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在不同的年代，美國數學教育界都會提出一些響亮的主題，并頒布一些具有國際影響力的課程標準，因此，美國數學教育改革一直是世界數學教育關注的熱點．從20世紀60年代的新數運動，70年代的回到基礎，80年代的問題解決到90年代的大眾數學；從1989年的課程標準，2000年的課程標準，2006年K－8年級數學課程焦點到2010年的州共同核心數學標準，這些都成為世界數學教育改革的“風向標”，引領了全球數學教育的發展．20世紀80年代，美國數學教育界開始把問題解決引入數學教學之中，并指出“數學課程應當圍繞問題解決來組織”以及“在問題解決方面的成績如何，將是衡量數學教育成敗的有效標準”．從20世紀80年代開始，美國經歷了多次課程標準運動，問題解決標準的內涵也在不斷地豐富和發展．時至今日，問題解決雖然不再是數學教育的唯一中心，但其在美國數學教育領域中一直占據著重要地位．2001年我國頒布《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》，拉開了新一輪數學課程改革的序幕．這是國內首次研制課程標準，此版課程標準從名稱、體系、理念、核心概念等方面，很大程度上借鑒了美國等西方國家的數學課程標準．因此，考察美國數學教育“問題解決”標準的內涵發展，可以了解美國數學教育的發展動態，同時考察美國的目的也是為了更好地審視自己，對我國當前數學教育中“問題解決”的現狀進行反思，明確我們的優點，認識我們的不足，以期對我國數學教育“問題解決”的發展及其實踐起到積極的借鑒作用，這正是促成本文寫作的重要原因．
1美國數學課程標準中“問題解決”內涵
的繼承與發展全美數學教師理事會（NationalCouncilofTeachersofMathematics，以下簡稱NCTM）早在1980年頒布的《關于行動的議程》中就明確指出“問題解決必須成為學校數學的焦點”“學生必須成為數學問題的解決者”，在此基礎上NCTM于1989年頒布了《學校數學課程與評價標準》，并把問題解決標準作為各學段最重要的過程標準．雖然標準對于K－4，5－8，9－12三個學段的學生提出了不同的問題解決的要求，但各學段都重點突出了“使學生能夠通過解決問題掌握新的數學知識；解決在數學及其他情境中出現的問題；采用各種恰當的策略解決問題；在有意義地運用數學的過程中獲得自信，并帶著不斷增加的自信繼續學習數學”等各項標準．［1］2010年NCTM頒布了《美國學校數學教育的原則和標準》（以下簡稱PSSM標準）．學生的“問題解決”能力仍然是最主要的數學能力，而標準中提到的其他能力，都只是問題解決能力的部分內涵，而不是全部．［2］PSSM標準和1989年標準都強調要讓學生“通過解決問題掌握新的數學知識；解決在數學及其他情境中出現的問題；采用各種恰當的策略解決問題”，在堅持上述基本觀點的同時，PSSM標準進一步明確“要通過解決問題幫助學生學習數學”“問題解決不僅是學習數學的一個目標，也是學習數學的一種主要方式”，增加了問題解決過程的調控內容———檢驗和反思數學問題解決的過程，因為“有效的問題解決者經常不斷地監控和調整他們的解題思路，好的問題解決者遇到和解決問題時，知道他們在做什么并不斷地檢驗、自我評估他們的進展情況和調整他們的解題策略”［3］．2010年6月，美國了《TheCommonCoreStateStandardsforMathematics》（美國州共同核心數學標準，以下簡稱CCSSM）［4］．由于美國教育行政是地方分權制，各州各自為政，此次CCSSM旨在統一美國K－12年級數學課程標準，而且是美國歷史上第一次近乎所有州都實施的標準［5］．需要說明的是，CCSSM體系主要包括兩大標準：數學內容標準（StandardsforMathe－maticalContent）和數學實踐標準（StandardsforMathematicalPractice），其中數學內容標準闡述K－12年級學生在不同數學主題上需要達到的基本標準，數學實踐標準說明各年級學生都需要發展的各種數學專業知識與實踐能力．CCSSM的實踐標準來源于PSSM的過程標準，共有8條指標，是K－12年級學生應當共同遵守并貫穿教學始終的實踐指標，其中“理解問題，并堅持不懈地解決問題（MakeSenseofProblemsandPersevereinSolvingThem）”被列為8項指標的第一項．指標的內容為：熟練掌握數學的學生，先從闡明問題的涵義入手，尋找解題的切入點；然后分析已知條件、限制條件、相互關系和問題目標；猜想解的形式與意義，不盲目簡單嘗試而是擬定求解路徑；考慮類似問題，將問題特殊化、簡單化以尋求解題契機，對解題過程進行必要的監控和評估；高年級學生能根據問題情境，通過變換代數式或者借助于圖形計算器，改變對問題的觀察視角而獲取所需要的信息；精通數學的學生能夠解釋方程之間、言語描述之間、圖表之間的對應關系，或根據一些重要特征、關系和圖形數據繪出圖表并尋找規律或趨勢；低年級學生能依賴于具體事物或圖片形成概念和解決問題；精通數學的學生能用不同方法檢查他們的解法，會堅持不懈地自問：“這樣的解有意義嗎？”理解別人解決復雜問題的方法，鑒別各種不同方法的一致性．［6］
2審視與反思：我國數學教育“問題解決”的思考
我國的課程標準也一直強調問題解決對于學生學習數學的重要性．以義務教育數學課程標準為例，考察我國課程標準關于“問題解決”的內涵界定，《義務教育數學課程標準（實驗稿）》的用詞為“解決問題”，其內涵為：初步學會從數學的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學的知識和技能解決問題，發展應用意識；形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神；學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果；初步形成評價與反思的意識．［7］《義務教育數學課程標準（2011年版）》將用詞調整為“問題解決”，其內涵為：初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識；學會與他人合作交流；初步形成評價與反思的意識．［8］由此可見，無論是用詞還是內涵，2001年標準和2011年標準在問題解決上都有了實質性的發展．美國“問題解決”標準雖然經歷了多次的變化與發展，但它仍然是最主要的實踐標準，其他的實踐標準都只是問題解決標準的部分內涵，而不是全部．任何改革都是基于本國國情的改革，顯然中國與美國有不同的數學教育現狀，因此審視美國標準內涵發展不是簡單地采取拿來主義，而應立足本土，美國“問題解決”標準內涵的發展給了我們很多新的思考和方向．
2．1拓寬問題解決的視角，加深對問題解決內涵的認識．但凡提及問題解決，總是會將問題解決與解決問題劃等號．實際上，解決問題只是問題解決的一部分．關于問題解決的內涵，美國數學教育界在20世紀80年代已有不少論述，比較具有代表性的是Stanic和Kilpatrick的概括和討論．第一種是將問題解決視為實現其他目標的手段，第二種是認為問題解決本身是一種重要的值得教授的技能，第三種則是覺得問題解決帶有某種特殊技能的意味．［3］哈爾莫斯曾說：“問題是數學的心臟．”縱觀整個數學史，數學的發展過程可以看成以下模式：問題的提出→問題的解決→新的問題的提出→新的問題的解決→……可見問題的提出與解決對于數學研究至關重要．數學課堂教學是關于數學的教學，因此數學課堂教學的過程也就是提出問題、解決問題、提出新問題、解決新問題的過程．由此看來，解決問題仍是問題解決的重要內涵之一．在高中學段，許多課程內容都能通過數學問題來引入．教師在選擇好的、有價值的數學問題上，起著至關重要的作用．好的問題能讓學生有機會鞏固和加深他們所學的知識，如果問題選擇得當，能促進學生的數學學習．與此同時，教師還應拓寬問題解決的視角，加深對問題解決內涵的認識．問題解決還能夠而且應該用來幫助學生掌握一些特殊的技能，在問題解決過程中，將問題解決的一般模式（如函數研究的一般方法）、常用數學思想方法（如歸納類比、數形結合、轉化與化歸等）教授給學生；應將問題解決當作是學生學習的一種方式與手段，即通過問題解決來引導學生自主建構數學知識，掌握數學研究的一般方法，獲得基本數學活動經驗，進而提升學生的數學核心素養．
2．2要將問題解決的方法上升到“課”的高度加以實施《普通高中數學課程標準（2017年版）》．在課程實施建議中明確提出：“學校應依據自身的情況，推動國家課程的全面落實，建設有特色的校本課程，適應學生多樣化發展的需求，促進學生的全面發展．”［9］為了更好地發揮問題解決的功能和在促進學生學習方式上的作用，使問題解決的價值得到最大程度的彰顯，還可考慮將問題解決的方法上升到課的高度加以實施．課程是一種有計劃的活動，因此需要對將要實施的課程進行整體設計，需要研究、分析課程教學中所涉及的各方面因素，如課程目標、課程內容（含課時安排）、課程實施方式、學生評價方式等情況．課程可從數學問題解決的本質出發，論述數學問題解決的一般性規律、原理和方法．課程既要有理論原理，也要有大量典型的問題解決的案例，以“理論框架、案例研討”作為課程的重要實施方式，通過案例的分析，引導學生理解數學問題解決的一般方法，并能將一般方法遷移至其他問題情境之中，進而達到解決問題的目的．課程在實施過程中，要不斷改善學生的數學學習方式，要使問題解決成為學生學習數學的重要方式之一．
2．3關注問題解決過程中學生意志品質的發展．CCSSM的實踐標準指出，教師應鼓勵學生堅持不懈地嘗試一些富有挑戰性的問題．在教師創造的課堂環境下，學生能夠發展自己對于探索問題能力的自信，樂意去探索、解決問題，他們更有可能提出問題，并堅持不懈地去探索數學問題，教師應能幫助學生形成對數學的情感．［3］CCSSM的實踐標準關注學生在問題解決過程中的情感意志品質等非智力因素（從狹義上說，非智力因素由情感、意志、性格、動機、興趣等五種心理因素構成［10］）．學生問題解決時的失敗通常并不是因為缺少數學知識，而是因為他們未能形成良好的問題解決的意志品質．一位好的問題解決者在遇到和解決問題時，除了擁有扎實的數學基礎知識外，還應具有良好的問題解決的意志品質，即實踐標準中所說的“堅持不懈地解決問題”．在問題解決的過程中，學生應能知道自己在干什么，在遇到挫折和困難時，要善于反思問題解決過程中的各種要素，及時調整問題解決的方法和思維路徑，直至成功解決為止．教師在學生意志品質發展過程中應起到引導的作用，將自己的精力穩穩地放在鼓勵學生思考探索、合作交流上，要讓學生經歷問題解決的全過程并鼓勵學生及時反思、調整問題解決的方向和方法，有效地塑造學生的意志品質，積極地發展學生的非智力因素，提升學生的數學情感．放眼世界的重要目的在于促進本國數學教育的發展，以問題解決的內涵發展為例探討美國數學教育的發展動向，對我國的課程改革具有重要的啟發意義．
作者:何睦 單位:江蘇省梁豐高級中學
