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一、傳統數學課堂教學存在的問題
過于關注知識的存儲，忽視思維的連續建構與生長。傳統的數學課堂教學過于關注教材和數學知識本身，忽視分析、探索過程，導致學生被動地接受靜態的知識，注重“純粹”技能技巧和題型訓練、結論與符號記憶，所獲得的知識處于條塊分割的狀態，阻礙了數學知識意義和體系的建構，因此學生在數學學習時思維空間狹窄，極易出現建構偏差甚至建構錯誤。學生數學反思能力欠缺，自主意識被抑制。重結論輕過程的數學教學沒有給學生留下足夠的時間、空間去思考，使學生感性層面的粗淺經驗無法經歷考察、比較、歸納等思辨過程。學生的思維過程缺乏靈活性和批判性，解題思路單一、過程煩瑣、邏輯混亂，對一些問題的理解帶有片面性和主觀性。表征方式割裂、孤立，表征轉換僵滯費力。數學學習是通過數學活動建立對數學對象的心理表征和認知圖式的過程。當前數學教學過程中各種表征方式孤立、割裂，相互之間的聯系不夠，導致學生缺乏加工多元表征信息的意識、能力與習慣，常常無法順利地找出完成當前任務較為合適的表征，無法對同一問題眾多的表征方式進行整合。數學交流深度不夠，課堂教學走向僵化和呆板。傳統的數學教學片面追求知識的理解和問題的求解思路，內容狹窄、交流形式單一、效率低下，導致學生在交流過程中存在從眾與退縮心理，缺乏質疑問難精神和交流意識，且常常停留在表面化、形式化、單向化和靜態化的階段。前后知識跨度太大，數學活動經驗被忽視。以往的數學教學忽視學生已有知識經驗，前后知識之間跨度太大，知識聯系斷層，導致學生產生對數學新活動潛在的排斥和抵制情緒，缺少積極主動的學習方式，數學活動也因此變得干癟和膚淺。
二、數學課堂教學實效性探究
傳統數學課堂教學存在的諸多問題對數學課程改革提出了挑戰。如何優化數學課堂教學，探討具備實效性和生命力的數學課堂教學模式，成為數學教育理論與實踐亟須探索的問題。本文嘗試以弗賴登塔爾數學教育思想為基礎，探索數學課堂教學運行模式。
(一)激活已有的知識，彰顯長時記憶中的圖式
弗賴登塔爾教授認為:“數學教學應以原有的數學現實為基礎，擺脫孤立的片斷，從而達到學得快，記得牢的目的。”學生的數學活動經驗是通過觀察和反思而得到的個體知識，是學習者形成的感性認識不斷積累、演變、提升和內化成的理性知識，是動作與心智交互作用的結果。不同的人有不同的數學現實基礎，這就決定了學生參與數學活動的已有知識經驗是以知識的整體結構為根據的直接而迅速的認識，其基礎、目的、期望和個人認知策略等因素都影響數學學習的行為和方式。在數學教學中，教師應注意從新舊知識的銜接點入手，在學生原有認知結構的基礎上發展新知識，引導學生全面地、開放地參與教師創設的數學活動。教師設計的問題要由淺入深，有坡度，有層次。因此，教師應該盡量創設與學生的“數學現實”密切聯系的、蘊含源于現實的情境性任務，引導學生在完成任務的過程中檢索、重組背景知識，喚醒與數學學習相關的智能儲備，并以自己獨特的方式重新編碼，構建新的活動經驗，促進新舊知識的同化和順應，并最終建構起數學知識的意義和邏輯關系。
(二)以數學操作活動為依托，創設再創造的契機
弗賴登塔爾提出:“數學教學要抓住‘再創造’這一核心，不是機械重復歷史中的‘原始創造’，而是通過學習者的思維方式再創相關的數學知識。”因此，數學教學要讓學生自己動手、觀察、試驗，在思維的抽象性和形象性間搭起一座橋梁，并把知識變成頭腦中的圖式。教師要重視知識發生的過程，引導學生以活動促思維，通過多種形式觀察問題、探索規律、挖掘本質，從而經歷數學思維與應用的過程。在這個實際操作過程中，學生通過分析與猜想、批判與反駁、推理與證明，發現現實世界和符號情境中的模式、結構和規律，明白數學知識的意義和結構性。在這個過程中，學生的思維實現創新性的突破和重組，在再認識、再發現、再創造的過程中建構起新的數學知識結構。
(三)利用多種感覺通道，探究多元表征之間的關聯和轉化
數學知識是在不同層次的言語、圖表和符號等交織中存在的。由于學生思維的不連續性和層次差異，教師創設的教學活動應該在滿足科學性并且總體上符合知識體系的前提下，有步驟地引導學生將問題轉化成多樣的數學表征，通過直觀的言語、圖表、文字、操作以及抽象符號等表征，拓寬問題解決的思路，優化問題解決策略。不同表征的相互轉換，能促進學生經由多重視角認識、分析問題，增強對解題方法以及解題過程的自我意識，形成對數學概念和關系的理解，重組相關數學概念的結構。教師應不斷引導學生在多種表征中進行協調和選擇，最終確定合適的表征形式。同時，教師要引導學生構造、提煉個性化表征，并在發散與收斂的思考中靈活理解、運用各種表征。
(四)構造具備遷移性的數學認知結構，培養學生的反思習慣
弗賴登塔爾指出:“反思是重要的數學活動，它是數學活動的核心和動力。”數學的發展具有層次性，學生只有經過思考、追問、反饋與修正，才能深化與完善數學思維，真正抓住數學思維的內在實質。教師要努力為學生創設思考質疑的時空，并在知識的重點、疑難之處加以引導、點撥，讓學生反思數學思想方法的發展和形成過程，抽象、概括出有關概念、原理和規律，再追問、批判和改進經驗。學生只有經過反思建立起學習材料與數學規律之間內在聯系，才能改變思維保守、封閉的狀態，洞察數學事實的本質，具備較強的知識遷移能力。
(五)嵌入問題情境，構建學生認知的腳手架
教師應積累、篩選大量的教學素材，設計層層遞進的問題鏈，并注重增設開放性、探索性的問題情境，為學生營造逐層深入的探究環境，通過問題的發現、表征、探究、言說和解決來引導學生思考和加工、抽象和概括、回顧和歸納，在掌握知識的同時學習科學的思維方法和研究方法。此外，教師要引導學生在分析、思考問題的過程中深入挖掘隱含信息，抓住數學活動的本質特征，提煉數學思想方法，并逐步將其內化為個體認知結構圖式中相對穩定的一部分，促進橫向數學化的順利進行。
(六)以情優教，彰顯課堂的生命意義
情感體驗是學生主體對內在需要、動機和外在行為、狀態的價值性體驗，既包括對師生之間、學生之間的社會關系的體驗和認識，也包括對活動世界意志活動的認識。知識是情感的載體，數學學習是包含情意和人格系統的整體性學習。教師應通過語言、表情、動作等為每一種不同的認知形式或活動方式創設積極的情感因素，營造富有情趣的教學氛圍，促使學生在深層次意識領域中形成學習、探索的心理傾向，進而通過觀察捕捉動態變化中的數學關系，感受和鑒賞數學結構的內涵美、思維的奇異美、邏輯的嚴謹美、方法的巧妙美，進而達到知情碰撞、促進和交融的效果。這些情感體驗包括學習過程中對活動的感受、認識、想法和情感的交流，還包括經歷過程時體驗的失意、尷尬、焦慮、驚奇、頓悟、興奮、滿足等各種情感。
(七)鼓勵數學交流，激起學生思維的碰撞
弗賴登塔爾曾說:“數學學習的過程就是要通過數學語言接收、加工、傳遞信息，披露學生內心世界以及思維方式方法。”數學互動交流可以縮短師生心理距離，促進教師和學生建構動態的關系，達到取長補短、集思廣益和意義生成的效果。在實際教學中，教師可以聯系實際生活和科技發展的知識，要求學生運用類比、歸納、直覺、聯想等方法把思維變成外部言語，最大限度地發揮數學語言的科學性、邏輯性和嚴謹性。教師應該鼓勵學生進行信息溝通、思想共享，使學生在反駁、答疑、研討、爭辯中借鑒他人的思路和想法，豐盈自身的知識體系，生成新的觀點和認識;使學生在與外界信息接觸、碰撞、排斥、同化、吸納、溝通中尋找、組織和應用有關數量、空間等信息，解釋、建構數學概念，發展和深化對數學的理解。在教學過程中，教師應容納不同思維軌道的交流活動，因為只有當互動交流真正成為一種需要和內驅力時，學生對數學活動對象的認識才能從外在表現形式轉向內在實質。
作者：陳堅 單位：福建師范大學附屬小學
