只需要在已經學會單獨使用這四種運算方法的前提下，記住“先進行乘除，后進行加減”的運算順序，就可以完成這一新知識點的學習。邏輯性是數學的最大特征，相互聯系的知識點構成一個完整的系統，這就讓數學學習具有較大的思想性[1]。因此，大部分的數學知識需要使用有意義學習的方式來完成學習。
一般來說，有意義學習數學的過程，不但是學生通過新舊材料之間的關系學習新知識的過程，也是學生利用它們之間的聯系對原有知識體系進行改造的過程。而完成這一過程的關鍵是對知識的“理解”。對于學生來說，這一過程是創新學習思維方式，是激發思考，是讓他們保持興奮的動力；對于教師來說，這一過程是教師遵照人類能力形成的一般原則指引學生通過努力實現能力提升的過程。
2.有意義接受學習的過程
關于新知識的學習，皮亞杰的觀點是：學習不是學生對新知識的闡述，而是原有知識和新知識之間相互影響的過程。奧蘇貝爾對這一觀點進行了延伸，他認為學習新知識的過程就是對學生心理和新知識結構進行了解的過程[2]。
他這一觀點的重心是學生對新材料的接受程度，學習的關鍵在于他原有的知識體系是不是和新知識之間有聯系點，有意義學習的過程中材料和原有知識體系內部知識點相互影響，而這種影響不但是對新材料的影響，也包含對原有知識體系的改變。奧蘇貝爾通過特別的公式來展現同化是如何發生的，他用“a”代表新材料，用“A”代表原有知識體系中的知識點，那么同化發生的過程就可以通過下面的式子展現：
同化之后，不但新材料的意義有所轉變，就是原有知識點也都具備了新的意義。A轉變為“A'”，a轉變為“a'”。但是式子中所表現的只是同化過程的一個環節，在這一環節結束之后，馬上就會有新的環節開始，也就是遺忘環節。假如在這一環節結束之后，不能很好地實現“A'+a'”狀態中兩個元素的分離，慢慢的“A'+a'”的綜合就會被A'或A所取代，也就是說新材料在新的知識體系中被遺忘或者是取代。所以說這只是整個同化過程的一個子過程，隨著這個子過程的完成，會有一個新的過程接踵而至，這就是遺忘過程。而想要減少新知識的遺忘，必須立即進行下一個同化環節，增加新材料中的可利用元素。其進程可以展現如下：
奧蘇貝爾用同化這一觀點來總結學習的規律，我們把這種模式歸納總結運用到教學當中去幫助學生開展有意義接受學習，在保持原有知識的前提下去拓展新知識[3]。奧蘇貝爾在這方面沒有得出最終結果，但是他用上面的公式來表示同化的過程，說明他還是在這方面進行了試驗的，這樣的試驗具有不同凡響的意義。
二、有意義接受學習教學案例
1.下位學習案例（新授課：矩形）
本案例中的教學是對于矩形的新授課，學生之前已經學習了平行四邊形，所以在進行矩形的新授課時，想首先在平行四邊和矩形的定義之間建立聯系，然后再講授矩形的相關知識。
（1）思考
①當∠a發生改變，平行四邊形的兩條對角線的長度相應的怎么改變？
②當∠a是銳角時，對角線是否等長？如果∠a是鈍角呢？
③當∠a是直角時，平行四邊形為矩形，對角線是否等長？
答：在上述活動中
①當∠a的大小發生變化時，兩條對角線也會發生相應的改變，長度較長的對角線相應變短，短的則會變長。如果∠a變成直角時，兩條對角線的長度則會相等。當∠a再發生變化時，對角線的長度又會發生相應的改變。
②當∠a是銳角或鈍角時，平行四邊形對角線的長度不等。
③如果∠a是直角，此時的平行四邊形就屬于矩形，這時兩條對角線是等長的。
結論：任意一條對角線都能把矩形分為兩個全等的直角三角形，兩條對角線將矩形分為四個等腰三角形。所以，關于很多矩形問題的解決可以通過直角三角形或者是等腰三角形來解決。
矩形的性質：對邊平行且相等；四個角都是直角；對角線等長且平分。
（2）鞏固練習
下圖中，矩形abcd，ad、cb交于點e，∠aeb=60°，ac=4cm.
①aec是什么形狀？
②求對角線的長。
分析：①矩形的性質中就有對角線相等并平分，所以ae=ec，在aec中，因為∠aec=60°，而且兩邊ea=ec，所以aec是等邊三角形。
②可直接運用矩形的性質來求對角線的長度。
解：①在矩形abdc中，
ad和cb是矩形abdc的對角線，ad與bc等長且平分
ea=ec，所以aec為等腰三角形。
又∠aec=60°
aec是等邊三角形。
②aec是等邊三角形，
ea=ac=4cm，矩形的對角線不但相等而且平分，可以得出ad=cb=2ea=8cm
對角線長度為8cm。
想一想：當平行四邊形的對角線相等時，這樣的平行四邊形是什么四邊形？怎么證明？和同學相互交流。
答：對角線等長的平行四邊形是矩形。
證明：圖中的平行四邊形abdc中，ac=bd，cb=ad，cd=ab
abc=bdc（SSS）
∠acd=∠bdc
又ac//bd
∠acd+∠bdc=2∠acd=180°，即∠acd=90°
平行四邊形abdc是矩形
對角線等長的平行四邊形是矩形
由以上敘述我們可以總結出判讀矩形的兩個條件：
①內角為直角的平行四邊形是矩形
②對角線等長的平行四邊形是矩形
（3）歸納總結
①矩形的性質
所有內角都是直角；對角線不但相等而且平分；對邊平行而且相等；軸對稱圖形。
②矩形的判別條件
矩形的判別可以分為兩個步驟來進行，首先是看待定四邊形是不是平行四邊形，然后就要找出平行四邊形中是否有直角。
（4）評析
平行四邊形是一種比較特殊的四邊形，而矩形在平行四邊形中也是屬于比較特別的一種，矩形就是平行四邊形的一個下位概念。因為矩形是通過對平行四邊形的條件加以限定而得出的，說明了相較于矩形，平行四邊形具有更強的包攝性。通過矩形的學習，不但鞏固了平行四邊形的關鍵屬性，還對平行四邊形的關鍵屬性進行了擴充。
對教材進行相應的分析可以得出，本節學習的課程符合有意義接受學習的條件，本節課程體現了奧蘇貝爾學習理論中的“下位學習”。新的關于矩形的知識和已掌握的關于平行四邊形的知識形成了下位關系，新的概念被同化以后并沒有使上位概念發生本質的改變，但是上位概念具備了更強的概括性、包容性以及可遷移性?？梢岳眠@一關系對平行四邊形進行加工，找出平行四邊形和矩形二者之間的關系：對角線相等的平行四邊形就是矩形；平行四邊形中有一個內角是直角的就是矩形等。矩形的知識就會被同化到平行四邊形的知識結構中，而平行四邊形的原有知識結構也會得到補充，就建立起了新的平行四邊形的知識結構[5]。
2.上位學習案例（新授課：二元一次不等式）
（1）出示情景
呈現不等式題目并求解：y2-y-2
方案一，轉換為不等式組，師生共解。如下：
根據原不等式等價于（y-2）（y+1）
y-20或者y-2>0y+1
所以解不等式組即原不等式的解集為：
{y|-1
方案二，應用變式，師導生解。如下：
根據原不等式等價于：
y2-y+■-■-2
教師在此處需要留足時間，便于學生認真思索上式的變式如何呈現。
思考后得出：|（y-■）|
（2）提出問題
①教師提出問題：假如不動筆解不等式，你有沒有辦法寫出不等式y2-y-2
②教師“搭橋”：請你思考原式的補集并思考跟不等式的解集有什么聯系？
③教師繼續引導：仔細觀察不等式y2-y-20及方程y2-y-2=0，認真思考，你有什么新發現？或者是你有哪些疑惑呢？
④學生匯報交流。
發現1：通過計算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；觀察不等式會發現，他們的解集分別與-1和2有關，數軸直觀的顯示出y2-y-20的解集集中在兩根之間的區間。發現2：根據上面的規律，我們可以先求出方程的根，再求不等式的解。
（3）歸納提升
①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1
②教師表揚學生表述的非常清楚。新的情況是，附加說明a
（4）拓展練習
①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2
③-x2+2x+3
（5）評析
從本節課的片段中不難發現，這是一節典型的“上位學習”方式的具體運用，符合有意義接受學習的基本條件。本節課中學生的原有知識與新授知識（一元二次不等式的解法）之間構成了典型的上位關系。（見圖3）
上位關系示意圖清晰地顯示出新知識與原有五個知識點之間的聯系，新知識既是對原有知識的歸納概括，又能將原有知識加以整合運用。例如，解集是要用集合來呈現，求解過程通常需要化歸后解決，數形結合的直觀理解等，可見，新知識與原有知識相比，其包容性與概括性更強[5]。
化歸思想、遷移思想以及數形結合思想的滲透與應用貫穿整個過程，師生的數學探究包含了教師的有效引導和學生的主動探究、積極思索、合理總結，整個案例呈現出了高效地運用上位學習的方式完成有意義接受學習的過程。
參考文獻
[1] 王艷青，代欽.高中數學解題教學中的分類討論策略.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2011（12）.
[2] 劉麗娟.奧蘇貝爾有意義學習理論及對當今教學的啟示.南方論刊，2009（5）.
[3] 蔣學聰.提高數學教師有效備課質量之研究.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2013（6）.
對角線的規律范文3
一、明了變式教學理論
無論應用怎樣的教學方法，教師都需要先了解其理論基礎。數學變式教學同樣具備其獨有的理論基礎。尤其是對數學知識這種抽象性很強的知識，更需要學生做好充分的準備和積極的探究。初中階段，學生的思維能力正在發展，對于學生理解能力的培養是非常重要的。數學中有很多概念和符號都比較抽象，學生在理解時會出現很大難度，難以快速形成系統的知識框架。目前，很多初中數學教師在課堂教學中，應用文字講解加符號教學的方式進行教學，這對學生知識理解的幫助作用是微乎其微的，學生在難以理解知識的情況下，智力成長也會受到阻礙，從而導致學習效率無法提高，初中數學教學失去意義。例如：學習極限知識時，教師引入了一個例子：比較1與0.999哪個大？有的學生認為1大，根據極限理論，即使無限增大，也不可能超過1；也有一些學生認為0.999大，因為0.333接近三分之一個，如果在此基礎上擴大三倍，那么結果顯而易見。在初中數學變式教學中，其教學活動是圍繞著培養學生理解能力這一主題展開的，通過教學知識的理論與應用，將傳統的理論教學變成應用教學。
二、發揮變式教學的作用
在明確變式教學的理論基礎后，還需要在實際的教學過程中進行應用，充分發揮其作用。在變式教學中需要用到非常多的例題，看起來與題海戰術有相似之處，但兩者的本質是完全不同的，變式教學引用例題，不是為了讓學生見到更多題型，按套路解題，而是在教學抽象理論知識的時候，通過靈活多變的題目，將枯燥乏味的理論知識演繹出來，讓學生運算規律操作得到充分的鍛煉。在初中數學中應用變式教學，可以有以下三個作用。
其一，數學理論知識的變式教學的重點，變式教學能夠很好地促進數學理論知識教學。在初中數學變式教學中，對于數學抽象理論知識的教學，無論是定理、概念、性質還是公式，都可以與其應用教學結合起來，首先從比較具有特殊性的問題入手，將抽象的理論知識具象化，讓學生對知識有初步的了解，然后在逐漸發展到一般性的問題當中，對理論知識進行普適性講解，從而易化學生對知識的理解，幫助學生快速掌握。
其二，數學變式教學有助于學生思維能力的提高。初中數學變式教學的實質是對理論知識的教學，在教學的過程中，學生的思維理解力一直在提升，對知識的深入探究，也能鍛煉學生的思維深度。在變式教學中，通過反例的列舉，能夠從另一個角度，將知識的本質更清晰地反映出來，同時，學生在學習的過程中，將反例與原問題對比分析，能夠提高學生的思維批判性，增強學生的判斷能力；數學變式教學中，一題多解、一法多用以及一題多變等模式，能夠將各類問題的多個角度展現在學生面前，學生在學習的過程中，能夠有效提升自身的思維全面性和敏捷性。
其三，變式教學可以培養學生的辯證思維能力和邏輯推導能力。例如：在教學有關多邊形的對角線的知識時，如果教師直接說出其公式，學生并不能很快的理解，對此，教師可以應用變式教學，舉出這樣的例子：從多邊形的一個頂點，作對角線（如圖所示），問題一，四邊形從一個頂點出發，可以作1條對角線、五邊形可以作2條、六邊形可以作3條、那么七邊形可以作幾條對角線？n邊形呢？問題二，上面做出的對角線把四邊形劃分為兩個三角形、把五邊形劃分為3個三角形、六邊形4個，問，把n邊形劃分為幾個三角形？問題三，根據以上規律，探究多邊形內所有對角線的條數，問，n邊形有幾條對角線？
對于第一問的解題，我們可以通過觀察發現，其實從一點出發作對角線，就是與除了相鄰點之外的所有點連接，所以七邊形有4條，n邊形有n-3條。對于第二問，同樣的道理，可以推知n邊形可以分成n-2個三角形。對于第三問，每個點出發可以作n-3條對角線，共n個點，相同兩點作的對角線有重復，故n邊形一共有n（n-3）/2條對角線。學生通過一步步的解題，就能夠提高自身的探究能力和邏輯思維能力。
對角線的規律范文4
【關鍵詞】數學教學發散型習題發散思維
初中生的思維定勢是一種普遍的心理現象。在學生的學習中,既有積極的作用,也有消極的作用。積極的作用表現在:學生按常規的思維模式去學習和發散思維能力的發展。初中數學這門學科對學生的發散思維要求比較高,培養學生的發散性思維是數學教師努力的方向。對學生加強思維發散型習題的解題指導和練習訓練,是培養學生發散思維有效途徑之一。下面我結合實例談談個人的做法與體會。
案例一:菱形有哪些性質?如何判斷一個四邊形是菱形?
菱形是一種特殊的平行四邊形,除具有平行四邊形所有的性質外,還具有以下性質三個性質:(1)四條邊都相等;(2)對角線互相垂直;(3)沒一條對角線平分一組對角。
判斷一個四邊形是菱形的方法:
(1)四條邊都相等
(2)對角線互相垂直的平行四邊形
(3)有一條對角線平分一個內角的平行四邊形
發散型習題1:在四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,從(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)ACBD;(6)AC平分∠BAD這六個條件中,選取三個推出四邊形ABCD是菱形,如(1)(2)(5)推出四邊形ABCD是菱形。再寫出符合要求的兩個:___________推出四邊形ABCD是菱形;____________推出四邊形ABCD是菱形;
分析首先依據題意畫出圖形如下,
再聯想平行四邊形及菱形的判定方法,
由“對角線互相垂直的平行四邊形”是菱形可得(3)(4)(5);由“有一條對角線平分一個內角的平行四邊形”是菱形可得(1)(2)(6)或(3)(4)(6)。
答案:(3)(4)(5)(1)(2(6)
變式演練1如圖所示,菱形ABCD的周長為40cm,∠BAD=120°,對角線AC的長為()
A. 5cmB.5(根號下3)cmC.10cmD. 103cm
發散型習題2:已知ABCD,試用兩種方法將平行四邊形ABCD分成面積相等的四個部分。
分析:平行四邊形是中心對稱圖形,過對稱中心的每一條直線可將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩個部分。由于平行四邊形對邊平行,而兩條平行的距離相等,可利用等底等高的三角形面積相等這一條件。
解方法一:連接AC、BD。如下圖所示。
方法二:過對稱中心分別作平行于AB、CD的平行線EF、MN即可。如下圖所示。
方法三:過AD、BC的中點作直線EF,連接BE、DF即可。如下圖所示。
案例二:等腰梯形的性質和判定
等腰梯形的性質:等腰梯形同一底上的兩角相等,對角線相等。
等腰梯形的判定方法:
發散型習題1如下圖所示在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,梯形的周長為20cm,試求梯形的面積。
分析:由等腰梯形的性質,可知∠A=∠ABC=60°,由BD平分∠ABC,可得∠2=∠3=30°,則∠ADB=90°,因此有BC=DA=1/2AB,可求出上下底的長及梯形的高。
解在等腰梯形ABCD中,∠A=∠ABC=60°。
BD平分∠ABC,∠2=∠3=30°
∠ADB=180°―(∠A +∠3)=180°―(60°+30°)=90°,
AB=2AD。
AB∥CD,∠1=∠3,進而∠1=∠2。
CD=BC=AD。
AD+CD+BC+AB=20
CD=4,AB=8,AD=4。
作DEAB,垂足為E,則∠ADE=30°
AE=1/2BD=2,
DE=
S梯形ABCD=(CD + AB)•DE =
發散型習題2如下圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,點E是BC邊的中點,求證:AE=DE。
分析要證AE=DE,可證ABE≌DCE,聯想等腰梯形的判定定理和性質定理。
證明在在梯形ABCD中,
∠B=∠C,
梯形ABCD是等腰梯形。
AB=DC。
點E是BC邊的中點,
BE=CE
ABE≌DCE,AE=DE。
發散型習題3(本題由學生自主完成,教師檢查、點撥):在數學活動課上,要求同學們做下面的“循環分割”操作,然后再探索規律:如下圖是一等腰梯形紙片,其腰長與上底長相等,且底角分別為60°和120°,按要求開始操作(每次分割,紙片不得有剩余)。
第1次分割,先將原等腰梯形紙片分割成3個全等的正三角形,然后將出的一個正三角形分割成3個全等的等腰梯形。
第2次分割,先將上次分割出的3個等腰梯形中的一個分割成3個全等的正三角形,然后將剛分割出的一個正三角形分割成3個全等的等腰梯形;以后按第二次分割的方法進行下去……
(1)請你在下圖中畫出第一次分割的方案圖
(2)若原等腰梯形的面積為a,請你通過操作、觀察將第2次、第3次分割后所得的最小的等腰梯形面積分別填入下表:
對角線的規律范文5
一、自主學習
為了提高學生學習的主觀能動性，我們采用“課前自主學習”的教學模式，也就是在教師的指導下，學生課前先學，家庭作業就是完成預習作業課前自學既要閱讀課本，也要做課本上練習而閱讀課本，則是充分利用數學知識的邏輯性，不斷在課文的適當地方進行分析，做出預測、猜想，得出相應的結論，從而獲得知識因此，閱讀課本要盡量采用主動式閱讀
當然，閱讀能力只是自學能力的一部分，而閱讀能力本身也是一項綜合能力，我們希望由此增強學生的主體意識，自覺并有主見地學習，樹立自主學習觀，有意識地培養、鍛煉自己，并且在這個過程中實現自我控制，不斷增強自主學習的能力、分析解決問題的能力
[BP（]如“有理數的乘方”一節，教材安排了三個有代表性的實例：
1某種細胞每30分鐘便由1個分裂成2個，經過5小時，這種細胞由1個分裂成多少個？
2一張厚度為01 mm的紙，將它對折1次后，厚度為2×01 mm，對折2次后，厚度為多少mm？對折20次后厚度為多少mm？
3題“棋盤上的學問”
這些問題都蘊藏著一個奇妙的數學規律，課前教師可以取其中的一個實例，如第二個問題，讓學生猜一猜到底有多厚，然后再找一找其中的變化規律，最后再算一算，使學生產生好奇心，求知欲，促使學生去自學、去思考、從中培養學生自主學習的習慣[BP）]
二、探索學習
學生只有通過主動探索、實踐、參與才能促進個性發展教師應加強培養學生的求異思維，這樣才能發展學生的探索精神和創新能力
在教學中教師要引領學生學會從不同角度進行思考，要鼓勵學生多方位、多角度地去探索，追尋與眾不同的答案
例[HTK]平行四邊形ABCD，E，F在對角線BD上，且BE=DF（如圖1），求證：AE=CF
變式1[HTK]如果E，F在對角線BD的外部，如圖2，且BE=DF，求證：AE=CF
[TP7CS17TIF，BP#]
變式2[HTK]已知：平形四邊形ABCD，E，F為對角線BD上兩點，如圖3，且BE=DF，求證：AE=CF
變式3[HTK]已知：平行四邊形ABCD，AEBD，CFBD，垂足分別為E、F，如圖4，求證：AE=CF
[TP7CS18TIF，BP#]
幾種變式的證明方法都是相同的，通過此題的變化培養了學生的發散思維
如在實施平行四邊形教學時，沒有按課本的順序，從矩形、菱形到正方形，每個圖形分別按概念、性質、判定來組織教學，而是根據學生實際情況，從平行四邊形到矩形、菱形、正方形的關系出發，讓學生自己動手做平行四邊形教具，通過動手實踐看看平行四邊形是如何變成矩形、菱形和正方形的，試著自己給矩形、菱形、正方形下定義，然后教師給予修正，接著在得到正確的矩形、菱形和正方形概念后，可以讓學生自己探索各個圖形的性質，而矩形、菱形和正方形的性質很容易從圖形中觀察、猜想得到另外，學生已學過平行四邊形的概念及性質，可以用“類比”的思想方法，分別從邊、角、對角線去猜想矩形、菱形和正方形的性質，讓學生得出盡可能多的性質，必要時教師給予提示（如對菱形的每一條對角線平分一組對角這條性質，學生不容易想出），最后讓學生對這些性質進行整理，給出證明，在證明過程中，教師適時給予指導，同時在此基礎上，讓學生能獨立完成一些作業這樣的學習，學生學到的不僅是知識和技能，而是獲得數學思想和方法
為了培養和發展學生的能力、特別是創新能力，學生進行探究式的學習是必要的，也是可能的但是，以為學生自主探索就不需要教師的引導，知識是學生自己構建，而放棄幫助學生的觀點和做法，都是不適合的其次，在學習過程中，不是所有數學知識都可以依靠學生自主式探究活動而獲得，有些知識應該講授探索學習是否有效，關鍵在于教師對學生數學學習的指導與學生自主探究式學習之間的平衡與調控
三、合作學習
學生在學習過程中不可避免地遇到這樣或那樣的問題，獨立鉆研的精神固然可貴，但積極合作、相互探討也是必不可少的一種方法未來的社會，對交流能力的要求已提高到了一個新的高度，學會交流是未來成為“社會人”的重要標志促進學生學會交流與合作，教師應讓學生認識到交流與合作的重要性，讓學生體會到在現代生活和科學研究中，交流與合作是必不可少的
在教學中，教師可以引導學生以“組內異質，組間同質”為原則，建立學習小組，一般4到6人為一組課堂或課下給學生充分討論的時間和空間，讓學生在討論中達到相互取長補短、友愛互助的目的同時，學生之間針對出現的問題展開討論，甚至辯論，相互交流想法，無形中也培養了學生的語言表達能力教師要鼓勵學生在討論過程中不斷地說出自己的認識和想法
例如，在學習等腰梯形性質時，讓學生觀察圖形，尋找梯形中邊、角和對角線的性質同學們按小組進行討論，從而能得出答案，然后，對同一底上的兩個角相等和對角線相等進行證明大家互相討論尋找添輔助線的方法，教師傾聽學生的方法并適時給予肯定或指導通過此課教學可以培養學生的發散思維
[TP7CS19TIF，Y#]
過程如下：
邊的性質：AB=CD，AD∥BC
角的性質：∠A=∠D，∠B=∠C，
∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°
對角線的性質：AC=BD
對角線的規律范文6
本節課的教學目標為：利用實驗歸納法，得出互成角度的兩個力的合成遵循平行四邊形定則，并能初步運用平行四邊形定則求合力，培養動手操作能力、物理思維能力和科學態度。同時，通過探索性實驗歸納出互成角度的兩個力的合成遵循平行四邊形定則是本節課的重點和難點。
實驗所需器材分為兩部分：其中教師用器材：平行四邊形定則實驗器、鉤碼（12個）、細線若干、彈簧秤（3只）、橡皮筋（3條）、方木板（1塊）、平行四邊形定則演示器（2個）、投影（1套）、微機（1套）、三角板（2個）。學生用器材30套，每套包括：方木板（1塊）、彈簧秤（2個）、橡皮筋（1條）、8開白紙（1張）、50cm細線（1根）、圖釘（1個）、有刻度的三角板（2個）、記號筆（1支）、大鐵夾（1個）。
根據本節課“驗證性”和“探索性”的教學指導思想，設計如下教學環節：
一、聯系實際引入新課教學
依據“一個力產生的效果，與兩個力共同作用產生的效果相同，這個力就叫做那兩個力的合力，求兩個力的合力叫做二力的合成”這一學生已有知識經驗，提出問題：“已知同一直線上的兩個力F1、F2的大小分別為2N、3N，如果F1、F2的方向相同，那以它們的合力大小是多少？合力沿什么方向？”引導學生得出答案：“5N，方向與F1、F2的方向相同?！?/p>
進一步提問：“如果F1、F2的方向相反，那么它們的合力大小是多少？合力沿什么方向？”引導學生得出答案：“1N，方向與較大的那個力的方向相同?！?/p>
在此基礎上，板書“在以上同一直線上兩個力的合力，與兩個力的大小、方向兩個因素有關”，并講述這就是初中所學的“同一直線上二力的合成”。
利用實驗器材演示此現象。將橡皮筋一端固定在M點，用互成角度的兩個力F1、F2共同作用，將橡皮筋的另一端拉到O點；如果我們只用一個力，也可以將橡皮筋的另一端拉到O點。如圖1、圖2所示。
一個力F產生的效果，與兩個力F1、F2共同作用產生的效果相同，這個力F就叫做那兩個力F1、F2的合力，而那兩個力F1、F2就叫這個力F的分力。求F1、F2兩個力的合力F的過程，就叫做二力的合成。如圖3所示。與初中的二力合成不同的是，F1、F2不在同一直線上，而是互成角度。由此引出本節課教學。
二、“探究性”實驗教學方式的新課教學過程
提出問題：“互成角度的兩個力的合力與分力的大小、方向是否有關？如果有關，又有什么樣的關系？”
我們通過實驗來研究這個問題。首先應該確定兩個分力的大小、方向，再確定合力的大小、方向，然后才能研究合力與兩個分力的大小、方向的關系。那么怎樣確定兩個分力F1、F2的大小、方向呢？
啟發學生回答：用彈簧秤測量分力的大小，分力的方向分別沿細繩方向，即沿所標明的虛線方向。
邊演示邊講解兩名學生如何分工合作：一名同學用兩只彈簧秤分別鉤掛細繩套，同時用力互成角度地沿規定的方向拉橡皮筋，使橡皮筋的另一端伸長到O點；另一名同學用記號筆分別在相應位置記下兩個彈簧秤的讀數。這就是分力的大小。注意：拉動橡皮筋時，要使兩只彈簧秤與木板平面平行。
現在，請同學們觀察M點有沒有固定橡皮筋，規定的方向是不是明確，記錄用的油筆有沒有？用鐵夾子將木板固定在桌上。都準備好之后，左邊同學拉橡皮筋，右邊同學讀數并記錄數據，測量兩個分力的大小，測量完之后給出實驗結果。
指導學生進行分組實驗，并提出問題：“怎樣確定合力F的大小、方向呢？”
引導學生得出答案：“用一只彈簧秤通過細繩套也把橡皮筋拉到位置O，彈簧秤的讀數就是合力的大小，細繩的方向就是合力的方向?！?/p>
確定合力的大小和方向：一位同學用一只彈簧秤通過細繩套也把橡皮筋拉到位置O，另一位同學用記號筆記下細繩的方向，并在相應位置記下彈簧秤的讀數。這就是合力的方向、大小。注意前后兩次實驗O點應該重合。
最后，請右邊同學拉橡皮筋，左邊同學讀數并記錄數據，確定合力的大小和方向。
到此為止，我們已經確定了兩個分力以及它們的合力的大小、方向。為了弄清楚兩個力的合力與分力的大小、方向的關系，我們可以用力的圖示法形象地將分力和合力的大小、方向表示出來。
指導學生進行實驗數據處理十分重要。用力的圖示法分別表示分力及合力：選擇適當的標準長度（3cm長的線段表示1N力），利用三角板，從O點開始，用力的圖示法分別表示兩個分力及合力的大小、方向。注意標準長度要一致。如圖4所示，有向線段OA、OB、OC分別表示兩個分力及合力。
現在，讓學生用力的圖示法將自己測量的分力和合力分別表示出來，同時提出問題：“分力的大小分別等于多少？合力的大小等于多少？”
進一步提問：由此看來，互成角度的兩個力的合成，不能簡單地利用代數方法相加減。那么合力與分力的大小、方向究竟有什么關系呢？
讓學生仔細看看，O、A、C、B的位置關系有什么特點？
停頓20秒，引導學生猜出：O、A、C、B好像是一個平行四邊形的四個頂點。OC好像是這個平行四邊形的對角線。
教師解說：OC好像是這個平行四邊形的對角線，這畢竟是一種猜測，究竟OC是不是這個平行四邊形的對角線呢？我們可以以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，看平行四邊形的對角線與OC是否重合。
用兩個三角板，以表示兩個分力的有向線段OA、OB為鄰邊，用虛線作平行四邊形OACB。
現在請學生以自己所得的OA、OB為鄰邊，作平行四邊形，并連接OA、OB之間的對角線。
學生操作，教師指導，選出典型，投影講評。比較平行四邊形的對角線和合力，發現對角線與合力很接近。
四組學生所得結果都是結論，教師所得實驗結果也是結論，那么結論是不是普遍的呢？經過前人們很多次的、精細的實驗，最后確認，對角線的長度、方向，跟合力的大小、方向一致，即對角線與合力重合，也就是說，對角線就表示F1、F2的合力?？梢娗蠡コ山嵌鹊膬蓚€力的合力，不是簡單地將兩個力相加減，而是（可以）用表示兩個力的有向線段為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就表示合力的大小和方向。這就是平行四邊形定則。如圖5所示。
提出問題：“有沒有同學實驗結果是對角線與合力相距比較遠？”
告訴學生，有這種情況很正常，一個規律的得出，是由很多人在很長時間里，進行了許多次實驗，才能總結出來，并要經得起實踐檢驗。因此，一個規律，并不是通過一次實驗就能得到的。如果有同學實驗結果是對角線與合力相距比較遠，不要著急，課下我們一起來看看問題出在哪里。
三、引導學生做出本節課的小結
1.互成角度的兩個力的合成，不是簡單地利用代數方法相加減，而是遵循平行四邊形定則。即合力F的大小不僅取決于兩個分力F1、F2的大小，而且取決于兩個分力的夾角。