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清代私塾中兒童的入學年齡通常在八歲至十六歲之間，以“看、讀、寫、作”為綱，初入私塾以“讀、寫”功課為要。啟蒙教育課程多為“千字文、百家姓、三字經”，后續教育以“四書五經”為主，通常在入私塾三年左右開始教授珠算，部分私塾設有獨立的“算學”“、算術”課程。清代私塾教育中，學童通常在入私塾半年后開始接受“寫”教育，而最初的“寫”教育與數學即關系十分緊密，學童學習寫字多由寫仿影開始，由私塾先生寫好字帖后，學童進行仿影抄寫，此后進行寫空影練習。最初的字貼內容大多以數字類簡單漢字為主，多為“一二三四五”之類“，大講書小畫道”是清代私塾的教育特點之一，學童的“畫道”內容往往是先易后難，學童最初的臨帖內容以元代徐再思所作的五絕（也有認為是北宋理學家邵雍所作）最為多見“，一望二三里，煙村四五家，門前六七樹，八九十枝花。”短短二十個字中巧妙地將十個自然數完美地融合在田園美景之中，動靜完美結合，時間和空間交映，至今仍被作為小學啟蒙教育的重要詩作。清代王相曾以“天地之間，陰陽二氣，化生五行。而天下之理皆由此出，天下之數皆由此推”對“一二三四五，金木水火土，天地分上下，日月明今古”另一首兒童啟蒙性詩作給出了清晰的注腳?！肚Ъ以姟贰ⅰ肚ё治摹?、《百家姓》、《三字經》中同樣包含著大量數字內容，很多詩中均包含有數學文化，在學習詩歌的過程中也潛移默化地學習了部分數學知識。《論語》20篇514章中，涉及數字占全文的1.5%，數學中基數、分數、約數、虛數等都有不同程度的體現。《論語》作為儒家經典，其中包含的數學文化因素十分豐富，私塾先生向學童講述論語時也必將同步傳授相應數學知識。在文化傳承方面，清代私塾數學教育是一脈相承的。
二、“西學東漸”對清代私塾數學教育的影響
大航海時代開啟了中西文化的大規模交流，學界多稱之為“西學東漸”，東西文化的沖擊和融匯對私塾教育也產生了重要影響。由于文化間隔閡巨大，最初西方基督教在中國傳教的努力收效甚微，清代西方傳教士開始嘗試以知識傳授的方式擴大福音受眾，通過介紹科學知識、撰寫科學著作等吸引士大夫階層，從而傳播基督教教義。這種方式一方面贏得了大量基督教信徒，同時也使西方科學知識傳入中國，在數學領域表明尤為明顯。清代私塾中已經出現了比較系統的數學專著。在算術知識方面，比例規、筆算、算籌計算工具在私塾中開始出現，由利瑪竇和李之藻合著的《同文算指》在沿海地區私塾中使用已經比較廣泛。《同文算指》中對計數方法、四則運算法則、開平方、等差數列、等比數列等筆算方式均給出了比較詳細的介紹。由湯若望和羅雅谷合著的《籌算》和《籌算指》對納皮爾算籌用法進行了詳細介紹。羅雅谷翻譯的《比例規解》對比例規用法進行了詳細論述。通過私塾的教育和推廣，籌算和比例工具開始被更多國人掌握和運用。在幾何學知識方面，由利瑪竇和徐光啟合譯的《幾何原本》十分系統的介紹了西方幾何學內容，由羅雅谷和湯若望譯撰的《測量全義》收錄了幾何體積計算公式及變換模式。在圓周率計算方面，我國傳統數學研究比較深入，并在數學教育中具有十分重要的地位?！稊道砭N》及《測量全義》中分別以內切正多邊形和屢求勾股的方法求得精確率不同的圓周率值，《赤水遺珍》中關于“求周徑密率捷法對圓周率、正割、正弦等三個無窮數公式進行了較為深入的探索，對清代對數發展影響巨大”。這些著作最初雖均為官學范疇，但經過傳播后，也逐步進入到私塾當中。
三、康熙時期清代私塾數學教育的鼎盛興起
清代統治在康熙年間已經趨于鞏固?？滴醯圩鳛殚_創空前盛世的一代名君，在吸收外來文化方面也做出了十分卓越的貢獻。康熙帝本人對西學十分推崇，并積極向南懷仁求教，依《韃靼旅行記》記載，在康熙帝東巡過程中，南懷仁一路隨行，并經常向其詢問數學知識。1685年，六位法國基督教博士以“國王數學家”的身份動身前往中國，除塔夏爾在耶羅留住外，其他五位均來到中國，并于1688年五位博士抵達北京，康熙帝對幾位博士十分寵信，待以師禮，以《幾何原本》為教材，深入學習了西方數學知識，已經能夠熟練掌握比例規操作和多種算術應用法。為了給康熙帝學習西方數學知識提供便利條件，為康熙授課的西方數學家大量編譯了西方數學著作，清代康熙時期西學數學知識傳播達到高潮，在《數理精蘊》編撰過程中，更多的中國數學家對西方數學知識有了更多的理解和掌握，在清代數學教育和傳播中，帝王的好惡具有十分重要的作用。順治帝和多爾袞對西方博學家湯若望十分寵信，而康熙帝對西方數學知識尤為偏愛，并常常將西學知識作為貶抑漢臣的工具，從多次批評漢人算法不夠精準，而自己的算學水平十分高超，曾詔諭群臣“朕于算法律呂等書，探究本源，今已明晰”，為了迎合康熙的個人喜好，很多學者增加了鉆研數學知識的精力，傳教士們編撰的數學知識書籍大多藏于宮廷，大部分學者都無法一窺究竟，未能引起中國傳統數學教育的體系改變，但也有部分西方數學著作進入私塾數學教育中，成為少部分私塾的秘傳之學。雖然清代已經有部分私塾將西方數學知識融入到教育體系當中，但在數量上還十分稀少，對西方數字知識的理解和接納程度不足以及在中西算學評估方面的誤解，使大部分私塾依然比較推崇傳統中算而忽視了西方數學知識的優點，使該時期未出現私塾數學教育爆炸式發展的局面。
四、清代私塾教育中走出的數學家
清代數學家中，梅文鼎的學術成就無疑是最為耀眼的，而這位耀眼的數學大師正是私塾教育的成果。梅文鼎先生少年私塾教師為羅王賓，后隨竹冠道士倪觀湖深入學習數學知識，其數學研究幾乎涵蓋了所有初等數學知識，是中國傳統數學與西方數學融合的完美代表，在歷算發展史上具有十分重要的意義，被譽為“歷算第一人”。梅文鼎所處的時代，正是中國傳統歷算發展走向低潮，西方歷算剛剛輸入的時代。清康熙皇帝在1692年（康熙三十一年）的一次談論中國歷算時說“：吾國歷學、算學，經宋元二代極盛之后，至明代而大衰，高者談性天、撰語錄，卑者疲精死禪于舉業間。一切實學均鮮研究，治歷算學者尤所罕見。”可見當時研究歷算的人之少，然梅文鼎在兒時就經常跟父親和老師仰觀天象，從青年時代起，就把全部精力投入對數學、天文和歷法的研究，27歲師從竹冠道長倪觀湖學習天文歷法，并將學習心得寫成《歷學駢技》二卷，以后又廣搜天文、數學方面的各種中、西算書“，值天學書之難讀者，必求其說，至廢寢忘食”。梅文鼎既學中國古算，又學西方新學。他認為應該將兩者結合起來，互相取長補短，為己所用。他寫的《古今歷法通考》是我國第一部歷學史；他的數學巨著《中西數學通》，幾乎總括了當時世界數學的全部知識，達到當時我國數學研究的最高水平；在《句（勾）股舉隅》中提出了勾股定理的三種新證法；他獨立發現“理分中末線（即黃金分割法）；著《平三角舉要》、《弧三角舉要》等我國最早的三角學和球面三角學專著；又著《環中黍尺》五卷，論述球面三角形解法，并將此法應用于天文學，解答有關天球赤道、黃道的問題。著《少廣拾遺》，闡發“楊輝三角形”。著《仰觀儀式》，將我國固有星圖與西方傳入的星圖相互比較，把我國星圖有名而外國無名、我國無名而外國有名的星，都一一注明，并列出我國古代28宿與近代星座對照表。著《交食管見》、《交食蒙求》等，提出了更加準確的交食預報方法。而在《籌算》、《度算》、《比例數解》等書中，解釋和介紹了西洋的對數、伽利略的比例規等方法。梅文鼎以勾股理論為核心，并試圖以此為基礎完成對西方幾何學的“中算化”的建構，但由于傳統中算以算法為核心，與西方構架風格迥異，最終未能構架起可完全容納幾何演繹體系的中算新構架，只將部分西算知識用中算方法加以了推導和證明，但通過他的努力，從根本上緩解了中國和西方在數學體系方面的對立態勢，梅文鼎搭建的中國傳統算學和西方數學的融合之路，使更多的國人開始對西方數學理解和接受。私學是在周代的“塾”的基礎上逐步構建并完善的，從周代開始，私塾伴隨了我國幾乎所有朝代的文明傳承過程，直到新中國成立，私塾才逐步退出歷史舞臺。清代作為私塾高度發達的一個歷史時期，以私塾為代表的民間私家數學教育發揮著不遜于官學的重要作用，1906年私塾完成改良后“，算術”已經成為全國所有私塾的必修課，可見清代私塾中的數學觀是比較清晰的，清代私塾教育中并不缺乏數字文化因素。
作者：李翔宇 李偉杰 單位：太原理工大學