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數學歸納法范文1
數學歸納法是一種重要的證明方法，在證明問題中往往具有意想不到的效果.但是，掌握好數學歸納法需要理解證明中的環環相扣的兩步走.
一、數學歸納法在證明等式問題中的應用
例1.請利用數學歸納法證明：1-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■.
解：（1）當n=1時，左邊=1-■=■=右邊，命題成立.
（2）假設n=k時，命題成立，即1-■+■-■+…+■-■=■+■+…+■，那么1-■+■-■+…+■-■+■-■=■+■+…+■+■-■=■+■+…+■+■+（■-■）=■+■+…+■+■+■.
這說明當n=k+1時命題也成立.
由（1）（2）可知命題對一切正整數都成立.
評析：關鍵在于n=k變為n=k+1時等式變化是什么，等式增加多少項它們是什么.題中n=k時，原式=1-■+■-■+…+■-■，當n=k+1時，式子就變為1-■+■-■+…+■-■+■-■.
二、數學歸納法在證明不等式問題中的應用
例2.求證：■+■+…+■>1
分析：證明n=1成立時，不等式左側為■+■+■，不是一項.利用假設n=k時不等式成立來證明n=k+1時不等式也成立，必須用到歸納假設，繼而進行恰當的放縮.
解：（1）當n=1時，左邊=■+■+■=■=■>1，不等式成立.
（2）假設n=k時命題成立，即■+■+…+■>1，
則當n=k+1時，■+■+…+■+■+■+■=（■+■+…+■）+■+■+■-■>1+[■+■-■]=1+■-■=1+■-■>1.
這就是說，當n=k+1時，不等式成立.
由（1）（2）知原不等式成立.
規律總結：關鍵點在于從k到k+1時項數的變化，跨度較大，注意到分母是相鄰的自然數，理應為■+■+■，有三項之多，同時也要關注到式子中的第一項同樣發生了變化.
三、先歸納后猜想再證明
例3.已知a1=■，且Sn=n2an（n∈N*）.
（1）求a2，a3，a4.
（2）猜想出數列{an}的通項公式，并利用數學歸納法進行證明.
分析：已知Sn求an的問題，可以通過題型特點直接求出遞推公式an+1=■an，再進行證明.用數學歸納法證明時重點關注好n=k和n=k+1兩者之間的關聯性，用好an+1=■an的紐帶作用.
解：Sn=n2an，an+1=Sn+1-Sn=（n+1）2an+1-n2an，an+1=■an，
（1）a2=■，a3=■，a4=■.
（2）猜想出an=■.利用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，命題顯然成立.
②假設當n=k時命題成立，即有ak=■.則當n=k+1時，ak+1=■ak=■×■=■.故當n=k+1時命題也成立.綜上所述，對于任意的n∈N*，都有an=■.
四、錯誤辨析
例4.用數學歸納法證明：6能整除n3+5n（n∈N*）.
錯誤解：（1）當n=1時，n3+5n=6，6能被6整除，結論顯然成立.
（2）假設n=k時結論成立，即k3+5k能被6整除.
那么（k+1）3+5（k+1）=[（k+1）3-（k-1）]+6（k+1）=（k+1）[（k+1）2-1]+6（k+1）=（k+1）（k+2）k+6（k+1）.
因為k，k+1，k+2是相鄰的三個整數，三個中肯定有一個能被3整除，三個中肯定至少有一個能被2整除，所以6能整除k（k+1）（k+2）+6（k+1）.故n=k+1時，結論也成立.
評析：本題證明法看起來很完美，其實仔細觀察我們發現，在證明過程中沒有按照數學歸納法的兩大步驟來完成.
數學歸納法是高中重要的一種證明方法，一般情況分兩大步―三結論的模式來證明問題.數學歸納法有兩個聯系緊密、缺一不可的步驟，前一步是推理的基礎，后一步是推理的依據，少前一步就缺少推理的基礎，后一步中的假設就失去了成立的基石，少后一步，就缺少了推理的依據，問題的普遍性得不到呈現。所以，數學歸納法其實是環環相扣的兩環.
數學歸納法范文2
1.教學內容
數學歸納法是人教B版普通高級中學教科書數學選修2-2第二章第三節的內容，本節共2課時，這是第1課時，主要內容是數學歸納法理解與簡單應用。
2.地位作用
在前面，學生已經學了用不完全歸納法推導等差數列、等比數列的通項公式，數學歸納法是數列知識的深入與擴展?？v觀高中數學，數學歸納法是一個重難點內容，也是一種重要的數學方法，可以使學生學會研究數學的科學方法。
3.重點難點
重點：數學歸納法及其應用。
難點：對數學歸納法原理的了解。
二、學情分析
1.知識準備
學生對等差（比）數列、數列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，同時也具備一定的從特殊到一般的歸納
能力，但對歸納的概念是模糊的。
2.能力儲備
學生經過前面的數學學習，已具有一定的推理能力，數學思維也逐步向理性層次躍進，并逐步形成了辯證思維體系，但學生自主探究問題的能力普遍還不夠理想。
3.學生情況
我所教的班級學生基礎有點差，因此，我按照大綱要求，結合學生情況，補充了一些問題情境和數學實例以烘托重點，突破難點。
三、教學目標
根據教學內容特點和教學大綱，根據學生以上實際及學生終身發展需要特制訂以下教學目標。
1.知識與技能
了解歸納法，理解數學歸納的原理與實質，掌握兩個步驟；會證明簡單的與自然數有關的命題。
2.過程與方法
努力創設課堂愉悅情境，使學生處于積極思考、大膽質疑的氛圍，提高學生學習的興趣和課堂效率。讓學生經歷知識的構建過程，體會類比的數學思想。
3.情感態度與價值觀
讓學生領悟數學思想和辯證唯物主義觀點；體會研究數學問
題的一種方法，激發學生的學習熱情，培養學生學習做數學的意識和科學精神。
四、教法學法
1.教學方法
采用類比啟發探究式教學方法進行教學。數學歸納法的教學立足于學生的邏輯思維能力和推理能力，在舊知識體系的基礎上
構建新的知識模式。教學中注重觀察與思考、比較與類比、分析與綜合、概括與特殊化等知識發生發展與形成的思維過程。
2.學法指導
在教學過程中，我不僅傳授給學生課本知識，還培養學生主動觀察、主動思考、親自動手、自我發現等學習能力，增強學生的綜合素質，從而達到較為理想的教學終極目標。
3.教學手段
借助多媒體呈現多米諾骨牌等生活素材，促進學生對“遞推原理”的理解，為學生掌握數學歸納法提供形象化的參照，為教學難點突破提供感性基礎。
五、教學過程
主干層次為：創設問題情境（提出問題）；探索解決問題的方法（建立數學模型）；方法嘗試（感性認識）；理解升華（理性認識）；方法應用（解決問題）；課堂小結（反饋與提高）。
教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線
展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對書本知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。
1.創設問題情境
（1）不完全歸納法引例
明朝劉元卿編的《應諧錄》中有一個笑話：財主的兒子學寫字。這則笑話中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結論，用的就是“歸納法”，不過，這個歸納推出的結論顯然是錯誤的。
（2）完全歸納法對比引例
有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些。他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳凑l先給出答案。大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生。顯然，二徒弟比大徒弟聰明。
2.探索解決問題的方法
（1）多媒體演示多米諾骨牌游戲
師生共同探討多米諾骨牌全部依次倒下的條件：①第一塊要
倒下；②當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下。當滿足這兩個條件時，多米諾骨牌全部都倒下。
（2）學生類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，探究出證明有關正整數命題的方法（建立數學模型）
①n取第一個值n0（例如n0=1）時命題成立；
②假設n=k（k∈N*，k≥n0）命題成立，利用它證明n=k+1時命題也成立。
滿足這兩個條件后，命題對一切n∈N*均成立。
3.方法嘗試
如，師生共同用探究出的方法嘗試證明等差數列通項公式。
其中假設n=k時等式成立，證明n=k+1時等式成立的證明目標和如何利用假設主要由學生完成。
①n=1時等式成立。
②假設當n=k時等式成立，即ak=a1+（k-1）d，則ak+1=ak+d=a1+（k-1）d+d=a1+[（k+1）-1]d，即n=k+1時等式也成立。
于是，我們得出結論：等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d對任何n∈N*都成立。
4.理解升華
（1）論證（說理）
師生共同探討數學歸納法的原理，理解它的嚴密性、合理性，從而由感性認識上升為理性認識。
（2）方法總結
學生總結用數學歸納法證明命題的兩個步驟：
數學歸納法范文3
關鍵詞：數學歸納法；歸納基礎；證明方法
數學歸納法是數學中一種獨特而重要的證明方法，它是一種只與自然數有關的命題證明的方法.由于自然數的無窮性，命題情況不能一一枚舉，而通過學習，使學生了解一種“化無限為有限”的辯證思維方法.然而，現行教材沒有給出它成立的依據，而且它又不是那么直觀易懂，故學生在數學歸納法應用中易出現錯誤.下面就學生中常見的錯誤，略舉數例進行分析.
一、忽視歸納基礎
二、對歸納基礎步驟中有關第一個取值n0理解錯誤
1.受教科書例題及習慣的影響，常認為n0就是1.
三、在驗證遞推關系式的過程中用到了一些未經假設的條件
四、在歸納證明過程中，沒有應用n=k時命題成立的歸納假設
上述證明中，將n=k時式子的左端僅加上，就認為是n=k+1時式子的左端.這主要是由于教科書中所舉的例題和習題中，n從k變到k+1時，式子中總是增加一項，因此有些學生誤認為所有的數學歸納法證明n從k變到k+1時，式子左邊總是增加一項，以至產生如此錯誤.實際上，n從k變到k+1時，式子有時相差一項，有時差別是很大的，這需要由通項和前面項聯系起來確定.
數學歸納法范文4
關鍵詞：圖論；數學歸納法；應用
中圖分類號：G712文獻標識碼：A文章編號：1009-0118（2012）12-0129-02
圖論是一個應用比較廣泛的數學分支，在許多領域，諸如物理學、化學、運籌學、計算機科學、網絡理論、社會科學以及經濟管理等方面都有廣泛的應用。點、邊（或弧）、面、連通分支等是圖的基本要素，在圖論的證明中經常用數學歸納法對點的個數、邊的個數及連通分支個數等進行歸納。一般情況下，由于證明過程中需保持圖的相關性質，因而需要選擇合適的要素進行歸納。有些結論的證明既可以對一種要素的個數進行歸納，也可以對另一種要素的個數進行歸納；既可以用第一數學歸納法證明，也可以用第二數學歸納法證明，其中數學歸納法的運用既體現了嚴謹性的要求，又體現了靈活性，表現手法多樣[1]。
一、數學歸納法
作為一個好的數學家，或者一個優秀的博弈者，或者要精通別的什么事情，你必須首先是一個好的猜想家，而要成為一個好的猜想家，我想，你首先是天資聰慧的。但天資聰慧當然還不夠，你應當考察你的一些猜想，把它與事實進行比較，如果有必要，就對你的猜想進行修正，從而獲得猜想失敗與成功的廣泛經驗。在你的經歷中如果具備這樣一種經驗，你就能夠判斷得比較適當，碰到一種機遇，就能大致預知它的是非結果。
自然科學中的“經驗歸納法”，是從某一現象的一系列特定的觀察出發，歸納出支配該現象所有情況的一般規律，而數學歸納法則是迥然不同的另種手段，它用來證實有關無限序列（第一個，第二個，第三個，等等，沒有一個情況例外）的數學定理的正確性。數學歸納法的原理是奠基在下屬事實的基礎上：在任一整數r之后接著便有下一個r+1，從而從整數1出發，通過有限多次這種步驟，便能達到任意選定的整數n。數學歸納法原理與經驗歸納法是完全不同的，一般的定律如果被證實了任意有限次，那么不論次數多么多，甚至至今尚未發現例外，都不能說該定律在嚴格的數學意義下被證明了，這種定律只能算作十分合理的假設，它容易為未來的經驗結果所修正。在數學中，一條定律或一個定理所謂被證明了，指它是從若干作為真理接受的假設出發而得到的邏輯推論。人們考察一個定理，如果它在許多實例中是正確的，那么就可猜想定理在普遍意義下將是真的；然后人們嘗試用數學歸納法以證明之。如果嘗試成功，定理被證明為真；如果嘗試失敗，則定理的真偽未定，有待以后用其他方法予以證明或者[2]。
二、數學歸納法的具體表現形式
歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法，而數學歸納法屬于完全歸納法，它又分為有限數學歸納法和超限數學歸納法，對于后者，在實變函數論中會學到；前者有兩種不同的形式，它們分別敘述為：
第一數學歸納法：如果性質P（n）在n=1時成立，而且在假設了n=k時性質P（k）成立后，可以推出在n=k+1時性質P（k+1）也成立，那么我們可以斷定性質P（n）對一切自然數n都成立。
第二數學歸納法：如果性質P（n）在n=1時成立，而且在假設了對所有小于或等于k的自然數n性質P（n）都成立后，可以推出在n=k+1時性質P（k+1）也成立，那么性質P（n）對一切自然數n都成立。
數學歸納法是一種常用的不可缺少的推理論證方法，第一數學歸納法與第二數學歸納法在數學的證明中經常用到，而反歸納法、跳躍歸納法與雙重歸納法在數學的證明中不是很常見的。然而如上所述，利用數學歸納法證明與圖論有關的命題，可降低證明過程的復雜性，使推理過程簡單、清晰，也保證了推理的嚴謹性。
例1：某生產隊科學實驗小組決定研究n（n≥2）種害蟲之間的關系，然后想法消滅它們，經實驗，他們發現，其中任意兩種總有一種可吞食另一種。試證明可把此幾種害蟲排成一行，使得前一種可吞食后一種。證明⑴n=2時，命題顯然成立。⑵設n=k時（k≥2），結論成立。我們不妨以ai（i=1，2，…，k）表示第i種害蟲，記這時可將它們排成a1a2，…ak，其中前一種可吞食后一種。用（ak>ak+1表示可吞食a+1）
下面考慮n=k+1時的情形，即在上面情形里加進一種害蟲ak+1（當然，我們還可以將k+1種害蟲分為兩組，一組k，一組一種，由歸納假設第一組k種可排成a1，a2，…ak，使前一種可吞食后一種，再將第二組的一種記為ak+1加入），將有面兩種情形：
（1）若ak+1>a，則可將ak+1置a1前，則有ak+1>a1>a2>…ak。命題為真；（2）若a1>ak+1，再將ak+1與a2放在一起試驗，若ak+1>a，可將ak+1置a1后a2前即可，這時有a1>ak+1>a2>Λ>ak，命題為真。否則可重復往下試驗，經過有限次（≤k次），必有下列情形之一：ai-1>ak+1>ai，問題解決。否則ak>ak+1，則可置ak+1于ak之后。此時有a1>a2>…>ak>ak+1，命題亦成立。
綜上，命題對k+1成立，從而對任意自然數（n≥2）成立。
第二數學歸納法的應用
例2：證明（1）當n=1時，D1=cosθ，猜想成立。（2）假設n≤k-1時，Dk=coskθ，當n=k時，由式（1），有Dn=2cosθcos（n-1）θ-cos（n-2）θ=cosnθ+cos（n-2）θ-cos（n-2）θ=cosnθ，故k=n時，有Dk=coskθ，歸納法完成，故對一切n∈N*，都有Dn=cosnθ?？傊瑪祵W歸納法的兩個步驟，缺一不可。即都是必須的，否則將不完整，甚至導出錯誤的結果。
三、圖論中數學歸納法中的應用
例3：設A是G的鄰接矩陣，證明Ak的（i，j）元素a（k）ij等于G中聯結vi和vj的長為k的途徑的數目[3]。
證明：對k用歸納法。當k=0時A0=I為p價單位矩陣。從任一頂點vi到自身有一條長為0的途徑，任何兩個不同的頂點間沒有長為0途徑，故當k=0時結論成立。
今設結構對k成立，由Ak+1=AAk，故有
a（k+1）ij=∑p12l=1aijalj（k）
由于aij同是聯結vi與vl的長為1的途徑的數目，alj（k）是聯結vl與vj長為k的途徑的數目，所以ailalj（k）表示由vi經過一條到vl，再經過一條長為k的途徑為vj的總長為k+1的途徑的數目，對所有的l求和，即得a（k+1）ij是所有聯結vi與vj長為k+1的途徑的數目，由歸納法原理，結論得證。
例4：p階圖G是一棵樹，證明G有p-1條邊。方法1（第一數學歸納法）：當p=2時，結論顯然成立。假設p=k時結論為真，當p=k+1時，因為G沒有圈，當把G中的一條邊收縮后，G的邊數和頂點數均少1，變成k個頂點的樹，由歸納假設，應有k-1條邊，再把去掉的邊放回，則頂點數為k+1而邊數為k，于是結論得證。
圖論這門學科的內容十分豐富，涉及的面也比較廣，圖論中的基礎知識，又是工程實際中經常用到的。數學歸納法在結論以及命題的證明過程中起了畫龍點睛的作用，是其它證明方法所不可代替的。
四、結論
數學歸納法是一種常用的不可缺少的推理論證方法，沒有它，在圖論中很多與自然數有關的命題難以證明；同時對于與自然數有關的命題，把n所取的無窮多個值一一加以驗證是不可能的，用不完全歸納法驗證其中一部分又很不可靠，數學歸納法則是一種用有限步驟證明與自然數有關的命題的可靠方法，其思維方式對于開發學生的智力有重要價值。在圖論學習中，掌握并應用好這一方法有十分重要的意義。
參考文獻：
[1]華羅庚.數學歸納法[M].上海：上海教育出版社，1963.
數學歸納法范文5
關鍵詞：高中數學；歸納法；應用
數學歸納法作為一種數學證明方法，通常被用于證明某個給定的命題在一定的范圍內成立，是高中數學解題過程中常用的一種重要的解題方法，它不僅可以提高學生的解題效率，而且，對提高學生的邏輯思維以及逆向思維的培養都起著非常重要的作用。所以，本文就從幾個例題簡單地對數學歸納法進行簡單介紹，以促使學生獲得更好的發展。
例如，已知各項全不為0的數列{an}的前k項和為Sk，且Sk=1/2akak+1，其中a1=1，求數列{ak}的通項公式。
解法一：Sk=1/2akak+1，a1=1
a2=2，a3=3，a4=4ak=k
當k=1時，a1=1成立
設當k=n時，an=n，Sn=n（n+1）/2成立，所以當n=k+1時，Sn=1/2anan+1
an+1=2Sn/an=n+1成立
ak=k，在k∈N+均成立。
解法二：Sk=1/2akak+1，a1=1
a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6……ak=k
因為試題中沒有說該數列是等比數列還是等差數列，所以，即便是學生給出了ak的答案，但也只是停留在假設，如果這是一道填空題，這個答案是可以得分的，但這是一道解答題，需要證明過程。所以，也只能說，解法二的答案是不完整的。
不難看出，解法二的思路是正確的，但并沒有給出完整的解題過程。而在解法一中，運用的是數學歸納法，先驗證當a1=1是否成立，之后，進行假設階段，即假設當k=n時，命題ak=k成立，之后就是證明當k=n+1時，命題也能成立。這樣當n取k的取值范圍，假設都成立。所以，題目也就解答出來了。這基本上也是數學歸納法的基本步驟，以具體情況而定，這也是證明問題的一大技巧，對學生的解題效率起著非常重要的作用。
但是需要注意的是，不是所有的證明題都可以使用數學歸納法的，因為并不是當k=n+1都能證明成立的。因此，在解題的過程中，學生要注意選擇。
總之，教師要鼓勵學生將數學歸納法運用到解題過程中，要讓學生能夠輕松地、熟練地利用將數學歸納法提高自己的解題質量，進而培養學生的數學能力。
參考文獻：
數學歸納法范文6
一、易錯分析
（1）忽視歸納基礎（或只是形式上給予敘述）導致的錯誤
在數學歸納法使用過程中的兩步都是必不可少的，否則，就會在沒有驗證第一步的情況下，而得出錯誤的結論的問題.
例1在函數中，由，，，…
等都是質數，便說：“為任何自然數時的值都是質數”是錯誤的，因為
就不是質數，如果缺少了第二步，則不論對于多少個自然數來驗證命題的正確性，都不能肯定命題對所有自然數都正確.
例2歌德巴赫猜想“對于不小于6的偶數都可以表示成兩個質數之和”，雖然對大量偶數進行了具體驗證，但因缺少第二步歸納遞推，所以仍只停留在歸納的第一步，至今只是個猜想而已.第二步在證明為真時，一定要用到歸納假設，即要由為真，推出為真.
（2）歸納基礎步驟中有關“”的理解錯誤
受思維定勢影響，常認為就是1.
必須注意：①數學歸納法原理中“”是要證明命題成立的最小正整數.例如，命題“多邊形的內角和為”中，時，原命題成立，所以，用數學歸納法證明此命題的基礎應該是；命題“邊數為偶數的圓內接凸多邊形，相間諸角的和等于其余諸角的和”中時，原命題無意義，所以，用數學歸納法證明此命題的基礎應該是，再對一切偶數進行數學歸納法.
②對于某些命題，雖然正整數的任意取值都能使其有意義，但并非對一切正整數都成立.對此類命題，應該找出使命題成立的最小正整數作為歸納證明的基礎.例如，命題，成立的最小正整數為.該命題在應用數學歸納法證明時，應取歸納基礎為（易知2，3，4時，結論不成立）.
綜上所述，學生在應用數學歸納法來解決問題時，犯錯誤的主要原因是對數學歸納法原理的基本思想沒有真正理解.因此，教學時應著重講清原理的實質和方法步驟，使學生真正明白數學歸納法的兩個步驟是缺一不可的，有且只有兩個步驟按順序的正確結合，才能完成一個對全體正整數的論證.當然，克服學習中的思維定勢也是一個值得探討的問題.
還有值得注意的是，并不是凡與自然數相關的命題都要用數學歸納法來證明，而且也不是所有這類命題都能用數學歸納法給以證明.
二、數學歸納法的局限性
應用數學歸納法對有些題目進行證明，過程非常繁瑣，尤其是由到的過程變化很多，不易操作.事實上，很多與正整數有關的命題，若能避開數學歸納法的思維定勢，利用其命題本身的特點，采用非數學歸納法的證明，則能避繁就簡.這也是學習數學歸納法所要克服的心理依賴和必經過程.
