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已知二次函數范文1
在二次函數的實際應用中，二次函數的頂點縱坐標并不一定為最大值，我們應具體問題具體分析，如下題：
例1.如下圖，某雞場要建一個矩形的養雞場ABCD，雞場的一邊靠墻，（墻長20米），另三邊用木欄圍成，木欄長100米，設AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時，S的值最大？
錯解：AB=x BC=100-2x
S=AB?BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250
a=-2
當x=25時，Smax=1250
正確解答：
AB=x BC=100-2x
S=AB?BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250
由題意可得：0
解得：40≤x
a=-225
S隨x的增大而減小
當x=40時，Smax=-2（40-25）2+1250=800
點評：很多學生在學習中經常犯這樣的錯誤，他們認為利用二次函數求最大值，只要求出二次函數表達式，并將之化為頂點式，頂點縱坐標即為最大值，而沒有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點就不在自變量范圍內，因此最大面積就不會取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側，根據二次函數的增減性，我們可知當x=40時，S會有最大值。
誤區二：二次函數開口向上沒有最大值
例2.根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數關系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）。（1）分別求出利潤y1與y2關于投資量x的函數關系式；（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？
圖（1） 圖（2）
解：（1）設y1=kx（x≥0），設y2=ax2（x≥0）則由題意可得：
2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 y1=2x，y2=0.5x2
（2）設這位專業戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元，其中投資x萬元種植樹木，則投資（8-x）萬元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 a=0.5>0，當x=2時，wmin=140≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當0≤x≤2時，w隨x的增大而減小，當x=0時，wmax=（0-2）2+14=16當2≤x≤8時，w隨x的增大而增大，當x=8時，wmax=（8-2）2+14=32 32>12，這位專業戶能獲得的最大利潤是32萬元。
點評：此題第（2）問，很多學生會說a=0.5，二次函數開口向上，應該沒有最大值，其實不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數w=0.5（x-2）2+14對稱軸x=2左側（即當0≤x≤2時），由于w隨x的增大而減小，故當x=0時，w有最大值16；在對稱軸x=2右側（即當2≤x≤8時），w隨x的增大而增大，當x=8時，w有最大值32，通過比較16與32，我們得出最大值為32，此時自變量x=8。
總述：
已知二次函數范文2
關鍵詞: 數學 函數 方程思想 應用
函數與方程思想是指在數學問題解決過程中,根據問題中的數量關系,構造或建立適當的函數與方程,應用函數與方程的知識及其性質進行分析問題和解決問題。函數與方程思想可以使數學問題解決變得簡潔、明快,能夠化繁為簡,化難為易。這種思想在數學解題中有著廣泛的應用,下面我結合幾個具有代表性的例子予以說明。
一、函數思想的應用
1.求值
例1.已知實數x、y滿足(8x+7y)+x+9x+7y=0,求9x+7y的值。
分析:此方程為5次方程,不宜采用常規方法進行求解,觀察已知式子的結構特點,可以嘗試構造函數f(t)=t+t進行解決。
解:已知等式可變形為(8x+7y)+(8x+7y)=-(x+x),構造函數f(t)=t+t,易知f(t)為奇函數且單調遞增,因而有f(8x+7y)=-f(x)=f(-x),進而得:8x+7y=-x,即9x+7y=0。
點評:該問題解決的關鍵是函數的構造,并應用了函數的單調性與奇偶性,使問題得以解決。
2.解方程
例2.解方程:log(+)-log=0。
分析:本題采用常規解法難以奏效,可以先換元再利用函數的單調性加以解決。
解:設t=log,則x=4,進而得log(4+2)-t=0,即4+2=6,也即()+()=1,構造函數f(t)=()+(),由于f(t)在R上單調遞減,當t>1時,f(t)
點評:本題運用函數的相關性質來求解方程,是一種突破常規的新穎解法,體現了函數思想解決問題的獨到之處。
3.求范圍
例3.已知實數a、b、c、d、e、f滿足a+b+c+d+e+f=14,a+b+c+e+f=36,求a的取值范圍。
分析:本題通過常規途徑難以入手,但若巧妙地構造二次函數,則可以出奇制勝。
解:構造函數f(x)=(x-b)+(x-c)+(x-d)+(x-e)+(x-f)=5x-2(b+c+d+e+f)x+(b+c+d+e+f)=5x-2(14-a)x+(36-a),
顯然f(x)≥0,因而≤0,即4(14-a)-20(36-a)≤0,解得≤a≤4。
點評:本題巧妙地構造二次函數,再利用其性質進行解答,令人耳目一新。
4.證不等式
例4.已知x、y∈R,且x+y=,求證xy+≥。
分析:由結論的結構特點,可以想到函數f(t)=t+,再利用其單調性進行解決。
證明:0
點評:本題通過構造函數并利用其單調性使問題便捷地得以解決。
二、方程思想的應用
1.求值
例5.已知α=,β=,求的值。
分析:直接代入求解顯然比較繁瑣,觀察α、β不難發現二者是x-x-1=0的兩個根,因而想到構造二次方程來解決問題,簡化解題過程。
解:由于α+β=1,αβ=-1,因而可構造一個以α、β為根的一元二次方程x-x-1=0,則α-α-1=0,β-β-1=0,所以有==。
點評:本題根據根與系數的關系,構造二次方程,利用根的意義,再整體代入求解,使求解運算變得簡捷,達到化繁為簡的目的。
2.求范圍
例6.已知實數x,y,z滿足y+z-10=0,x-yz-8x+37=0,求x的范圍。
分析:通過已知等式容易求得y+z和yz,進而構造二次方程,利用判別式求得x的范圍。
解:由已知得y+z=10,yz=x-8x+37,因而y,z是關于t的一元二次方程t-10t+x-8x+37=0的兩個實根,因此判別式=(-10)-4(x-8x+37)=-4(x-8x+12)≥0,解得2≤x≤6。
點評:本題首先將兩數的和與積表示出來,而后運用根與系數的關系,通過構造二次方程進行求解,新穎獨特。
3.證明不等式
例7.已知=(其中a、b、c均為實數),求證b≥4ac。
證明:由已知可得7a-b+c=0,即a(-)+b(-)+c=0,因而-是實系數一元二次方程ax+bx+c=0的一個實根,所以有判別式=b-4ac≥0,即b≥4ac。
點評:本題通過變形和轉化,從數與式的特征出發,應用方程思想使結論得以證明。
4.證明等式
例8.若實數滿足ln-4ln•ln=0,求證:y=xz。
分析:觀察已知等式的結構可以發現其恰好符合一元二次方程判別式的形式,易于想到構造相應的二次方程加以證明。
證明:當x=y時,由題意可得x=z,此時x=y=z,顯然有y=xz。
當x≠y時,有ln≠0,構造關于t的一元二次方程:(ln)t+(ln)t+ln=0,易知此方程有一實數根t=1,由已知得該方程的判別式=ln-4ln•=0,所以兩根t=t=1,因而t•t==1,進而得=,故y=xz。
點評:本題通過構造二次方程證明等式,充分體現了方程思想的獨特性與優越性。
已知二次函數范文3
關鍵詞：二次函數對稱軸單調性最值
中圖分類號：TH133.2文獻標識碼： A 文章編號：
通過多年的教學，感悟到有很多數學問題都與二次函數的對稱軸相關，弄清對稱軸是把握二次函數的關鍵所在，下面從幾方面的知識入手就可渡過這個難關。
一、對稱軸劃分單調性。
二次函數 的單調性是這樣劃分的：
（1） （2）
（1）當a>0 二次函數在(－,－]上單調遞減，在(－,＋)上單調遞增；
(2)當a
例1、已知函數f(x)=x[－5,5] ,求f(x)在[－5,5]上是單調函數的a的取值范圍。
解：對稱軸x＝﹣a，要使f(x)在[－5,5]上單調，必須滿足條件﹣a≤﹣5，－a≥5
a≥5，a≤－5
例2、已知函數f(x)＝在(－,－1)上為減函數。
求f(2)的取值范圍。
解：二次函數的對稱軸為x=2a－1,
a≥0
函數f(x)在(－,2a－1)上為減函數，
－1≤2a－1,a≥0
而f(2)=
=－8a+14
a≥0
f(2)=14－8a≤14.
例3、函數y=存在反函數嗎？如果存在，請給出x的一個取值范圍，使它存在反函數。
解：要使函數具有單調性，必須要在對稱軸的左右兩側的區間上。
對稱軸x=4
當x(－,4][4,＋)時就存在反函數。
二、二次函數的最值離不開它的對稱軸
例4、已知函數y=在區間[0,1]上的最大值是2，求實數a的取值。
[解析]本題是二次函數在給定區間上的最值問題，要用分類討論的思想解決問題。
,對稱軸x=
當0 1，即0 a2時，
由，得
a=2或a=－2,與0 a2矛盾，不合要求。
當
，由
(3)>1 即a>2,時函數在 [0,1]上單調增，
由
綜上，得a=-6或a=。
本題屬于“軸變區間定”的二次函數最值問題，要討論對稱軸與定義域的相對位置，要注意開口方向及端點情況。
例5、已知若
寫出的表達式。
解，對稱軸，如圖：
(1)當
即
(2)當 即時
當，
綜上可得：
本題屬于“軸定區間動”的二次函數在給定區間上的最值問題，主要看區間落在二次函數的哪個單調區間上，從而借助單調性求最值。
三、二次方程根的分布有時要考慮二次函數的對稱軸
二次函數，一元二次方程和不等式是一個有機的整體，對于二次方程實根的分布問題有時要考慮對稱軸的位置。
例6、（2007.湖北文）設二次函數的兩根求實數a的范圍；
分析：利用二次函數的圖像，函數在區間(0,1)上有兩個零點，實施方程，函數，不等式的轉化。
設
由題意，得，
,故所求a的取值范圍是
例7、若關于x的方程在[-1,1]上有解，則實數m的取值范圍是
分析：的解在[-1,1]，就是二次函數與x軸的交點在[-1,1]上，只需滿足條件：
已知二次函數范文4
例1 已知拋物線經過點(2,1),(-1,-8),(0,-3),求這個拋物線的解析式.
解析: 設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).
根據題意,得4a+2b+c=1,a-b+c=-8,c=-3.解得a=-1,b=4,c=-3.
所以拋物線的解析式為y=-x2+4x-3.
點評:這三個點沒有突出特征,因此用“一般式法”.先設解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),然后將三個點的坐標分別代入,構造方程組來解.
例2 已知一個二次函數的圖象經過點A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三點.求此二次函數的解析式.
解析: 顯然點A,B在x軸上,所以可設此二次函數的解析式為y=a(x+1)(x-3).
因為該函數圖象又過點(0,-3),代入這個解析式,可求得a=1.
因此,所求的二次函數解析式為y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.
點評:已知二次函數與x軸有兩個交點(x1,0),(x2,0),則相當于方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根x1,x2,從而ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).故二次函數可表示為y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).這種方法稱為“交點式法”.
例3 已知二次函數圖象的頂點坐標為(-2,-3),且圖象過點(-3,-2).求此二次函數的解析式.
解析: 設這個函數的解析式為y=a(x+2)2-3,將點(-3,-2)的坐標代入,可得a=1.故所求解析式為y=(x+2)2-3,即y=x2+4x+1.
點評:若已知二次函數圖象的頂點坐標為(k,h),則其解析式可設為y=a(x-k)2+h.只需再知道圖象上另一個點的坐標,代入求出a即可.這種解題方法稱為“頂點式法”.在題設條件中,若涉及頂點坐標､對稱軸､函數的最大(最小)值時,可使用頂點式法.
例4 已知二次函數的圖象經過A(0,1),B(1,3),C(-1,1)三點,求這個二次函數的解析式.
解析: 觀察A,C這兩個點,因它們的縱坐標相同,所以它們是拋物線上的兩個對稱點.設解析式為y=a(x-0)(x+1)+1,將B(1,3)代入,可求得a=1.所以解析式為y=x(x+1)+1,即y=x2+x+1.
點評:當條件中有拋物線上兩對稱點(x1,m),(x2,m)時,可設解析式為y=a(x-x1)(x-x2)+m.這個式子一般稱為“對稱點式”.顯然當m=0時,對稱點式就變為交點式了.我們把這種類型的題目稱為“對稱型”.
例5 二次函數圖象的頂點坐標為C(4,- ),且在x軸上截得的線段AB的長為6.求這個二次函數的解析式.
解析: 一般地,若y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點A(x1,0),B(x2,0),則可用a,b,c來表示線段AB的長.
AB=|x1-x2|= - = .
設拋物線的解析式為y=a(x-4)2- (a≠0),y=ax2-8ax+16a- .
設拋物線與x軸交于A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2是一元二次方程ax2-8ax+16a- =0的兩個實數根.顯然AB=|x1-x2|=6.
又|x1-x2|= = =6.
所以(x1-x2)2= =36,可得a= .
所求的函數解析式為y= (x-4)2- .
小試牛刀
1. 如圖1,二次函數圖象的頂點C為(2,-1),且在x軸上截得的線段AB的長為2.
(1) 求證:ACB是等腰直角三角形.
(2) 求二次函數的解析式.
2. 如圖2,二次函數的圖象與x軸相交于A,B兩點,A,B分別在原點兩側,拋物線與y軸正半軸交于點C,若OA∶OB∶OC=1∶3∶3,且ABC的面積為24,求二次函數的解析式.
已知二次函數范文5
關鍵詞：二次函數應用
在高中階段，二次函數不僅是數學教學的重點及難點，也是高考的重點，同時它也是連接其他知識系統的關鍵.本文重點對二次函數定義的理解與應用進行探討.
一、二次函數的定義及理解
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式，即y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，函數的開口方向由a決定，a>0時，開口向上，a
高中階段的二次函數與初中階段的二次函數不太一樣，高中階段的二次函數是建立在集合和映射的基礎上的，二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f∶AB使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對應，記作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識.
例1已知f（x）=3x2-9x+11，求f（x+3）.
這里不能將f（x+3）理解為x=x+3時函數值，只能理解為自變量為x+3的函數值.
例2設f（x+3）=3x2-x+1，求f（x）.
這個問題理解為已知對應法則下，定義域中元素x+3的象是3x2-2x+1，求定義域中元素x的象，其本質是求對應法則.一般有兩種方法：
（1）把所給表達式表示成x+3的多項式.
f（x+3）=3x2-x+1=3（x+3）2-9（x+3）+11.
再用x=x+3得到f（x）=3x2-9x+11.
（2）變量代換.這種方法可以通用，可以使用一般的函數.
令t=x+3，則x=t-3，所以f（t）=3（t-3）2-9（t-2）+11，從而得出f（x）=3x2-9x+11.
二、二次函數解析式的應用
1.解析式問題
解答函數解析式問題的方法有待定系數法、換元法、配湊法、消元法等.
例3求一次函數f（x），使得f{f（x）}=8x+7.
分析：在解答本題時，用待定系數法，當所求的函數是已知的函數類型時，用此方法，一次函數的基本型為f（x）=ax+b.
解：設解析式為f（x）=ax+b.
則f[f（x）]=a[f（x）+b]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b.
同理，f{f[f（x）]}=a3x+a2b+ab+b.
即a3x+a2b+ab+b =8x+b，則a2b+ab+b=7.（1）
a3=8.（2）
由（1）（2）解得：a=2，b=1.
所以f（x）=2x+1.
2.單調性、值域的應用
在高中階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間-∞，-b2a及-b2a，+∞上的單調性用定義去嚴格的論證，充分利用函數圖象的直觀性，增加適當的練習題進行練習，使學生逐步自覺地利用圖象學次函數有關的一些函數單調性.
例4已知函數f（1-x2）=log2x2（2-x2），求：（1）f（x）的解析式及定義域.（2）判定f（x）的單調性.
解：（1）令1-x2=t，則x2=1-t.
所以f（t）=log2（1-t）（1+t）=log2（1-t2）.
即f（x）=log2（1-x2）.
由1-x2>0解得-1
所以f（x）=log2（1-x2）（-1
（2）①設-1
所以1-x12
即f（x1）-f（x2）=log2（1-x12） -log2（1-x22）
所以函數f（x）=log2（1-x2）在區間（-1，0）上是增函數.
②設0≤x1
1-x12>1-x22，log2（1-x12） >log2（1-x22）.
即f（x1）-f（x2）=log2（1-x12） -log2（1-x22）>0.
所以函數f（x）=log2（1-x2）在區間（0，1）上是減函數.
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定.因此在求函數值域時，應注意函數定義域.
例5求函數y=4x-5+2x-3的值域.
錯解：令t=2x-3，則2x=t2+3.
y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+14）2+78≥78.
故所求的函數值域是[78，+∞）.
剖析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函數，所以當t=0時，ymin=1.
故所求的函數值域是[1， +∞）.
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便能體現出良好的思維批判性.
3.二次函數在方程方面的應用
例6已知含參數的一元二次方程的根在某區間，求參數范圍.
分析：可借助二次函數的圖象.
解：設f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程ax2+bx+c=0的兩根為α，β（α≤β），m，n為常數且n
（1）α，β分居兩區間時，只需考慮端點函數值的符號.
如α∈（-∞，m），β∈（m，+∞）f（m）
α∈（-∞，n），β∈（m，+∞）f（n）
（2）α，β位于同一區間時，不但要考慮端點函數值符號，還要考慮Δ≥0及-b2a的范圍.如α，β∈（m，+∞）f（m）>0，
-b2a>m，
=b2-4ac≥0，α，β∈（n，m）f（m）>0，
f（n）>0，
=b2-4ac≥0
n
，α，β∈（-∞，n）f（n）>0，
-b2a
=b2-4ac≥0..
例7已知二次函數f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），設方程f（x）=x的兩個實數根為x1和x2.
（1）如果x1
（2）如果|x1|
分析：本題主要考查函數與方程的思想，利用數形結合考查根的分布等綜合運用所學知識的能力.
解：（1）設g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1（a>0）.
由條件x1
即4a+2b-1
16a+4b-3>0，解得34-4a
顯然必有34-4a18.②
①÷（-2a）得：2-38a>-b2a>1-14a.
故x0=-b2a>1-14a>-1.結論成立.
（2）由方程g（x）=ax2+（b-1）x+1=0可得x1?x2=1a>0.
x1，x2同號.
若0
x2=x1+2>2.
g（2）
又（x2-x1）2=（b-1）2a2-4a=4，
2a+1=（b-1）2+1. （a>0，負根舍去）
代入③式可得，2（b-1）2+1
若-2
g（-2）
又2a+1=（b-1）2+1代入④式，
得2（b-1）2+174.
綜上，當0
總之，二次函數是貫穿初中和高中數學課程的一種很重要的函數，從中學數學教材來看，二次函數占有及其重要的地位，無論是在代數中還是解析幾何中，使用二次函數解答的機會非常多.將二次函數作為載體，構建數形結合思想、分類討論的思想、等價轉換的思想.
參考文獻
周小峰.高中二次函數的教學探微.[J].考試教研版.2007（04）.
周建濤.淺談二次函數在高中階段的應用.[J].數學與教學通訊.2005（12）.
已知二次函數范文6
原題：有一個拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為10m，把它的圖形放在如圖1所示的直角坐標系中.
（1）求這條拋物線所對應的函數關系式；
（2）如圖，在對稱軸的右邊1m的點M處，對應的橋洞壁離水面的高度是多少？
解析：此題命題意圖有兩點：一是考查學生利用待定系數法求二次函數解析式；二是讓學生在實際應用中體會二次函數作為一種數學模型的作用，考查學生應用二次函數模型解決簡單的實際問題的能力.
根據題意可知：該拋物線的頂點坐標為（5，4），且過點（0，0），于是利用系統定系數法可完成第（1）小題的解答；顯然“對稱軸的右邊1m的點M處”的橫坐標為6，因此第（2）小題求“對應的橋洞壁離水面的高度”也就是對于在（1）里所求的二次函數關系式中，當x=6時，求對應的二次函數值. 具體解答過程如下：
（1）設拋物線所對應的函數關系式為y=a(x-h)2+k.
由條件知，該拋物線的頂點為（5，4）
所以y=a(x-5)2+4，把（0，0）代入上式，得
0=a（0-5)2+4，解得a=-，
因此該拋物線對應的函數關系式為
y=-(x-5)2+4，即y=-x2+x.
（2）當x=6時，y=-×62+×6=3.84.
即橋洞壁離水面的高度是3.84m.
說明：第（1）小題還可以這樣解答：設所求拋物線對應的函數關系式為y=ax2+bx+c，將點（0，0）代入得c=0. 再根據拋物線的頂點坐標公式得兩個方程:-=5，與=4，解得a=-，b=，c=0，從而得到所求函數關系式為y=-x2+x.顯然，這種解法較前面的解法煩瑣.
針對原題題目，條件不變，我們進一步作如下變式探究：
變式探究1：當水面上升1m時，求此時橋洞下水面的寬度是多少？
解析：水面上升1m，如圖2所示，求“此時橋洞下水面的寬度”就是求A、B兩點之間的距離. 也即是當縱坐標為1時，所對應拋物線的兩個橫坐標的距離.
由1=-(x-5)2+4，解得x=5-，x=5+.
而x-x=5+-5-=5，
即是當水面上升1m時，橋洞下水面的寬度是5m.
變式探究2：現有一輛滿載貨物的船只欲通過該橋洞，已知貨物頂部距水面3米，裝貨寬度為4.2米，請通過計算，判斷該船只能否順利通過橋洞.
解析：假設該船只是沿著橋洞的正中（船的中心線與拋物線的對稱軸重合）行進，能否順利通過橋洞，取決于當“貨物頂部距水面3米”時的水平寬度，若這個寬度大于“裝貨寬度4.2米”時，則該船只能順利通過橋洞；否則不能. 仿變式探究1，求出距水面3米高時的水平寬度.
由3=-（x-5）2+4解得x=7.5，x=2.5.
所以，距水面3米橋洞的水平寬度為：7.5-2.5=5＞4.2.
