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摘要：拓展性課程是國內學校課程的重要建設內容之一，教材編寫是影響學生拓展性課程“學習機會”的重要因素．研究選取浙教版《義務教育拓展性課程數學新探索》七~九年級上冊3本教材，借鑒數學教材探究活動分析框架，從學習進度、內容特征、呈現方式、探究活動特征等方面分析教材編寫得失．研究表明，選取的3本拓展性課程教材對基礎性課程進行了拓展延伸；教材設計體現“學為中心”理念；多樣化拓展課題凸顯課程層次性；但活動形式以個人解答為主，突出數學運算與推理．建議在數學拓展性課程中提高對數學基礎性知識的應用與整合，加強數學建模素養在課程中的滲透，均衡不同類型拓展活動的比例，設計開展STEAM教育，以提高課程實踐性及綜合性．
1研究背景
21世紀初，為適應社會發展對多樣化人才的需求，拓展性課程作為國內學校課程的重要建設內容之一應運而生．它屬于普通中小學課程，面向全體學生，是在基礎性課程的基礎上，為拓展學生知識并發展其潛能而開設的課程[1]．雖然拓展性課程在國內開發與實施已歷時十余年[2]；但已有的課程實踐研究表明，大部分學校把由學校提供的拓展性課程等同于教師自行開發拓展性課程，因此出現了課程質量不高[2]、散亂無序等問題，特別是開發的學科類拓展性課程易演變成基礎性課程內容的練習鞏固與延伸，這些都有悖拓展性課程建設初衷．2015年浙江省教育廳頒發的《關于深化義務教育課程改革的指導意見》首次明確提出將義務教育課程分成基礎性課程和拓展性課程，并對拓展性課程開發與實施要求予以說明，掀起了浙江省中小學拓展性課程開發與實施熱潮．與此同時，在“立德樹人”背景下，數學核心素養已成為數學課程改革的新指向[3]．雖然《全日制義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《義務課標》）與浙江省教育廳的《關于建設義務教育拓展性課程的指導意見》（以下簡稱《指導意見》）都未對學科核心素養內涵進行界定，但初中數學課程仍承擔著落實學生數學核心素養的重任[4]，《指導意見》更明確指出以培養學科核心素養為導向建設知識類拓展性課程[5]．因此，如何以培養數學核心素養為導向，選擇與組織拓展性課程教學內容成為影響課程開發與實施效果的關鍵因素[6–7]，同時這也是學校開展拓展性課程建設的薄弱環節．為此，浙江省教研室組織省內各地數學教研員、特級教師，聯合高校數學教育學者編寫了初中數學拓展性課程教材《義務教育拓展性課程數學新探索》（以下簡稱《數學新探索》）．教材編寫是影響學生拓展性課程“學習機會”的重要因素[8]，研究結合拓展性課程建設要求，構建研究框架分析《數學新探索》編寫特征，以期對提高學校學科類拓展性課程的開發與實施提供啟示．
2研究設計
2.1研究對象
研究對象為《數學新探索》七~九年級上冊共3本教材，該套教材依據浙江省教育廳《關于深化義務教育課程改革的指導意見》和浙江省教育廳辦公室《指導意見》編寫，與浙教版初中數學教材同步．
2.2研究問題
《數學新探索》是初中數學拓展性課程的潛在實施課程．《指導意見》中明確提出[8]，拓展性課程是基礎性課程的延伸、應用與整合，要以培養學生核心素養為導向，遵循多樣性、綜合性、實踐性等課程建設原則，為不同層次的學生提供適合的課程．研究主要分析《數學新探索》七~九年級上冊3本教材是否按課程指導文件要求進行設計編寫，并將研究問題確定如下．（1）數學拓展性課程與基礎性課程的教學內容有何聯系？是否實現了對數學基礎性課程的延伸、應用與整合？（2）初中數學拓展性課程教材是否滿足拓展性課程建設要求，即教材是否具備多樣性、層次性、自主性、綜合性、實踐性？（3）數學核心素養在拓展性課程教材中滲透情況如何？數學核心素養目前沒有統一的界定，部分學者將數學核心素養界定為學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵數學能力，且主要討論定義中的數學關鍵能力[3，9-10]．高中數學課程標準修訂組[11]提出的6個數學核心素養本質上也是6種數學關鍵能力，它們提煉自《義務課標》的十大核心概念，不僅較好地凸顯了數學學科的本質，且從邏輯上較為完整[10]，因此研究借鑒高中課標對數學核心素養的分類，并對“邏輯推理”稍作修改[12]，聚焦數學抽象、數學推理、數學建模、直觀想象、數學運算與數據分析這6個數學核心素養，分析其在初中數學拓展性課程教材中的滲透情況．
2.3研究框架
研究的拓展性課程教材在前言中指出通過設計數學主題式、探究式學習活動，為學生提供動手操作及實踐體驗的機會，數學核心素養亦是在數學活動中通過對數學知識的親自探索和創造而發展起來[13]，結合上述研究問題，確定從探究活動視角出發設計分析框架．首先，明確拓展性課程教材中探究活動“學習進度”“內容特征”“呈現方式”分析維度．“學習進度”指通過每個課題導引處學習時間段建議，分析拓展性課程與基礎性課程的聯系；活動“內容特征”則根據教材前言中提出的6類活動特點進行分析，即趣味數學與游戲、數學史話與欣賞、數學實驗與探究、生活數學與應用、數學思想與方法、知識延伸與拓展．“呈現方式”指教材設計的導引、問題、例題、練習及拓展閱讀5種呈現方式．其次，為了更好地揭示拓展性課程教材內容探究特征，借鑒已有的數學教材探究活動分析框架[14]，對每個課題下每一類呈現方式從情境表述、問題表述、活動類型及活動組織形式進行深度分析。
3研究結果
3.1兩類課程教學內容顯著正相關實現了對基礎性課程內容的延伸
拓展性課程教材在基礎性課程的基礎上，以拓展課題的形式呈現教學內容，3冊拓展性課程教材共設計了78個拓展課題，每一課題都圍繞一個主題性的問題解決展開，拓展課題出現的位置則主要依據基礎性課程教材的編排順序．拓展性課程教材在每個課題的導引處，明確了該拓展課題的學習進度，即建議在基礎性課程教材的某一章或節后學習．統計表明，教材編者針對基礎性課程教材的每一章內容都設計了相應的拓展課題，其中84.62%的拓展課題更明確到基礎性課程某一節教學后出現，其余明確為某一章后出現．拓展性課程教材內容較好地體現對基礎性課程內容的拓展延伸．具體而言，將七~九上3冊基礎性及拓展性課程教材在不同年級、不同內容領域的章節數量及其百分比進行統計，3冊基礎性課程教材總的章節數為84節，拓展性課程教材中學習課題數為78個．兩類教材在不同年級、不同內容領域的分布百分比（各章節數/總章節數）如表1所示．將上述兩類教材內容所占百分比作為兩個變量，用SPSS軟件分析其相關性時發現兩個變量Pearson相關系數為0.949，顯著性系數為0.000，即為顯著正相關性，該教材實現了與基礎性課程同步開設的需求。
3.2課題式設計體現“學為中心”理念注重結果性知識與過程性知識融合
拓展性課程教材設計欄目清晰，每個拓展課題下設計了導引、問題、例題、練習及拓展閱讀5個欄目，其中例題與練習分別有2~3題．為便于教師更好地安排教學及學生自學，在導引、問題及例題欄目中都設計了不同的引導性環節．如圖2所示，在“導引”處設計與主題相關的情境性引言，激發學生的學習興趣，更明確課題的學習目標與學習進度，即建議在基礎性課程教材某一章節之后再學習該拓展課題；在拓展性課程教材正文（“正文”皆指拓展性課程教材中的正文，下同）中探究“問題”欄目，以“問題—思考—問題解決—歸納”4個環節呈現探究過程，每個例題下又設計“例題—想一想—問題求解—方法提煉”4個環節．拓展性課程教材設計體現了“學為中心”的教學理念，引導學生自主經歷問題分析、解決、歸納提煉的過程，注重結果性知識與過程性知識的融合，以培養學生自主探索，分析、解決問題的能力．不同內容領域下每個拓展課題均按上述欄目設計，拓展性課程教材在設計數學拓展課題活動中滲透數學核心素養．核心素養成分中的數學抽象、數學運算、數學推理、直觀想象貫穿于整個數學學習過程，但如表1所示，基礎性課程教材與拓展性課程教材在概率統計領域出現教學內容都較少．數據分析素養是統計的核心，主要由學生在經歷調查研究、數據收集分析的過程中逐漸形成，概率統計內容出現比例低，使數據分析素養在課程中的滲透機會低于上述素養成分．
3.3挖掘課程資源設計
6類拓展主題不同年級各有側重凸顯課程層次性為滿足不同學生的學習需求，編者充分挖掘的是數學學科知識相關的課程資源，設計了數學趣味與游戲、數學史話與欣賞、數學實驗與探究、生活數學與應用、數學思想與方法、知識延伸與拓展6類不同內容特征的拓展課題．如七上2.4“24點游戲”引導學生借助生活經驗、實物在玩中學，學中玩，激發學生的學習興趣；七上5.6“名題欣賞：古詩中的方程”借助數學文化拓寬學生數學視野；八上4.1“生活中的定位方法：尋找目的地”引導學生體驗數學的應用價值；九上1.5“用技術學數學：用函數圖象估計方程、不等式的解”為基礎扎實的學生做好初高銜接的準備，5.1“由數思形：從漢書表達式中‘讀’出角度”在方法論層面引導學生掌握數學思想方法．拓展性課程教材層次性還體現于不同年級拓展課題各有側重，即在七、八年級分別注重數學思想方法、知識拓展的基礎上，于九年級加強數學在生活中的應用．從整體上看，78個拓展課題中“數學思想方法”“知識拓展與延伸”“生活數學與應用”類拓展課題出現比例較高，依次為26.92%、25.64%、23.08%，其它3類課題出現比例較少．若分年級看，如圖3所示上述3類高比例的拓展課題依次在七、八、九年級出現比例最高，均高于15%，而各自在其它年段出現比例較低，為5%左右．“趣味與數學”“數學史話與欣賞”“數學實驗與探究”則在3個年段教材中出現比例均不超過5%，特別是“趣味與數學”“數學史話與欣賞”均在九年級出現比例最低．
3.4多樣化學習活動以信息完整的個人解題為主重視數學運算與推理
對拓展課題中導引、問題、例題、練習及拓展閱讀這5個欄目的活動類型進行分類統計，發現導引與拓展閱讀皆以個人閱讀活動的形式呈現，且都以純數學情境和真實情境為主，兩類情境均占40%以上，其中70%的拓展閱讀有關數學問題解答．問題、例題及練習中則以解答活動為主，均占93%以上（正文中探究問題、例題及練習題中，皆有近10%的題設計了2~3個小題，考慮小題之間的銜接與指向性，分析時以最后一個小題的活動類型作為分析對象進行分析）．拓展性課程教材正文中的問題欄目出現個別“提問”“信息技術和日常生活類實驗活動”“文本類的項目活動”，例題與練習欄目中則除解答活動，只出現個別信息技術和日常生活類實驗活動．具體而言，正文問題的解答活動中“推測解釋”占58.9%，其次計算證明為32.88%；例題與練習中解答活動比例相似，皆以“計算證明”為主（約68%），其次是“推測解釋”（約27%）；3個欄目的解答活動中，“驗證反思”出現比例最少，約占5%。從問題情境設計上看，虛設情境在上述解答活動中出現比例較高，均為30%左右．拓展性課程教材正文探究問題中3類情境出現比例較為接近；例題與練習則以純數學情境為主，其次為虛設情境，真實情境比例較低．上述解答活動中，除了一個正文探究問題數學信息不完整，其余所有活動中的數學信息皆完整．且從活動組織特點上看，除了正文問題中出現一次日常生活類實驗活動建議同伴合作完成，一次文本類項目活動建議團隊完成，其余皆為學習者的個人活動．（情境表述分類見圖4）
3.5解題活動以開放題為主堅持數學基礎和數學創新并舉
由上述分析可知，拓展性課程教材正文中的探究問題、例習題以解題為主，優質的數學教育應當堅持扎實的數學基礎和不斷的數學創新相結合，開放題是加快雙基教學進行的有效途徑[15]．雖然正文3個欄目以數學信息完整的個人解題為主，但這些欄目的問題90%以上為開放式問題．如圖5所示，正文問題、例題、練習題中問題類型分布十分接近，90%為過程開放式問題，封閉式問題約占8%，在正文問題有近4%為結論開放式問題，其問題過程與結論皆開放．從教材內容問題表述的句式上看，上述解答活動的正文探究問題以詢問式的過程開放題為主，約為80%，例題與練習則以指令式過程開放題為主．如拓展性課程教材八上1.1“列舉法解決問題：能搭幾個三角形”中正文探究問題：學生可以把符合條件的三角形一個一個寫出來，也可以利用三角形三邊長關系進行推導，并基于自身解題能力，最后擺出不同三角形的種數，可能出現不同的答案，該內容屬于過程開放、結局開放的探究內容．開放性問題由于其問題本身解決方法的多樣性，答案的不確定性、發散性等特點，有利于培養學生主體意識，利于學生積極參與，培養其探索能力和創新精神等功能[16]．
4研究啟示
4.1提高對基礎性知識的應用與整合加強滲透數學建模素養
研究表明拓展性與基礎性課程教材內容聯系緊密，多樣化拓展性課題活動滿足了不同層次學生的學習需求．整體而言，拓展性課程教材正文更注重在拓展基礎知識與提煉思想方法的基礎上加強數學應用于生活，引導學生應用所學知識解決生活中相對簡單又實際且已經明確的問題，建立數學與生活之間的聯系．這在一定程度上體現了課程對數學建模素養的滲透，但仍有待加強．數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養[11]，學生的數學建模素養在數學活動中通過對數學知識親自探索和創造發展起來．數學建模素養的落實，需引導學生應用、整合已學的基礎性知識，從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、求解并最終解決實際問題．而研究中的教材一方面對基礎性課程學科內部之間、不同學科之間的應用、整合有所欠缺；另一方面，對于實際情境，問題明確，沒有給學生發現、提出問題的機會．事實上，目前數學拓展性課程開發與實施過程中，仍有很大部分一線教師對拓展性課程與基礎性課程認識存在誤區，認為拓展性課程是基礎性課程的拓展、深化，但應用、整合意識較弱，在開發與實施時，常將拓展性課程教學融入到日?；A性課程教學中．因此，加強對基礎性課程的應用與整合，切實滲透數學素養于課程，是今后數學拓展性課程開發值得關注的地方．
4.2均衡不同類型拓展活動的比例提高活動協作性及實踐性
作為學生可自主選擇的課程，拓展性課程教材以明確的教學目標為導向，在主問題引領下配以例題、練習與拓展閱讀，以促進學生對數學本質的深入理解．各欄目設置清晰，結合“思考”“提煉”等子欄目，教學引導性強．不僅有利于教師合理安排教學內容，也有助于促進學生自由反思、自主探究能力的形成．但這些學習活動大部分是個體解答活動，例題與練習中所占比例更高．培養學生創新意識的“提問”活動，培養學生數學應用意識與能力、動手實踐能力、合作探索能力的“實驗活動”“項目活動”，則出現比例很低，沒有出現培養學生數學表達能力的“寫作活動”，教材中的拓展課題對學生學習過程的協作性與實踐性要求不高．在數學拓展性課程開發與實施時，需避免拓展內容成為自主的練習鞏固，均衡不同類型拓展活動的比例，特別是適當提高除解題、閱讀活動之外的其它拓展活動比例，為學生提供更多的動手操作、實踐體驗、合作學習的機會，豐富學生的學習經歷．引導學生從數學視角發現、提出、分析、解決問題[17]，提高其創新意識、應用意識及協作實踐能力．如上述分析中提及的數據分析素養的滲透，可嘗試在拓展課程中設計真實情境驅動下的調查統計活動，引導學生相互協作分析現實問題，以調查報告的形式呈現問題解決過程與結果．
4.3將STEAM教育融入數學拓展性課程中提高活動綜合性與探究性
《指導意見》[8]中明確提出拓展性課程建設的基本原則之一是“綜合性”，即為增強學生探究精神與綜合素質體，創設有意義的真實學習情境，設計如項目活動、探究式等類型的活動．研究表明拓展性課程教材在基礎性課程教學內容的基礎上，設計了多樣化的拓展課題，但其正文中探究問題真實情境出現比例并不高，數學學科內在、學科之間的應用與整合，活動的實踐性與綜合性都有待提高．為更好地實現拓展性課程教學目標，建議在數學拓展性課程中增設STEAM教育．STEAM是科學（science）、技術（technology）、工程（engineering）、藝術（arts）及數學（mathematics）的縮寫．STEAM教育強調5門學科的融合，本質上是以學為中心、使用跨學科方法，讓學生在動手實踐、合作學習的過程中，習得認識和改造世界綜合性知識的創新教育[18–19]．在數學拓展性課程中增設STEAM教育，是尋求學科之間的協同增效之路，通過探索不同學科與數學之間的相關性，建立相關知識間的邏輯關系，為解決現實問題提出解決方案，能彌補上述課程活動實踐性與綜合性存在的不足．在開發與實施時，需注意基于各學科基礎知識與內容標準；通過真實性問題，以項目活動的方式，探索學科之間不確定的相關性[20–25]．
5結束語
浙教版初中數學拓展性課程教材在基礎性課程的基礎上進行拓展延伸，主題式的拓展課題欄目清晰、引導性強，體現了“學為中心”的課程理念，多樣化的拓展課題在不同年級各有側重，凸顯課程層次性；但應用整合性、實踐性、綜合性，以及數學建模素養在課程中的滲透有待提高．為此，加強學科內部、不同學科之間的聯系，均衡不同類型拓展活動的比例，以項目活動的方式，在數學拓展性課程中涉及開展STEAM教育，是今后中學數學及其它學科類拓展性課程的開發與實施值得嘗試的方向。
作者:斯海霞 葉立軍 單位:杭州師范大學
