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向量平行公式范文1
1 承德醫學院 河北省承德市 067000 2 北京大學護理學院 北京市 100084
3 承德市中心醫院 河北省承德市 067000
【摘 要】目的：探討承德市社區老年人認知功能水平和生活質量的相關性。方法：采用便利抽樣的方法，運用一般情況調查表、蒙特利爾認知評估量表（MOCA）、世界衛生組織生活質量測定量表簡表（WHOQOL-BREF）對330 例老年人進行問卷調查。結果：社區老年人處于輕度認知障礙水平，認知功能總分及各個方面與生活質量總分各個維度均呈相關性（P<0.05）。結論：老年人認知功能與生活質量具有相關性，社區醫護人員應注重提高老年人的認知功能水平，進而改善其生活質量。
關鍵詞 老年人；老齡化；認知功能：生活質量
為了解老年人認知功能、生活質量狀況及其二者之間關系，本研究以承德市社區老年人為研究對象探討二者之間的關系，現報道如下：
1 研究對象
2014 年5 月-7 月選取承德市社區60歲及以上老年人350 人作為調查對象，進行問卷調查。納入標準：
（1）年齡≥ 60 歲。
（2）在承德市社區居住1 年以上。
（3）無嚴重聽力、視力和語言障礙，且自愿參加。
排除標準：
（1）在承德市社區居住不足1 年的老年人。
（2）不合作、語言表達不清者。
（3）特定原因引起的認知功能減退者( 抑郁、 血管性)。
（4）已確診患有老年癡呆者及精神疾病者。
2 研究方法
2.1 研究工具
（1）一般情況調查表：主要包括年齡、性別、文化程度、婚姻狀況等。
（2）蒙特利爾認知評估量表[1]：包括視空間/ 執行能力、命名、記憶等8 方面。
該量表具有良好的信效度。
（3）世界衛生組織生活質量測定量表簡表[2]：該量表共26 個條目組成，采用5分評分制，部分條目反向記分，得分越高，說明生活質量越好。該量表具有良好的信效度。
2.2 統計方法
采用spss 19.0 軟件進行統計分析。
分析變量相關性時，若兩個變量服從正態分布，采用Pearson 相關分析；若不呈正態分布，則采用Spearman 相關分析。
3 結果
3.1 一般資料
本調查研究共發放問卷350 份，回收有效問卷330 份，有效率為94.3%。具體情況詳見表1。
3.2 老年人認知功能與生活質量之間的相關性（見表2）
4 討論
本調查研究顯示， 社區老年人認知功能水平與其生活質量呈正相關，即老年人認知功能越好，其生活質量水平越高。Abrams[3] 等對社區老年人的研究中得出輕度認知功能障礙的老年人生活質量較正常老年人群低。潘惠英[4] 等對社區老年人輕度認知障礙患病率及其生活質量的調查中，得出了類似的結論。認知功能水平較差的老年人，由于其感知覺減退、記憶力明顯下降、思維能力減退、反應遲鈍，不能正常參加社會活動，與家人及外界接觸較為被動，不能充分利用周圍的社會資源，進而導致其生活質量的下降。反之，正常老年人群的生活質量較輕度認知障礙的老年人高。提示社區醫護人員對老年人進行健康教育的過程中應注重中老年人認知功能的干預，提高其生活質量，積極促進“健康老齡化”的戰略目標的實施。
（通訊作者：洪查理）
參考文獻
[ 1 ] N a s t r e d d i n e Z S , P h i l l i p sNA,Bedirian V,et al.The montrealcongnitive assessment,MOCA:A briefscreening tool for mild cognitivei m p a i r m e n t [ J ] . J A m G e r i a t rSoc,2005,53(4):695-699.
向量平行公式范文2
1．有向線段的定義
線段的端點A為始點，端點B為終點，這時線段AB具有射線AB的方向.像這樣，具有方向的線段叫做有向線段.記作：.
2.有向線段的三要素：有向線段包含三個要素：始點、方向和長度.
3.向量的定義：(1)具有大小和方向的量叫做向量.向量有兩個要素：大小和方向.
(2)向量的表示方法：①用兩個大寫的英文字母及前頭表示，有向線段來表示向量時，也稱其為向量.書寫時，則用帶箭頭的小寫字母，，，來表示.
4.向量的長度（模）：如果向量=，那么有向線段的長度表示向量的大小，叫做向量的長度(或模)，記作||.
5．相等向量：如果兩個向量和的方向相同且長度相等，則稱和相等，記作：=.
6．相反向量：與向量等長且方向相反的向量叫做的相反向量，記作：-.
7．向量平行（共線）：如果兩個向量方向相同或相反，則稱這兩個向量平行，向量平行也稱向量共線.向量平行于向量，記作//.規定： //.
8．零向量：長度等于零的向量叫做零向量，記作：.零向量的方向是不確定的，是任意的.由于零向量方向的特殊性，解答問題時，一定要看清題目中是零向量還是非零向量.
9．單位向量：長度等于1的向量叫做單位向量.
10．向量的加法運算：
(1)向量加法的三角形法則
11．向量的減法運算
12、兩向量的和差的模與兩向量模的和差之間的關系
對于任意兩個向量，，都有|||-|||||+||.
13．數乘向量的定義：
實數和向量的乘積是一個向量，這種運算叫做數乘向量，記作.
向量()的長度與方向規定為：(1)||=|
(2)當0時，與方向相同;當0時，與方向相反.
(3)當=0時，當=時，=.
14．數乘向量的運算律：(1))= (結合律)
(2)(+) =+(第一分配律)(3)(+)=+.(第二分配律)
15．平行向量基本定理
如果向量，則//的充分必要條件是，存在唯一的實數，使得=.
如果與不共線，若m=n，則m=n=0.
16．非零向量的單位向量：非零向量的單位向量是指與同向的單位向量，通常記作.
=||，即==(，)
17．線段中點的向量表達式
點M是線段AB的中點，O是平面內任意一點，則=(+).
18．平面向量的直角坐標運算：如果=(a1，a2)，=(b1，b2)，則
+=(a1+b1，a2+b2);-=(a1-b1，a2-b2);=(a1，a2).
19．利用兩點表示向量：如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1).
20.兩向量相等和平行的條件：若=(a1，a2)，=(b1，b2) ，則
=a1=b1且a2=b2.
//a1b2-a2b1=0.特別地，如果b10，b20，則// =.
21．向量的長度公式：若=(a1，a2)，則||=.
22．平面上兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||=.
23．中點公式
若點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，點M(x，y)是線段AB的中點，則x=，y= .
24．重心公式
在ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，A(x3，y3)，，ABC的重心為G(x，y)，則
x=，y=
25．（1)兩個向量夾角的取值范圍是[0，p]，即0，p.
當=0時，與同向;當=p時，與反向
當= 時，與垂直，記作.
(3)向量的內積定義：=||||cos.
其中，||cos叫做向量在向量方向上的正射影的數量.規定=0.
(4)內積的幾何意義
與的內積的幾何意義是的模與在方向上的正射影的數量，或的模與在 方向上的正射影數量的乘積
當0，90時，0;=90時，
90時，0.
26．向量內積的運算律：
(1)交換率
(2)數乘結合律
(3)分配律
(4)不滿足組合律
27．向量內積滿足乘法公式
向量平行公式范文3
[關鍵詞]向量平行 向量垂直 向量平移
引言：向量相關知識一直以來都是高中數學的重點內容之一，也是每年高考的必考內容。近年來向量部分在各省高考數學試題中，主要側重于對向量概念及性質，向量的基礎運算如空間圖形和平面圖形中的向量應用等進行考查。但同學們由于未能正確理解向量基礎知識，導致在解題和學習過程中容易出現各種各樣不易察覺的錯誤，進而使解題思路進入各種誤區，造成極大混亂。本文對向量學習中必須加以注意的事項進行列舉，以期能幫助高中同學更好地理解向量。
一、 零向量與實數零的區別及有關運算
向量■代表零向量，它的方向只有一個，且是任意的，大小為0。零向量平行于任意向量。而0只是一個實數，并沒有方向的概念。零向量在向量運算中經常出現，也是最容易出導致計算錯誤的知識點，這主要還是因為同學們在學習過程中未能加速對零向量的理解所致。例如，對于兩個向量的乘機■·■=0，直接推導出■或■=0是最典型的錯誤。這是因為在實數運算中，兩個數相乘結果為零，那么表示兩個實數至少有一個為零是正確的，但在向量的數量積運算中除了表示兩個向量至少有一個為零向量外，還存在另一種可能性，那就是兩個向量如果方向垂直的話，其乘積也為零。
二、 向量積運算
向量積運算容易出現的錯誤是簡單地套用實數積運算中的消去率和結合律。例如，由■·■=■·■，■≠0直接推出■=■。很明顯這是錯誤的。會出現這種錯誤，原因在于個別同學未能真正理解向量的定義。
另一個在向量的數量積運算中容易出現的誤區就是錯誤運用結合律。在實數運算中，（a·b）·c=a·（b·c）很明顯是成立的，但兩兩相乘的向量積運算如（■·■）·■=■·（■·■）則是錯誤的。原因就在于，兩個向量相乘如（■·■）或（■·■）的結果是實數，而三個向量相乘如（■·■）·■或■·（■·■）則是向量，兩個向量相等的條件是兩者的大小相等，方向一樣（即共線）。
三、向量坐標與點坐標
向量的坐標是將所表示向量的字母用等號與坐標相連接，而點坐標是直接在所表示點的字母后面直接寫。例如，某題給出三角形三個頂點的坐標分別是A（-3，5），B（-5，2），C（1，-2），要求對三角形的形狀進行判斷。錯誤解法是將點的坐標與向量坐標搞混，導致出現概念性錯誤：因為-3×1+5×（-2）=-13
此外，在向量坐標和點坐標知識點的學習過程中還應該注意區分點平移和向量平移。平移公式并不適合向量平移的規律，它揭示的是沿著向量方向平移點坐標之后，前后坐標之間的變化關系；而向量平移并不會改變自身大小，其大小和方向依然與原向量相等。因此，我們在運用平移公式時必須對平移前后的坐標加以認真區分。
四、向量平面性質及幾何性質
向量具有方向性，因此兩個向量不能直接比較大?。灰幎ㄈ我庀蛄慷寂c零向量平行；單位向量有無數個，是指長度為1的向量；兩個向量平行也稱兩個向量共線，平行公理在對于向量平行情況并不適用。例如，某題要求找出以下四個命題中的假命題，分別是1.假設平面上所有單位向量都擁有共同的起點，那么將這些向量的終點連接起來構成的圖形是一個圓；2.如果向量■平行于向量■，向量■平行于向量■，那么向量■平行于向量■；3.如果向量■大小為7，向量■大小為8，那么向量■小于向量■；4.如果兩個向量■、■共線，那么可用一條直線將A、B、C、D四點連接起來。根據平面向量的有關性質，向量不只有大小還有方向，很明顯第三個命題錯誤。
五、結論
綜上所述，高中數學相對于初中數學來講深化了許多概念，在很多知識點的運用上更為強調對其使用條件和性質的深入了解。高中學生在每一章節的教學習中，只有對每一個概念都進行深刻理解，并注意抓住它們與其它知識點之間的聯系，舉一反三，注重區分和對比，才能避免陷入不必要的學習誤區，從而提高學習效率和學習質量。
參考文獻：
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[3]李昭平.學習向量八注意[J].數學大世界（高中輔導）.2003（05）
[4] 劉顯偉. 例談平面向量數量積公式的常見應用[J]. 新高考（高一語數外）. 2011（01）
向量平行公式范文4
1向量的數量積的研究
有關向量的數量積的研究。王仁明對“課本中的兩個公式”加以證明，引出了向量數量積在代數中的應用。這個證明對于求線面角、二面角、線線角有很大的幫助綜上所述，目前國內研究向量在解析幾何中和立體幾何中的應用的文章見于諸多報刊雜志，但是把它運用到代數方面的更少。至于研究向量法在中學數學中的應用的文章則更少。因此，本課題從在幾何和代數方面入手進行探討和研究，力求把這些方法運用到中學數學中去。
2向量法的應用
目前對向量法在中學數學中的應用涉及到四個方面：在平面幾何中的應用，在平面解析幾何中的應用，在立體幾何中的應用，在代數中的應用。2.1在平面幾何中的應用在證明某些幾何問題時，往往需要作輔助線，去證明三角形全等、相似等情況，做起來非常復雜。但是如果運用向量法這一工具，將會使問題簡單。例1[2]證明：連接三角形兩邊中點的線段，平行于第三邊且等于第三邊的一半。證明：設ABC兩邊AB，AC之中點分別為M，N（如圖1）那么：MN=AN-AM=12AC-12AB=12（AC-AB）=12BC所以MN//BC且|MN|=12|BC|這說明三角形的中位線平行于底邊且等于底邊的一半。評注：諸如此類問題很多，如證明：共點、共線、平行等問題，都可應用向量的線性關系來解決。向量的線性關系包括線性相關、線性無關、線性組合等。例2證明平行四邊形對角線的平方和等于它的各邊的平方和。分析：要證明邊與邊之間的關系，我們可運用正弦、余弦定理來證明。但是比較復雜，如果運用向量這一工具就有新的面貌出現。證明：[2]如圖2在平行四邊形OACB中設兩邊為OA=a，0B=b，對角線OC=m，BA=n那么m=a+b,n=a-b于是n2=(a-b)2=a2-2ab+b2所以m2+n2=2(a2+b2)即|m|2+|n|2=2(|a|2+|b|2)評注：向量法還可用于證明三角形的中位線交于一點，高線交于一點。從例1，例2中可以看出用向量法解平面幾何中的共點、共線、平行等問題時，向量的線性關系起著極為重要的作用。2.2在平面解析幾何中的應用例3已知：[3]拋物線y2=2px(p>0)，若有過動點M(a,0)且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A，B|AB|≤2p（1）求a的取值范圍。（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值。分析：利用兩向量共線的充要條件，a//b有且只有一個實數λ使a=λb(b≠0)解：（1）設則評注：解析幾何中有關動點、動直線、動弦、動角、動軌跡的最值問題，往往覆蓋面廣，綜合性強，解法靈活，不易掌握，這類問題常用向量法去求解或證明。從例3，可以看出利用向量知識解決解析幾何問題的基本思路是：根據題意巧構向量或把題目中有關線段看作向量，利用向量中的有關公式列出方程求解。思路清晰，方法簡潔規范。2.3在立體幾何中的應用例4[6]如圖4正方體的棱長為a，F是CC1的中點，O是下底面中心，求證：A1O平面BDF分析：要證明直線L與平面垂直，只需證明這條直線L與平面a的法向量n滿足L=λn的關系即可，其中λ為非零常數。證明：建立如圖4所示的空間直角坐標系D——XYZ則D（0，0，0），B（a，a，0），F（0，a，a/2），A（a，0，0），O（a/2，a/2，0）設n=（x，y，z）為BDF的法向量容易計算n=（1，-1，2）[1]A1O平面BDF評注：此問題還可以推廣，證明線面平行、面面平行、面面垂直的問題都可以轉化為用向量法來證明。從例4可以看出利用向量法這一工具解立體幾何問題，有利于避開立體幾何傳統解法的繁瑣的推理。從而降低思維難度，使解答過程流暢、簡潔，易于掌握。2.4在代數中的應用例5[7]求證：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ證明：如圖5，在單位圓上取兩點A、B，使∠XOA=α，∠XOB=α-β，則∠AOB=α-β所以OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ故cos（α-β）=cosαcosβ+sinsinβ評注：此題用了兩矢量的數量積。此問題還可以推廣到求兩直線的夾角。從例5可以看出用向量證明兩角和、差的余弦公式和證明不等式，可以省略許多環節，使學生也較容易理解。從以上幾個例子可以看出，利用向量知識解決中學數學中的問題的基本思路是如何科學合理的把題中的某些元素向量化，或根據題意巧構向量。利用向量法不僅可以求解或證明幾何問題，還可以求解或證明代數問題，盡管向量的概念簡單，但是我們如果細心體會，深刻挖掘，就可以發現在簡單的概念后潛藏著巨大的意義和作用，因此，當代大學生和教育一線的教師把握好向量法中學數學中的應用這一點，這有助于提高學生分析問題、解決問題的能力，培養學生的應用意識和創新精神有著十分重要的作用。
作者：王盛 單位：云南省巧家縣二中
向量平行公式范文5
一、三角函數式求值
重難點剖析化簡三角函數式，關鍵在于靈活運用公式． 化簡變形過程中一定要關注角的統一性、函數名稱的一致性，以及變形的嚴謹性． 解決求值問題，特別是解決有條件的求值問題時，應認真分析已知條件（包括隱含條件）和結論之間的結構特征，把所求的三角函數式進行適當變形，使之與已知條件的形式一致，充分發揮條件的整體功能，為整體代換創造條件，或把條件式和所求的三角函數式都進行適當變形，以便逐步架設溝通兩者的橋梁．
例1已知cosα
－+sinα=，則sinα
+的值是（）
A． －B．
C． －D．
簡析因為cosα
－+sinα=cosα+sinα=，所以sinα
+=，而sinα
+= －sinα
+=－，故選C．
點評在處理條件求值問題時，首先要觀察條件式和所求式中角的特征，再恰當地進行角的配湊，把題目中的角化成同一個角（注意整體的思想），為求出待求式的值創造條件. 三角函數的變形要遵循“統一角，統一名稱”的原則，而且常常運用“降次”“切弦互化”等基本變形技巧．
二、三角函數的簡單性質
重難點剖析三角函數的性質主要包括周期性、單調性、奇偶性、對稱性和最值，在研究三角函數的性質時，首先要把三角函數解析式變形成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，換句話說，y=Asin（ωx+φ）+B是三角函數解析式變形的方向，然后根據公式求解，并注意結合三角函數的圖象．
例2已知函數f（x）=（sinx－cosx）?sinx，x∈R，則f（x）的最小正周期是________．
簡析f（x）=sin2x－sinxcosx=－=－sin
2x+?，此時可得函數的最小正周期T==π．
點評把函數變形成y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）后，可以分別由2kπ－≤ωx+φ≤2kπ+，2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+（k∈Z）得出y的遞增區間、遞減區間；由公式T=得到周期；由公式ωx+φ=kπ+得到對稱軸．
三、圖象及圖象變換
重難點剖析由y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一段圖象求函數的表達式時，首先要正確理解三角函數的概念，一般由圖象可知周期T，再由T求出ω；要確定φ可以通過圖象最高（低）點的坐標. 由y=sinx的圖象通過變換可得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象，變換的順序通常有如下兩種：
（1）y=sinx[相位變換]y=sin（x+φ）[周期變換]y=sin（ωx+φ）[振幅變換]y=Asin（ωx+φ）；
（2）y=sinx[周期變換]y=sin（ωx）[相位變換]y=sin（ωx+φ）[振幅變換]y=Asin（ωx+φ）.
值得指出的是，若對調相位變換與周期變換的順序，則平移的單位一般是不同的． 先相位變換后周期變換，應平移φ個單位；先周期變換后相位變換，應平移個單位．
例3把函數y=sinx（x∈R）的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數是（）
簡析y=sinx[向左平移個單位]y=sinx+
[橫坐標縮短到原來的倍]y=sin
2x+，故選C．
點評一定要注意在對函數y=sin（ωx）平移變換時，需要將x前面的系數ω與x分離，即將y=sin（ωx）向右平移φ個單位所得解析式為y=sin（ω（x－φ））．
四、向量的概念及運算
重難點剖析平面向量的加法、減法、數乘和數量積及其運算律既是向量部分的基本運算，又是向量部分的核心內容． 復習時應從幾何、代數（坐標）兩方面注意定義、性質、法則、定理，熟練地進行平面向量的四種基本運算，處理好有關長度、角度、平行（包括三點共線）及垂直的問題．
例4關于平面向量a，b，c，有下列三個命題：
①若a?b=a?c，則b=c．
②若a=（1，k），b=（－2，6），a∥b，則k=－3．
③非零向量a和b滿足
，則a與a+b的夾角為60°．
其中真命題的序號為________．（寫出所有真命題的序號）
簡析①a?b=a?c⇒a?（b－c）=0，向量a與b－c垂直；
②a∥b⇒b=λa⇒=⇒k=－3；
⇒a，b，a－b構成等邊三角形，a與a+b的夾角應為30°，所以真命題只有②．
點評可以類比解析幾何中的直線平行與垂直公式來記憶向量平行與垂直的坐標公式；兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，其符號由夾角所處范圍決定，計算數量積的關鍵是正確確定兩個向量的夾角（0≤θ≤π），兩向量的始點必須重合，否則要通過平移，使兩向量的始點符合要求，在向量的數量積的運算中要注意：①a?b=0未必有a=0或b=0；②數量積不適合結合律，即（a?b）?c≠a?（b?c）；③a?b=a?c不一定能推出b=c．
五、利用向量知識解決平移問題
重難點剖析向量意義上的函數圖象平移問題的本質是前后兩個圖象的每個對應點構成的向量相同，基本方法有待定系數法和向量的幾何意義法（結合三角函數圖象的平移等知識）．
例5將y=2cos
+的圖象按向量a=
－，－2平移，則平移后所得圖象的解析式為（）
簡析解法1，由向量平移的定義，在平移前、后的圖象上任意取一對對應點P ′（x′，y′），P（x，y），a=
－，－2==（x－x′，y－y′）⇒x′=x+，y′=y+2，帶入到已知解析式中即可得到答案，選A．
解法2，由a=
－，－2平移的意義可知，先向左平移個單位，再向下平移2個單位．
點評本題主要考查向量與三角函數圖象平移的基本知識，以平移公式切入，易錯點是將向量與對應點的順序搞反了，或死記硬背成先向右平移個單位，再向下平移2個單位，誤選C. 所以了解向量意義下函數圖象的本質是正確解決這類問題的關鍵．
六、綜合性問題
重難點剖析三角和向量與函數、不等式、解析幾何、平面向量（三角函數）交匯命題是近年高考考查三角和向量的一種趨勢，重點考查三角和向量的基本知識、基本技能和基本方法. 解決向量與三角綜合問題的關鍵是用向量運算的有關法則及公式等，把問題轉化為三角函數問題．
例6在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC=3．
（Ⅰ）求cosC；
（Ⅱ）若?=，且a+b=9，求c．
簡析（Ⅰ）因為tanC=3，所以=3. 又因為sin2C+cos2C=1，解得cosC=±． 因為tanC>0，所以C是銳角， 所以cosC=．
向量平行公式范文6
關鍵詞： 向量內積 立體幾何問題 距離 夾角
距離和夾角（兩條異面直線之間的距離、點到平面的距離和異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等）是立體幾何中的計算難點，也是考試熱點.用傳統知識和方法解決這些問題，往往要對圖形做過多的分析，需要作輔助線和一些煩瑣的拼湊技巧，對學生而言不易掌握.利用向量內積知識一般可將上述的問題轉化為代數問題來解決，可避免許多繁難的圖形分析，將問題的解決程序化和公式化，易于操作，學生也容易掌握，可大大降低思維難度，提高學生的解題能力.正如張奠宙教授說的，利用向量許多幾何命題迎刃而解……比起綜合方法需要“個別處理”的技巧，它是一個“一攬子”解決的手段.
1.求點到平面的距離
立體幾何中的幾種距離：兩條異面直線之間的距離、直線與平面之間的距離、兩平行平面之間的距離等一般都可化為求點到平面的距離.在無法（或難以）判斷所引垂線的垂足位置時，利用公式
（1）（是平面法向量，P是平面外的點，O是平面內的點）求點到平面的距離，的確是解決問題的有力工具.
例1.（2010年全國高考理科數學試題江西卷20題（Ⅰ））如圖（略），BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，，求點A到平面MBC的距離.
解：幾何法需作多條輔助線，還以棱錐不同的面為底面通過求棱錐體積來求（技巧性強），找法向量較簡單.
取CD中點O，以O為原點，直線OC、OB、OM分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，則，設為平面MBC的法向量，由易求得一個代入公式（1）得所求距離
例2.（2005年全國高考文科數學試題重慶卷20題（Ⅰ））如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，E是AB上一點，PEEC，已知：求異面直線PD與EC的距離.
解：以D為原點，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，作P′C∥PD，且使 |P′C|=|PD|，則因P′C∥CE、P′C確定的平面α，D點到α的距離即為異面直線PD與EC的距離.
不難求出相關點及相關向量的坐標：設α的法向量由易求得一個又代入公式（1）得所求距離
例3.（2009年全國高考文科數學試題重慶卷18題（Ⅰ））如圖（略），在五面體，四邊形ABFE為平行四邊形，FA平面 求直線AB到平面EFCD的距離.
解：以A為原點，AB、AD、AF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，因AB∥平面EFCD，A點到平面EFCD的距離即為直線AB到平面EFCD的距離.不難求出相關點及相關向量的坐標：A（0，0，0），C設平面EFCD的法向量由易求得一個代入公式（1）得所求距離
2.求異面直線所成的角
兩條異面直線既不相交，且又有所成的角，這對初學立體幾何的學生是難以理解的.求異面直線所成的角是學生在學習立體幾何中碰到的計算度量方面的第一個難點，因為用幾何法求無現成公式可套，一般要找出（作出）所要求的角，這需要一定的技巧.利用公式
（2）求面直線所成的角較幾何法有明顯優勢.
例4.（2005年全國高考理科數學試題湖北卷20題（Ⅰ））如圖（略）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA底面，E為PD中點，求直線AC與PB所成的角的余弦值.
解：以A為原點，直線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，則，所成的角為θ，則由公式（2）得直線AC與PB所成的角的余弦值
3.求直線與平面所成的角
求直線與平面所成的角，是學生在學習立體幾何中碰到的計算度量方面的又一個難點.直線與平面所成的角的定義比異面直線所成角的定義更抽象、更難理解，首先要會作出斜線在平面上的射影，在不易找出（作出）所要求的角的情況下，應會利用公式3）（是平面法向量，∥斜線）來求.
例5.（2011年高考數學試題（全國卷）（理科·必修+選修（Ⅱ）19題）如圖（略），四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BCCD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）證明SD平面SAB；（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小.
解：AB與平面SBC所成的角不易找出（作出），用幾何法解要經過轉換求出AB上的點到平面SBC的距離（較難求），再用銳角的正弦定義求出.用公式（3）較簡單.
在證明（Ⅰ）SD平面SAB的條件下，以C為原點，直線CD、CB分別為x軸、y軸建立坐標系，則C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），由得設平面SBC的法向量由易求得一個2），代入公式（3）得所以AB與平面SBC所成的角的大小為4.求二面角的大小
二面角的大小是用它的平面角來度量的，而平面角有無窮多個（都相等），可能是高中立體幾何中學生最難理解的一個概念，但幾乎是多年來數學高考的必考題，據筆者了解所知，大部分高中數學一線教師都要求學生會利用公式 分別是兩個半平面的法向量）求二面角大小，傳統的方法逐漸被淡化，部分原因可能是為了應試，但不可否認，在實際操作上較傳統的方法的確是有明顯優勢的.
例6.（2011年全國高考（課程標準卷）數學（理科）試題18題）如圖2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD底面ABCD.若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.
解：要找出二面角A-PB-C的一個平面角顯然不易.在證明BD平面PAD后，以D為原點，直線DA、DC、DP分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，則分別為平面PAB、平面PBC的法向量，由易得代入公式（4）得由圖知（圖略），所求的角是鈍角，所以二面角A-PB-C的余弦值是
由上面分析和實例可知，利用向量內積知識解決立體幾何中的難點問題的優勢，是傳統知識和方法無法代替的，更主要的是通過對向量內積知識的學習和應用，對培養學生的思維品質和數學能力是大有裨益的.一線教師在教學中應對這部分知識給予足夠的重視.要讓學生掌握向量的思想方法，并且借助于向量，應用聯想的觀點，運動的觀點，審視的觀點，進行縱橫聯系，廣泛聯想，將幾何、代數、三角函數等數學知識、數學方法進行合理重組和整合，體驗向量法解（證）題的簡單美和結構美及數學價值，激發學生的學習積極性，對學生進一步學習空間解析幾何等高等數學也很有必要.
參考文獻：
