前言：尋找寫作靈感？中文期刊網用心挑選的數學抽象教育界定，希望能為您的閱讀和創作帶來靈感，歡迎大家閱讀并分享。
一、概念界定 數學在本質上研究的是抽象了的東西。而這些抽象了的東西來源于現實世界，是被人抽象出來的。 1．抽象的含義 所謂抽象，通常是指從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特征．而舍棄其非本質特征的思維過程。要抽象就必須進行比較，沒有比較就無法找到在本質上共同的部分。 共同特征是指那些能把一類事物與他類事物區分開來的特征，又稱本質特征。因此，抽取事物的共同特征就是抽取事物的本質特征，舍棄非本質的特征。而抽象的過程也是一個概括、分離和提純的過程。 2．數學抽象的含義及其作用 “數學在本質上研究的是抽象的東西州“，這個命題，從古至今，無論是數學家還是哲學家幾乎都沒有異議。數學抽象是一種特殊性的抽象，其特殊性表現為，數學抽象的對象是“空問形式和數鍵關系”．不管是現實世界中的“數跫關系和空間形式”還是思維想象中的“數量關系和空間形式”，都屬于數學研究的范疇_1。也就是說，數學抽象的對象既可以是現實世界中的空間形式和數量關系，也可以是數學思維中的空問形式和數昔關系。關于數學抽象的作用，史寧中教授指出，真正的知識是來源于感性的經驗、通過直觀和抽象而得到的，并且。這種抽象是不能獨立于人的思維麗存在的-“。 在數學中．抽象是思維的基礎，只有具備了一定的抽象能力，才可能從感性認識中獲得事物(事件或實物)的本質特征，從而上升到理性認識。這既是一個獲取知識的過程．又是一個研究的過程．這個過程對于所有學科的學習都是非常重要的。 二、數學抽象的一般步驟 數學抽象具有不同的階段性。簡約階段、符號階段、普適階段．是數學抽象的三個基本階段㈠。簡約階段．即把握事物的本質，把繁雜問題簡單化、條理化，并能夠清晰地表達．，符號階段，即去掉具體的內容．利用慨念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化了的事物住內的一類事物。 普適階段，即通過假設和推理建移法則、模式或者模型。并能夠在一般的意義上解釋具體事物。 三、數學抽象在數學教學中的應用 在數學教學中．數學抽象具有鮮明的層次性，正如康德在他的巨著《純粹理性批劃》中所指出的，人類的一切知識都是從直脫開始，從那咀進到概念，而以理念結束“。學生的學習也足這樣．必須從學生的現實開始，逐步過渡到數學的高級抽象。 教學層商的數學抽象基本遵循數學抽象的層次性，但有其更深刻而具體的表現，其梯瞧和層次性更強： 1．實物層面的抽象 這個層【蔚的抽象(過程)，實際一1-．是芷足已有的生活經驗和社會現實，進行第一步抽象．即以實物為對象進行抽象．到剛剛超越實物而尚未完全脫離實物即結束。 案例l小學自然數的“蔭位數加一位數的進位加法”的“十位”的抽象：27+5=?借助于“十個雞蛋一盒”這個非?，F實的經驗．學生已經有相對豐富的類似經驗或經歷，27表示兩盒雞蛋．另有一盒不滿的雞蛋(即盒子里有7個雞蛋．這意味著空著3個窄位)，另有5個雞蛋。一共幾個雞蛋呢?借助生活經驗，學生很自然地將5個雞蛋中的3個拿出來．填補在第j盒雞蛋的3個宅位上．即將空位補齊，湊成一整盒，余下2個雞蛋。 這就是，將5分成3與2的和，而3與27湊成30，因而，結果是32，這是最樸素的“湊十進位”，而這里的“一(整)盒”就是最直接、最形象的“十位”，屬于典型的借助“實物”的直接抽象。 2．半符號層面的抽象 這個階段實際上是簡約階段的一種．是建立在實物抽象的摹礎之上的進一步發展。此時，有關的屬性已經從實物中“提取”出來、抽象出來，仁l是．并沒有完全脫離實物，或者更確切地說．是部分屬性“脫離”了實物，而其中的關鍵屬性已經初見端倪。 案例2“圓”的概念的抽象過程，就需要多個層面的抽象：初升的太陽．十五的月亮、水中的波紋……都能給人以圓的形象，這是“圓”概念抽象的第一步．屬于實物商觀層面的第一次抽象；而從太陽、月亮、波紋等具體的實物模型中，抽象出集中刻I毋J圓的形狀特點的一般概念．即幾何中圓的定義“到定點的距離等于定長的點的集合”則是實物直觀層面的第二次抽象。 紙片研究網的摹本性質．則是“圓”的半符號層面的抽象，屬于更高層斷的抽象，此時的“圓紙片”看得見、摸得著，已經是具有鮮明的“圓”的特征。只不過，數學中的“網”是沒有厚度的，只是一個縫補曲線，其邊緣沒有厚度、不包括邊緣線所圍的區域。而這種東西在現實中并不存在。畢竟，數學中的“圓”是對客觀現實中的大量原型的抽象。 3．符號層面的抽象 即已經去掉_r具體的內容，利用概念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化r的事物在內的一類事物。 符號層面的抽象具有典型的階段性、層次性，因而，有的學者(如徐利治先牛)將其定義為“抽象度”的概念“，即，從實物抽象開始，到達半符號抽象，進而達到符號層面的抽象。而以后的抽象會以卜一級抽象的結果為對象．進行進一步的抽象．達到一個新的抽象高度。例如．在自然數抽象的基礎上，進一步抽象得到分數．再抽象得到有理數．再抽象得到實數；以實數為對象再抽象．得到代數式，以代數式為對象的再抽象得到函數。如此，形成逐級抽象的概念體系。#p#分頁標題#e# 4．形式化層面的抽象 這就是“普適階段”的抽象，即通過假設和推理建立法則、模式或者?？?，并能夠在一般的意義上解釋具體事物。 “形式化”是針對數學學科而吉’的，而“普適”是從方法學的角度思考的結果．更有思維、方法的韻味。 這個階段的抽象在中小學也是時常存在。例如，小學、初中的數學模型的核心在于兩個基本關系，即總量=單價X數鰱；總體=各部分之和．例如，“除以一個數等于乘以這個數的倒數”．其本質在于，“總最=單價×數量”的變式“總量÷份數=一份的蜒”。 在數學教學中．數學抽象的本質在于，讓學生親身經歷數學抽象的具體過程，接受數學抽象的思維訓練．進而提升數學抽象思維的水平，，“與其說學數學，倒小如說學爿數學化”，這是20世紀后半葉的五十年期|．日】，深刻影響世界數學界、數學教育界的數學家弗茱登塔爾的名言．也道出r數學學習的本質。 在案例l中，學生在初次學習“兩位數加一位數”時。盡管為數不少的家長已經告訴學牛如何加，即“個位敏字、十位數字分別相加”，然而．絕大部分學牛并不知道箅理．即為什么必須這樣計算而小那樣計算。讓學生親身經歷從“實物抽象一半符號抽象一符號抽象”的過程，即使是對于那螳已經學過的學生來說，也是一次溫習的過程，更是一次經歷數學抽象的熏陶過程。 四、在數學教學中運用數學抽象應注意的問題 I．應有效發揮數學抽象的特殊作用在數學教學中．數學抽象的層次性為數學分層教學的實施提供了數學學科前提和思維訓練的教育基礎。 2．關注學生的個性化發展 (1)對每一位學生而言，要經歷每個階段的抽象．一般不可越級進行。化解后進生的一個蕈要策略就是．立足其現實水平、借助經驗和直觀，幫助其，學．握肇礎，跟卜隊伍．逐步提高其抽象思維水平。由于其抽象水平正處在實物抽象階段，如果按照一般學生的水平．即符號抽象階段進行教學，其理解力達不到相關的要求．掉隊在所難免。因而．中小學數學的抽象，必須‘匹足學生現實的抽象水平，從最基礎的抽象開始逐級抽象，不宜直接開始較難的抽象。這是確保義務教育基礎件的關鍵點之一。 (2)對于群體的學生而言，課程教學形態的數學抽象，允許在同一個教學環境下．不同的學生可以達到不同的抽象程度．實現個性化發展，即在達到基本要求的前提下，每位學生都可以獲得適合自己的發展水平。 3．數學抽象過程要特別關注歸納思維和演繹思維的培養在數學教學中，在展示數學對象逐級抽象的同時，也要充分展示數學真知發生發展的鮮活過程，即人們通過直覺、借助歸納發想，預測結論，通過演繹推理驗證結論，即．既要教抽象思維，又要教歸納思維和演繹思維。 例如．對于初次學習平方差公式f—b2=(a+b)•(a+b)，初中牛的抽象思維水平尚未達到完全符號化的程度，因麗，直接采取傳統的做法，即由(a+b)(m+n)=am+all+bm+bn，直接導出a2一b2=(a—b)•(a+b)。這種做法的確節省時間，但是，對多數學生來說并沒有真正理解平方差公式的內在含義，或者說，學生并不真正認同這個公式；不儀如此．這種學習也使學生喪失了一次思維訓練的良機。 如果將其改為如下的形式，其效果町能會有質的差異。 教師一上課就出示問題：能否將代數式a2一b2分解為兩個代數式的乘積的形式呢?我們該如何思考這個問題呢?我們不妨從最簡單的情況入手：令b=l，先討論a2一I的情形。a2一I能否分解為兩個代數式乘積的形式呢?我們嘗試著借助自然數的分解來思考：如果a=l，那么f—l=l=0，0=0X0。結論很不明朗!如果a=2，結論仍不明朗!繼續試驗，如果a=3，那么a2一l=9—1=8，而8除l和自身外，有兩個因子2、4，而8的確可以拆成2x4。而2=3一l。4=3+l。結論已經開始明朗!……繼續試驗，如果a=6，那么a2一l=36一l=35，而35的確可以拆成5X7，而H是唯一的，同時。5=6一l，7=6+l。至此，我們可以做出猜測，a2一l=(a—1)•(a+1)，并進一步猜測a2一b2=(a—b)•(a+b)。但是，b=2、3、4、5、6時，az—b2=(a—b)•(a+b)是否成立呢?學生可以分組研究b=2，b=3，b=4，b=5，b=6的情況，而后進行全班匯報，最終，綜合各種情況，得出，礦一b2=(a—b)•(a十b)。至此，我們發現了一個新的公式，這個公式恰恰是(a—b)•(a+b)=a2一b2的逆用。 讓學生經歷這樣的過程，并非多余，而是借助自然數的因數分解實現多項式的因式分解．讓學生獲得歸納的經驗，在直觀的基礎上進行逐步抽象，進而實現理解性掌握．使之在獲得新知的同時，經歷一次思維的訓練，實現思維水平的提升。
