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初中幾何范文1
【關鍵詞】平面幾何 數學教學
小學生和初中生學習內容變化很大，數學思想也迥然有異。所以，在教學中，我們可以利用中小學幾何知識的銜接點，首先做好知識重復部分的復習教學，如角、線段、射線、直線等概念。而對于知識應加深部分可以采用直觀教學并通過練習強化訓練，如線段的和、差部分及表示法，角的畫法，角的和差部分等。新知識部分作為教學重點進行重點教學，如角的旋轉定義，平行線的性質、判定等。
二、加強直觀教學
1.注意結合學生的生活經驗和日常實際例子，通過觀察、實驗，使學生在獲得一定的感性認識的基礎上，再提高學生的理性認識。例如：在教學“角”的概念之前，我們可以先引導學生觀察圓規張開的兩腳所形成的圖形，總結出“角”的基本屬性：兩條射線，具有公共的端點，得出“角”的第一個定義，而在“角”的另一種定義之前，則指導學生撥動手表上的時針、分針，將圓規的兩腳又開又合，使學生觀察當兩針(或腳)合在一起時的直觀現象是射線，當旋轉時則由一條射線變成兩條射線，總結出“角”的第二個定義，這樣比單獨的概念教學效果要好得多。
2.充分利用直觀教具。教具的直觀性有助于啟發學生觀察圖形之間的關系，提高想象力。例如：在教學“對頂角和垂線”這個內容時，可以用兩條相交直線模型進行演示(模型是用兩根直的木條釘在一起做成的)，通過轉動其中一根木條，根據它們交角的大小關系，兩條直線相交的不同情況，并結合模型向學生講清對頂角、垂線的定義、性質。由于教具制作簡單，可以節省很多教學時間。同時，這些直觀教具非常利于學生觀察，學生很感興趣，加深了他們對概念的理解。
三、加強幾何語言的教學
1.強調讀書的重要性。學生認真閱讀教材，讓學生進一步模仿課本上的敘述語言，可以使學生逐漸領會和掌握幾何語言，并更好地利用幾何語言進行表述和交流。
2.循序漸進，分步進行幾何語言的訓練。第一步以描述性文字語言訓練為主，結合圖形的表示法進行簡單的符號語言訓練；第二步以符號語言訓練為主，文字語言改為符號語言的練習中，滲透推理語言的訓練。
3.師生共同活動，由圖形到語言加強訓練。在教學過程中，教師是主導，學生是主體，師生配合是教學成功的關鍵。所以，在數學教學活動中，教師和學生要共同參與教學活動，創設愉悅、寬松、合作、和諧的課堂教學情境。例如：教學“作一條線段等于已知兩線段的和或差”這個內容時，教師在課堂上用尺規作圖，學生寫出作法；反過來則可以讓學生作圖，教師口述作法。如此反復訓練，就會熟能生巧，對正確使用幾何語言很有幫助。
4.強化符號語言訓練，使學生明確幾何關系。符號語言是利用符號來表達幾何關系的，它是數學教學中數形結合的關鍵，幾何圖形與符號語言的結合又是推理的基礎，所以在講述有關概念時，務必要突出符號語言。
四、培養學生的識圖能力
幾何研究的對象是圖形及圖形之間的關系，識圖是學習幾何的基本功之一，因而，培養和提高學生識圖能力是學好幾何課的關鍵。所以，我們要結合教材，緊扣基本概念，指導學生多觀察生活現象，從生活現象中尋找幾何圖形的運用特例，再結合幾何原理進行分析、比較，加深學生對圖形及其結構的認識。從特殊到一般，在變化中找規律，在變中掌握不變，以不斷提高學生的識圖能力。這樣既有助于學生抽象思維能力的培養，又能加深學生對概念的理解和掌握。
五、培養學生的邏輯思維能力
初中幾何范文2
【關鍵詞】銜接 幾何語言 數學技能 數學能力
幾何教學，歷來為數學教師所關注，它不僅關系到學生幾何入門的問題，也關系到學生數學能力與技能的形成。筆者根據十幾年的教學經驗，認為幾何教學應強調以下幾點。
一、重視與小學銜接
初中數學與小學數學聯系緊密。一方面初中幾何是小學數學的推廣、擴展。許多內容直接源于小學;另一方面，初中幾何的許多內容的引入，公理、定理、性質的導出多從小學教學相關知識歸納類比，抽象概括而成。教學中充分注意與小學的銜接，對于學生掌握新知識，形成能力是十分關鍵的。
初中幾何入門歷來是難關，但與小學的銜接恰到好處會使許多內容讓學生很順利地接受，如線段、角這部分內容的教學一定要注意發揮小學的作用，因這一部分知識與小學聯系密切，如直線，角等。因此，分析小學數學與初中數學相應內容的聯系是必要的，但比較兩者的區別則更為重要。教學中必須通過分析與小學相關的聯系，在聯系中發現沖突，進而引入初中內容;同時還要注意比較二者的區別。這樣才能真正有利于初中內容的學習，而且可以避免許多錯誤產生。
在幾何教學中，講清小學數學與初中幾何的聯系和區別有助于幾何入門階段教學，盡管許多概念、圖形學生在小學數學中已經見到，有利于建立聯系。但小學數學與初中幾何有著很大的區別：①小學以計算圖形的長度、面積、體積為重;初中則偏重判斷、推理。②小學幾何沒有符號語言;初中大量使用符號語言。③小學研究線段、角度的和、差、倍、分，是從數量上討論的;初中則是從形的角度研究它們。
二、重視幾何語言的教學
幾何教學，不僅要培養學生的抽象能力，還要培養形象思維能力，在結合圖形形成概念時，也要有空間想象力的參與。用符號、字母表示幾何圖形，是幾何教學中必不可少的，這些符號、字母的表示就是通常所說的幾何語言。教材中的很多概念、公理、定理、性質并沒有全部形成一定的幾何語言，為此，教師在教學中，應根據情況，引導學生形成一定的幾何語言，掌握相應的表達式，以便達到推理論證。
三、重視數學技能的訓練
數學技能是數學學習過程中，通過訓練而形成的一種動作或心智的活動方式。數學技能可分為心智活動技能和動作技能。這兩種數學技能既有聯系又有區別。一方面，心智活動技能的形成與動作技能有關;另一方面，動作技能又受心智活動技能的控制。
對于技能的培養，應以知識的理解為前提，知識的理解并不等于技能的形成，它必須通過練習才能獲得。并且在技能形成后，將十分有利于后面知識的學習。成為以后學習不可缺少的條件。例如，若沒有形成整式運算的技能，那么必將阻礙分式等知識的學習。
對于技能的培養，應認識到它是一個從“會”到“熟”的過程，其間要通過有目的、有計劃的練習，才能完成這一轉變。
首先，應對形成什么技能及其意義有明確的認識，對所需知識要清楚理解，這樣才能產生學習的主動性與積極性。
其次待學生明白“算理”后就可以逐步縮短思維過程，把活動連貫協調起來，使有些中間過程省略。
對于技能的培養，要及時矯正，及時總結，達到“熟能生巧”。由于數學技能的學習過程是一步接一步的，一步出差，將影響后繼學習，及時糾正，認真總結，能幫助學生正確、迅速地掌握有關數學技能。造成目前有些學生推理不真、計算不準、表達不清、作圖不規的現象，究其原因，一是學生普通輕視數學技能的形成;二是技能的規范程度不高。要解決此類問題，教師的平時教學就應加強技能培養。
四、重視數學能力的培養
數學能力是順利完成數學活動所必要的心理條件。數學能力與教學活動緊密聯系，它是在數學活動過程中形成和發展起來的比較穩定的心理特征。數學能力應著力培養三大能力：①認知能力，學會吸收營養。②實踐應用能力，學會解決試題。③創新能力，會提出問題。在數學教學中，要做到知識的傳授與能力的培養協同發展。
首先，要加強基礎知識的教學，為發展能力打下堅實的基礎。由于知識的形成和發展具有互生性，為此，教師在傳授知識時，必須從橫縱兩個方面教學，“橫”指知識內在的異同，“縱”指知識之間的內在聯系。
學生對知識的獲得，離不開異同的比較，也離不開清脈絡、找聯系，使各個知識納入整個學科體系中，達到條件化、系統化，這樣方能為我所用。為此教師在課前要全面考慮、精心設計，不只從知識體系來考慮，還要考慮到如何組織安排才有利于能力的培養。
其次，改變教學方法，培養實踐能力。教學中，要善于啟發學生，廢除向學生通過自己的觀察、演算、探索、思考甚至自己去實驗，去找有關問題的答案，從而獲得知識。教給學生如何將知識歸類，尋找規律;教給學生思維的方法、審查問題和解決問題的方法;教給學生對概念、原理、法則、公式理解與應用的規律;教給學生自己判斷答案是否正確;教給學生探究問題，發現問題的方法等等，讓學生學會自己解決問題。
五、和學生進行情感交流，激發學生的學習興趣
老師要熱愛自己的學生，多與學生進行交流，了解他們的內心世界，交流對幾何學習的想法，做學生的知心朋友，使學生對老師有較強的信任感，樹立學好平面幾何的信心，那樣學生自然而然地從害怕學習幾何知識過渡到喜愛學習幾何知識。
初中幾何范文3
（一）對基礎知識的掌握一定要牢固，在這個基礎上我們才能談如何學好的問題。例如我們在證明相似的時候，如果利用兩邊對應成比例及其夾角相等的方法時，必須注意所找的角是兩邊的夾角，而不能是其它角。在回答圓的對稱軸時不能說是它的直徑，而必須說是直徑所在的直線。像這樣的細節我們必須在平時就要引起足夠的重視并且牢固掌握，只有這樣才是學好幾何的基礎。
（二）善于歸納總結，熟悉常見的特征圖形。舉個例子，如圖，已知A，B，C三點共線，分別以AB，BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE，如果再沒有其他附加條件，那么你能從這個圖形中找到哪些結論？
如果我們通過很多習題能夠總結出：一般情況下題目中如果有兩個有公共頂點的等邊三角形就必然會出現一對旋轉式的全等三角形的結論，這樣我們很容易得出ABE≌DBC，在這對全等三角形的基礎上我們還會得出EMB≌CNB，MBN是等邊三角形，MN∥AC等主要結論，這些結論也會成為解決其它問題的橋梁。在幾何的學習中這樣典型的圖形很多，要善于總結。
（三）熟悉解題的常見著眼點，常用輔助線作法，把大問題細化成各個小問題，從而各個擊破，解決問題。
在我們對一個問題還沒有切實的解決方法時，要善于捕捉可能會幫助你解決問題的著眼點。例如，在一個非直角三角形中出現了特殊的角，那你應該馬上想到作垂直構造直角三角形。因為特殊角只有在特殊形中才會發揮作用。再比如，在圓中出現了直徑，馬上就應該想到連出90°的圓周角。遇到梯形的計算或者證明問題時，首先我們心里必須清楚遇到梯形問題都有哪些輔助線可作，然后再具體問題具體分析。舉個例子說，如果題目中說到梯形的腰的中點，你想到了什么？你必須想到以下幾條，第一你必須想到梯形的中位線定理。第二你必須想到可以過一腰的中點平移另一腰。第三你必須想到可以連接一個頂點和腰的中點然后延長去構造全等三角形。只有這幾種可能用到的輔助線爛熟于心，我們才能很好的解決問題。其實很多時候我們只要抓住這些常見的著眼點，試著去作了，那么問題也就迎刃而解了。另外只要我們想到了，一定要肯于去嘗試，只有你去做了才可能成功。
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[關鍵詞]初中數學;平移;運用;證明
平移是將幾何圖形中的各頂點沿它們所在的一組平行線向同一方向移動相同的距離，這種幾何變換的方法叫平移變換。平移變換有如下性質：平移后的圖形與原來圖形連結對應點的線段平行（或在同一條直線上）且相等;對應線段平行（或在同一條直線上）且相等;對應角相等;圖形的形狀與大小都沒有發生變化。平移變換只改變圖形的位置，而不改變圖形的大小和特征，但是它可以將線段和角平移到一個新的位置，從而把比較分散的已知條件集中到一起，使問題得以解決。平移包括以下三個方面的應用：第一，集中分散的條件;第二，將復雜圖形變得簡單明了;第三，轉換題目的形式。下面筆者通過具體的例題來說明平移思想在初中數學中的運用。
一、平移在三角形相關題目運算和證明中的運用
1.利用平移證明角之間的關系
例：已知三角形ABC，利用平移說明∠A+∠B+∠C=180°。
分析：如圖，將AB平移到CD，并將BC延長，得到∠B=∠DCE，∠A=∠ACD，即∠A+∠B+∠C=∠ACD+∠DCE+∠ACB=180°。
2.利用平移求三角形邊長
例：如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯的表面鋪地毯，地毯的長度至少需要多少米？
分析：由勾股定理可知AC= =4m，將樓梯平行于BC的邊都平移到BC上，平行于AC的邊都平移到AC上，因此地毯的長度等于AC+BC=7米。
二、平移在梯形相關題目運算和證明中的運用
初中階段在學習與梯形有關的幾何證明和運算中，平移思想的運用幾乎涵蓋了大半題型，因此這也成為我們在講授與梯形有關內容時必須重視的地方。
1.平移一腰或兩腰
平移一腰或兩腰時，注意把握以下要領：平移一腰，使之經過梯形的另一個頂點或另一條腰的中點;或者同時移動兩腰使它們交于一點。
例：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD<BC，E、F分別為AD、BC的中點，且EFBC。求證：∠B=∠C。
分析：過點E分別作EH∥AB、EG∥CD，分別交BC于H、G。
由于EH∥AB、AD∥BC，從而四邊形ABHE是平行四邊形，同理可得四邊形CDEG是平行四邊形，再利用線段垂直平分線的性質得到EH=EG，推導得出四邊形ABCD是等腰梯形，故∠B=∠C。
題目需要證明的幾條線段是分散的，通過平移變換可以將AB、EF、DC集中到一起。此時，各個條件都能很好地得以應用。
2.平移對角線
平移一條對角線，使之經過梯形的另一個頂點，構造平行四邊形，利用有關平行線的性質解決問題。
三、利用平移求面積
由于圖形的平移不改變圖形的形狀和大小，因此在求一些圖形的面積時，利用圖形的平移可以巧妙地將這些原本很難直接解決的數學問題變得簡單。
例：如圖a，在一個長方形的草坪上有兩條等寬且互相垂直的長方形小路（長度單位：m），那么草坪的面積為 m2。
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一、初中幾何題的常見的解題方法
初中的幾何題中，其實常見的題型并不多，證明題是最常見的。而證明題中，又以線段或角的一些關系的證明最為常見。對線段關系的證明通常包括相等及其和差關系的證明。其中，相等關系的證明是學生應該掌握的，對線段相等關系的證明，在思路與方法上常用的包括“三角形全等”“比例線段”以及“等角對等邊”和對中間量的過渡進行選取等。對常見技巧進行掌握，能有效提高學生的解題效率。
二、初中幾何題常見的解題思路
1.學會作輔助線
在對初中幾何題進行解題的過程中，除了要掌握常用的解題方法與規律外，還要對輔助線的添加與使用加以關注。在初中幾何題中，當直接解題出現障礙時，添加輔助線是常見的解題技巧，往往會讓人產生一種“柳暗花明又一村”的感覺。掌握常見的技巧，能有效提高學生的解題效率。下面通過一道例題進行詳細分析幾何證明題的解題方法及技巧。如下圖所示，已知：在ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=DB，AE=CF，求證：DE=DF.
分析：通過上述條件可以得知ABC是等腰直角三角形，其中∠A=∠B=45°，所以根據定理可知，D是AB的中點，連接CD，從而可以得到CD=AD，∠DCF=45°，從而可以發現DCF≌DAE.
證明：連接CD.
由AC=BC，得∠A=∠B.又因為∠ACB=90°，所以CD=BD=AD，∠DCB=∠A=∠B.又AE=CF，所以∠A=∠DCB，AD=CD，所以ADE≌CDF，所以DE=DF.
學生要注意對輔助線的添加方法進行總結。如針對等腰三角形的“三線合一”的性質，學生就應該了解到要作的輔助線比較常用的是中線或頂角的平分線；而對直角三角形來說，要注意斜邊上的中線是其常用的輔助線，尤其是斜邊上出現中點時；對梯形來說，通過平移一腰或對角線，或用作高的方法把它轉化成平行四邊形或者三角形是常用的技巧。
2.注重教材中的邏輯成分
在解幾何題時，首要的是具有邏輯思維能力。而要更好地培養其邏輯思維能力，主要的途徑是在教學中讓學生在推理論證過程中對邏輯方面的知識進行應用，以此來提高學生的抽象概括、分析綜合以及推理證明的能力。在初中教學中，有很多地方都運用了邏輯方面的知識。如某公路MN和公路PQ在P點交匯，并且兩條公路構成的∠QPN=30°，而在點A處有一所學校，并且AP之間的長度為160m，如果一輛噪聲較大的汽車行駛時，周圍100m以內將會受到影響，如果這輛汽車在公路MN上沿著PN方向進行行駛，問學校是否會受到噪聲的影響，已知這輛汽車的行駛速度為18km/h，如果學校受到影響，則受到影響的時間為多少？
分析：通過題目可以得知，此題為圓和直角三角形綜合應用題，如果想要判斷學校是否受到影響，則只需要得出A到MN距離就能夠得出，對于影響的時間為多久，則只需要求出影響路段的長度就能夠得出。
解：過A點作ABMN，垂足為B，在RtABP中，∠APB=∠QPN=30°，AP=160，則AB=AP=80，由此可以得出學校會受到影響。
以A為圓心，以100m為半徑可以作出圓A交與MN與C、D兩點。AC=100，AB=80，則BC=60.所以可以得出，CD=2BC=60，并且有已知條件知，18km/h=5m/s，所以可以得知學校受到的影響時間為24s.通過對身邊的一些事情，運用數學問題進行解決，不僅能夠提高學生的理解能力，而且對激發學生對數學的學習興趣也具有重要的作用。
3.加強平面幾何與立體幾何的學習
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關鍵詞： 解題能力 幾何題 培養方法
一道初中幾何題不但考查基礎知識點，還考查數學思想、方法，考查學生的解題能力。教學中發現許多學生學習幾何問題用的時間很多，做的題目也很多，但是收到的效果卻不理想，究其原因是他們總是就題論題，費時費力，事倍功半，顯示出學生解題能力低下，因此教師在初中生解幾何題能力方面需要加強培養，根據教學大綱要求，以及觀察初中生解幾何題時的意識、習慣等，筆者淺談初中生解幾何題能力培養方法：
一、審題
審題要求初中生做什么？怎么做？一道幾何題總有若干已知條件和待求解結論，通常還配備幾何圖形，于是，在審題過程中教師應該引導學生做到以下幾點：第一，從題干條件中抓住概念、性質，讀懂題中線段、角的有關數據及各種位置關系、數量關系，關注特殊的點、直線、射線等，結合圖形與題目條件結論進行觀察對照，使題意與圖形在學生印象中正確對應統一。第二，從已有概念、性質進行基本相關聯想，明晰已有線段、角的位置關系和數量關系，將已知條件和待求結論結合，從復雜圖形中分解出基礎幾何圖形，必要時根據題意重新畫圖幫助理解。第三，有些幾何題有許多后續小題，不同小題之間除了原主題干條件相同，前提條件未必相同;相同題干條件下的前面小題的結論又可以作為后續小題的條件。第四，遇上復雜題目，為把握命題者意圖，學生應該將題目多讀幾次，最好逐字逐句分析題意，抓住關鍵字詞深入思考，挖掘隱含條件，為后續解題思路探究鋪平道路，避免“滑過現象”，不可由于審題不認真、不完整導致解題不嚴謹，甚至無從下手。
例1（江西省2016）22.（圖形定義）：如圖，將正n邊形繞點A順時針旋轉60°后，發現旋轉前后兩圖形有另一交點O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”;再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后，交旋轉前的圖形于點P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，AOP為“疊弦三角形”.
探究證明：
（1）請在圖1和圖2中選擇其中一個證明：“疊弦三角形”（即AOP）是等邊三角形;
（2）如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′.
歸納猜想：
（3）圖1、圖2中“疊弦角”的度數分別為____________________________，__________________________;
（4）圖n中，“疊弦三角形”__________________________等邊三角形（填“是”或“不是”）;
（5）圖n中，“疊弦角”的度數為__________________________（用含n的式子表示）.
粗略地看，題目條件涉及“疊弦”、“疊弦角”、“疊弦三角形”三個新概念，其實際是舊知識，由“將正n邊形繞點A順時針旋轉60°后，發現旋轉前后兩圖形有另一交點O，連接AO”可以在圖形中，找出旋轉前后兩圖形的相對位置，由旋轉性質及正n邊形的各邊相等、各角相等且等于（n-2）×180°÷n，在圖1中明確AD=AD′，∠D=∠D′=90°，由旋轉60°知道各對應點與旋轉中心連線所成角為60°，對應點與旋轉中心的連線段相等，在圖1中明確∠DAD′=60°。根據“再將‘疊弦’AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后，交旋轉前的圖形于點P，連接PO”這個條件，學生容易忽視“AO所在的直線”，從而簡單認為點P與點O是對應點，輕易得出AP=AO，這就是典型的“滑過現象”，目前只有∠OAP=60°是明了的，而AP=AO是否相等憑直覺成立，但需要嚴格推理驗證，由此可見，本題很考驗學生思維的嚴謹性。條件“AOP為‘疊弦三角形’”考查學生理解其產生過程及識圖能力。從第（1）問中，學生應能聯想起等邊三角形的判定定理。第（2）問證角相等，學生除了識別角的位置，認識到角與相關元素的位置及數量關系，及第（1）、（2）問是相同題干，第（1）問中的所有結論可作為第（2）問的前提條件。第（3）問求角度，（1）、（2）、（3）三問發現都涉及圖2，由此，也可以考慮首選圖2解決問題，那么圖1、3、4應當是為幫助理解第（4）、（5）的幾何題規律，便于歸納總結規律而增加的從簡單到復雜、從特殊到一般的圖例。這樣，學生就把握了題意，為探究幾何題的解題思路奠定了堅實的基礎。
二、探路
學生在分析題意，探尋解題思路的過程中應該做些什么？怎么做？筆者認為幾何題以題型而論，可謂種類繁多，幾何題的解題思路需要學生多次探尋，往往也是柳暗花明、精彩紛呈，但多數幾何題的求解或求證，其思路不外乎建立題目已知條件（甚至隱含條件）與所求結論之間的內在聯系，因此，如何將它們聯系起來，是確定解題思路的關鍵。有些幾何題相對簡單，只要根據概念、性質等知識分析其已有條件，就可以很快與結論聯系起來，另有些題目，需要學生將條件與條件結合推理，產生的結論結合其他條件再推理，同時將所求結論不斷轉化，使條件推導得出的結論不斷向所求結論靠攏，所求結論的轉化不斷向已有結論逼近，直至它們在某個點上聯系起來，從而確立解題思路。這就要求學生熟練掌握基礎幾何圖形的概念，性質，并且很清楚它們對應的結論。當解題思路受阻時，用所學知識將條件、結論進行等價轉化，并在某個知識點上“連接起來”，從而打開解題的思維通道，明確解題的思考方向，契合“數學問題一般都是運用學過的知識加以解決”的轉化思想。
例1的思路分析：第（1）問是判定“疊弦三角形”（即AOP）是等邊三角形，結合已知∠OAP=60°，聯想到等邊三角形判定定理“有一個60°角的等腰三角形是等邊三角形”，接著會想到的是AOP的哪兩條邊相等？結合“AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后得到線段AP”，會聯想到AO=AP，但是這兩條線段不能直接相等，需要嚴格證明，以圖1為例，旋轉∠DAD′=∠OAP=60°，得到∠DAP=∠D′AO，四邊形ABCD是正四邊形，可知AD=AD′，∠D=∠D′=90°，兩者結合得APD≌AOD′（ASA），到此已經將題目條件與所求證結論聯系起來，問題得解。第（2）問求證：∠OAB=∠OAE′結合題目已知與第（1）問中的結論，容易有兩種常見等價轉化：①證∠OAB=∠EAP，②證AOB≌AOE′。思路（一）：第①思路結合已有圖形易聯系起來轉化求證AOB≌APE，結合已有直接證明顯得困難，但由第（1）問易得APE≌AOE′，兩者合并到思路②，分析已有條件，發現欠缺OB=OE′，觀察OB、OE′是邊BC，D′E′的一部分，且BC=D′E′，于是問題再次轉化為求證OC=OD′，又會有兩個方向：。┤等三角形對應邊相等，）等角對等邊，先探索。，連接AC、AD′，構造出AOC和AOD′，卻依然沒有全等的足夠條件，但可發現對角線AC=AD′，思路到此告一段落，接著探索思路），必須連接CD′，要直接得到∠OCD′=∠OD′C，那是困難的，此時結合思路。┮延械AC=AD′，可以得到∠ACD′=∠AD′C，于是只需∠ACO=∠AD′O，由直覺可以發現只需ACB≌AE′D′，到此，已知條件與所求證結論在ACB≌AE′D′這個點上建立了聯系，整個解題思路連貫起來，問題得證。思路（二）：第①思路結合已有圖形易聯系起來轉化求證AOB≌APE，直接證明欠缺條件，轉而考慮∠PAE=∠OAB亦可，結合圖形易感覺AOB和APE存在軸對稱，這就意味著可以在這兩個三角形周邊構造全等三角形，解題策略的通法是將題目中分散的條件集中起來，作AMDE于M，作ANCB于N.得到RtAEM和RtABN，以及RtAPM和RtAON，結合以上條件易證這兩對三角形分別全等，推出∠EAM=∠BAN及∠PAM=∠OAN，得證∠PAE=∠OAB，從而解題思路貫通。第（3）問求角的大小，只需結合以上結論與多邊形內角和定理，就可以解決問題。第（4）問可用歸納法，也可以參照以上證法證明之。第（5）問同理第（4）問。
三、書寫
在學生經過認真審題、確定解題思路后，接著就是按照規范的解題格式進行書寫。學生在書寫解答過程中存在字跡潦草、審題不認真、思維混亂、說理無據、思路不清晰、推理不嚴密、解后不檢查等現象，由此可見，教師培養學生規范的書寫解幾何題格式很必要，書寫解答過程要做到表達清楚，層次分明，結論明確，論據充分，目的明確，說服有力，說理有據，做到嚴謹、嚴密、滴水不漏、環環相扣、無懈可擊。第一，教師應該重視培養學生關于文字語言、符號語言、圖形語言三者之間轉化的能力，該能力是準確讀懂題目、圖形，造成對條件、結論、圖形的正確識別、理解、轉換、組織、表達的必備條件，教師在學生探究幾何基礎知識點時，有意識地將一個知識點作為幾何模型讓學生清楚把握結構，將每一個幾何模型中的三種語言之間的轉換做到滾瓜爛熟的地步。第二，要求學生用嚴格的格式、準確數學語言書寫解答過程，教師檢查學生的解題過程，反饋檢查結果，學生及時總結錯誤并訂正，理清書寫要點，歸納解題步驟及注意事項。書寫解題過程是學生理解題意，表達思維過程的外在表現形式，書寫的過程更是學生思維提煉、升華的過程，理解事物本質、抽象概括的過程，是積累研究問題的方法和經驗的重要途徑，因此，應當加強訓練。
例1解：（1）如圖1四邊形ABCD是正方形，
由旋轉知：AD=AD′，∠D=∠D′=90°，∠DAD′=∠OAP=60°
∠DAP=∠D′AO，
APD≌AOD′（ASA）
AP=AO，又∠OAP=60°，AOP是等邊三角形.
（2）法（一）：如右圖1，連接AC，AD′，CD′，
AE′=AB，∠B=∠E′=108°，E′D′=BC，
ABC≌AE′D′，AC=AD′，∠ACB=∠AD′E′，
∠AD′C=∠ACD′，∠OD′C=∠OCD′，OC=OD′，
BC-OC=E′D′-OD′，即OB=OE′，
AB=AE′，∠B=∠E′，AOB≌AOE′，∠OAB=∠OAE′.
法（二）：如右圖2，作AMDE于M，作ANCB于N.
五邊形ABCDE是正五邊形，
由旋轉知：AE=AE′，∠E=∠E′=108°，
∠EAE′=∠OAP=60°
∠EAP=∠E′AO，
APE≌AOE′（ASA）
∠OAE′=∠PAE.
在RtAEM和RtABN中，
∠M=∠N=90°∠AEM=∠ABN=72°AE=AB
RtAEM≌RtABN（AAS）
∠EAM=∠BAN，AM=AN.
在RtAPM和RtAON中，AP=AOAM=AN
RtAPM≌RtAON（HL）.
∠PAM=∠OAN，
∠PAE=∠OAB，
∠OAE′=∠OAB（等量代換）.
（3）15°，24°
（4）是
（5）∠OAB=[（n-2）×180°÷n-60°]÷2=60°-180°/n
四、反思
數學教育家弗賴登塔爾指出：反思是數學活動的核心和動力。學生在解決一道幾何題后應該反思什么？教師應引導學生從題目涉及的知識點、題型結構、類型、條件與結論的關系、題目考察的能力、數學思想方法、解題思路的探索、解法的多樣性、書寫格式的規范性等角度進行反思。如對例1可做如下反思：本題是綜合性較強的一道中考題，涉及的知識點有正n邊形的概念、性質，旋轉的概念、性質，全等三角形的判定、性質，等腰三角形的判定、性質，多邊形內角和公式等。本題屬于探究型幾何題，題干條件復雜抽象，文字繁多，不易理解，條件容易被忽視，使得推理不嚴密，條件與結論看似容易聯系，其實隱含的聯系方式卻相當難找，由此可見本題考查學生文字語言、符號語言、圖形語言三者之間的轉換能力，識圖能力，認真審題習慣，嚴密推理的邏輯思維能力，合情推理能力，觀察分析解決問題能力等。本題主要考查學生轉化思想，從特殊到一般的思想，體現在將所求解（或求證）結論的等價轉化，從正四邊形、正五邊形等一直到正n邊形的求角的大小，同時以上思想就是本題的破解策略，通過條件、結論的各自轉化，最終在某個知識點上建立聯系，從而使解題思路得以貫通?？赡艹鲇谥锌歼@種限時考察全科的因素，本題書寫規范要求相對降低，如后三個小題以填空形式出現，但學生在平時此類型題目的求解訓練過程中，可以考慮書寫，用于訓練學生的嚴格書寫格式盡量簡化書寫內容，同時培養學生縝密的邏輯推理能力。本題拓展了解法，兩法值得學生借鑒。在本題解答過程中，學生還可能將“圖n”中的n理解為正多邊形的變數，從而產生錯解，因此學生應注意數字與圖形的對應關系。進行解后反思有助于學生積累經驗，鞏固所學知識點，幫助學生總結解題規律，優化解法，達到事半功倍的效果，在已有的基礎上突破、延伸、創新，以應對未知的難題。
最后，教師不可能只利用極少數例子和練習培養學生的解題能力，教師應當為學生提供足夠多的數學問題，使學生視野得以開闊，數學問題的解決過程充滿豐富多彩的觀察、嘗試、歸納、概括的思維活動，在數學學習過程中以問題為載體，感悟數學思維，積累數學活動經驗，提升數學素養，發展學生的數學思維能力，通過數學問題的解決，學生獲取知識的同時，提高解決問題的能力。
