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實數集范文1
關鍵詞： 實變函數課程 點集的測度 可測函數
引言
實變函數課程對于大多數學生來說都很困難、很抽象，主要原因是學生習慣了從初等數學到數學分析或高等數學，所研究的函數都是常規的性質很好的函數.然而，有更多的性質不好的函數，需要換個角度認識它們，這就導致實變函數思想的形成，并最終成為一門課程.這門課程的思想方法與思想痕跡其實在中學數學課程及大學數學課程中都有所體現.
1.實變函數思想下初等數學內容的認識
為了研究函數的性質，對函數的定義域再認識，從而從另一角度研究集合，因此實變函數課程中一開始就研究集合，當然不只是停留在集合的簡單運算上.
當兩個集合之間能建立一一映射時，這兩個集合中的元素就是一樣多的.由于無理數集是不可數集，有理數集是可數集，則無理數集與有理數集不對等，這兩個集合中的元素就不是一樣多的，實際上無理數比有理數要多得多.利用一一映射，還可以得到任何一個三角形的三條邊上的點是一樣多的，但就長度而言三條邊往往不相等，這說明點不能有大小（度量），并不是人為規定點沒有大小.
對于兩個非空集合（點集）A與B，把A中的任何點與B中的任何點之間的距離的下確界說成是集合A與B之間的距離.這樣，一直線外一點到該直線的距離，平面上兩條平行直線之間的距離，兩條異面直線之間的距離，空間中兩平行平面之間的距離等，都采用垂線段的方式計算.按照此定義，平面上兩條相交直線之間的距離，兩個相交的平面之間的距離等則為零.
由此看出，只有真正學懂了實變函數課程，才能正確理解和解釋中小學數學課程中的一些概念、性質和結論.比如，點為什么不能有大小，有理數與無理數的本質區別是什么，無理數在實數中占有什么樣的地位，集合的表示為什么要用區間這樣的方法，為什么不是所有集合都能用列舉法表示，等等.
2.集合的測度之意義
拓廣對集合整體度量的認識，利用測度概念.在測度意義之下，點集可以是非常不規則的，其元素可以是相當凌亂的，集合的元素可以是多樣的，從而測度可以是長度，可以是體積，可以是質量，可以是概率，等等.在測度意義之下，由一個元素組成的集合，由有限個元素組成的集合，由可數個元素組成的集合，測度均為零.這樣，一個點的測度為零，這就說明點確實沒有大小.在測度意義之下，有理數集的測度是零，從而實數集R中基本上全都是無理數，或者說，一條直線上幾乎處處為無理點，實數的核心是無理數，實數集R的“質量”都集中在無理數上，無理數集是實數集R的“原子核”.
可數集的測度為零的一個現實反映，比如，一個篩子的孔是很多的，但也應該是有限個，不過可以理解為可數多個，當人們往篩子（懸空的）里盛放細小的東西（一部分可以穿過孔）時，如果人不搖晃篩子，則自然從孔漏出去的細小東西的體積幾乎為零.這就是為什么有了篩子，還得要人篩一篩，才能把東西分開成粗與細的兩個部分.
這表明，任何一個集合添加零測度集后，其測度不改變.這一性質的一個現實反映經常出現，比如人們外出旅行，收拾包裹行囊很滿，鼓鼓囊囊的，正要出門時突然看到一支筆或一把梳子被落下了，這時往往就把筆或梳子隨便包裹的縫隙里，照樣帶走.這里，相對于一大包東西，一支筆或一把梳子的體積或質量幾乎為零，添加進包裹也不會改變包裹的體積或質量，并不會影響人的出行.
由此看出，所謂集合的測度，其實并不那么抽象.
在測度意義之下，集合又區分為可測集與不可測集.零測度集是可測集，區間是可測集[2]，區間的并集是可測集，這些為函數范圍的拓寬奠定了基礎.不可測集是存在的，由于集合的測度是非負實數，那么不可測集的測度一定不為零，從而不可測集存在于正測度集之中.
3.可測函數概念教學的一個策略
對于函數，中學數學教材及數學分析里的函數，往往強調定義域的重要性，而且定義域基本上是連續的一個數集――區間，同時對函數的值域往往不太重視.這樣，導致學生習慣于從定義域到函數值認識函數，而忽視了從函數值范圍到自變量取值范圍認識函數.盡管教材里有所體現，比如，試根據函數y=3x-15的性質或圖像，確定y>0時x取何值[3]，觀察余弦曲線，寫出滿足條件cosx>0的區間[4]，但都是以習題的形式出現的，在教材的正文中幾乎沒有涉及.雖然這僅僅就是解函數不等式，但認識上、方法上還是有所不同.因此，在實變函數里突然出現一個可測函數概念，使學生感到迷惑.所以，筆者在講授可測函數概念時，是按照如下策略引導講解的.
由上述例子看出，連續函數是可測函數；處處不連續的函數也可以是可測函數，所以，可測函數是比連續函數更廣泛的函數類型。
上述通過設立情境導入概念，再以不同類型的函數討論其可測性，使得學生掌握可測函數這一概念比較容易，也掌握了判斷函數可測的具體方法，教學效果很好.
4.實變函數課程所解決的困難
這里，求和（級數收斂）運算與積分運算交換順序，并沒有要求函數列一致收斂，而只要求可測即可.像這樣的例子還有很多，不再枚舉.
由此看出，在可測的意義之下，解決函數列的收斂這樣的問題時就簡化多了.
5.結語
實變函數課程是數學分析課程的進一步延伸與升華，實變函數課程里包含了高深精細的理論，實變函數論是數學的一個重要分支，實變函數論的應用很廣泛，實變函數論的思想方法和觀念是某些數學分支的基本工具，甚至，實變函數論在數學的分支中的應用成為現代數學的重要特征.所以，把實變函數課程講授好，對學生的學習很重要，對更多學科的認識也很重要.
參考文獻：
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[8]劉培德.實變函數教程（第二版）[M].北京：科學出版社，2012.
實數集范文2
ABCD分值: 5分 查看題目解析 >88.函數在處取得最小值，則（ ）A是奇函數B是偶函數C是奇函數D是偶函數分值: 5分 查看題目解析 >99.在中，，，為斜邊的中點，為斜邊上一點，且，則的值為（ ）AB16C24D18分值: 5分 查看題目解析 >1010.設，則，，的大小關系是（ ）ABCD分值: 5分 查看題目解析 >1111.設是雙曲線的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標原點）且，則的值為（ ）A2BC3D分值: 5分 查看題目解析 >1212.已知，又，若滿足的有四個，則的取值范圍為（ ）ABCD分值: 5分 查看題目解析 >填空題 本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在題中橫線上。1313.已知拋物線上一點到其焦點的距離為，則的值為 .分值: 5分 查看題目解析 >1414.設函數，若，則實數的取值范圍是 .分值: 5分 查看題目解析 >1515.已知向量滿足，，與的夾角為，則與的夾角為 .分值: 5分 查看題目解析 >1616.對于函數，有下列3個命題：①任取，都有恒成立；②，對于一切恒成立；③函數在上有3個零點；則其中所有真命題的序號是 .分值: 5分 查看題目解析 >簡答題（綜合題） 本大題共70分。簡答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17的內角所對的邊分別為，且.17.求；18.若，的面積為，求.分值: 10分 查看題目解析 >1819.對于函數，若在定義域內存在實數滿足，則稱為“局部奇函數”.為定義在上的“局部奇函數”；方程有兩個不等實根；若“”為假命題，“”為真命題，求的取值范圍.分值: 12分 查看題目解析 >19在直角坐標系中，已知點，點在第二象限，且是以為直角的等腰直角三角形，點在三邊圍成的區域內（含邊界）.20.若，求；21.設，求的值.分值: 12分 查看題目解析 >20已知數列的前項和為，向量，，且與共線.22.求數列的通項公式；23.對任意，將數列中落入區間內的項的個數記為，求數列的前項和.分值: 12分 查看題目解析 >21已知函數.24.若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍；25.記，那么當時，是否存在區間使得函數在區間上的值域恰好為？若存在，請求出區間；若不存在，請說明理由.分值: 12分 查看題目解析 >22已知函數.26.若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；27.令，是否存在實數，當（是自然常數）時，函數的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.28.當時，證明：.22 第(1)小題正確答案及相關解析正確答案
解析
解：在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得考查方向
本題主要考查運用導數來解決函數單調性問題.解題思路
先對函數進行求導，根據函數在上是減函數可得到其導函數在上小于等于0應該恒成立，再結合二次函數的性質可求得的范圍．易錯點
無22 第(2)小題正確答案及相關解析正確答案
a=e2解析
假設存在實數a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），②當時，g（x）在上單調遞減，在上單調遞增，a=e2，滿足條件．③當時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），綜上，存在實數a=e2，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3考查方向
本題主要考查導數的運算和函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．解題思路
先假設存在，然后對函數進行求導，再對的值分情況討論函數在上的單調性和最小值，可知當能夠保證當x在上有有最小值3易錯點
無22 第(3)小題正確答案及相關解析正確答案
見解析解析
令F（x）=e2x﹣lnx，由上題知，F（x）min=3．令，，當0＜x≤e時，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上單調遞增，即．考查方向
本題主要考查導數的運算和函數的單調性與其導函數的正負之間的關系．解題思路
實數集范文3
【關鍵詞】 新課程；模式；學生；教師
中國的傳統教育存在嚴重的應試傾向，雖然培養了一批人才，但同時又扼殺了大多數人才. 就培養人才而言，也存在動手能力差、創新能力差、人文精神差、心理素質差、身體狀況差等方面的缺陷，與知識經濟所需的人才有顯著的差異. 新課程改革突出強調了對學生創新精神和實踐能力的培養，而對創新精神和實踐能力的培養需要通過具體的教學活動來實現. 因此，“模式”教學如雨后春筍般迅速崛起，杜郎口“自主學習、合作交流、教師點撥”，洋思中學“先學后教、當堂訓練”可謂為教育改革的典型.
下面本人就根據自己的教學實踐，談談在數學教學中“模式”教學的幾點思考.
一、數學教學生活化
《義務教育國家數學課程標準》（實驗稿）指出：“義務教育階段的數學課程應突出體現基礎性、普及性和發展性，使數學教學面向全體學生，實現人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展. ”數學概念都是由實際問題抽象出來的，大多都有實際背景，在教學中，應重視從實際引入概念，通過從實際問題中抽象出數學要領的過程，培養學生應用數學的興趣，認識學好數學的必要性. 不能簡單地把由“實際問題”引入數學概念看做是引入數學教學的一種方式，而應將它看成是實際問題化為數學問題，現實問題數學化，實際問題數學化思維的訓練. 教材為了引入概念提供了一些實際問題，而對這些實際問題，也有必要深入研究.
例如，必修2講授“二面角”的概念是這樣引入的：“發射人造衛星時，要使衛星的軌道平面與地球的赤道平面成一定的角度. 使用手提電腦時，為了便于操作，需要將顯示屏打開到一定的角度. ”這樣的引入，使學生對二面角的概念一下子就有了一個比較具體、形象的感性認識，但也許是受課堂教學時間及新課內容的限制，教材沒有對其相關的內容作進一步的詳細描述. 在教學中，我們可以對學生提出這樣的一些思考：① 你能度量出手提電腦二面角的大小嗎？② 你有沒有成為一名工程師或設計師的理想，去發射人造衛星呢？選用一個實際問題有時僅僅引入一個概念，且不可惜. 要充分發揮實例的長效性、激勵性，做到一例多用，讓數學教學生活化. 二、數學教學中要培養學生的參與意識
心理學研究表明，學生在接受知識或接受新技能培訓時，如果有一個正確的、積極的心理準備（求知欲），則其接受新知識的效率會高出被動接受效率的一至兩倍. 在教學中，學生能開口，無疑是一件好事，這就需要教師耐心細致地講解，不能讓他們乘興而來敗興而歸. 課堂教學如果離開了學生的參與，教師的教學活動也就失去了意義. 歐拉曾說過：“興趣是最好的老師.”烏申斯基也說過：“沒有興趣的強制學習，必將扼殺學生探求真理的欲望. ”引導學生參與課堂教學的全過程，教師的“導”要具有科學性、啟發性和藝術性，充分激發學生的思維活動. 因此，我們要為學生創設學習情境，以保證他們有高效的心理投入. 當學生學習中帶有輕松愉快而又緊張的心情時，他們就會對數學產生強烈的好感，從而將他們對一節課的局部興趣，轉化為對整個數學的持久興趣. 我們要在教學活動中的各個層面上不斷地激發學生學習數學的興趣，以滿足不同層次的學生的需要.
如在講“等差數列”時，提問學生：知道德國數學家高斯童年計算1 + 2 + 3 + … + 100的故事嗎？你知道是如何計算的嗎？那你能根據該方法計算出1 + 2 + 3 + … + n嗎？學生自己很輕松地用“倒序相加法”導出等差數列的求和公式. 又如在講“等比數列”新課前，我拿出一張厚0.1 mm的白紙，對學生說：“如果我將其對折100次，你能想象到它的厚度嗎？”在學生的驚奇、疑惑和猜測中，我告訴他們，厚度超過了地球到月球的距離. 從而引入新課——等比數列. 這種緊扣教材又生動有趣的導言恰到好處地把學生引入到誘人的知識境界中，不斷激發他們的學習興趣，進而培養學生的參與意識.
三、數學教學中要培養學生的創新思維
數學教學過程是一種特殊的認知過程，在這一過程中學生要認知系統的數學知識. 這些知識對教師而言是已知的，但對學生來說接受這些知識需要一個由不知到認知的過程. 因此，不能單靠記憶現成的結論來完成，而應在解題的過程中獲取數學的思想方法. 傳統的數學課堂，學生學習的主要任務是運用概念、公式解題，只注意各種題目的解題技巧，而忽視對數學知識的形成和發現過程的探索，制約著學生創新能力的發展. 因此，教師在教學中要恰當地揭示知識的形成過程，了解其產生的背景，領悟其蘊含的數學思想.
例如，已知a > 0，不等式|x - 4| + |x - 3| < a的解集不是空集，求a的取值范圍.
該題可以轉化成求|x - 4| + |x - 3| 的最小值問題，如何求最小值呢？可以采取構造函數f（x） = |x - 4| + |x - 3| ，也可以根據|x - 4| + |x - 3| 的幾何意義采取數形結合法求解. 通過這個題目可以提問學生：你自己能否改編類似的題目呢？
題一：求函數f（x） = |x - 4| + |x - 3| 的值域.
題二：若不等式|x - 4| + |x - 3| > a對一切實數恒成立，求a的取值范圍.
題三：不等式|x - 4| + |x - 3| < a在實數集R上非空，求a的取值范圍.
實數集范文4
數學上的R代表集合實數集。R+表示正實數，R-表示負實數。
實數集通俗地認為，通常包含所有有理數和無理數的集合就是實數集，通常用大寫字母R表示。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。但當時的實數集并沒有精確的定義。
直到1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。任何一個非空有上界的集合（包含于R）必有上確界。
（來源：文章屋網 ）
實數集范文5
(1)掌握復數的有關概念，如虛數、純虛數、復數的實部與虛部、兩復數相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數、共軛虛數的概念。
(2)正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系;
(3)理解復數的幾何意義，初步掌握復數集C和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。
(4)培養學生數形結合的數學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力.
教學建議
(一)教材分析
1、知識結構
本節首先介紹了復數的有關概念，然后指出復數相等的充要條件，接著介紹了有關復數的幾何表示，最后指出了有關共軛復數的概念.
2、重點、難點分析
(1)正確復數的實部與虛部
對于復數，實部是，虛部是.注意在說復數時，一定有，否則，不能說實部是，虛部是,復數的實部和虛部都是實數。
說明：對于復數的定義，特別要抓住這一標準形式以及是實數這一概念，這對于解有關復數的問題將有很大的幫助。
(2)正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系
分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統一。根據上述原則，復數集的分類如下：
注意分清復數分類中的界限：
①設，則為實數
②為虛數
③且。
④為純虛數且
(3)不能亂用復數相等的條件解題.用復數相等的條件要注意：
①化為復數的標準形式
②實部、虛部中的字母為實數，即
(4)在講復數集與復平面內所有點所成的集合一一對應時，要注意：
①任何一個復數都可以由一個有序實數對()唯一確定.這就是說，復數的實質是有序實數對.一些書上就是把實數對()叫做復數的.
②復數用復平面內的點Z()表示.復平面內的點Z的坐標是()，而不是()，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是.由于=0+1·，所以用復平面內的點(0，1)表示時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度.這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數單位，或者就是縱軸的單位長度.
③當時，對任何，是純虛數，所以縱軸上的點()()都是表示純虛數.但當時，是實數.所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸.
由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點.
④復數z=a+bi中的z，書寫時小寫，復平面內點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫.要學生注意.
(5)關于共軛復數的概念
設，則，即與的實部相等，虛部互為相反數(不能認為與或是共軛復數).
教師可以提一下當時的特殊情況，即實軸上的點關于實軸本身對稱，例如：5和-5也是互為共軛復數.當時，與互為共軛虛數.可見，共軛虛數是共軛復數的特殊情行.
(6)復數能否比較大小
教材最后指出：“兩個復數，如果不全是實數，就不能比較它們的大小”，要注意：
①根據兩個復數相等地定義，可知在兩式中，只要有一個不成立，那么.兩個復數，如果不全是實數，只有相等與不等關系，而不能比較它們的大小.
②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個復數間的一個關系‘<’，都不能使這關系同時滿足實數集中大小關系地四條性質”：
(i)對于任意兩個實數a，b來說，a
(ii)如果a
(iii)如果a
(iv)如果a0，那么ac
(二)教法建議
1.要注意知識的連續性：復數是二維數，其幾何意義是一個點，因而注意與平面解析幾何的聯系.
2.注意數形結合的數形思想：由于復數集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系，所以用“形”來解決“數”就成為可能，在本節要注意復數的幾何意義的講解，培養學生數形結合的數學思想.
3.注意分層次的教學：教材中最后對于“兩個復數，如果不全是實數就不能本節它們的大小”沒有證明，如果有學生提出來了，在課堂上不要給全體學生證明，可以在課下給學有余力的學生進行解答.
復數的有關概念
教學目標
1.了解復數的實部，虛部;
2.掌握復數相等的意義;
3.了解并掌握共軛復數，及在復平面內表示復數.
教學重點
復數的概念，復數相等的充要條件.
教學難點
用復平面內的點表示復數M.
教學用具：直尺
課時安排：1課時
教學過程：
一、復習提問：
1.復數的定義。
2.虛數單位。
二、講授新課
1.復數的實部和虛部：
復數中的a與b分別叫做復數的實部和虛部。
2.復數相等
如果兩個復數與的實部與虛部分別相等，就說這兩個復數相等。
即：的充要條件是且。
例如：的充要條件是且。
例1：已知其中，求x與y.
解：根據復數相等的意義，得方程組：
例2：m是什么實數時，復數,
(1)是實數，(2)是虛數，(3)是純虛數.
解：
(1)時，z是實數,
,或.
(2)時，z是虛數,
，且
(3)且時，
z是純虛數.
3.用復平面(高斯平面)內的點表示復數
復平面的定義
建立了直角坐標系表示復數的平面，叫做復平面.
復數可用點來表示.(如圖)其中x軸叫實軸，y軸除去原點的部分叫虛軸，表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上。原點只在實軸x上，不在虛軸上.
4.復數的幾何意義：
復數集c和復平面所有的點的集合是一一對應的.
5.共軛復數
(1)當兩個復數實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數。(虛部不為零也叫做互為共軛復數)
(2)復數z的共軛復數用表示.若，則：;
(3)實數a的共軛復數仍是a本身，純虛數的共軛復數是它的相反數.
(4)復平面內表示兩個共軛復數的點z與關于實軸對稱.
三、練習1,2,3,4.
四、小結：
1.在理解復數的有關概念時應注意：
(1)明確什么是復數的實部與虛部;
(2)弄清實數、虛數、純虛數分別對實部與虛部的要求;
(3)弄清復平面與復數的幾何意義;
(4)兩個復數不全是實數就不能比較大小。
2.復
數集與復平面上的點注意事項：
(1)復數中的z，書寫時小寫，復平面內點Z(a，b)中的Z，書寫時大寫。
(2)復平面內的點Z的坐標是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是i。
(3)表示實數的點都在實軸上，表示純虛數的點都在虛軸上。
(4)復數集C和復平面內所有的點組成的集合一一對應：
實數集范文6
(一)地位與作用。
復數的概念是復數的第一課時,在實數的基礎上;進一步研究X=-1而得到復數系。
復數在近、現代科學中發揮著極其重要的作用。如,流體力學、熱力學、機翼理論的應用;滲透到代數學、數論、微分方程等數學分支。復數在理論物理、彈性力學、天體力學等方面得到了廣泛應用,是現代人才必備的基礎知識之一。
復數在高考中的地位逐漸下降:題量減少,難度降低。通常就考一題,或者是客觀題,或者是主觀題,均為中低檔難度題。復數的概念與代數的運算是本章的基礎知識,也是高考的必考內容。
(二)教學目標。
1.知識要求。
(1)了解引入復數的必要性,理解復數的有關概念。
(2)使學生初步體會i=-1的合理性。
(3)使學生會對復數系進行簡單的分類。
2.能力要求。
在培養學生類比、轉化的數學思想方法的過程中,提高學生學習能力。
3.育人因素。
培養學生科學探索精神和辯證唯物主義思想。
(三)教學重、難點。
1.重點。
復數的有關概念。
2.難點。
對i和復數定義的理解。
二、學生分析
由于復數是從實數的基礎上進一步擴充數系。因此,學生對學習復數的概念存在有不同于實數概念的差異。學生在教師的引導下能基本掌握本節知識。
本班學生層次為理科基礎班、基礎較差,所以講解過程不宜較多展開,要簡明扼要地讓學生掌握復數的概念,特別是i的規定。
三、教學法
(一)教法。
目標教學法、討論法;學法:歸納―討論―練習。
(二)教學手段。
多媒體電腦與投影機。
四、教學過程
(一)引入部分。
1.教師引入內容:因生產和科學發展的需要數集在逐步擴充,數集的每一次擴充,對數學學科本身來說,也解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾,分數解決了在整數集中不能整除的矛盾,負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾,無理數解決了開方開不盡的矛盾。但是,數集擴到實數集R以后,像x=-1這樣的方程還是無解的,因為沒有一個實數的平方等于-1。由于解方程的需要,人們引入了一個新數i,叫做虛數單位,并由此產生的了復數。
由意大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入,經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作,此概念逐漸為數學家所接受。復數有多種表示法,諸如向量表示、三角表示、指數表示等。它滿足四則運算等性質。它是復變函數論、解析數論、傅里葉分析、分形、流體力學、相對論、量子力學等學科中最基礎的對象和工具。
2.學生對此部分內容在了解的基礎上要能夠產生學習復數的興趣和好奇心。
(二)概念講解部分(此過程應按部就班,層層遞進)。
1.虛數單位i。
(1)它的平方等于-1,即i=-1。
(2)實數可以與它進行四則運算,進行四則運算時,原有加、乘運算律仍然成立。如:ai+bi=(a+b)i,ai-bi=(a-b)i,aibi=abi=-ab,ai/bi=a/b(b≠0)。
2.與-1的關系。
i就是-1的一個平方根,即方程x=-1的一個根,方程x=-1的另一個根是-i。
3.i的周期性。
i=i,i=-1,i=-i,i=1。此部分由學生發現得到。
4.復數的定義。
形如a+bi(a,b∈R)的數叫復數,a叫復數的實部,b叫復數的虛部全體復數所成的集合叫做復數集,用字母C表示。
5.復數的代數形式。
復數通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把復數表示成a+bi的形式,叫做復數的代數形式。
6.復數與實數、虛數、純虛數,以及0的關系。
對于復數a+bi(a,b∈R),當且僅當b=0時,復數a+bi(a、b∈R)是實數a;當b≠0時,復數z=a+bi叫做虛數;當a=0且b≠0時,z=bi叫做純虛數;當且僅當a=b=0時,z就是實數0。
7.復數集與其它數集之間的關系(由學生討論得到)。
N?芴Z?芴Q?芴R?芴C.
8.兩個復數相等的定義。
如果兩個復數的實部和虛部分別相等,那么我們就說這兩個復數相等。
這就是說,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di?圳a=c,b=d。
復數相等的定義是求復數值,在復數集中解方程的重要依據。一般的,兩個復數只能說相等或不相等,而不能比較大小。如3+5i與4+3i不能比較大小。
現有一個命題:“任何兩個復數都不能比較大小”對嗎?不對如果兩個復數都是實數,就可以比較大小只有當兩個復數不全是實數時才不能比較大小。如3+5i與4+3i不能比較大小。
復數不能比較大小的一種解釋:例如:i與0能不能比較大小?
(1)如果i>0,那么i•i>0•i,即-1>0。
(2)如果i0,(-i)>0•(-i),即-1>0。
(三)典例剖析(重引導,由學生比較概念得到結論)。
例1.請說出復數2+3i,-3+i,-i,--i的實部和虛部,有沒有純虛數?
答:它們都是虛數,它們的實部分別是2,-3,0,-;虛部分別是3,,-,-;-i是純虛數。
例2:實數m取什么值時,復數z=m+1+(m-1)i是:(1)實數;(2)虛數;(3)純虛數。
解:(1)當m-1=0,即m=1時,復數z是實數;
(2)當m-1≠0,即m≠1時,復數z是虛數;
(3)當m+1=0,且m-1≠0時,即m=-1時,復數z是純虛數。
例3:已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x與y。
解:根據復數相等的定義,得方程組2x-1=y,1=-(3-y),所以x=,y=4。
(四)練習(達標)。
課后練習1、2。
(五)小結。
這節課我們學習了虛數單位i及它的兩條性質,復數的定義、實部、虛部,以及有關分類問題,復數相等的充要條件,等等?；舅枷胧?利用復數的概念,聯系以前學過的實數的性質,對復數的知識有較完整的認識,以及利用轉化的思想將復數問題轉化為實數問題。
五、課后反思的三個方面
(一)學生對概念的掌握。
(二)數的發展和完善過程給學生的啟示。
