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反比例函數的應用范文1
一、拓展定義，完善概念
教師不是簡單地將概念“拋”給學生，而要引導學生在積極思維討論、主動合作探究的基礎上通過歸納形成概念，并通過簡單的習題訓練不斷拓展，引導學生抓住概念的本質。筆者在反比函數教學中引入定義時，向學生介紹其基本形式為：y=■（k≠0），或y=kx-1（k≠0），但學生對反比例函數概念的認識尚處于表象，教師適時將定義變式，設計幾個變式題目來強化概念。
變式1：若函數y=（m-2）x|m|-3是反比例函數，則m的值為（ ）
A、m=-2 B、m=2 C、m=2或-2 D、m=3或-3
本題變式旨在讓學生由反比例函數定義，一個函數滿足是反比例函數的必備要件分別是k≠0、x的指數為-1。
變式2：如果函數y=kxk■-10是一個反比例函數，求k的值和反比例函數的表達式。
二、 數形結合，化繁為簡
反函數教學要改變數、形彼此“兩邊飛”的現狀，要將數與形完美結合，從而兼具“數”的關系和“形”的直觀，在面積計算、比例大小等內容教學中要利用其圖象特點，將復雜的問題簡單化。
題源：若函數y=■的圖象經過點（-2，6），則下列各點中不在y=■圖象上的是（ ）。
A、（3，4） B、（2，-6）
C、（3，-4） D、（-3，4）
變式1：如右圖所示，點A是反比例函數圖象上一點，過A作ABx軸于B，若SAOB=5，則解析式為 。
通過觀察圖象可知，雙曲線上任一點引x軸（或y軸垂線），該點與垂足、原點所構成的三角形面積是定值，
即SAOB=■k。
變式2：已知一次函數y=ax+b與反比例函數y=■的圖象交于點A與B。（1）請利用給定的條件，求一次函數與反比例函數的解析式；（2）根據圖象寫出ax+b>■時x的取值范圍。
本題旨在要求學生利用反比例函數與一次函數的交點來求不等式的解集。通過觀察不難發現，一次函數圖象在反比例函數上方時，一次函數值大于反比例函數值，即x
三、挖掘性質，探索規律
函數作為初中代數教學的重點內容，學生往往被其若干個性質搞得頭昏腦脹。教師要通過變式練習，引領學生深入挖掘函數的性質，探索其內在的規律，才能使學生在解決問題時應對自如。
題源：若點A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函數圖象上，且x1
學生根據k>0確定反比例函數圖象分布在一、三象限，在同一象限內，y隨x的增大而減少，容易得出結論y1
變式：若點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）分別在反比例函數的圖象上，且x1
四、關注社會，聯系生活
數學源于生活，服務于生活。數學教學應根植于社會生活實際，從生活中搜索數學素材，精心編制習題，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，培養學生的數學應用意識。
題源：已知點M（-1，4）在反比例函數y=kx-1（k≠0）圖象上，則k的值是 。
變式1：在溫度不變的條件下，一定質量的氣體的壓強p與它的體積V成反比例。當p=50時，V=600，則當p=40時，V= 。
變式2：某學校為響應政府發出的全民健身的號召，打算在長24m、寬12m的矩形大禮堂內修建一個60m2的矩形健身房ABCD，該健身房的四面墻壁有兩側沿用大廳的舊墻壁。已知裝修舊墻壁的費用為60元/平方米，新建（含裝修）的費用為240元/平方米。設健身房的高為3米，一面舊壁AB的長為x米，修建健身房的總投入為y元。
（1）求y與x的函數關系式；
（2）為合理利用大廳，要求自變量x滿足7≤x≤14。當投入資金為14400元時，問利用舊墻壁的總長度為多少米？
反比例函數的應用范文2
關鍵詞：反比例函數；復習；概念；性質；圖像
反比例函數是近年來考試的重點，無論是教學時的難度，還是本身所包含的知識，都會成為考試中的熱點。課程標準對反比例函數的掌握程度提出了更多的要求，考試的題型也呈現多種變化。如，選擇題、填空題、解答題，考點涉及反比例函數的概念、解析式、圖象及性質、實際問題等，特別是涉及反比例函數的綜合題型等。那么，我們在復習中如何能使學生掌握基礎、形成知識網絡，并能利用基本的概念、性質和方法通過觀察和歸納分析解決難度較大的綜合題型呢？下面我們就通過一些環節，讓學生通過“解決問題―歸納知識―構建系統”的模式，力求讓學生通過自主探究的方式達到對知識的深層理解，形成解決問題的能力。
一、概念梳理，抓好基礎
這道試題是最簡單的反比例函數概念題，學生將A點代入解析式即能得解，使學生初步理解反比例函數的概念，并知道這樣的方式叫待定系數法求解析式。
例2.近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米，則眼鏡度數y與鏡片焦距x之間的函數關系式為________。
這道試題是有關函數實際應用問題的，是要學生加深理解函數概念的。也就是通過對實際問題的理解轉化成數學問題，即得出反比例函數解析式。這樣的探究一方面可以加深學生對反比例函數實際意義的理解，對實際應用問題中自變量取值范圍的理解；另一方面也為學生后面解答的實際應用綜合問題降低思考難度。
二、掌握圖象性質，加深學生理解
這道例題是考查反比例函數的性質，從題中“y都隨x的增大而減小”，則k-3>0，從而得出k>3。這類試題在復習中是最簡單的變形考查，可以讓學生在識記基礎上理解函數性質。
三、探究k值的幾何意義
這一環節重點解決反比例函數的概念、性質、k值的幾何意義，由學生在課前完成。采取“練習―梳理”的形式，讓學生自覺感受和發現題中所考查的基礎知識點，產生自覺歸納基礎知識點的欲望，從而主動歸納知識，初步形成知識網絡。教法上在學生課前自主完成的基礎上，先讓學生小組核對、討論，之后由學生講解、展示問題的解答和歸納的基礎知識點。最后，教師對于學生講解和理解不透徹之處再和全體學生一起進行深入辯解，形成正確、簡潔的結論。
四、聯系實際，綜合練習
在反比例函數的考查中，不可能是單一的出現，它往往同一次函數，三角形等相結合，并且具有一些實際的問題。所以，我們在復習時應該聯系生活實際問題，教學學生如何將實際問題轉化為數學問題，在聯系中加強綜合性。
（1）求反比例函數和一次函數的關系式；
（2）求AOC的面積；
本例題比較復雜，教師期待學生歸納總結的內容比較多，大部分學生可能能夠求解其中的問題，但不易理清思路，特別是部分基礎知識和思維能力稍弱的學生會更加困難。教師應該教會學生怎樣對問題設計的知識點形成比較清晰的歸納和認識。
在第一問中教師引導學生明了先求哪一個函數，為什么，即已知一點可求反比例函數，已知兩點才能求一次函數，教師還可引申到已知幾點才能求二次函數。這一問的解決和引申達到了對比分析反比例函數、一次函數、二次函數在解析式求法上的區別，能夠形成較好的對比效應。
第二問的設置目的在于對比k值的幾何意義所產生的三角形面積不變性問題。使學生明了反比例函數圖象中哪些三角形才具有面積不變性，這些三角形各自的特征是怎樣的。
第三問所要求解的不等式實際上可轉化為比較一次函數y1與反比例函數y2的大小，這樣思路就會清楚一些。
綜上所述，問題分析是關鍵。學生應該在教師的適時、適當點撥下一步一步突破，理清問題的脈絡，對問題解決形成比較明晰的思路。這時教師才能放手讓學生去解答問題、歸納知識、總結經驗，并選一名學生上臺展示解題過程，大部分學生都完成之后由學生評點，使學生進一步完善解題過程，使全體學生能夠對問題理解透徹，然后教師引導學生分析提煉這一題中可以歸納總結、形成經驗的內容。
參考文獻：
[1]金秋.學習“反比例函數”應注意的幾個問題.時代數學學習：九年級，2006（11）.
[2]陳抗抗.反比例函數圖象的運用[J].數理化學習：初中版，2006（03）.
反比例函數的應用范文3
王 英
（克拉瑪依市第一中學，新疆 克拉瑪依 834000）
摘 要：直觀清晰的解讀反比例函數的概念，在例題解析中熟練運用常用方法，避免錯誤重復出現，提高學習效率，鞏固基礎知識。
關鍵詞：反比例函數；基本概念；常用方法
反比例函數是學習函數中非常重要的一個環節，對學生進一步學習函數知識起到了承前啟后的作用。它既不像一次函數那樣比較淺顯易懂便于掌握，也沒有二次函數甚至多元函數那樣復雜繁瑣。但是不能因此而輕視它，不光是因為它一直作為中學學科乃至升學考試中的必考內容而存在，更是因為它與其他函數的關聯性使得它出現在題目中會有較強的迷惑性，導致解答過程中極易出現錯誤。本文將從基本概念出發，深入解析部分代表性強的題目，展示常用方法，為廣大學生學好反比例函數提供一定參考和幫助。
一、反比例函數的基本概念
（一）定義及表達式
（k為常數且 ）叫做反比例函數，其中k叫做反比例系數，x是自變量，y是自變量x的函數，x的取值范圍是不等于0的一切實數,且y也不能等于0。k大于0時，圖像在1、3象限。k小于0時，圖像在2、4象限。
在實際解題的過程中我們可以靈活應用概念的互推性質。我們可以用定義式來確定變量的值。例如當m=（ ）時，函數 是反比例函數。由反比例函數定義可知，x的指數是-1，即 ，解 。其實這正是進入了一個誤區。在反比例函數中既要滿足的指數為-1，也要滿足 ，本題未考慮到這一點。正解： 且 ，綜合解得 。還可以反過來，根據給定的數值，確定解析式。例如已知反比例函數的圖象經過點（－3，1），求此函數的解析式。根據基本定義可知反比例函數的解析式，且因為點（－3，1）在反比例函數的圖象上，所以直接將這個點的坐標代入反比例函數的解析式，得 k= -3， 由此可得這個反比例函數的解析式。特別要注意的是，不能將反比例關系與反比例函數相互混淆。導致概念不清就容易出錯。舉例：若y與 x-1成反比例，且當x=3時，y=4，則y與x之間的關系是( )
A、成正比例 B、反比例函數 C、一次函數 D、以上都不對
此時如果不清楚反比例函數的基本定義，就會錯選B。這題目把反比例關系與反比例函數進行混淆，成反比例關系但不一定是反比例函數，但反比例函數一定是成反比例關系。這樣清楚概念后，可解得答案為D
（二）函數圖象
反比例函數的圖像用文字可以概述為以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線。圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近x軸y軸但不會與坐標軸相交。關于它的畫法也很簡單，根據給定的各個數值，在平面直角坐標系中標出相應的點，用平滑的線將它們一一對應連接起來，可以從圖形上得出結論：當雙曲線在一三象限，k>0，在每個象限內，y隨x的增大而減小。當雙曲線在二四象限，k<0，在每個象限內，y隨x的增大而增大。而當兩個數相等時那么曲線呈彎月型。
（三）比例系數
研究函數問題要透視函數的本質特征。反比例函數中，比例系數k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函數圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積
所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。從而有k的絕對值。在解有關反比例函數的問題時，若能靈活運用反比例函數中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。
（四）函數性質
1、單調性 當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖象分別位于第二、四象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而增大。k>0時，函數在x<0上同為減函數、在x>0上同為減函數；k<0時，函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。 2、相交性
因為在定義解析式中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。
3、對稱性 反比例函數圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點；反比例函數的圖像也是軸對稱圖形，反比例函數圖象上的點關于坐標原點對稱。所以，它的圖象的對稱軸是：如果圖象在一、三象限，則對稱軸為二、四象限的角平分線y=-x，如果圖象在二、四象限，則對稱軸為一、三象限的角平分線y=x。對函數性質也要摸清摸透。如：在函數y=a2+1/x的圖像上有三點(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)且 x1<x2<0<x3，，則函數值 y1，y2 ，y3的大小關系是什么。由于題目中給出的是反比例函數，k=(a2+1)<0，即y隨x的增大而增大；又有條件x1<x2<0<x3，可以得出y1<y2<y3 其實在運用反比例函數的性質時，要特別注意“在每個象限內”討論y隨x的變化。而題目給出的三個點并不在同一象限內，不能得出y1<y2<y3 正確答案應該是：k=(a2+1)<0為已知條件，可得函數圖像在第二、四象限內，且在每一個象限內，y隨x的增 大而增大，又因題中給出x3>0可知y3<0而x1<x2<0所以O<y1<y2 綜上所述可得y3<y1<y2 . 二、常用方法舉例 反比例函數的圖象上有一點P（m, n）其坐標是關于t的一元二次方程，t2+3t+k=0的兩根雙曲線，且P到原點的距離為 ，求該反比例函數的解析式。分析可得求反比例函數解析式，就是要求出k，為此我們就需要列出一個關于k的方程。
m, n是關于t的方程t2+3t+k=0的兩根雙曲線，m+n=-3，mn=k.
又po= ， ， ，9-2k=13． k= -2
當 k=-2時， =9+2>0，k=-2符合條件，該反比例函數的解析式為mn=-2.
三、總結
總之，掌握反比例函數的關鍵就在于要清晰明確它的基本概念和定義，熟練了解它的圖形和函數性質，在計算題目時一定要仔細認真考慮所有條件，保證少出錯，不出錯，為進一步學習數學知識奠定良好的基礎。
參考文獻：
反比例函數的應用范文4
近年中考關于反比例函數的題型多樣，考查方式靈活，既注意對知識的把握，又注意能力的提升．下面結合2008年中考題對反比例函數相關知識點進行歸類解析．
一、反比例函數的概念、圖象與性質
1. 反比例函數的系數和解析式
例1 （2008年南安市）已知反比例函數的圖象過點（－3，1），則此函數的解析式為_____．
分析： 確定反比例函數的解析式，可用待定系數法.因為只有一個待定系數，故只需一個點的坐標或一個合適條件即可．
解：設反比例函數的解析式為y= （k≠0），將點（－3，1）的坐標代入，解得k＝-3．此函數的解析式為y=- ．
練習1 （2008年南昌市）下列四個點中，在反比例函數y= 圖象上的是（）.
A． （1，-6） B． （2，4） C． （3，-2） D． （-6，-1）
2. 反比例函數的圖象
例2 （2008年江西?。┤酎c（x0，y0）在函數y＝ （x>0）的圖象上，且x0y0＝－2，則它的大致圖象是（）.
分析： 反比例函數y= 的圖象是雙曲線．當k＞0時，圖象的兩個分支分別在第一、三象限；當k＜0時，圖象的兩個分支分別在第二、四象限．
解：由題意可知k＝xy＝x0y0＝－2．因為k＜0，所以雙曲線的兩個分支分別在第二、四象限．又因為x>0，所以圖象在第四象限．選擇D．
練習2 （2008年南寧市）圖1是反比例函數y= 的圖象，那么實數m的取值范圍是_____．
3. 反比例函數的單調性
例3 （2008年淄博市）已知點（-2，y1），（-1，y2），（3，y3），和（-3，-2）都在反比例函數y= 的圖象上，那么y1，y2，y3的大小關系是（）.
A． y1＜y2＜y3B． y3＜y2＜y1C． y2＜y1＜y3D． y3＜y1＜y2
分析： 運用函數單調性時，應注意條件“在每一象限內”．反比例函數y= 的圖象，當k＞0時，兩個分支分別位于第一、三象限內，在每個象限內，y隨x的增大（減?。┒鴾p?。ㄔ龃螅划攌＜0時，兩個分支分別位于第二、四象限內，在每個象限內，y隨x的增大（減小）而增大（減小）．
解：由（-3，-2）在反比例函數y= 的圖象上，可得k＝（－3）×（－2）＝6.由k＞0，可知雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限內，且在每一個象限內，y的值隨著x值的增大而減小．因為－2＜－1＜0＜3，所以y2＜y1＜0＜y3．答案是C．
本題也可求出y1，y2，y3的值再比較大?。?/p>
練習3 （2008年白銀市）一個函數具有下列性質：
① 圖象經過點（－1，1）；② 圖象在二、四象限內；③ 在每個象限內，函數值y隨自變量x的增大而增大．則這個函數的解析式可以為_____．
4. 反比例函數系數的幾何意義
例4 （2008年深圳市）如圖2，直線OA與反比例函數y= （k≠0）的圖象在第一象限交于A點，ABx軸于點B，OAB的面積為2，則k＝_____．
分析： 過雙曲線y= （k≠0）上任一點（x0，y0），分別引x軸、y軸的垂線，所得兩垂線與坐標軸圍成的矩形面積為｜k｜，即｜k｜=｜x0｜•｜y0｜.OAB的面積為此矩形面積的一半．
解：SAOB = OB•AB= ｜xA•yA｜= ｜k｜=2.解得k=4．
練習4 （2008年蘭州市）如圖3，已知雙曲線y= （x>0）經過矩形OABC的邊AB，BC的中點F，E，且四邊形OEBF的面積為2，則k=_____．
二、反比例函數與一次函數綜合問題
例5 （2008年蘭州市）已知正比例函數y=kx（k≠0）的圖象與反比例函數y= （k為常數，k≠5）的圖象有一個交點的橫坐標是2，求這兩個函數圖象的交點坐標．
分析： 解此類題常用的方法，是將函數圖象的公共點坐標代入所設的函數解析式，構造方程或方程組，進而解決其他問題．
解：對于方程組y=kx，y= ，當x=2時，可得2k= ，解得k=1．所以正比例函數的解析式為y=x，反比例函數的解析式為y= ．解方程組y=x，y= ，可得x1=2，y1=2，x2=-2，y2=-2.所以兩函數圖象交點的坐標為（2，2），（-2，-2）．
練習5 （2008年郴州市）已知一次函數y=ax＋b的圖象與反比例函數y= 的圖象交于A（2，2），B（－1，m），求一次函數的解析式．
三、反比例函數的應用
例6 （2008年巴中市）為預防“手足口病”，某校對教室進行“藥熏消毒”．已知藥物燃燒階段，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時間x（min）成正比例；燃燒后，y與x成反比例（如圖4）．現測得藥物10 min燃燒完，此時教室內每立方米空氣含藥量為8 mg．據以上信息解答下列問題：
（1） 求藥物燃燒時y與x的函數關系式.
（2） 求藥物燃燒后y與x的函數關系式.
（3） 當每立方米空氣中含藥量低于1.6 mg時，對人體方能無毒害作用，那么從消毒開始，經多長時間學生才可以回教室？
分析： （1） 函數關系已經確定，只要找到其圖象上一個點的坐標，即可求出解析式.顯然點（10，8）在正比例函數圖象上.設y=kx，可求得k= .所以，一次函數解析式是y= x（0≤x≤10）.
（2） 點（10，8）也在反比例函數的圖象上，解析式為y= （x≥10）.
（3） 實際是求當x=1.6時y的值，易得此時y=50 （min）.
解：略.
注意：實際應用問題的函數圖象往往是我們學習的函數圖象的一部分.因此在寫出解析式時一定要注明其取值范圍.比如本題，不注明取值范圍的解析式是錯誤的.
練習6 （2008年貴陽市）利用圖象解一元二次方程x2 +x-3=0時，我們采用的一種方法是：在坐標系中分別畫出拋物線y=x2和直線y=-x+3的圖象，兩圖象交點的橫坐標就是該方程的解．
（1） 利用圖象解一元二次方程x2+x-3=0，也可以這樣求解：在平面直角坐標系中畫出拋物線y=_____和直線y=-x，其交點的橫坐標就是該方程的解．
（2） 已知函數y=- 的圖象（如圖5），利用圖象求方程 -x+3=0的近似解.（結果保留兩個有效數字）．
練習參考答案：1. D 2. m>2 3. 例如y=-4. 2 5. y=2x-2.
反比例函數的應用范文5
基礎知識點
一、平面直角坐標系
1.平面直角坐標系：兩條具有公共原點且互相垂直的數軸構成的圖形叫做平面直角坐標系.
2.實數和數軸上的點一一對應，有序實數對和坐標平面內的點一一對應；所有有序實數對所對應的點組成了一個坐標平面.
二、函數及其圖像
1.函數：設在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，那么就說 x是自變量， y是自變量 x的函數.函數實際上是變量之間的某種對應關系.
2.函數關系表示法：
（1）解析法：用數學式子表示變量間的函數關系的方法叫做解析法.
（2）列表法：用表格表示變量間的函數關系的方法叫做列表法.
（3）圖像法：用圖像表示變量間的函數關系的方法叫做圖像法.
三、一次函數和正比例函數
1.定義：一般地，如果y=kx+b （k、b 是常數， k≠0），那么 y叫做 x的一次函數.當b=0時，則有y=kx（k為常數，且 k≠0），這時， y叫做 x的正比例函數.
2.圖像：一次函數的圖像是經過點（-b/k,0 ）和（0，b）的一條直線.正比例函數的圖像是經過原點（0，0）和點（1，k）的一條直線.
3.性質：
（1）正比例函數：
當 k＞0時,直線經過原點、一、三象限，y隨 x的增大而增大；
當 k＜0時,直線經過原點、二、四象限， y隨 x的增大而減小.
（2）一次函數：
當 k＞0， b＞0時，直線經過一、二、三象限， y隨 x的增大而增大；
當 k＞0， b＜0時，直線經過一、三、四象限， y隨 x的增大而增大；
當 k＜0， b＞0時，直線經過一、二、四象限， y隨 x的增大而減??；
當 k＜0， b＜0時，直線經過二、三、四象限， y隨x的增大而減小.
4.與方程（組）、不等式的關系
（1）直線y=kx+b 與 x軸交點的橫坐標就是方程 kx+b=0的解；
（2）兩條直線在同一坐標系中的交點就是對應的二元一次方程組的解；
（3）函數 y=kx+b 的函數值 y＞0時自變量的取值就是不等式 kx+b＞0的解集.
同樣，函數y=kx+b 的函數值 y＜0時自變量的取值就是不等式 kx+b＜0的解集.
四、反比例函數
1.定義：形如 y=k/x（ k≠0）的函數叫做反比例函數.
2.圖像：反比例函數的圖像是雙曲線.
3.性質：當 k＞0時，圖像的兩個分支分別分布在第一、三象限，在每一象限內， y隨 x的增大而減??；當 k＜0時，圖像的兩個分支分別分布在第二、四象限，在每一象限內， y隨x的增大而增大.
五、二次函數
1.定義：形如 y=ax2+bx+c的函數叫做二次函數.
2.圖像：二次函數的圖像是一條拋物線.
3.頂點是(-b/2a,4ac-b2/4a) ，對稱軸是直線x=-b/2a.
4.開口方向：
當 a＞0時，拋物線開口向上，當x=-b/2a 時有最小值為4ac-b2/4a；
當 a＜0時，拋物線開口向下，當 x=-b/2a時有最大值為4ac-b2/4a.
考點和熱點
考點：平面直角坐標系的有關概念；點的坐標的意義；一次函數與反比例函數的自變量的取值范圍；應用一次函數、反比例函數、二次函數的概念、圖像和性質解題；應用待定系數法確定一次函數、反比例函數與二次函數的表達式；應用函數知識解決簡單的實際問題.
熱點:1.對各象限內的點的坐標符號的確定和關于x軸、 y軸及坐標原點的對稱點的確定.有時也與方程（組）、不等式（組）等內容結合起來考查.
2.對所給定的函數，確定其自變量的取值范圍和建立簡單的函數關系式.
3.根據一次函數與反比例函數圖像的位置判斷系數的符號或函數增減情況，根據一次函數與反比例函數的性質與系數的符號判斷其圖像的大致位置.
4.用待定系數法求一次函數、反比例函數的關系表達式，常與方程（組）、圖形的面積等知識結合起來考查.
反比例函數的應用范文6
而在課本上所提到的“比例”是不是都是指同一概念呢？與我們生活中說的這幅圖構圖的“比例”一樣呢？比例與正反比例的真包含的關系嗎？ “正反比例”又是類屬什么知識呢？比例尺”也是比例嗎？本文嘗試對生活的“比例”和課本的“比例”，小學數學中的“比例”與中學數學中的“比例”進行一些探索。
【關鍵詞】比例函數正比例 反比例
（一） 比例和比例式
生活中我們經常會遇到“比例”一詞，實質上是數學中的“比”，反映兩個數之間的比，兩個量之間的關系，不是我們數學上嚴格意義的比例。比如說，明星林志玲是九頭身美女?！熬蓬^身”就是女性的臉和身高的比例為1：9，就是說身高是臉高的九倍。這些都是我們生活中的的“比例”，實質上它們都是“比”。
而比例實際上也是一個美術用語。反映物體之間形的大小、寬窄、高低的關系。我們生活中的比例多數是反映部分和總體，或部分與部分之間的關系。有一個著名的“比例”―――黃金比例，即長段為全段的0.618。0.618被公認為最具有審美意義的比例數字。我們生活中的比例多數是反映部分和總體，或部分與部分之間的關系。指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比，整體與較大部分之比。（當然黃金分割可以寫成一個比例式）
而課本中的放大和縮小，有一下情形：原值比例、放大比例、縮小比例，
我認為這也是生活中的比例，實質上是數學中的比。是表示現在的邊長與原來的邊長的比，反映現邊與原邊的關系。
課本是這樣描述“比例”定義的：兩個比相等的式子就是比例。這個“比例”實質是一個式子，我們可以稱為比例式。形如3：4=9：12。比例式是兩個比相等的形式，根據比例的基本性質，項積等于外項積，比例式可以轉換成等積式。
（二）、先探討函數這一概念、性質和分類
在數學領域，函數是一種關系，這種關系使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素。一般情況下，函數解析式將函數值y放等號的一邊，自變量x放等號的另一邊，這跟小學課本常量k放等號的一邊，變量集中放在等號的另一邊是有存在差異的。 類似于對字母進行的運算對代數式進行分類，重點針對本文所嘗試探討的范圍，用對未知數進行的運算規定代數函數的分類：
從下圖我們可以更好地理解正比例函數和反比例函數是成正比例的量和成反比例的量的自然延伸和深化。教學中應注意突顯函數的本質，從概念、圖像和性質。強化了變化和對應的思想，數形結合的思想和模型的思想。
《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》中提到：盡管義務教育階段對函數性質的研究只是初步的，不完整、不系統、不全面、但有限度的研究和討論，已經體現出從函數的數量特征以及圖像的集合特征來刻畫每一類函數的性質。
（三）、小學數學中的“正反比例”與“正反比例函數”
（1）一次函數與正比例函數、小學中正比例
一次函數是最初等的函數。正比例函數是特殊的一次函數。小學中的正比例只討論正比例函數中，k>0時的情況。一次函數和正比例函數隨著k值的不同，有可能是增函數或減函數，而小學課本一般只討論增函數類型
一般地，兩個變量x，y之間的關系式可以表示成形如y=kx（k為常數，且k≠0）的函數，那么y就叫做x的正比例函數。 正比例函數屬于一次函數，但一次函數卻不一定是正比例函數。正比例函數是一次函數的特殊形式，即一次函數 y=kx+b 中，若b=0，即所謂“y軸上的截距”為零，則為正比例函數。
研究表示函數的三種表達形式：列表法、解析式法、圖像法。研究函數除了解析式，函數圖像也是一種非常重要的研究對象，體驗數形結合的思想，即使在小學階段也是如此。
（2）反比例函數與反比例
一般的，如果兩個變量x，y之間的關系可以表示成y=k/x（k為常數，k≠0），其中k叫做反比例系數，x是自變量，y是自變量x的函數，x的取值范圍是不等于0的一切實數，且y也不能等于0。k大于0時，圖像在一、三象限。y隨x的增大而減小，單調減小。k小于0時，圖像在二、四象限。y隨x的增大而增大。單調增加。反比例函數圖像是雙曲線。反比例函數圖像不與x軸和y軸相交。小學中的反比例只討論k>0，圖像落在第一象限上的特殊情況。
（四） 小學數學中的“正反比例”與“比例”
我們可以得知道，正反比例是描述兩種相關聯的變量之間的關系。在運用正比例的知識（兩個相關聯的量的比值一定）解決問題時，我們需要通過比例式；運用反比例的知識（兩個相關聯的量乘積一定）解決問題時，需要用到乘積式。比例式，乘積式是體現利用正反比例知識解決問題的工具。正如數學中，解析幾何我們會用到向量，矩陣等這樣的工具。所以，書本所指的“比例”實質是指“比例式”。比例絕對不是一分為二為正反比例。正反比例并不真包含于比例。正比例不是比例式。反比例顯然更不是比例式的其中一種。比例式是一種解決問題的工具。比例式恰能體現運用正比例解決問題。而乘積式恰能體現反比例解決問題。
（五） 比例尺是比例嗎？比例尺需要比較大小嗎？
比例尺的定義是指圖上距離和實際距離的比，比例尺只是一個比，雖然含“比例”兩字，但并不是比例，不是兩個相等的比的式子。比例尺是反映實際距離和和圖上距離的倍數關系。是比就能算出比值，所以比例尺也可以看作是一個分數，一個分率，從數值上來講確實有大小關系。
舉例：小明要繪制操場跑道的平面圖，那么平面圖上跑道的長度和小明選用的比例尺（ ）
A成正比例B成反比例C成正、反比例都有可能D不成比例根據實際距離=圖上距離÷比例尺，以及正比例關系的定義，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種兩種相對應的兩個數的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量?？梢耘袛啻祟}選選A。實際距離一定，圖上距離與比例尺成正比，也就是說圖上距離越長，所選用的比例尺數值越大，圖上距離越短，所選取的比例尺數值越小。那究竟何為比例尺大和比例尺小呢？讓人感到很迷惑。
且再看一題：
在比例尺是1： 30000000的地圖上，甲乙兩地之間的航空線長4.5厘米。在比例尺1：25000000的地圖上，甲乙兩地之間的航空線長多少厘米？
從此題可看出在比例尺數值較大的地圖上，航線長5.4厘米，與上一題的一樣比例尺越大，圖上距離越長，是5.4厘米。但我們可以看到1： 30000000這個比例尺較小的地圖上，1cm表示300km，而1：25000000這個比例尺較大的地圖上，1cm是表示250km。可看出實際距離一定，比例尺小，可是單位長度表示的實際距離更大，比例尺大，單位長度表示實際長度相對小。
結論：比例尺不是比例是一個比，比例尺的大小所表示的含義要理解清楚，不能機械地比較大小。
參考文獻：
[1]中華人民共和國教育部制訂《數學課程標準》[S].北京： 北京師范大學出版2011.