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數學研究論文范文1
數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學。數學美即是蘊藏于它所特有的抽象概念、公式符號、命題模型、結構系統、推理論證、思維方法……之中的簡單、和諧、嚴謹、奇異等形式，它是數學創造的自由形式，它揭示了規律性，是一種科學的真實美。數學中美的因素是多方面的、具體的、意義深刻的，其主要表現在以下四方面：
一、簡單性。
簡單性是美的特征，也是數學美的基本內容。數學的簡單美具有形式簡潔、秩序、規整和高度統一的特點，還具有數學規律的普遍性和應用的廣泛性。例如，眾所周知的三角形、平行四邊形、梯形的面積公式，形式多么簡潔規整，應用又多么廣泛普遍。在梯形的面積公式s=1/2（a＋b）h（a為上底，b為下底，h為高）中，當a=0時變成三角形的面積公式；當a=b時，變成平形四邊形的面積公式，這種既有區別又有聯系、既對立又統一、從量變到質變的辯證方法在數學中處處可見。其思維方法引入深思。
二、和諧性。
各種自然形態，特別是動植物的生態以及人類的許多造物形態都有蘊含豐富的數學關系，有豐富的對稱美、和諧美。作為反映和研究客觀規律的數學科學，集中反映了這種美的特征。數學美的和諧性是指數學內容與結構系統的協調完備和數學所表現出的均衡對稱。
三、嚴謹性。
嚴謹性是數學的獨持之美。它表現在數學定義準確地揭示了概念的本質屬性；數學結論存在且唯一，對錯分明，不模棱兩可；數學的邏輯推理嚴密，從它的公理開始到演繹的最后一個環節不允許有一句假話，即使錯一個符號也不行。此外，數學結構系統協調完備，數學圖形美麗和諧，數學語言生動嚴密等等都表現了數學的嚴謹性，例如，極限過程，是一個無限接近的過程，人們無法經歷它的全過程，而極限理論卻使我們在推理想象中完成這個過程。對它所推出的結論的正確性人們確信無疑，達到盡善盡美，令人陶醉的境界。數學美的這種嚴謹性，要求數學工作者具有實事求是，謙虛謹慎，孜孜不倦地追求真理的美德，這正是數學美的倫理價值所在。
四、奇異性。
數學中新穎的結論、出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現出了一種獨特的令人驚訝的奇異美。例如，歐拉發現的復數z=cosθ+isinθ=e（或i），當θ=π時得到e十1（或ie）=0把五個重要的特殊的數0、1、π、e、i巧妙地聯系在一起。函數f（z）=x＋yi在復平面內處處連續卻處處不可導這一反例的構思多么絕妙！諸如此類，好似天工巧設，出神入化，給人一種奇異的美感。
數學是美的，人的愛美天性在青少年時期表現尤為突出。數學教師理應抓住這個最佳時期，不失時機地向學生揭示數學之美，進行審美教育，充分發揮數學的美育功能。
一、展示數學之美，激發學習興趣。
心理學研究表明：沒有絲毫興趣的強制性學習，將會扼殺學生探求真理的欲望。興趣是思維的動因之一，興趣是強烈而又持久的學習動機。只有學生熱愛數學，才能產生積極而又持久的求學勁頭。因此，教師應充分運用數學美的誘發力引起學生濃厚的學習興趣、強烈的求知欲望。具體方法如下：（一）通過生動的學生熟悉的實際事例、形象的直觀教具，組織學生進行實際操作等引入數學概念、定理、公式，使學生感受到數學與日常生活密切相關；（二）結合教材內容，向學生介紹數學的發展史和進展情況以及在社會主義現代化建設中的廣泛應用，使學生看到數學的用處，明確今天的學習是為了明天的應用；（三）根據教材內容，經常有選擇地向學生介紹一些形象生動的數學典故、趣聞軼事和中外數學家探索數學思維王國的奧妙的故事；（四）根據教學需要和學生的智力發展水平提出一些趣味性思考性強的數學問題；等等。
二、融貫數學之美，加深知識理解。
數學美是美的高級形式，它的特點在于抽象的理性形式中包含著無限豐富的感性內容。在教學中，教師運用大量生動的感性材料給學生以美感直覺，把抽象枯燥的數學概念、公式、定理先給學生以具體的直觀形象，再上升為理性形象，成為字母與運算符號間的造型藝術，使學生對所學知識易于接受，便于理解。教師通過嚴密的推理，生動的語言，優美的圖形，科學的板書等作出審美示范，創設思維情境，把數學美的簡單統一、和諧對稱等特征融貫在教學的整個過程中，使學生在美的享受中獲得知識，理解知識，掌握知識。在潛移默化中理解數學美的真正含義。
教師通過引導學生對所學知識進行前后比較，歸納總結，揭示內在規律，形成有序結構體系，并教給學生歸納整理的方法等手段融貫數學之美，既能促進學生進一步鞏固和加深對所學知識的理解和應用，也能提高教學質量，起到事半功倍的效果。例如，教師帶領學生把正棱柱內接于圓錐、圓柱內接于圓錐、圓柱內接于球、圓錐內接于球、圓臺內接于球、球內切于圓柱、球內切于圓錐、球內切于圓臺以及球內切于正方體、球和正方體的所有棱都相切與球外接于正方體等等常見的特殊多面體與旋轉體的相“接”相“切”問題，畫出圖形、分析比較，區別異同。根據多面體與旋轉體的定義和性質，歸納總結各種情況下“接”與“切”的空間位置關系和各個元素之間的相互數量關系，尋覓解決問題的截面和把空間問題轉化為平面問題解決的途徑。這些優美對稱的圖形使學生看到美的形象，領略到美的神韻。在感受美、鑒賞美的過程中建立起“知識鏈”，形成了知識的有序結構和解題的方法體系，鞏固和加深了對所學知識的理解和應用。
三、創造數學之美，培養思維能力。
中學數學教學的基本任務之一是在傳授數學知識和培養技能。技巧的過程中發展學生的思維能力。根據青少年“好想”、“好動”的特點，在教學中教師通過一題多解（證）、一題多變。一法多用、一圖多變等數學的奇異美，鼓勵學生多向思維，標新立異，找出最優方法。教師要善于把握教學機制，創設思維境界，用數學美的進力啟迪學生思維，當學生對數學美感受最靈敏、最強烈、最深刻的時候，他們的思維也進入最佳時期，邏輯思維和靈感思維交融促進，聰明才智得到充分發揮，一旦“靈感”出現，他們就會感受到創造數學美的喜悅和成功后的樂趣。毫無疑問他們的思維能力也得到培養和提高。
多數同學能用比較法、綜合法、分析法和反證法給出四種證明（證明略），初步享受到成功的喜悅。教師抓住時機，及時點撥，促進學生思維發散，鼓勵學生標新立異，引導學生觀察式子的整體結構特征，發掘題中的隱含條件，尋求其它證法。數學美的誘發力喚起了學生濃厚的興趣，啟迪了他們的思維活動，經過觀察、分析、聯想，有的同學給出了一些新穎證法，其中提出了一種三角證法。
學生親身感受到數學的奇異之美，陶醉到創造數學美的愉悅之中。
這個對學生來說，可視為創造性發現。此時，師生情感交融，學生思維的靈活性、發散性、深刻性、獨創性等諸方面得到培養和提高。
數學研究論文范文2
1．適應21世紀科學技術飛速發展和對人才的需求。
用越來越大。數學作為文化的重要組成部分，對提高人的整體素質有著極為重要的作用。新世紀人才的主要特征是善于思考，勇于探索，大膽創造，不斷進齲因此，小學數學課程應以未來社會生活中所需要的基本數學思想為主線精選教學內容，力求加強基礎，反映本質，建立新的知識結構；著眼于讓學生學會運用數學思想和方法來分析問題和解決問題，培養他們的創造意識和開拓精神。
2．充分體現數學的基礎工具性。
是人們進行交流的工具。數學的符號、圖象、術語和表格是一種專門性的科學語言，這是信息交流中必不可少的語言。數學課程應當讓學生掌握這種科學語言，并運用它去理解和表達思想，運用它儲存和傳遞信息。
3．突出數學在實際中的應用。
生活中、生產中和市場流通中所遇到的數學問題的能力，小學數學課程應精選出最具有實用價值、最基礎的知識作為教學內容。
教學方向大眾化
近年來，國際數學教育界提出“大眾數學”、“人人都要學會的數學”等口號?！按蟊姅祵W”主要針對以前數學太難、太深、要求太高，只有少數學生能學好，大多數學生望而生畏，對數學產生冷漠、恐懼、討厭的狀況而提出來的。其含義有兩層：一是數學要為大眾所掌握；二是大眾所需要的數學，要為大眾所利用。事實上，我國義務教育階段所規定的數學課程內容應當是人人都能學，人人都需要學的。
人類社會發展到今天，已使數學從神秘走向現實，從書齋走向社會，從學者走向大眾，21世紀的數學課程，應該使所有的學生都能學好，學得主動、生動活潑。
教學方法自主化
近十幾年來，各種新教法不斷產生和引進，如發現教學、嘗試教學、愉快教學、情境教學等已被越來越多的教師所接受，但從總體而言，當前小學數學的教學基本模式，仍然是僅僅著眼于學生數學知識的增長和積累，滿足于學生對知識的機械記憶和學會模仿解題。
灌輸式的教學模式已沿襲了千百年，有著極大的慣性。有些課，看上去有了啟發提問、課中游戲、學具操作等，顯得熱熱鬧鬧，但還是按照教師預先設計的框框在運行，學生仍處于被動接受的地位。
新世紀的數學教育，在教學方法上應該有所突破，關鍵在于真正做到自主化。
所謂自主化，簡單他說，是在教師指導下，要求學生主動參與，充分體現學生的主體地位。學習過程是學生在一定的條件下對客觀事物的反映過程，是一個主動的建構過程，作為認識對象的知識并不像實物一樣，可以由教師簡單地傳遞給學生，必須靠學生自己來建構，并且納入他自己原有的知識結構中，別人是無法代替的。數學教學主要是思維活動的教學，教師應要求學生主動參與，讓學生自由地思考，鼓勵學生發表自己的看法，勇于提出猜想，質疑問難，培養學生的創造精神。
課堂結構高效化
教改的關鍵是教師，教改的核心在課堂，課堂教學是教學的基本形式，它是教學工作的中心環節，其他如課外活動、個別輔導、家庭作業等僅是教學的輔助形式，是課堂教學的補充和延續。因此，教改的重點應該放在提高課堂教學效率上。
新世紀的數學教育，必須把提高課堂教學效率作為教改的首要問題，向課堂教學時間要質量，向教育科學和教學方法要質量。用加重學生課業負擔，犧牲學生的健康來提高教學質量的做法是絕對不可取的，也是不允許的。
課堂結構高效化并不一定是大容量、快節奏和高要求，衡量課堂結構達到高效化有五個主要因素：學生主動、積極的參與程度；學生掌握知識、能力和方法的水平，學生當堂練習的數量和質量；課堂信息反饋暢通的程度，能否做到及時反愧及時調節；充分有效地利用教學時間。
基本訓練序列化
小學數學教育中的一條成功經驗是加強雙基（基礎知識教學、基本能力訓練），使小學生打好扎實的知識基礎，有良好的數學基本功。
多年的教學實踐證明，什么時候加強雙基，教學質量就提高；什么時候削弱雙基，教學質量就下降。從第二次國際教育成就評價課題測試結果看，在參加的2l個國家或地區中，我國小學數學成績名列第一，表明我國小學生有扎實的數學基本功。
新世紀的小學數學教育，應該繼承和發展我國抓雙基的成功經驗，為了加強基本能力的訓練，必須先解決基本訓練的規范化、序列化、科學化問題，其中關鍵的問題是序列化。首先應確定哪些是基本訓練的內容，然后根據各年級的教學要求，由淺入深地安排，形成一個符合小學數學特點和兒童年齡特點的基本訓練序列，使基本訓練走上科學化的道路。
教學手段多樣化
傳統的數學教育，從概念到概念，教師靠粉筆和黑板講解，學生靠筆和紙學習。這種落后的辦法沿襲了幾百年。
新世紀的數學教育必須采用新技術使教學手段現代化和多樣化。小學數學的教學手段主要有教具、學具、電教手段以及計算機輔助教學手段等。
小學數學教學中使用教具有重要作用：為學生提供數學模型和豐富感性認識；幫助學生理解抽象的數學概念和潔則；有助于發展學生的抽象思維能力；有利于節省課堂教學時間，減輕學生過重課業負擔。因此，應該積極開展研制工作，為學校配置全套數學教具。
教師有教具，學生應該有學具，教師演示教具，學生看得見，摸不著，有一定的局限性。教學中，讓學生動手操作學具，一邊操作，一邊思考，可以促使學生積極參與教學過程，加深對知識的理解和掌握，有利于思維品質的發展。因此，應該抓緊對小學數學學具的研制和開發，通過試驗，逐步推廣使用。
電教手段和計算機輔助教學手段在21世紀數學教育中將被廣泛應用，目前也應抓緊研究開發，并注意規范、系統，逐步積累經驗和推廣應用。
計算工具電子化
21世紀的數學教育，必將從原始的紙筆計算轉到使用計算器和計算機，這是新技術發展的必然趨勢。關于計算器是否適合小學生使用，國際上曾有三派意見第一派主張小學生可以使用計算器。理由是：①適應時展的需要，社會上已普遍使用計算器，小學生學會使用計算器是一種必要的能力；②可以減輕學生的計算負擔，使學生把主要精力放在理解概念和進行推理思考上；③有助于激發學生學習數學的興趣。
第二派主張禁止小學生使用計算器。理由是：學生會依賴計算器，造成學生計算能力低下。
第三派是既不反對又不主張，采取等待觀望態度。
經過多年的爭論和實踐，目前已逐步趨向一致意見：計算器必須進入小學數學課堂。各國在做法上有所不同，有的從一年級就開始使用；有的在低、中年級不用，到高年級開始使用。我贊成后一種做法，在低、中年級不允許使用計算器，可以使學生集中精力學好練好基本的計算技巧，養成一定的口算、筆算能力。到高年級允許學生使用計算器，有助于學生解決比較復雜的數學計算，減輕負擔，把主要精力放在思維活動方面。
考試方法標準化
減輕學生的過重課業負擔問題已經強調了多少年，社會各界人士大聲疾呼，教育行政部門也三令五申，為什么學生的過重課業負擔始終降不下來，這不能不引起大家的深思。
追究原因，有的責怪教師，片面追求升學率；有的埋怨出版社，濫編復習資料、練習冊。我認為這些不是主要原因，主要原因在于考試命題超大綱、超教材，要求過高，題目又多又難。
我分析了前幾年一些地區的畢業試卷，大都有10％左右的題目超出大綱要求，題量也很大，教師心中無數，就用題海戰術來對付，求助于各種復習資料和練習冊。因此，減輕學生過重課業負擔的關鍵是把好考試關，嚴格按照教學大綱和教材命題。
數學研究論文范文3
目前國際數學界普遍贊同通過開展數學建?；顒雍驮跀祵W教學中推廣使用現代化技術來推動數學教育改革。美國、德國、日本等發達國家普遍都十分重視數學建模教學，把數學建?；顒訌拇髮W生向中學生轉移是近年國際數學教育發展的一種趨勢?！拔覈臄祵W教育在很長一段時間內對于數學與實際、數學與其它學科的聯系未能給予充分的重視，因此，高中數學在數學應用和聯系實際方面需要大力加強?！蔽覈胀ǜ咧行碌臄祵W教學大綱中也明確提出要切實培養學生解決實際問題的能力，要求增強應用數學的意識，能初步運用數學模型解決實際問題。這些要求不僅符合數學本身發展的需要，也是社會發展的需要。因此我們的數學教學不僅要使學生知道許多重要的數學概念、方法和結論，而且要提高學生的思維能力，培養學生自覺地運用數學知識去處理和解決日常生活中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質。而數學建模通過"從實際情境中抽象出數學問題，求解數學模型，回到現實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際"這一過程，促使學生圍繞實際問題查閱資料、收集信息、整理加工、獲取新知識，從而拓寬了學生的知識面和能力。數學建模將各種知識綜合應用于解決實際問題中，是培養和提高學生應用所學知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一，是改善學生學習方式的突破口。因此有計劃地開展數學建?；顒?，將有效地培養學生的能力，提高學生的綜合素質。
數學建?？梢蕴岣邔W生的學習興趣，培養學生不怕吃苦、敢于戰勝困難的堅強意志，培養自律、團結的優秀品質，培養正確的數學觀。具體的調查表明，大部分學生對數學建模比較感興趣，并不同程度地促進了他們對于數學及其他課程的學習．有許多學生認為："數學源于生活，生活依靠數學，平時做的題都是理論性較強，實際性較弱的題，都是在理想化狀態下進行討論，而數學建模問題貼近生活，充滿趣味性"；"數學建模使我更深切地感受到數學與實際的聯系，感受到數學問題的廣泛，使我們對于學習數學的重要性理解得更為深刻"。數學建模能培養學生應用數學進行分析、推理、證明和計算的能力；用數學語言表達實際問題及用普通人能理解的語言表達數學結果的能力；應用計算機及相應數學軟件的能力；獨立查找文獻，自學的能力，組織、協調、管理的能力；創造力、想象力、聯想力和洞察力。由此，在高中數學教學中滲透數學建模知識是很有必要的。
那么當前我國高中學生的數學建模意識和建模能力如何呢？下面是節自有關人士對某次競賽中的一道建模題目學生的作答情況所作的抽樣調查。題目內容如下：
某市教育局組織了一項競賽，聘請了來自不同學校的數名教師做評委組成評判組。本次競賽制定四條評分規則，內容如下：
（1）評委對本校選手不打分。
（2）每位評委對每位參賽選手（除本校選手外）都必須打分，且所打分數不相同。
（3）評委打分方法為：倒數第一名記1分，倒數第二名記2分，依次類推。
（4）比賽結束后，求出各選手的平均分，按平均分從高到低排序，依此確定本次競賽的名次，以平均分最高者為第一名，依次類推。
本次比賽中，選手甲所在學校有一名評委，這位評委將不參加對選手甲的評分，其他選手所在學校無人擔任評委。
（Ⅰ）公布評分規則后，其他選手覺得這種評分規則對甲更有利，請問這種看法是否有道理？（請說明理由）
（Ⅱ）能否給這次比賽制定更公平的評分規則？若能，請你給出一個更公平的評分規則，并說明理由。
本題是一道開放性很強的好題，給學生留有很大的發揮空間，不少學生都有精彩的表現，例如關于評分規則的修正，就有下列幾種方案：
方案1：將選手甲所在學校評委的評分方法改為倒數第一名記1+分，倒數第二名記2+，…依次類推；（評分標準）
方案2：將選手甲所在學校評委的評分方法改為在原來的基礎上乘以；
方案3：對甲評分時，用其他評委的平均分計做甲所在學校評委的打分；
然而也有不少學生為空白，究其原因可能除了時間因素，學生對于較長的文字表述產生畏懼心理、不能正確閱讀是重要因素。同時，一些學生由于不能正確理解規則（3），得出選手甲的平均得分為，其他選手的平均得分為，從而得出錯誤結論.不少學生出現“甲所在學校的評委會故意壓低其他選手的分數，因而對甲有利”的解釋，而沒有意識到作出必要的假設是數學建模方法中的重要且必要的一環。有些學生在正確理解題意的基礎上，提出了“規則對甲有利”的理由，例如：排名在甲前的同學少得了1分；甲所在學校的評委不給其他選手最高分（n分），所以甲得最高分的概率比其他選手高；相當于甲所在學校的評委把最高分給了甲；甲少拿一個分數，若少拿最低分，則有利；若少拿最高分，則不利；等等。以上各種想法都有道理，遺憾的是大部分學生僅僅停留在這些感性認識和文字說明上，沒能進一步引進數學模型和數學符號去進行理性的分析。如何衡量規則的公平性是本題的關鍵，也是建模的原則。很少有學生能夠明確提出這個原則，有些學生在第2問評分規則的修正中，提出“將甲所在學校的評委從評判組中剔除掉”，這種辦法違背實際的要求。有些學生被生活中一些現象誤導，提出“去掉最高分和最低分”的評分規則修正方法，而不去從數學的角度分析和研究。
通過對這道高中數學知識應用競賽題解答情況的分析，我們了解到學生數學建模意識和建模能力的現狀不容樂觀。學生在數學應用能力上存在的一些問題：（1）數學閱讀能力差，誤解題意。（2）數學建模方法需要提高。（3）數學應用意識不盡人意數學建模意識很有待加強。新課程標準給數學建模提出了更高的要求，也為中學數學建模的發展提供了很好的契機，相信隨著新課程的實施，我們高中生的數學建模意識和建模能力會有大的提高！
那么高中的數學建模教學應如何進行呢？數學建模的教學本身是一個不斷探索、不斷創新、不斷完善和提高的過程。不同于傳統的教學模式，數學建模課程指導思想是：以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養能力為目標來組織教學工作。通過教學使學生了解利用數學理論和方法去分折和解決問題的全過程，提高他們分折問題和解決問題的能力；提高他們學習數學的興趣和應用數學的意識與能力。數學建模以學生為主，教師利用一些事先設計好的問題，引導學生主動查閱文獻資料和學習新知識，鼓勵學生積極開展討論和辯論，主動探索解決之法。教學過程的重點是創造一個環境去誘導學生的學習欲望、培養他們的自學能力，增強他們的數學素質和創新能力，強調的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結果。
（一）在教學中傳授學生初步的數學建模知識。
中學數學建模的目的旨在培養學生的數學應用意識，掌握數學建模的方法，為將來的學習、工作打下堅實的基礎。在教學時將數學建模中最基本的過程教給學生：利用現行的數學教材，向學生介紹一些常用的、典型的數學模型。如函數模型、不等式模型、數列模型、幾何模型、三角模型、方程模型等。教師應研究在各個教學章節中可引入哪些數學基本模型問題，如儲蓄問題、信用貸款問題可結合在數列教學中。教師可以通過教材中一些不大復雜的應用問題，帶著學生一起來完成數學化的過程，給學生一些數學應用和數學建模的初步體驗。
例如在學習了二次函數的最值問題后，通過下面的應用題讓學生懂得如何用數學建模的方法來解決實際問題。例：客房的定價問題。一個星級旅館有150個客房，經過一段時間的經營實踐，旅館經理得到了一些數據：每間客房定價為160元時，住房率為55%，每間客房定價為140元時，住房率為65%，
每間客房定價為120元時，住房率為75%，每間客房定價為100元時，住房率為85%。欲使旅館每天收入最高，每間客房應如何定價？
[簡化假設]
（1）每間客房最高定價為160元；
（2）設隨著房價的下降，住房率呈線性增長；
（3）設旅館每間客房定價相等。
[建立模型]
設y表示旅館一天的總收入，與160元相比每間客房降低的房價為x元。由假設（2）可得，每降價1元，住房率就增加。因此
由可知
于是問題轉化為：當時，y的最大值是多少？
[求解模型]
利用二次函數求最值可得到當x=25即住房定價為135元時，y取最大值13668.75（元），
[討論與驗證]
（1）容易驗證此收入在各種已知定價對應的收入中是最大的。如果為了便于管理，定價為140元也是可以的，因為此時它與最高收入只差18.75元。
（2）如果定價為180元，住房率應為45%，相應的收入只有12150元，因此假設（1）是合理的。
（二）培養學生的數學應用意識，增強數學建模意識。
首先，學生的應用意識體現在以下兩個方面：一是面對實際問題，能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略，學習者在學習的過程中能夠認識到數學是有用的。二是認識到現實生活中蘊含著大量的數學信息，數學在現實世界中有著廣泛的應用：生活中處處有數學，數學就在他的身邊。其次，關于如何培養學生的應用意識：在數學教學和對學生數學學習的指導中，介紹知識的來龍去脈時多與實際生活相聯系。例如，日常生活中存在著“不同形式的等量關系和不等量關系”以及“變量間的函數對應關系”、“變相間的非確切的相關關系”、“事物發生的可預測性，可能性大小”等，這些正是數學中引入“方程”、“不等式”、“函數”“變量間的線性相關”、“概率”的實際背景。另外鍛煉學生學會運用數學語言描述周圍世界出現的數學現象。數學是一種“世界通用語言”它能夠準確、清楚、間接地刻畫和描述日常生活中的許多現象。應讓學生養成運用數學語言進行交流的習慣。例如，當學生乘坐出租車時，他應能意識到付費與行駛時間或路程之間具有一定的函數關系。鼓勵學生運用數學建模解決實際問題。首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統去處理，當然這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷的引導學生用數學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關系、空間關系和數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到用數學模型來解決實際問題，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。通過教師的潛移默化，經常滲透數學建模意識，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領悟到數學建模的廣泛應用，從而激發學生去研究數學建模的興趣，提高他們運用數學知識進行建模的能力。
（三）在教學中注意聯系相關學科加以運用
在數學建模教學中應該重視選用數學與物理、化學、生物、美學等知識相結合的跨學科問題和大量與日常生活相聯系(如投資買賣、銀行儲蓄、測量、乘車、運動等方面)的數學問題，從其它學科中選擇應用題，通過構建模型，培養學生應用數學工具解決該學科難題的能力。例如，高中生物學科以描述性的語言為主，有的學生往往以為學好生物學是與數學沒有關系的。他們尚未樹立理科意識，缺乏理科思維。比如：他們不會用數學上的排列與組合來分析減數分裂過程配子的基因組成；也不會用數學上的概率的相加、相乘原理來解決一些遺傳病機率的計算等等。這些需要教師在平時相應的課堂內容教學中引導學生進行數學建模。因此我們在教學中應注意與其它學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑。又例如教了正弦函數后，可引導學生用模型函數寫出物理中振動圖象或交流圖象的數學表達式。
最后，為了培養學生的建模意識，中學數學教師應首先需要提高自己的建模意識。中學數學教師除需要了解數學科學的發展歷史和發展動態之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數學知識應用于現實生活。中學教師只有通過對數學建模的系統學習和研究，才能準確地的把握數學建模問題的深度和難度，更好地推動中學數學建模教學的發展。
論文關鍵詞：數學建模數學應用意識數學建模教學
論文摘要：為增強學生應用數學的意識，切實培養學生解決實際問題的能力，分析了高中數學建模的必要性，并通過對高中學生數學建模能力的調查分析，發現學生數學應用及數學建模方面存在的問題，并針對問題提出了關于高中進行數學建模教學的幾點意見。
參考文獻:
1.《問題解決的數學模型方法》北京師范大學出版社，1999.8
2.普通高中數學課程標準（實驗），人民教育出版社，2003.4
數學研究論文范文4
1“研究性學習”的教學含義
隨著《全日制普通高級中學課程計劃》和《全日制普通高級中學數學教學大綱》的實施，以及新的高中教材在全國逐步推廣使用，“研究性學習”正成為高中教學研究的熱點．教育部門的各級領導、教研員、任課教師對“研究性學習”的理解還處在探索階段，認識還不統一．尤其是對“什么是‘研究性學習’?”“什么樣的課是‘研究性學習’的課?”“研究性學習與探究性學習有什么區別?”等問題在認識上還存在分歧．我們認為有必要搞清楚“研究性學習”的含義，適當擴大“研究性學習”這一概念的外延，這樣我們把“研究性學習”劃分了三個層次．
1.1含有課程意義的必修課
“研究性學習”最初是在《全日制普通高級中學課程計劃》中提出的，它是該課程計劃中規定的高中課程項目之一．把“研究性學習”、“勞動技術教育”、“社區服務”和“社會實踐”統一劃歸為“綜合實踐活動”，屬于必修課程，規定了課時安排和具體要求．這種意義的“研究性學習”屬于課程范疇，但它沒有統一的教材，屬于校本課程的范圍．它所涉及的教學內容不同于數學、物理、化學、地理、生物等學科，而具有明顯的綜合性．它一般在課下和校外進行，具有鮮明的實踐性．
1.2寫進課本的“研究性學習”課題
在《全日制普通高級中學數學教學大綱》中規定：“每個學期至少安排一個研究性學習課題”．新教材執行新大綱，在相應的章中單獨設立一節，以“研究性課題”給出具體的教學內容，如“分期付款中的有關計算”、“向量在物理中的應用”、“線性規劃的實際應用”、“多面體歐拉公式的發現”、“楊輝三角”等．教材中的“研究性學習”給出了具體的課題，這些課題大部分屬于課外內容，或具有實際意義或具有研究探索的意義，但都屬于數學內容．它與上一層次沒有材的“研究性學習”不同，它既有教材，又具有學科性．
1.3課堂教學中的“研究性學習”
隨著教學改革的深入，只用以上兩種層次的“研究性學習”來培養學生的創新意識和應用意識已感到不足．如何使用課本的教材內容，使用“研究性學習”的方法，在日常教學的過程中進行學生創新意識和應用意識的培養，就成了課堂教學改革的方向．于是這種使用課本內容進行“研究性學習”的課堂教學被稱之為“研究性學習”的教學模式或方法，簡稱為“研究性學習”．
不過開始時，有些報刊中的文章使用“自主探究性學習”的提法以和第一層次的“研究性學習”相區別．但隨著改革的深入，現在大部分文章已不再使用“探究性學習”的字樣，而都使用“研究性學習”了．這種變化也說明了隨著課程和教學改革的深入，對“研究性學習”的理解正向縱深發展，給“研究性學習”注入了新的內涵，使它更具生命力．
三個層次的“研究性學習”其區別在于所選用的素材不同，所研究的對象不同，而使用的方法卻是一樣的，都具有研究性和探索性．本文下面所提及的“研究性學習”是指“研究性學習”教學模式的簡稱，它的真實含義是“研究性教學”．
2“研究性學習”的教學特性
如何使用課本內容，引導學生進行探索與發現的課堂教學，是我們要研究的重點．為此，我們首先應該明確以引導學生參加“研究性學習”為主的教學模式應該具備哪些特性，只有這樣才能為教學設計、具體實施以及教學評價提供依據．
2.1自主性
學生的自主學習是相對于傳授式學習而言的，自主性的主要標志是學生學習的主動性．學生是課堂教學的主人，他們應積極主動參與教學活動，主動獲取知識，是課堂教學的主體．對主體性的評價，不能只看學生的活動所占課堂教學時間的比例，關鍵是看學生的思維是否真的被調動起來了，他們的學習是否積極主動．
自主性的第二個標志是個體性或獨立性．課堂雖是集體學習的場所，但課堂的學習活動卻是從個體開始的，其最終目的也是為了提高每一個學生的思維水平．因此，課堂教學過程中首先要強調學生個體的作用與發展，讓每個學生在教學活動中盡量做到：信息自己采集，數據自己處理，問題自己提出，課題自己選定．提倡獨立鉆研，獨立思考，獨出心裁，以培養獨創精神．
2.2協作性
協作性是在個體性和獨立性的基礎上體現的，兩者的關系是相輔相成的，在學生的自主獨立思維活動被調動起來之后，在解決問題的過程中，往往會遇到思維障礙，此時通過學生與學生之間的思維溝通，通過相互協作，往往會使思維障礙得以克服，并加快解決問題的速度．學生之間進行相互溝通與交流的學習也被稱為“合作學習”．“合作學習”可以培養學生的協作意識和團隊精神，學會與人溝通和交流的方法．
合作學習可劃分為兩個層次．一是小組內的合作學習，幾人一組，人數不多，便于溝通，有利于互相啟發，與個體研究能緊密結合．二是班級性的大型思維展示，這也是一種合作學習．這種形式的合作學習范圍大，人數多，用于展示研究成果和思維過程，并開展討論和爭論．兩種層次的合作學習可在課堂中多次交替開展，有利于學生創新思維的培養．
2.3研究性
前兩個特性都是從學生在“研究性學習”中的地位、作用以及學習的方式等方面簡述的，并沒有對研究的方法、研究的過程給以突出說明．我們認為，“研究性學習”最本質的屬性是“研究”二字，“研究性學習”的教學模式不同于講授式，也不同于自學式，它的主要過程是：提出問題—研究探索—得出結論．其中所研究問題的性質很重要，無論是由學生提出，還是由教師給出，所提出的問題應該是開放的，只有素材而沒有結論．這樣才具有研究的意義．可以這樣說，問題的開放性決定了教學模式的研究性．
“研究性學習”的研究性還應表現在研究過程中對研究方法的實踐．研究不應該盲目進行，而應體現出方法性．也就是說在研究的過程中，要教給學生一些研究問題的基本方法，通過研究的實踐，使他們從中學會研究的方法．我們認為學習實踐研究的方法比得到的研究結論更為重要．
在“研究性學習”的教學活動中，最經常使用的研究方法有：歸納性研究方法、類比性研究方法、試驗性研究方法和實驗性研究方法．課堂教學過程中是否突出強調并使用相關的研究方法是“研究性學習”研究性的重要標志．
“研究性學習”的教學特性，除上面所述的三種以外，還具有開放性、實踐性、創新性等其他特性．但我們認為后三種特性的本質屬性不如前三種突出，有的還可以包含在前三種之中，因此就不再贅述．
3“研究性學習”的教學設計
如何進行“研究性學習”的教學設計?怎樣實施課堂教學的“研究性學習”?這些問題應該是我們研究的重點．我區“研究性學習”的教學研究工作剛剛起步，只搞了幾節市、區級的研究課，在聽取了專家和同行們的意見之后，又進行了深入的思考，產生了一些新的想法．現將“研究性學習”在教學設計時應重點考慮的幾個問題整理如下．
3.1兩個體現
作為教研活動的“研究課”，在備課之初首先應該考慮這節課要給聽課教師展示什么，打算起到什么示范作用，準備達到什么目的．對于“研究性學習”的研究課，應重點突出以下兩條．
3.1.1體現新教學理念
什么是新的教學理念?什么是數學教學的新理念?我們認為應該從教學目的出發，在新的高中教學大綱中去尋找答案．
在新的高中教學大綱中對數學課的教學目的進行了新的劃分，共分為三個層次．第一層提出的是一般能力要求，可歸納為“三層問題”，即“提出問題、分析問題和解決問題的能力”；“兩種意識”，即“創新意識和應用意識”；“四類能力”，即“探究能力”、“建模能力”、“交流能力”和“實踐能力”．第二層提出的是數學思維能力要求，把空間想象和運算等都包含在內．第三層是人格、品德和素質的要求，表現為“興趣”、“信心”、“精神”、“價值”和“世界觀”．
與原大綱相比較，我們認為“提出問題”的能力、“創新意識和應用意識”、“探究能力”、“建模能力”、“交流能力”和“實踐能力”等都頗具新意．如果我們在備課之初抓住其中的一兩項，認真地去設計在教學過程中如何實現，不失為是新教學理念的體現．
3.1.2體現新的教學設計思想
在黨的“十六大”上，提出了“發展要有新思路，改革要有新突破，開放要有新局面，各項工作要有新舉措”的工作要求．數學課的教學模式與教學設計怎樣體現“新”字，是我們需要研究的又一個問題．我們不能墨守陳規，因循守舊或小打小鬧，止步不前，而必須解放思想，打破原有的教學設計的思維框架，在教學模式和教學設計上有所突破．要大膽創新，獨出心裁，別出新意，以體現課堂教學改革的新思路．
最近進行的一節以數列為載體的“研究性學習”課，包括了等差數列和等比數列的定義、通項公式、前n項和公式等主要內容．教學順序不是先研究完等差數列再研究等比數列，而是橫向與縱向交叉進行．在研究完等差數列的定義之后，類比研究等比數列的定義；在研究完等差數列的通項公式之后，類比研究等比數列的通項公式，最后再順次研究等差數列、等比數列的前n項和公式．這種改革不失為一種大膽的嘗試，不僅課堂教學容量大，而且知識之間的橫縱向聯系十分緊密，不僅學生在研究方法上有所收益，而且有利于知識結構的形成．
3.2兩個突出
一節課只有45分鐘，不可能涉及過多的教學目的，不可能面面俱到，因此一節“研究性學習”研究課的教學設計抓主要矛盾和主要過程是十分必要的．
3.2.1突出一個主題
主題的確定，可以從教材內容上考慮，可以從教學方法上考慮，但最主要的還是從教學目的和培養目標上考慮．一節課如果從總的教學目標考慮，不應有過多的項目，要把主題選好，然后再在這個主題下進行具體設計．
最近進行了一節函數復習的“研究性學習”研究課．開始時打算由兩個具體的函數解析式，通過研究它的定義域、值域、奇偶性、單調性、最大（小）值，并畫出它的草圖來復習函數的概念、性質與圖象．但后來任課教師考慮到給出的函數解析式過于抽象，不如由實例引出，使其具有實際意義．這是個很好的建議，并在此基礎上又作了進一步的發展，既然引入的是實例，那么結尾也應給予呼應，也應再回到應用問題．于是前后共出現三道應用題，并且還涉及了字母的討論．這樣一來，由原來側重于創新意識，變成了應用意識與創新意識并重；由一個主題變成了兩個主題．如果照此設計實施，可能一個目標也完成不了．又經過討論，最后決定只由應用問題引出函數解析式，把由解析式到函數圖象的“研究性學習”、培養創新意識確定為本節課的主題．
3.2.2突出一條主線
我們這里所說的主線是指教師與學生的關系、學生與學生的關系在“研究性學習”中的位置．作為“研究性學習”的研究課，必然要把學生的自主學習放在首位．在課堂中，學生的自主性與協作性的關系如何處理?以哪一個特性為主更好呢?在常規教學中學生主體作用的發揮、課堂活躍的程度，往往用教師提問次數的多少、學生回答問題所占時間的多少來評價．為了改變這種現象，我們提出，在現階段“研究性學習”的研究課，要突出“合作學習”的作用．一節課中，在不同的教學環節應設計出不同類型的合作學習方式，以“合作學習”為主線，將“合作學習”貫穿于課堂教學的始終．
3.3兩個側重
無論什么課型，就教學過程而言，都可以劃分為引入環節、主體環節和結尾環節．不言而喻，一節課的中心和關鍵必然是中間的主體環節，必然要把設計的重點放在這一環節中．正因為如此，往往容易忽視對引入和結尾的教學設計，于是我們在“研究性學習”研究課的教學設計中，加強了對這兩個環節的考慮．
3.3.1側重引入環節的教學設計
引入環節是課堂教學的首要環節．這一環節設計得好壞，直接影響一節課的教學效果．對于“研究性學習”的研究課，引入環節的教學設計，我們提出了三層考慮，即提出問題—制造懸念—激發興趣．
問題的提出，可以由教師直接給出，也可以由學生自己提出；可以由實際問題引出，也可以用數學問題引出；可以由舊內容引出，也可以開門見山直接給出．但無論采用哪種方法，都要注意貫徹主題和主線．能由學生提出的，最好就不由老師給出；能由實際問題引出的，最好就不用數學問題引出；能由舊知識引出的，最好就不開門見山．在提出問題時，應該是先大后小，先難后易，先一般后特殊，以給學生多留一些思考的余地，少一些提示，以增加課堂“研究性學習”的氣氛．
制造懸念是設置問題的一種技巧．對學生那些似知非知，似懂非懂，似是而非的新內容，對那些可能產生負遷移，可能發生錯誤的新方法，教師應精心設計一些帶有懸念的問題，讓學生自己思考，“勾”起學生參與解決問題的欲望，最終達到激發興趣的目的．
3.3.2側重小結環節的教學設計
復習小結是課堂教學的最后一個環節，常規做法是由老師或學生總結本節的知識內容，也有教師更深入一步，總結本節課所涉及的重要思想和方法．但作為“研究性學習”的研究課，到此我們仍覺不夠．由于“研究性學習”的課堂教學把研究方法放在了重要的位置上，因此我們提出，在總結數學知識和數學方法的基礎上，還應更深入一步，“在學完了這節課之后，你還學會了哪些解決問題的一般方法?”希望學生自己總結出在思維方法上的收獲．開始時，學生肯定會不適應，說不到點子上．我們覺得，隨著改革的深入，在多次使用“研究性學習”的教學模式進行教學之后，學生解決問題的方法會逐漸積累．通過總結，解決問題的能力會逐步提高．
4兩個希望
教學設計是在課堂教學之前教師的教學設想，但在課堂教學具體實施的過程中，往往很難完全實現，這是正常的現象．尤其是在調動學生參與，啟發學生思維時，課堂上學生會怎樣表現?設計與實際之間往往會有較大的差異，設計時難度也會更大．于是，我們只好用“希望”二字來表達我們對課堂教學中學生活動的一種企盼，也是對教師在教學設計時提出的較高要求．
4.1希望產生障礙或出現錯誤
研究的過程從來就不可能一次成功，產生思維障礙，出現這樣或那樣的錯誤是正常和自然的．為了使學生學會思維、實踐研究的方法，我們希望教師在全班討論時，不要只叫會的，只聽對的，相反，應從出現錯誤的，產生障礙的開始，要求學生不要只講結果而應講出產生錯誤和出現思維障礙的原因，講出解決的辦法，講出思維的全過程．
沒有失敗，哪有成功?我們也應該讓學生嘗試失敗，并從中總結經驗和教訓，逐漸學會由失敗走向成功．
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一、“四大難關”的成因
立足于幫助學生順利度過“四大難關”，教材研究的首要任務是應該搞清各個“難關”的成因。對此作宏觀分析，我們容易概括出下面三個方面的成因：
（1）抽象層次的提高
教學內容的抽象性是眾所周知的，但作為數學教材的數學內容，則著意體現由直觀到抽象的漸變過程，以適應學生認識的發展，在這種變化過程中，起伏程度有所不同，各大難關所表現的正是抽象程度的驟變過程，抽象層次驟然提高，這種變化若學生不能立即適應，就成為學習數學的巨大障礙，就成為“難關”了。
如從算術到代數的過渡，其重要標志就是用字母表示數，特別是字母代替的數既是確定的，又是任意的，這種兩重性與小學階段的數學內容相比，抽象程度顯著提高，可以說表現為一次飛躍；從代數到幾何的過渡，其抽象程度的飛躍則表現在由以前的單純的以計算為主到對數學問題的推理論證、大量抽象符號和數學語言的運用過渡；由常量數學到變量數學的過渡，以函數概念的引入為標志，宣布了數學問題的研究由處理相對穩定的數學問題進入處理運動、變化的量與量關系的數學問題的領域，標志著抽象層次的又一次大的邁進；而由有限到無限的過渡，是以極限概念的引入為標志的，其推理方式由對有限問題的處理進入對無限問題的處理，抽象程度又一次發生了質的改變。由此可見，抽象層次的提高，是“難關”的成因之一。
（2）研究對象的轉變
恩格斯在《反杜林論》中曾指出：“……純數學是以現實世界的空間形式和數量關系－－這是非?，F實的材料－－為對象的”這給數學尤其是初等數學的本質作出了很科學的概括。圍繞“數”和“形”這兩個方面討論而展開的。而在教材內容的發展過程中，由以數為主要研究對象的內容轉變到以形為主要研究對象的內容時，其角度、特點以及抽象程度都有顯著的變化，這一轉變過程中，學生不能很快適應，就會形成由代數到幾何的過渡－－初二平面幾何入門的一大難關。由數到形，又到數形結合，研究量與量之間運動、變化過程中表現出的關系，則又是一類研究對象，這就是函數概念的引進－－因研究對象與研究方法的轉變而導致的不適應，就出現了由常量數學到變量數學過渡的這一難關。而其它幾大難關也不同程度的涉及到研究對象的改變。由此可知，數學內容研究對象的轉變也是“難關”的成因之一。
（3）思維方式的轉變
每一次“難關”的出現，都相應地出現思維方式上大的轉變，都是對前面習慣思維的揚棄。當教學思維從特殊轉入對一般情況的研究時，就是相應的第一大難關的來臨，此時可以說思維進入歸納思維的范圍；而當平面幾何以全新的研究對象出現時，演繹推理－－從一般到特殊的思維方式占了主導地位，這種改變又導致了第二大難關的產生，而對辯證思維要求的提高，是導致后兩大難關的重要因素，因為這要經受由相對穩定－－運動變化－－無限領域的一系列重大變革，數學中的靜與動、有限與無限等矛盾在運動中被一一揭示出來，在思想方向上使中學生經受一次又一次的重大洗禮。由此可見，思維方式的轉變是“難關”的重要成因。
二、對策
（1）廣泛聯系、挖掘量變因素
前面已經指出，“難關”的出現其實質是一個質變過程，它需要量變的積累，如果量變有了充分準備，質變就顯得自然，“難關”也就容易克服。因此，就需要深刻挖掘量變因素，將教材抽象程度加工到使學生通過努力能夠接受的水平上來。在代數關系的研究中，積極注意挖掘與幾何結合較緊密的內容，廣泛聯系，縮小接觸新內容時的陌生度，避免因研究對象的變化而產生的心理障礙。
（2）重點深入，合理設置問題
要將“難關”分散到普通教材中來，就需要注意對普通教材由微觀到宏觀的透徹研究與重點深入。首先，明確局部內容在整體數學教材體系中的地位和作用；其次，運用前文所述的教材研究方法，合理設置問題，使問題的步子與學生的思維水平同步前進，以局部知識的掌握為整體服務，例如，針對某一概念，可圍繞下面幾個角度設置問題：概念的構成；概念所涉及的子概念；概念的外延；概念的內涵；概念的確定與否定；概念之間的關系；概念的應用以及由概念而設計的一些構造性問題等等。當然有些問題可設置一些啟發性的提問以使學生獨立獲得知識。問題與問題之間要有一定的梯度，以利于教學時啟發學生思維。
數學研究論文范文6
問題解決產生的背景是什么？它的意義是什么？它對我國中學數學課程建設有何重要性？怎樣在中學數學課程中體現問題解決的思想？本文擬對此作初步探討。
一、背景和意義
19世紀末，20世紀初，一些心理學家首先對問題解決進行了研究，并對“問題解決”作了諸多的闡釋。在國際數學教育界，從美國的波利亞首先對怎樣解題作了詳盡的探討開始，逐漸對這個問題展開了研究。尤其是在美國，從60年代“新數運動”過分強調數學的抽象結構，忽視數學與實際的聯系，脫離教學實際，到70年代“回到基幢走向另一個極端，片面強調掌握低標準的基礎知識，數學教學水平普遍下降。在對于數學教育發展方向作了長期探索以后，“問題解決”和“大眾數學（mathematicsforal）”已經成為美國數學教育的響亮口號，并產生國際影響。
什么是問題解決，由于觀察的角度不同，至今仍然沒有完全統一的認識。
有的認為，問題解決指的是人們在日常生活和社會實踐中，面臨新情景、新課題，發現它與主客觀需要的矛盾而自己卻沒有現成對策時，所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動。有的把學習分成八種類型：信號學習、……概念學習、法則學習和問題解決。問題解決是其中最高級和復雜的一種類型，意味著以獨特的方式選擇多組法則，并且把它們綜合起來運用，它將導致建立起學習者先前不知道的更高級的一組法則。英國學校數學教育調查委員會報告《數學算數》則認為：把數學應用于各種情形的能力就是“問題解決”。全美數學教師理事會《行動的議程》對問題解決的意義作了如下說明：第一，問題解決包括將數學應用于現實世界，包括為現時和將來出現的科學理論與實際服務，也包括解決拓廣數學科學本身前沿的問題；第二，問題解決從本質上說是一種創造性的活動；第三，問題解決能力的發展，其基礎是虛心、好奇和探索的態度，是進行試驗和猜測的意向；等等。
從上述對問題解決意義的闡述中，我們可以看到一些共性和相通之處。從數學教育的角度來看，問題解決中所指的問題來自兩個方面：現實社會生活和生產實際，數學學科本身。問題的一個重要特征是其對于解決問題者的新穎性，使得問題解決者沒有現成的對策，因而需要進行創造性的工作。要順利地進行問題解決，其前提是已經了解、掌握所需要的基礎知識、基本技能和能力，在問題解決中要綜合地運用這些基礎知識、基本技能和能力。在問題解決中，問題解決者的態度是積極的。此外，在學校數學教學中，所謂創造性地解決問題，有別于數學家的創造性工作，主要指學習中的再創造。因而，筆者認為，從數學教育的角度看，問題解決的意義是：以積極探索的態度，綜合運用已具有的數學基礎知識、基本技能和能力，創造性地解決來自數學課或實際生活和生產實際中的新問題的學習活動。
簡言之，就數學教育而言，問題解決就是創造性地應用數學以解決問題的學習活動。
問題解決中，問題本身常具有非常規性、開放性和應用性，問題解決過程具有探索性和創造性，有時需要合作完成。
二、“問題解決”的重要性
問題解決已引起國內外數學教育界的廣泛重視，把它和數學課程緊密聯系起來，已是國際數學教育的一個趨勢。究其原因，筆者認為主要有以下幾方面：
（一）時代呼喚創新
在國際競爭日益激烈的當今世界，各國政府乃至普通老百姓都越來越清楚認識到，國家的富強，乃至企業的興衰，無不取決于對科學技術知識的學習、掌握及其創造性的開拓和應用。但創造能力并非與生俱有，必須通過有意識的學習和訓練才能形成。學校教育必須重視培養學生應用所學知識進行創造性工作的能力。問題解決正反映了這種社會需要。
（二）我國數學教育的成功和不足
我國的中學數學教學與國際上其它一些國家的中學數學教學比較，具有重視基礎知識教學，基本技能訓練，數學計算、推理和空間想象能力的培養等顯著特點，因而我國中學生的數學基本功比較扎實，學生的整體數學水平較高。然而，改革開放也使我國數學教育界看到了我國中學數學教學的一些不足。其中比較突出的兩個問題是，學生應用數學的意識不強，創造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數學問題，不能把所學的數學知識應用到實際問題中去，對所學數學知識的實際背景了解不多；學生機械地模仿一些常見數學問題解法的能力較強，而當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發現問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。面對這種情況，我國數學教育界采取了一些相應措施。例如，北京、上海等地分別開展了中學生數學應用競賽，在近年高校招生數學考試中，也加強了對學生應用數學意識和創造性思維方法與能力的考查等。雖然這些措施收到了一定的成效，然而要從根本上改變現狀，還應在中學數學課程設計上有所突破。一些學者認為，在中學數學課程中體現問題解決的思想，是解決上述問題的有效途徑。
（三）數學觀的發展
數學發展至今，人們對數學的總的看法由相對靜態的觀點轉向靜態和動態相結合的觀點。對于數學是什么，經典的是恩格斯的定義：數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學。恩格斯對數學的觀點是相對靜止的，它主要指出了數學的客觀真理性，然而，當今的社會實踐告訴人們還應該用動態的觀點去認識數學，即從數學與人類實踐的關系去認識數學。就數學教育而言，學生之所以要學習數學，除了數學的客觀真理性，更在于數學是改造客觀世界的重要工具。學數學，首先是為了應用。應用數學是學數學的出發點和歸宿。所以，數學教學的主要任務是教給學生在實際生活和生產實踐中最有用的數學基礎知識，并在教學過程中有意識地培養學生應用這些知識分析和解決實際問題的能力。
（四）問題解決過程和方法的一般性
在解決來自實際和數學內部的數學問題中，問題解決的過程和方法是基本相同的。不僅如此，這種過程和方法與解決一般的、其它學科中問題的過程和方法有很多共同之處。在數學問題解決中學習的過程和方法可以遷移到其它學科的問題解決過程中。此外，相對于其它學科的問題來學，解決數學問題所需要的工具和材料要少得多，有時只需要一支筆，一張紙。因而通過數學問題解決，可以較快地教給學生一般的問題解決的過程和思想方法，具有較高的效率。
三、“問題解決”和中學數學課程
問題解決在各國的中學數學課程中的引入方式各不相同，英國SMP數學課程專門設置了一種問題解決課，我國人民教育出版社出版的義務教育初中數學課程中設立了實習作業、應用題、想一想、做一做等，在高中數學試驗課本中也增加了研究題等，這些和問題解決思想是一致的。筆者認為，從目前中國的實際情況出發，重要的是在中學數學課程中去體現問題解決的思想精髓，這就是它所強調的創造能力和應用意識。就是說，在中學數學課程中應強調以下幾點：
（一）鼓勵學生去探索、猜想、發現
要培養學生的創造能力，首先是要讓學生具有積極探索的態度，猜想、發現的欲望。教材要設法鼓勵學生去探索、猜想和發現，培養學生的問題意識，經常地啟發學生去思考，提出問題。
學生學習的過程本身就是一個問題解決的過程。當學生學習一門嶄新的課程、一章新的知識、乃至一個新的定理和公式時，對學生來說，就是面臨一個新問題。例如，高中數學課是在學生學習了初中代數、幾何課以后開設的，學生對數學已經有比較豐富的感性認識，教科書中是否可以提出，或者說應該教學生提出以下的一些問題：高中數學課是怎樣的一門課？高中數學課和小學數學、初中代數、初中幾何課有什么關系？數學是怎樣的一門科學？這門科學是怎樣產生和發展起來的？高中數學將要學習哪些知識？這些知識在實際中有什么用？這些知識和以后將要學習的數學知識、高中其它學科知識有些什么關系，有怎樣的地位作用？要學好高中數學應注意些什么問題？當然，對這些問題，即使是學完整個高中數學課程以后，也不一定能完全回答好，但在學這門課之前還是要引導學生去思考這些問題，這也正是教科書編者所要考慮并應該盡可能在教科書中回答的。筆者認為，在高中數學課中可以安排一個引言課。同樣，在每一章，乃至每一單元都應該考慮類似的問題。在這一點，初中《幾何》的引言值得參考。在教科書中經常提一些啟發性的問題，就會讓學生逐步養成求知、好問的習慣和獨立思考、勇于探索的精神。
無論是教科書的編寫還是實際教學，在講到探索、猜想、發現方面的問題時要側重于“教”：有時候可以直接教給學生完整的猜想過程，有時候則要較多地啟發、誘導、點撥學生。不要在任何時候都讓學生親自去猜想、發現，那樣要花費太多的教學時間，降低教學效率。此外，在探索、猜想、發現的方向上，要把好舵，不要讓學生在任意方向上去費勁。
（二）打好基礎
這里的基礎有兩重含義：首先，中學教育是基礎教育，許多知識將在學生進一步學習中得到應用，有為學生進一步深造打基礎的任務，因而不能要求所學的知識立即在實際中都能得到應用。其次，要解決任何一個問題，必須有相關的知識和基本的技能。當人們面臨新情景、新問題，試圖去解決它時，必須把它與自己已有知識聯系起來，當發現已有知識不足以解決面臨的新問題時，就必須進一步學習相關的知識，訓練相關的技能。應看到，知識和技能是培養問題解決能力的必要條件。在提倡問題解決的時候，不能削弱而要更加重視數學基礎知識的教學和基本技能的訓練。
教給學生哪些最重要的數學基礎知識和基本技能，是問題的關系。目前，《全日制普通高級中學數學教學大綱（供試驗用）》中關于課程內容的確定，已為更好地培養我國高中學生運用數學分析和解決實際問題的能力提供了良好的條件。我們要繼承高中數學教材編寫中重視數學基礎知識和基本技能的優良傳統和豐富經驗，編出一套高質量的高中數學教材，以下僅對數學概念的處理談點看法。
數學概念是數學研究對象的高度抽象和概括，它反映了數學對象的本質屬性，是最重要的數學知識之一。概念教學是數學教學的重要組成部分，正確理解概念是學好數學的基矗概念教學的基本要求是對概念闡述的科學性和學生對概念的可接受性。目前，對中學數學概念教學，有兩種不同的觀點：一種觀點是要“淡化概念，注重實質”，另一種觀點是要保持概念闡述的科學性和嚴謹性。高中數學課程的建設也面臨著同樣的問題。筆者認為，對這一問題的處理應該“輕其所輕，重其所重”，不能一概而論。提出“淡化概念，注重實質”是有針對性的，它指出了教材和教學中的一些弊端。一些次要和學生一時難以深刻理解但又必須引入的概念，在教學中必須對其定義作淡化（或者說淺化）的處理，有的可以用白體字印刷，來表明概念被淡化。但一些重要概念的定義還是應以比較嚴格的形式給出為妥，否則，雖然老師容易判定這些概念的定義是被淡化的，但是學生容易對概念產生誤解和歧義，關鍵在于教師在教學中把握好度，突出教學的重點。還有一些概念，在數學學科體系中有重要的地位和作用，對這類概念，不但不能作淡化處理，反之，還要花大力處理好，讓學生對概念能較好地理解和掌握。例如，初中幾何的點概念、高中數學的集合等概念，是人們從現實世界廣泛對象中抽象而得，在教材處理中要讓學生認識到概念所涉及的對象的廣泛性，從而認識到概念應用的廣泛性，另外學生也在這里學到了數學的抽象方法。對于數學概念，應該注意到不同數學概念的重要性具有層次性?？傊?，對于數學概念的處理，要取慎重的態度，繼承和改革都不能偏廢。
（三）重視應用意識的培養
用數學是學數學的出發點和歸宿。教科書必須重視從實際問題出發，引入數學課題，最后把數學知識應用于實際問題?？梢钥紤]把與現實生活密切相關的銀行事務、利率、投資、稅務中的常識寫進課本。
當然，并不是所有的數學課題都要從實際引入，數學體系有其內在的邏輯結構和規律，許多數學概念是從前面的概念中通過演繹而得，又返回到數學的邏輯結構。
此外，理論聯系實際的目的是為了使學生更好地掌握基礎知識，能初步運用數學解決一些簡單的實際問題，不宜于把實際問題搞得過于繁復費解，以致于耗費學生寶貴的學習時間。
（四）教一般過程和方法
在一些典型的數學問題教學中，教給學生比較完整的解決實際問題的過程和常用方法，以提高學生解決實際問題的能力。
由于實際問題常常是錯綜復雜的，解決問題的手段和方法也多種多樣，不可能也不必要尋找一種固定不變的，非常精細的模式。筆者認為，問題解決的基本過程是：1．首先對與問題有關的實際情況作盡可能全面深入的調查，從中去粗取精，去偽存真，對問題有一個比較準確、清楚的認識；2．擬定解決問題的計劃，計劃往往是粗線條的；3．實施計劃，在實施計劃的過程中要對計劃作適時的調整和補充；4．回顧和總結，對自己的工作進行及時的評價。
問題解決的常用方法有：1.畫圖，引入符號，列表分析數據；2.分類，分析特殊情況，一般化；3.轉化；4.類比，聯想；5.建模；6.討論，分頭工作；7.證明，舉反例；8.簡化以尋找規律（結論和方法）；9.估計和猜測；10.尋找不同的解法；11.檢驗；12.推廣。
（五）創設問題情景
1．一個好問題或者說一個精彩的問題應該有如下的某些特征：（1）有意義，或有實際意義，或對學習、理解、掌握、應用前后數學知識有很好的作用；（2）有趣味，有挑戰性，能夠激發學生的興趣，吸引學生投入進來；（3）易理解，問題是簡明的，問題情景是學生熟悉的；（4）時機上的適當；（5）難度的適中。
2．應該對現有習題形式作些改革，適當充實一些應用題，配備一些非常規題、開放性題和合作討論題。
（1）應用題的編制要真正反映實際情景，具有時代氣息，同時考慮教學實際可能。
（2）非常規題是相對于學生的已學知識和解題方法而言的。它與常見的練習題不同，非常規題不能通過簡單模仿加以解決，需要獨特的思維方法，解非常規題能培養學生的創造能力。
（3）開放性問題是相對于“條件完備、結論確定”的封閉性練習題而言的。開放性問題中提供的條件可能不完備，從而結論常常是豐富多彩的，在思維深度和廣度上因人而異具有較大的彈性。
