前言：尋找寫作靈感？中文期刊網用心挑選的創新工科人才培養中數學建模課程探究，希望能為您的閱讀和創作帶來靈感，歡迎大家閱讀并分享。
摘要：“數學建模”是工科人才培養中一門具有實踐性質的公共必修課程。該課程的教學目標是鍛煉學生用數學思維方式和數學方法解決實際問題，培養其探索能力和創新能力。在新的時代需求下，面對國家戰略急需人才培養和提升拔尖創新工科人才培養的目標，“數學建模”課程需要進行專門的針對性特殊設計，以進一步發揮好該課程在人才培養體系中的作用。
關鍵詞：工科；數學建模；拔尖創新；人才培養
一、引言
工科人才需要堅實的數理基礎，這是高等教育領域的共識。數學作為基礎學科，如何對工科拔尖創新人才培養形成有力的支撐，是一個值得持續探索的課題。“數學建模”課題組在參與南京理工大學工科拔尖創新人才培養的過程中，對“數學建模”課程進行有針對性的設計，發揮其在工科教學體系中的作用。南京理工大學是隸屬于工業信息部的全國重點大學，培養理、工以見長的專業技術人才，在長期發展過程中形成了兵器與裝備、電子與信息、化工與材料三大優勢學科群。課題組此次教育教學改革的實施對象為南京理工大學錢學森學院本科二年級的學生。錢學森學院是南京理工大學培養拔尖創新人才，深入推進教育教學改革的前沿陣地，是教育實驗性質的特色學院。學校每年從錄取的新生中遴選出具備創新潛質的學生，分機械工程、電子信息、材料工程3個專業大類編入該院，這3個專業大類分別對應學校8個工科學院和1個重點實驗室。培養模式上強調寬口徑，厚基礎，大一與大二主修通識教育和基礎理論課，大二下學期確定專業方向完成分流。下文為課題組的主要建設措施和相關思考。
二、“數學建模”課程教學改革內容
錢學森學院的“數學建模”課程開設于大二下學期，此前，學生已學完“數學分析”“高等代數”“概率統計”等數學基礎課程，具備了一定的數學理論基礎，即將進入專業學習的高年級階段，學習方式也由純理論學習轉向理論與實踐相結合。學生通過對該課程的學習，參加各類數學建模競賽和實踐類能力大賽，理解工科結合數學工具的必要性和重要性，為下一階段的專業學習做好充分準備。針對上述情況，課題組對“數學建模”課程作了針對性設計和調整，分為五個方面，闡述如下。
（一）用好學科交叉優勢。錢學森學院的學生主要來自學校三個專業大類，盡管低年級重在通識課和基礎課，但這些具備主動學習能力的學生在進校一年多后，已通過各種途徑了解了自己心儀的專業，到大二下學期，學生大多都明確了專業目標，并且具備了專業交叉的基礎知識。三大專業均隸屬于工科范疇，而加入“數學建模”，相當于又增加了一個學科維度，為學生數學建模競賽組隊時的學科融合互補提供了先期的條件。學生可以和本院或外院其他專業的同學組隊，選擇方式較為靈活。此外，“數學建模”課程的內容具有涵蓋面廣的特點，案例來源于能源、交通、機械、材料、信息、物流、經濟等行業領域?？紤]到課題組教師來自理學院，不能對上述領域有全面的理解，因此，教師備課前要在部分工科學院實施調研，聽取工科教師的意見和建議，了解工科對數學各分支的實際應用情況，授課過程中要增進與錢學森學院學生的交流，進一步明確學生角度的需求。調查中發現，學生在剛進入大學時對數學工具對工科的支撐作用，不一定有明確的認識。而且，基礎教育階段的學習模式使他們不能在處理實際問題時活用數學理論，數學工具仿佛成了“屠龍之技”。例如，學了“數學分析”中的微積分知識，學生卻不能靈活自如地在優化模型中定性分析目標函數的各種性態，特別是極值問題。再如，工業產品設計中，制定產品規格和標準的各項指標，可以利用“高等代數”中有限維線性空間的主成分分析技巧；自動機械化管理中，利用“概率統計”中隨機變量的數學期望研究工序中的相關變量。“數學建模”在授課過程中，必須不斷聯系前面三門數學基礎課程的知識，凸顯數學與工科實際應用的密切關系。授課效果表明，從工科需求出發，而非單純從數學專業角度出發定位這一課程，才能發揮好理工結合的優勢。
（二）遴選授課內容。面對具備自主學習能力的學生，頻繁的“滿堂灌”會挫傷他們的積極性。因此，教師在授課內容上既要做“減法”，也要做“加法”。所謂“減法”，是遴選授課內容，體現重點、次重點、難點等；所謂“加法”，是對遴選內容進行拓展深入，講深講透，達到事半功倍之效。目前我們所采用的“數學建模”課程教材內容較為豐富，包括數學建模概論、初等模型、簡單優化模型、規劃模型、微分方程模型、代數方程模型與差分方程模型、離散模型、概率模型、統計模型以及博弈模型等，這就需要教師在有限的課程時間內合理分配時間。“數學建模”課程整個教學環節，三分之二的時間用來講授理論，剩余的時間使用數學軟件進行系統仿真，并輔以專題討論。具體內容上，我們把數學建模概論和初等模型列為首要的教學重點，因為這兩部分涵蓋了該門課程基本的思想和必須掌握的初等數學建模方法。規劃模型為重點學習，主要涉及運籌學中的優化問題，特別是線性規劃問題的處理。微分模型和離散模型為難點內容，因為兩者都拓展了微積分和抽象代數知識，深化了數學工具的掌握。概率模型為選講，表明了連續或離散的隨機因素，擴大了應用領域。博弈模型與該院學生專業學習關系不十分密切，但考慮已就業學生反饋的工作崗位情況，就列為學生自學、教師輔導的內容。案例選擇上，每類模型介紹2~4個經典案例。經過近幾年的實踐與斟酌，我們最終精講的案例有：“雙層玻璃窗的功效”案例，體現簡單物理規律的內在機理。選擇“不買貴的只買對的”案例，顯示經濟最優化原理的最大效用模型。選擇“原子彈爆炸的能量估計”案例，體現量綱分析方法的重要性。選擇“職員晉升”案例，表現層次分析方法進行評估的量化依據。選擇“核軍備競賽”案例，表明圖論分析的重要性。原則上，在選擇案例時既要考慮不同模型的差異，也要注重模型之間的相互關聯，把握側重點，并適當進行拓展，注意更新案例，并且注重案例的前瞻性。比如，“傳染病模型”綜合了特定事物的傳播速度、傳播途徑、空間范圍以及動力學機理等問題。課題組針對肺炎疫情，設計了如下層層推進的教學內容：（1）回顧傳染病的簡單歷史，特別是嚴重急性呼吸綜合癥（SARS）和埃博拉病毒（EbolaVirus）的傳播。（2）學習基本的傳染病模型：易感染者（susceptible）和已感染者（infective）的SI模型、考慮治愈率的SIS模型、考慮康復者的SIR模型、考慮康復者再被感染的SIRS模型、考慮具有潛伏期的攜帶者的SEIR模型等，掌握專有的名詞和概念，及其傳染病動力學的微分方程模型。（3）在給定的預防措施與醫療水平狀況下，分析各個模型的差異。（4）以SARS病毒傳播為例，搜集數據，應用上述不同模型，分析求解，對照結論與實測統計數據，確定模型的合理性和優缺點，進行敏感性分析，并考慮能否改進上述模型。（5）進行深度和廣度的延展，考慮當前的肺炎疫情，可以分析局部地區狀況、國家或全球病毒的擴散傳播狀況，嘗試建立合理的模型，進行定性和定量分析、數值模擬，總結肺炎疫情的發展階段，嘗試揭示COVID-2019病毒傳播規律以及預測未來變化趨勢。（6）進一步推廣到各領域的擴散理論（如信息的擴散、創新事物的擴散）等。此外，“數學建模”課程也適當融入課程思政主題，如講解“火箭發射升空”案例，要求學生掌握微分方程近似求解的數學技巧，同時介紹我國導彈事業的發展歷程，老一輩科研工作者的愛國情懷，幫助學生樹立專業報國、服務社會的人生理想。
（三）推進研討式教學。課題組教師在與該院的學生交流中發現，學生不僅希望具有創新性和挑戰度的學習，并且他們已經有了明確的學習規劃，甚至對將來的職業規劃也有一定的思考，期待從每一門課程中盡量多受教益，“數學建模”課程也不例外，為此，我們應重視研討式教學的推進。不少數學類課程由于本身的特點無法展開研討式教學，“數學建模”課程則有進行研討式教學的便利條件，因為它與實際問題密切相關。授課中，教師通常首先引入學生熟悉的知識，如“萬有引力的發現”和“鉛球擲遠”案例，此前的“數學分析”中已分析過這些耳熟能詳的物理現象所體現的微積分思想。“溫故”經典理論，讓學生分組開展討論，教師隨機參與若干小組的討論。最后，教師對各組陳述結論進行總結升華。其次，學院每兩周結合近年數模競賽和工程實踐，安排一次30~45分鐘時間的研討會，比如以“奶制品的生產與銷售”為例的線性規劃問題專題，“航空公司的超額售票策略”和“博彩中的數學”的離散概率問題以及“學生考試成績綜合評價”的策略問題等。這類研討通常會引發學生激烈的爭論，學生會對模型細節的處理提出不同意見，并迅速進行簡單的仿真處理驗證模型優劣，最終得到一個優化的新模型。教師在旁補充學生沒有考慮到的相關因素，提供最簡捷的數學技巧處理路徑，引導學生進行敏感性分析，評價新模型的準確性和適用性。就研討硬件環境保障而言，南京理工大學理學院有3個數學實驗室，給在校師生提供了一個課程實驗仿真的實踐平臺。學校的“數學探密室”創客中心，也為師生之間進行小型的探討提供了場所。鑒于疫情影響，師生無法開展面對面的討論，但網絡教學為在線研討、分組討論和互動提供了新的機遇。教師可鼓勵學生積極進行課堂和課后研討，培養學生搜集資料、剖析問題、學術探討和觀點表達等能力，并根據學生的反饋，有針對性地調整授課內容，鞏固薄弱環節。有共同興趣的學生建立討論群組，提交小組報告，納入過程性考核，使研討式教學真正落到實處，也為后面的正式組隊做好先期準備。
（四）引入數學軟件。“數學建模”課程的另一個教學目標是熟悉和使用數學軟件。數學軟件提供強大的科學計算和數據處理功能，從簡單的數值計算、微積分函數繪圖、數組求和、矩陣運算等簡單操作，到調用特殊的函數或軟件包，處理差分方程問題、線性規劃問題、圖像處理問題等，并能以圖形展示結果。數學軟件的使用，讓學生既多掌握一項技能，又能提高他們的學習興趣。課題組要求學生通過課堂學習和課后練習，至少掌握數學軟件Mathematica,Matlab,Lingo和Python中的任意兩種軟件。比如調用數學軟件中的數據擬合函數、回歸函數、主成分分析函數等，節省學生計算時間，達到事半功倍的效果。課題組發現，其他數學課程也有類似實踐，數學軟件Matlab可以與“線性代數”應用深度融合，提高了講授效率[1]。近年來，隨著大數據的發展，研究結果的可視化呈現率大大增加，數學建模比賽中部分題目涉及的數據處理量也在增大。因此，增加可視化軟件的講授就成為“數學建模”課程的新趨勢。比如此次肺炎疫情報道中數據可視化的應用[2-3]，讓普通讀者一目了然地看到數據的演變。目前我們也在嘗試調動學生的學習興趣和積極性，推廣數據可視化軟件的應用和普及，如Tableau、PowerBI、R-ggplot2等。
（五）鼓勵學生參賽實踐。錢學森學院的學生具有好奇心和接受能力強的特點。他們大一入校后，就通過新生手冊、學院配備的導師、學生數學建模協會、各類競賽名錄等途徑，了解到了各類數學建模競賽，并積極地報名參加校內選拔賽。對比賽有了初步認識后，通過搜集閱讀往年獲獎的優秀論文，獲知可以通過“數學建模”課程高效而系統地獲得建模本領，在授課之前就會找到課題組教師指導參加建模比賽。此外，課題組中的相關教師分任“數學分析”“高等代數”“概率統計”等課程，也在課堂上注意宣傳介紹、鼓勵學生參加各類數學建模競賽，如全國大學生數學建模大賽、美國國際大學生數學建模競賽、數據挖掘大賽等。讓學生了解參賽不僅可以為個人履歷增加亮點，更能獲得能力提升。經過上述這些引導式熱身，在開課前，學生對“數學建模”課程已經有了較為清晰的認識，學習目標也比較明確，并知道該門課程直接對接建模比賽，在學習精力分配上也有自己的側重點。目前，錢學森學院學生參賽人數逐年增加，參賽范圍不斷擴大，獲獎人數持續增加。這一良好態勢得益于整個課題組團隊教師的合作與努力。
三、結語
2019年至2021年，教育部將分三年全面實施“六卓越一拔尖”計劃2.0，新工科為重點建設對象之一，事關戰略急需人才培養，國家硬實力提升。最新的“強基計劃”精神[4]，也強調了從本科階段就開始引導學生參與小型科研項目研究，數學建模本就屬于這一范疇。在新的時代要求下，“數學建模”課程應將堅實的理論與鮮活的實例結合，在新工科拔尖創新人才培養中繼續發揮好應有的作用。
參考文獻：
[1]楊威,高淑萍,陳懷琛.慕課背景下MATLAB與線性代數應用的融合[J].高等數學研究,2019(3).
[2]劉婷,劉穎旭,翟暢.數據可視化在疫情報道中的應用[J].中國傳媒科技,2020(3).
[3]李宏.基于民眾視閾下的疫情數據可視化設計路徑研究[J].包裝工程,2020(10).
[4]教育部.關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見[EB/OL].(2020-01-14)[2020-08-06].
作者:許孟 許春根 單位:南京理工大學
