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摘要：
在新課改的要求下，數學史逐漸融入小學數學教育，其重要性在小學數學教材中相關數學史內容的編排上得以體現。數學史作為數學文化的一部分，不僅對學生具有極大的德育、智育和美育價值；也有助于小學數學教師加深對學生數學認知過程的了解，提升對教材的理解能力，并形成獨特的教學風格。
關鍵詞：
數學史；小學數學教材；數學文化
數學，起源于人類對生產生活中實際問題的探索與解決。數學史凝聚著無數數學家和數學工作者的智慧，不僅在國際教育界得到認可，也受到我國數學教育工作者的重視。在新課改明確提出將數學史融入小學數學教育后，我國多個版本的小學數學教材都對數學史的內容進行了選擇和編排。數學史的學習，不僅能激發小學生數學學習的興趣，有助于他們對知識的理解，更能展示出知識形成的線索，有助于教師的數學教學。
一、數學史與小學數學教育的關聯建立與發展
德國數學家海爾布羅納與法國數學家蒙蒂克拉分別于1742年和1758年出版的《世界數學史》與《數學史》，標志著一個獨立研究領域———數學史的出現。之后，數學史的教育價值得到了眾多學者的關注和研究［1］85－89。1972年，研究數學史與數學教育關系的國際研究小組（HPM）成立，數學史滲透到數學教學中、數學史與學生的認知提升、數學史與教師的專業發展等都是其研究與關注的主要內容。數學史，是數學文化中非常重要的一部分，它揭示了數學知識的產生和發展的曲折過程，包含數學知識，思想方法，思維過程，是人類智慧寶庫中的結晶［2］98－99。教育部在2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中強調數學史的教育功能，在教材編寫建議中明確提出“介紹有關的數學背景知識”，認為這樣不僅可以讓他們對數學的發展歷程有所認知，還可以讓他們初步體會數學在人類社會發展史做出的非凡貢獻，體驗到數學的價值，激發他們學生學習數學的欲望。2005年5月，我國“第一屆全國數學史與數學教育會議”在西北大學召開，來自全國多個省市以及國外著名大學的眾多學者參加了此次會議。會議圍繞如何將數學史與數學教育相結合以及如何在數學教學中運用數學史這一主題展開。該會議提出了研究數學史的重要目的———為歷史而歷史、為數學而歷史、為教育而歷史［3］108－109。在2011年頒布的《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中，對這一內容進行了進一步的細致化。在“教材編寫建議”部分中提到，數學文化是教材中不學發展史的相關材料，幫助小學生了解數學在推動人類文明發展過程中所起的重要作用，增加小學生對數學的學習興趣，感受數學家嚴謹和認真的治學態度，欣賞數學所蘊含的邏輯美與形式美等。例如，可以引入《九章算術》、《幾何原本》、珠算、黃金分割等數學史料。在教材內容設計上，《標準》還提倡要為學生提供一定量的數學閱讀材料，包括背景材料、史料知識等，供學生選擇閱讀［4］63。可以看出，雖然我國數學史與數學教育關系的研究起步較晚，但自新課改實施以后，對于數學史與數學教育的聯結與互動日益重視起來。在“一綱多本”的理念下，我國小學數學教材編寫呈現出豐富多樣的態勢，數學史作為數學背景知識的重要內容之一也呈現出多維度的滲透與融入小學數學教材中的特點。下面以人教版和蘇教版兩個不同版本的小學數學教材作為對象進行簡要分析。人教版小學數學教材，從一年級上冊到六年級下冊共十二冊，每冊平均約110頁。其中，一年級上冊、一年級下冊、二年級上冊、二年級下冊、四年級下冊和六年級下冊均未安排數學史相關內容。涉及的數學史內容包括三年級上冊的分數表示法、乘號的來歷、古代計時工具介紹；三年級下冊的七巧板、加減符號、小數的表示法、除號的來歷、指南針等等。縱觀涉及數學史內容的6本教材發現，除了六年級上冊只有一處數學史內容———雞兔同籠外，其余各冊所含較多，共23處。且每處篇幅大小不等，從1／4頁到一頁不等。蘇教版小學數學教材平均每冊110頁左右。其中，一年級上冊、一年級下冊、二年級上冊、二年級下冊、三年級下冊、五年級上冊和六年級下冊均未涉及數學史內容。其余幾冊共有13處，分別為三年級上冊的24時計時法、分數的產生、古代計數法；四年級上冊的計算工具的發展、古代乘法計算（鋪地錦）；四年級下冊的哥德巴赫猜想、古代歐洲“雙倍法”、計算乘法、用字母表示數；五年級下冊的古代方程思想方法的發展、求公因數方法；六年級上冊的雞兔同籠、黃金比［5］80－83。以此為基礎，對兩種版本的教材關于數學史的相關方面進行進一步分析、比較，可以發現：首先，數學史在數學教材中呈現的時段具有以下特點：一是一、二兩個年級均未涉及數學史內容；其次，在數學史的呈現方式上，兩個版本的教材都有“文字給出”、“文字為主輔以圖片”、“圖片為主輔以文字”和“連環畫”四種形式。其中，“文字為主且輔以圖片”形式占多數；再次，在數學史內容的選擇上，兩種版本的教材皆選取了著名數學家的故事（如高斯、楊輝等）、相關數學知識史料（如分數的表示法、除號的來歷等）以及經典數學問題（哥德巴赫猜想）等具有教育意義的素材；最后，在選材時空上，跨越中外，橫跨古今，如此廣闊時空的數學史內容，既可以讓學生感受數學的發展歷程，又能夠拓展學生在數學方面的視野。
二、數學史學習與小學生的發展
讀史可以明智。數學史是一部厚重的、豐富多彩的文化史，它如同人類演變史一樣，再現數學發展的原貌和全景，展現出偉大數學家們不斷探索的艱辛的數學歷程和數學的獨特魅力。小學數學教材中數學史的融入對小學生的發展具有重要的促進作用，兼具德育、智育和美育價值。
（一）德育價值
學者駱祖英早于1996年所寫的《略論數學史的德育教育價值》一文中指出了數學史具有不可替代的德育教育價值。第一，數學史的學習有助于愛國主義、國際主義教育。數學，歸根結底來源于生產和生活實際問題的解決，與社會政治、經濟、文化等的發展有著密切的聯系。我國數學具有輝煌的發展歷史，在14世紀以前曾是數學大國，取得的數學成就得到了世界的公認。近現代也涌現出了多位數學大師，如華羅庚、陳景潤、陳省升等，他們均作出了令世界矚目的偉大成就。在我國數學不斷發展的同時，國外數學領域也有矚目的成果不斷誕生。因此，對數學史的學習和了解，不僅能夠使小學生感受祖國的光輝榮耀，激發學生的民族自信心和自豪感，同時，也能接軌國際數學教育，了解其他民族文化中有關數學的應用，并體會到數學文化的多樣性，為數學的無窮魅力所折服。第二，數學史的學習有助于加深對辯證唯物主義的認識。數學教育，多數時候是以相對概念出現的，如“大”與“小”、“多”與“少”、“加”與“減”、“有理”與“無理”等。因此，從發展歷程而言，數學就是在不斷的對立、轉化的循環往復中取得進展的，數學史不僅是一部矛盾史，也是一部運動發展史，充滿了辯證唯物主義。對數學史的學習，將有助于加深學生對辯證思想的認識與體會。第三，數學史的學習有助于學生人格和精神的成長。數學上的每一步前進，都需要數學家們艱辛的探索和實踐，哪怕是一個小小的證明，都需要極大的耐心和勇氣作支撐。偉大的數學家，如歐拉、華羅庚等，身殘志堅，為鉆研數學作出了很大的犧牲。數學史充滿了數學家們為真理而獻身的事跡，他們的偉大人格和崇高精神為小學生們照亮了學習的旅程，激勵他們勇敢地克服困難，為數學奮斗［6］。
（二）智育價值
美國數學家、數學史學家莫里斯•克萊因曾說過，由于在課堂學習中，學生也會遇到數學家曾遭遇的各種難點和問題，因而歷史對于課堂教學具有極其重要的指示和借鑒作用［7］11－14。作為學生，雖然以學習間接經驗為主，不必重復歷史，但也不該從歷史停止的地方開始學習。新課改強調小學生的學習方式不應只限于接受、模仿與記憶等，而應積極進行自主學習與合作探究。小學生要逐步在教師的引導下，懂得主動去發現、探索并感受知識的形成過程，如此將有助于培養學生的創造力和自主學習能力；此外，數學史也是一部思維發展史。數學思維作為數學的靈魂，是數學中最根本、最精彩且最有價值的部分。因此，小學生學習數學，應該遵循“重現法則”，小學數學教材中通過系統地呈現數學史料，滲透數學思想，將重要的數學思想方法和思維方式深入淺出地呈現給小學生。學生通過對和自己所學相關的數學史內容的觀察、猜測、推理與交流等活動，逐步得到數學思維的訓練，并提高思考問題和解決問題的意識，進而能夠促進學生增長知識，發展智力。通過了解，更好的體會數學知識的價值及其應用。
（三）美育價值
數學，源于自然，是對自然之美的探索和解密。數學的內在美具有的神奇魅力，是驅使數學家們奮斗和拼搏的內在動力。隨著社會的進步和發展，數學史的美學價值，逐漸引起教育界的注意并被挖掘出來。如黃金分割比0．618，是古往今來被認可的呈現數學美的典型案例。公元前6世紀，古希臘的哲學家、數學家畢達哥拉斯在研究正五邊形和正十邊形的作圖中初涉這個比例。隨后在公元前4世紀，柏拉圖學派中最杰出的數學家———歐多克索斯，在處理“不可公度量”問題時對此進行研究，并依此建立的比例理論推動了數論和幾何學的發展。最后，在歐幾里得的《幾何原本》著作中，黃金分割這一理論得到系統的論述并成立。德國天文學家開普勒稱黃金分割為“神圣分割”。此后，黃金分割比0．618尤其受到建筑師們的青睞。無論是古埃及的神奇金字塔，印度的名著泰姬陵，還是中國的藝術博物館———故宮等，這些享譽全球的建筑盡管風格各異，構造奇美，但都有意無意地使用0．618法則，盡顯和諧之美，使人賞心悅目。數學史上類似的例子比比皆是，數字與音樂、數學與圍棋等方面的探究成果無不彰顯了數學所潛藏著的智慧和美。因此，提及數學之美，倘若只是注意到對稱，無疑是大大窄化了數學背后所蘊涵的思維之美、方法之美與文化之美。透過教材所呈現的有關數學史料、圖片，不僅能讓小學生獲得數學美的熏陶，提高審美意識，也有助于教師在欣賞數學美的同時學會尋找、挖掘教材中更多的美的元素。
三、數學史學習與小學數學教師的專業成長
數學作為小學的核心課程，對小學生今后的數學學習打下堅實基礎起著十分重要的作用。數學史對小學生發展的重要意義，要求小學數學教師不僅需要具備扎實的數學課程專業知識，也需要有寬厚的數學文化底蘊，具備廣泛的數學史常識，并能將之有效的融入數學教學之中。因此，數學史在小學數學教育中的融入，對于小學數學教師的專業成長也具有積極的推動作用。
（一）有助于加深對學生數學認知過程的了解
小學生的數學學習包含復雜的認知活動。但由于數學學科嚴密的邏輯性和高度的抽象性與小學生的思維水平、學習能力存在一定的差距，使得他們在數學學習時總會出現各種各樣的錯誤，如對負數的認識。其實回顧負數概念的發展歷程，數學家們也同樣經歷過各種障礙，甚至大數學家歐拉都對其表示懷疑。認知的歷史發生原理提出“個體知識的發生過程遵循人類知識的發生過程”的觀點［8］2－3。即學生在數學學習過程中所遇到的一些困難和認知障礙在一定程度上與前人所遇見的極為相似。因此，教師們可以通過對數學史料的學習和分析，梳理出有關數學知識的發生過程，通過數學家所走過的曲折道路去認識學生可能存在的困難，從而在教學中正確認識并把握學生數學學習的認知過程，從而提高教學的質量。
（二）有助于提升對教材的理解能力
香港大學學者肖文強曾說過，一個數學教師，需要像一個獨奏表演者一樣，可以憑借自己的理解和領會能力去演繹音樂作品，但要演繹得十分美妙，表演者自身必須先了解并熟悉這部作品［9］48－49。數學史是認識數學、了解數學、學習數學的重要工具，一旦脫離，教育者則丟失了數學寶貴的財富，只剩下簡單的邏輯、公式與例題。蘇聯著名教育心理學家維果斯基也曾指出影響個體所處的社會文化對個體的認知發展具有十分重要的影響［10］131。不同的教材使用，要求教師要有廣泛的知識面和深刻的理解能力，而精選的數學史料則能幫助教師加深對數學的認識，提高對教材的理解和掌控能力。
（三）有助于形成獨特的教學風格
教師要將數學文化融會貫通，必須真正讀懂教材。數學史在小學數學教材中占據越來越重要的地位，以注釋、小知識點的形式呈現，展現古往今來的數學家、數學成就、數學難題等。教師在授課時，倘若只是局限于知識靜態教學，學生則在長久的學習和艱難的探索中容易對數學失去興趣。所以，充分利用數學史，開創獨特的教學模式，向學生介紹著名的數學典故，展示優秀的數學成果，將數學知識置于歷史長河中，讓數學知識以動態的形式走進學生的心中，將有助于教師形成獨特新穎的教學風格［11］21－24。
四、總結
數學史源遠流長，豐富多彩，將數學史的相關內容編排進小學數學教材中，不管是對于小學生的學習，還是對于小學數學教師的教學都有積極的促進作用。但目前小學數學教材中數學史的呈現多數僅限于靜態的點，還難以在學生頭腦中動態的聯系起來。隨著電子教材、多媒體等現代教學媒體技術的廣泛應用，數學家、數學教育者、小學數學教材編寫者應探索更多的將教育史融合于教材中的方式方法，提供廣泛的資源庫和電子鏈接，開發數學史選修課程，編寫數學史讀本等，真實地展現數學充滿挫折和困難的發展歷程，而不僅限于靜態的數學成果的呈現。作為一線教育者的小學數學教師，應通過課題研發、專項培訓、改革教育模式、與高校教師聯手等方式努力提升數學史素養，不斷提升自身專業水平。
作者：李星云 單位：南京師范大學小學教育研究所
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