初中數學競賽范例6篇

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初中數學競賽范文1

1.構造方法

有些數學題，經過觀察可以構造一個方程，從而得到巧妙簡捷的解答

綜上所述 滿足條件的x的值有：x=-1，x=2，x=2.

通過上面的例子，我們在解題的過程中要善于觀察，善于發現，把要求解的問題轉化為方程，構造一個方程進而用方程來求解。

2.構造幾何圖形

對于一些題目，我們可以構造所需的圖形借助幾何圖形的性質來達到解題目的。

例3正數a，b，c，A，B，C滿足a+A=b+B=c+C=K。試證：aB+bC+cA＜K2.

分析：拿到題目，我們會無從下手，題中只有一串等式，并沒有其它什么附加條件，但我們再仔細地從題目條件中推敲一下，會發現題目中的字母的和相等且為一常數，也就是三個相等的量，我們能不能由此聯想到一些什么呢？如果我們把這三個量放在一起來考慮，又會有怎樣的結果呢？我們假設有這樣的三條線段，它們的長分別為（a+A）、（b+B）、（c+C）。我們構造出一個這樣的三角形（如圖）PQR，其中的三邊分別為（a+A）、（b+B）、（c+C）那么這與我們要求證的結果又有什么樣的關系呢？

看結論中的不等式aB+bC+cA＜K2，它里面有三個因式的積aB、bC、cA它們不就是圖中對應三角形的兩條夾邊的積嗎？而K是正三角形PQR的邊長，K2會不會與PQR的面積有關呢？我們是不是可以用面積的計算來試一試呢？由面積公式可以得到

因此當sinC最大等于1時，（x+y）（y+z）有最小值為2。

這樣我們運用構造法，把題目中難以入手的條件化成一個簡單的幾何問題，用面積的方法很輕松地解決了原本看似簡單卻沒法下手去解決的問題，解決了同學們思維受阻的困惑，大大拓展了同學樣的視野，很好地培養了同學們的創新思維能力。

3.構造函數

函數內容在我們中學數學中是占有相當的比重的，學生對于函數的性質也是比較熟悉的，選擇用函數來解決一些棘手的問題，在某些情況下是比較方便的。

要求方程｜x+1｜+｜x+2｜=x+3的解的個數就是要看兩函數①、②圖象交點的個數。畫出函數圖象可以看出有2個交點，即原方程有2個解。

這些數學題似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造一個函數，利用函數的性質得到了簡捷的解題過程，從而培養學生的發散思維。

4.構造(a±1)、（b±1）解競賽題

某些競賽題，由其本身的數量關系，直接求解較繁或較難，但通過適當變形，構造出(a±1)、（b±1）據此可使有關問題的解法簡捷、明快。

例7 試確定一切有理數r。使得關于x的方程rx2+（r+2）x+3r-2=0有根且只有整數根。

分析：初看題目，我們發現要求一切有理數r似乎無從下手，而正當我們再往下看時，會發現原方程有且只有整數根，也就是說我們要求的r是要讓原方程有且只有整數根。首先是要有根，由原方程我們可以直接得出：r不同時，那原方程的最高次數也可能是不同的，當r=0時，x=1這顯然是符合條件的；我們重點要討論的就是r≠0時的情況，一元二次方程有根，即=（r+2）2-4r（3r-2）≥0，且方程的根都是整數。這個條件的應用是解題的關鍵，我們可以設方程的整數根x1≤x2，如果我們把兩根都求出來的話，這樣做太累了。自然的，我們回想到用根與系數的關系得出x1+x2、x1x2的表達式，再用這兩者之間的關系來解題，這就方便多了。

解：分r=0和r≠0時，兩種情況的討論：

當r=0時，所給方程為2x-2=0有整數根x=1，

當r≠0時，所給方程為一元二次方程

設方程的兩個整數根為x1、x2（x1≤x2）

初中數學競賽范文2

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初中數學競賽范文3

相等和不等是一對既對立又統一的矛盾，它們在一定條件下可以互相轉化.數學中的一些相等問題，如求值、等式證明、解方程(組)等，若直接求解有困難，不妨從相等的條件中發拙不等關系，以不等為突破口，往往能使問題獲得巧妙的解法.茲舉例說明.

一、從二次根式中發掘不等式關系

對于含有二次根式的等式問題，首先要考慮二次根式的被開方數非負，由此建立不等關系.

例1 已知y=x2-25x-4-x2-24-5x+2，則x2+y2= .(2000年重慶市初中數學競賽試題)

解析：本題若直接代入求解，則難以奏效，由二次根式的被開方數非負得x2-25x-4≥0且x2-24-5x≥0，由此可得x2-2=0即x2=2進而可得y=2，從而x2+y2=2+22=6.

評注：不等關系的發掘是解決本題的關鍵.

例2 設等式a(x-a)+a(y-a)=x-a-a-y在實數范圍內成立，其中a、x、y是兩兩不同的實數，則3x2+xy-y2x2-xy+y2的值為 .(1991年全國初中數學競賽試題)

解析：已知式有3個字母，關系較為復雜，x、y的關系不易求得，可由二次根式的被開方數非負建立不等關系尋求突破口.由a(x-a)≥0，

a(y-x)≥0，

x-a≥0，

a-y≥0可得a≥0，

a≤0，則a=0，代入已知式得x--y=0，則x=-y，故原式=3y2-y2-y2y2+y2+y2=13.

二、從整數中發掘不等關系

對涉及方程有整數根的問題，可利用整數的性質發掘不等關系.

例3 求方程2x+3x+1+4x+2=13360的正整數根.(1990年上海市初中數學競賽試題)

解析：本題若直接去分母，將得到一個難解的高次方程，注意到原方程的特點，由x是正整數得1x>1x+1>1x+2，則由原方程得9x+2

例4 若a、b、c是非負整數，且29a+30b+31c=336，則a+b+c=().(2006年江蘇省數學競賽試題)

A.10 B.12 C.14 D.16

解析：已知式中a、b、c的系數逐一增大，而待求式中a、b、c的系數相等，為此考慮對已知式中a、b、c的系數進行 調整，由a、b、c是非負整數可得不等式29(a+b+c)≤29a+30b+31c≤31(a+b+c)，即29(a+b+c)≤336≤31(a+b+c).由此得112531≤a+b+c≤121829.又由a、b、c是非負整數得a+b+c=12，故選B.

例5 求所有正整數a、b、c，使得關于x的方程x2-3ax+2b=0，①

x2-3bx+2c=0，②

x2-3cx+2a=0③的所有根都是正整數.(2000年全國初中數學競賽試題)

解析：首先考慮方程①.設它的兩個正整數根分別為x1、x2，則有恒等式x2-3ax+2b=(x-x1)(x-x2).由于x1≥1且x2≥1，在上式中取x=1，得不等式1-3a+2b=(1-x1)(1-x2)≥0，即1+2b≥3a.同理由②、③可得1+2c≥3b，1+2a≥3c.三式相加得3≥a+b+c，又由a、b、c為正整數可得a=b=c=1.

三、在一元二次方程中發掘不等關系

對于方程的個數少于未知元的個數的解方程(組)問題，可考慮構造一元二次方程，由方程有實數根時其判別式≥0尋求突破.構造一元二次方程的方法有選擇主元構造和由韋達定理構造兩種.

例6 實數x、y滿足(x2+2x+3)(3y2+2y+1)=43，則x+y= .(2001年全國初中數學聯賽武漢賽區選拔賽試題)

解析：選擇y為主元，設x2+2x+3=t，把原方程整理成關于y的一元二次方程3ty2+2ty+t-43=0.由y為實數得=(2t)2-4×3t(t-43)≥0，解得0≤t≤2，即0≤x2+2x+3≤2，由此可解得x=-1，代入原方程得3y2+2y+1=23，解得y=-13，所以x+y=-43.

例7 求方程組x+y=2

xy-z2=1的實數根.(1997年“祖沖之杯”初中數學競賽試題)

轉貼于

解析：由原方程組得x+y=2，xy=z2+1，則x、y為一元二次方程t2-2t+(z2+1)=0的兩實根.由=(-2)2-4(z2+1)=-4z2≥0，得z2≤0，從而z=0.代入原方程得x=1，y=1.故原方程組的實數解為(1，1，0).

四、從a2、b2、2ab中發掘不等關系

由(a-b)2≥0得a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時等號成立.在已知等式中發掘上述不等關系，再利用不等式等號成立的條件解(證)等式問題.

例8 已知實數a、b滿足a1-b2+b1-a2=1，求證a2+b2=1.(第二屆“希望杯 ”數學邀請賽試題)

解析：由a1-b2、b1-a2發掘不等關系：a2+(1-b2)2≥2a1-b2，b2+(1-a2)2≥2b1-a2，兩式相加并由已知式得1+1≥2(a1-b2+b1-a2)=2.上式等號成立，當且僅當a=1-b2且b=1-a2，即a2+b2=1.

例9 求方程組x+y+z=3，①

x2+y2+z2=3，②

x5+y5+z5=3③的所有實數解.(第2屆美國數學奧林匹克試題)

解析：由①、②發掘不等關系：x2+1≥2x，y2+1≥2y，z2+1≥2z.三式相加并由①、②得3+3=(x2+y2+z2)+3≥2(x+y+z)=2×3，上式等號成立，當且僅當x=y=z=1.此為方程①、②的唯一一組解.它也適合方程③，故為原方程組的唯一解.

例10 解方程組4x21+4x2=y，①

4y21+4y2=z，②

4z21+4z2=x.③

(1997年陜西省數學競賽試題)

解析：易知x≥0，y≥0，z≥0，且x=y=z=0是一組解.又4x2+1≥4x，4y2+1≥4y，4z2+1≥4z.由此及①+②+③得x+y+z=4x21+4x2+4y21+4y2+4z21+4z2≤4x2x+4y24y+4z24z=x+y+z.上式等號成立，當且僅當x=y=z=12.經檢驗，原方程組的解為(0，0，0)、(12，12，12).

例11 方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的實數解為 .(2006年全國高中數學聯賽試題)

解析：易知x>0，原方程可化為(x+1x2005)(1+x2+x4+…+x2004)=2006，即x+x3+x5+…+x2005+1x2005+1x2003+1x2001+…+1x3+1x=2006，則2006=(x+1x)+(x3+1x3)+…+(x2005+1x2005)≥2+2+…+21003個2=2006.上式等式成立，當且僅當x=1x，x3=1x3，…x2005=1x2005，即x=1.

五、從函數中發掘不等關系

對于幾個結構相同的式子或等式，可考慮構造函數，利用函數的單調性發掘不等關系，尋求突破.

如上述例10，可以用此法求解.

解析：易知x≥0，y≥0，z≥0，且x=y=z=0是一組解.由三個方程左邊的結構相同構造函數f(t)=4t21+4t2，即f(t)=41t2+4，則原方程組為f(x)=y，

f(y)=z，

初中數學競賽范文4

【關鍵詞】 初中數學；課學教學；學習興趣；數學游戲；數學競賽；多媒體教學

新課程標準要求在初中數學課堂教學過程中，應根據初中學生的低齡化特征，靈活而創造性地利用教材，使教學活動更加豐富多彩，以有效激發學生的學習興趣，進一步提高課堂教學效率。

一、巧妙設計數學游戲激發學生的數學興趣

游戲活動，是每一個人都喜聞樂見的。因此，教師在初中數學課堂教學過程中，可以結合中學生的認知特點，精心地設計一些生動活潑的數學游戲，使學習過程成為愉快的體驗過程，從而在活躍課堂氣氛的同時，激發學生的數學興趣，使學生全神貫注地投入到教學學習中來。比如，教師在帶領學生學習《區分必然事件、不可能事件、不確定事件》這一章節內容時，可以為學生設計“轉盤”游戲，鼓勵學生參與“轉盤”的操作，讓學生在“轉盤”游戲的過程中，親身體驗到“不確定事件發生的可能性是有大小的”這一特性。也可以組織學生進行“蒙眼摸人”的課堂游戲，把一個同學蒙上眼睛，讓一圈同學圍繞他（她），要求他（她）在沒有任何提示的情形下，“摸”到他（她）的同學（這是“必然事件”）、“摸”到他們的教師（教師站在圈外，所以這是“不可能事件”）、“摸”到他（她）的同桌或者同一個小組的成員（這是“不確定事件”），讓同學們在游戲過程中區分什么是“必然事件”、什么是“不可能事件”、什么是“不確定事件”，及其各自特性等，從而使同學們在游戲過程中，學習和理解了數學知識。教師精心設計數學小游戲，為同學們提供全員參與的機會，使學生對于數學課堂產生濃厚的興趣，起到了寓教于樂的效果。

二、開展數學競賽活動激發學生的數學興趣

初中學生是活潑好動和爭強好勝的，鑒于此，教師在初中數學課堂教學過程中，可以將競賽活動巧妙地嵌入到課堂學習過程中，以喚起學生飽滿的學習熱情，提升課堂教學效率。比如，教師在帶領學生開展《有趣的七巧板》實踐活動時，可以這樣開展教學活動。首先，教師利用多媒體為學生播放一些拼圖的過程與畫面，引發學生的參與熱情：“同學們，你們看他們的拼圖好不好看？……這是魚，這是人，這是帆船……其實，這些圖案是由這七塊圖形拼成的，這是一副七巧板，又稱智慧板，是老祖宗傳下來的鍛煉智力的古老的玩具之一，它可是我國祖先的一項卓越的發明創造，聞名于全世界，它在國外被稱為‘唐圖’，意思是‘中國圖’，而不是指它是唐朝發明的意思哦（教師帶著故作夸張的表情說出這段話，可以有效地活躍課堂氣氛。）。清代有位名叫陸以湉的名人曾對于七巧板作過這樣的描述，‘……有七巧圖，其式五，其數七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為?！ㄟ@段話可以在課前做好課件，一邊說課，一邊通過多媒體直觀地呈現在學生眼前。）同學們，這七巧板可以隨手拼出千余圖案，你們想不想嘗試一下？現在，老師把同學們分成6個小組進行比賽，看哪個小組拼得最多最好……”然后，教師要求學生依次用兩塊板、三塊板、四塊板、五塊板、六塊板、七塊板循序漸進地進行拼圖比賽，并對于比賽結果認真的給予統計和公布，以提升學生的競爭意識。為了促進同學們的互相交流，教師可以鼓勵同學們把他們的各自拼法展示出來，讓全班同學們進行觀察和比較，引導同學們自我欣賞和互相欣賞，使各個競賽小組之間能夠互通有無，取長補短，從而達到合作學習、互相補充、共同進步的目的。當小組競賽進行到用四塊以上的板塊拼圖時，這對于想象力比較弱的部分學生增加了難度，教師為了促進全班同學的全員參加，可以對這一部分同學降低難度，提醒他們可以模仿書上的圖形進行拼圖，而對于想象力豐富的學生，則可以充發激發他們的創造熱情，鼓勵他們大膽設想，引導他們創造性地拼出“前所未有的圖案”。教師通過組織數學競賽，在課堂上形成積極向上的學習氛圍，在激發學生數學興趣的同時，培養了學生的合作意識，提高了學生的綜合能力。

三、利用多媒體教學輔助設備激發學生的數學興趣

初中數學競賽范文5

在初中階段解一些代數應用題時，由于題意中的等量關系較為隱晦，若直接設置一個未知數，等量關系不是十分明晰，解題就會陷入困境，這時如果再設一些未知數，那么根據題意較易列出方程（組），再通過消元轉化，使問題順利獲解，而增設的未知量可以不求，就可達到以簡馭繁的解題效果.這種方法俗稱“設而不求”.將“設而不求”解題思想遷移到求解（求證）幾何問題，當某些幾何題碰到無從下手時，類比地增設圖中的某些角度或線段，用它們作為橋梁，建立方程（或函數）模型，把幾何推理演變成代數變形，使問題求解變得容易.由此揭示以數助形、以簡馭難的解題妙境，體現數形結合萬般好的解題王道.本文通過具體實例介紹“設而不求”思想在平面幾何解題中的若干應用，與大家分享.

1解決有關角度問題

評注這兩題都涉及三角形的內切圓，自然聯想到與內切圓相關的面積公式，用等積法建立方程，由于方程中涉及多個變量，因此先假設題意中沒有涉及的變量，通過代數變形，把問題轉化為求最值的常用方法：配方法及構造一元二次方程來解決.上述兩題看似山窮水盡疑無路，通過“設而不求”，最終實現“柳暗花明又一村”的解題妙境.

作者簡介陳明儒，男，浙江舟山人，中學高級教師，寧波市學科骨干.專注于課堂教學研究，曾獲市教壇新秀一等獎，省優質課二等獎，有多節課例在全國、省、市被展示或觀摩，均獲好評.尤其擅長優等生的培養，有近百人在全國初中數學競賽中獲一、二、三等獎，并多次獲浙江省初中數學競賽優秀指導教師稱號.近年來有20多篇教研文章在省級及以上刊物（或核心刊物）上發表.

初中數學競賽范文6

【關鍵詞】初中 學生 學好數學

學生是學習的主體，而教師則是學生在學習道路上的指引者，教師的作用就是幫助學生制定合適的學習目標并使之趨于完善。分層教學不僅可以實現因材施教的目標，而且可以提高學生學習數學的自信心，有利于學生發散思維的培養，更重要的是可以使各個層次學生的水平得到提高，這符合新課標的要求。

一、提高學生學習興趣

興趣是最好的老師。只有當學生對數學產生了極大興趣的時候，教師所傳授的知識才能夠很快被學生吸收。雖然我國素質教育已經開展多年了，但是許多教師在講課的時候還是很難進行啟發式教學，往往將本來應該是十分生動的內容，以“填鴨式、滿堂灌”的方式講述。因此，教師一定要注意激發學生的學習興趣，在講授知識時多考慮一下自己講授的知識以及教授的方法能否引發學生的興趣。

教學目標具有激勵、導向、評價作用，對教師的教學和學生的學習都具有十分重要的作用。教師在設置數學教學目標的時候，要注意將知識與能力、過程與方法、情感態度與價值觀緊密結合起來。數學教學不僅要注意問題的解決，也要關注學生的思維過程。教師要成為學生學習的指導者和促進者，不僅要注重學習的結果，更要注重學生學習的過程。四、教師要合理運用教學方法教學方法的設計應該遵循多樣性、靈活性、綜合性、創新性的原則。在選擇教學方法時，教師應該依據教學規律和教學原則。

二、創設數學情境

初中數學教學情境的創設應當遵循生動性的原則。用直觀形象的情景設置來詮釋理論性較強的數學原理，從不同的感覺渠道向學生大腦傳輸數學信息，有利于學生對數學結論的理解和掌握；第二，實踐性原則。初中數學教學情境的創設應當遵循實踐性的原則。初中學生的大部分時間是放在生活上的，對教學情境的創設應當結合生活中學生經常接觸到的知識或者將數學故事的講述落腳在學生實際問題的解決上，讓學生學會用用掌握的數學知識去處理實際問題；第三，懸念性原則。初中數學教學情境的創設應當遵循懸念性的原則。情境創設的目的是激發學生對數學問題的興趣，讓他們產生求知的欲望。所以，情境的創設就離不開學生的興趣，懸念性比較強的情境才可以讓學生身心投入到數學問題的學習和探究之中。

數學故事和數學典故在教學情境的創設中具有獨特的作用，尤其是用熟知人物，但不知曉人物具體事跡的數學故事、典故，更能起到激發學生學習興致，保持學生對數學學習熱情的積極作用。例如，講述勾股定理時，可以引用古典數學巨著《九章算術》的知識，讓學生體會到數學知識的博大精深。初中學生認知中最熟悉的部分就是生活中經常接觸和用到的知識，甚至有些知識已經在他們頭腦中產生根深蒂固的影響。所以，在進行教學情境創設中，結合學生的生活實際，更容易引起學生情感的共鳴，更有利于數學知識的教授。新課標要求進行互動性強的教學，在初中數學的教學情境創設，要求老師轉變自身高高在上的思想觀念，與學生建立人格平等的關系，老師要與學生一起進行數學理論的學習和探討，要從學生認知狀況和生活實際進行考慮，更多的讓學生發揮在教學中的主體作用，實現師生的良性互動。

三、實施分層教學

一組的學生屬于具有主觀能動性的學生，教師的作用主要是引導，擴展一組學生的思維；二組的學生屬于需要教師點撥的類型，教師應該在課堂中多提問他們，與他們進行互動，逐漸提高他們的數學興趣與能力，爭取向一組靠攏；三組的學生屬于依賴同學及教師型。教師可以在課下多提醒他們完成相應的作業或讓一二組的學生幫助他們，使他們理解教學內容即可。根據學生的分層情況，教師應該對不同層次學生的課后作業實行差異化要求。對于一組的學生，教師應該嚴格要求，使其在完成課本習題、做配套的參考書練習之外，總結解題方法并將同類型的題整理到一個專用筆記本上，以有助于他們進行深入學習。在此基礎上，教師應該有針對性地要求他們做有關數學競賽方面的習題，提高其創新能力，擴展其思維方式。對于二組的學生，教師就沒必要要求其做數學競賽習題，而應鼓勵他們對知識進行總結并思考，爭取進入到一組。對于三組的學生，完成課本習題，理解教師講授的教學內容即可，從而不斷樹立他們學好數學的信心。

四、寓教于樂

素質教育要求師生之間是一種民主平等的關系，師生雙方在教學內容上是傳遞與接受的關系；在人格上是平等關系；在社會道德上是相互促進的關系。教師在日常教學過程中一定要充分發揚民主，建立和諧的師生關系。比如，在數學課堂上，有學生認為教師有的地方講的不對，然后在全班同學面前給教師提了出來。在這種情況下，教師應該大度寬容，首先應該表揚學生積極思考問題，其次，仔細考慮自己是否真的出錯了。最后，如果有錯要及時改正。在初中數學教學過程中，教師應該充分調動學生的積極性和主動性，形成互動、互惠的師生關系。

在平時的學習中，教師要采取寓教于樂的教學方式，在教學中適當地加入相對應的數學游戲，讓學生勞逸結合，實現既在娛樂中學習，又在學習中娛樂的教學和學習效果。