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定義與命題范文1
關鍵詞：說明 下定義 作詮釋 內容 格式 語言
說明文是與記敘文、議論文并列的三大文體之一，也是中學階段重點學習的文體之一，理應受到足夠的重視。下定義和作詮釋是說明類文章中常見的說明方法，可以說不了解這兩種說明方法，就無法學好說明文。但是下定義和作詮釋又偏偏有不少相似之處，所以在閱讀與寫作中常常有人會把它們認錯或用錯。因此，教學中，應認真仔細地加以區別，以幫助學生切實辨別下定義與作詮釋。
所謂下定義，就是用簡短明確的語句揭示出概念的內涵，即揭示概念所反映的對象的特點或本質的一種邏輯方法。所謂作詮釋，就是從一個側面就概念的某一個特點做些解釋，對事物或事理的某些性質和特點進行適當解說。要區別這兩種說明方法，具體說來可以從以下三個方面入手。
一.從內容上區別。下定義是一種嚴謹的說明方法，它必須對概念的全部內涵加以揭示，以保障讀者對該概念有個完整準確的把握；而作詮釋則是一種相對靈活的說明方法，它一般只是揭示概念的部分內涵，讓讀者對該概念有個基本的初步的了解即可。如《打開知識寶庫的鑰匙――書目》中對“書目”這個概念，進行了這樣的說明：“書目是一種記錄書名著者出版和收藏情況、按照一定的順序編排、供人們查找的工具書?！边@段話從內容、編排方式、用途和性質四方面對書目的全部內涵作了揭示，非常嚴謹全面，用的是下定義的方法，讀者根據這個定義對“書目”有了完整準確的認識。如果只需對書目部分內涵加以揭示，那就可以從許多方面去說明，如可以說“書目是一種工具書”，還可以說“書目是用以記錄書名著者出版和收藏情況的”等等，這都只是作詮釋，讓讀者從某個方面去了解“書目”這個概念。
二.從格式上區別。下定義比較嚴格固定，作詮釋比較靈活隨意。下定義常用的格式是“甲是（什么樣的）乙”。其中“甲”是被定義的種概念，“乙”則是能包容“甲”這一類事物的一個屬概念，包括種差和鄰近屬概念。所謂“種差”是指同一屬概念下的種概念所獨有的屬性。所謂“鄰近屬概念”是指包含被定義者的最小的屬概念。例如，民歌是直接表現勞動人民思想感情和要求愿望的、勞動人民創作的詩歌。在這個定義中，“詩歌”是鄰近屬概念?！爸苯颖憩F勞動人民思想感情和要求愿望的、勞動人民創作的”是民歌和其他詩歌的本質差別，即種差。再如“書目（甲）是（什么樣）的工具書（乙）”，“泥石流（甲）是（什么樣的）流動漿體（乙）”。要使“是”的前后對等，“乙”前一定要有限制性語言，以揭示甲的特征，將甲與其他同屬乙的事物區別開。如前文對“書目”下定義，一定要指出“書目”是什么樣的工具書。作詮釋，則沒有這么嚴格的格式要求，它只是根據寫文章的需要，對概念某一方面的特征進行說明即可，至于句式特點因文而異，機動靈活。這里需要注意的是，定義不能比喻，雖然比喻也 構成了“甲是（什么樣的）乙”的格式。因為定義應該提示概念的內涵，用比喻涌過到這個目的。如“書目就是打開知識寶庫的鑰匙”“知識就是力量”“教師是人類靈魂的工程師”等等，雖然都構成了下定義的格式，而且很形象，但“鑰匙”“力量”“工程師”都是喻體，而不是鄰近屬概念，不能反映被定義概念的本質，因此不屬于下定義。
三.從語言上區別。下定義必須簡練概括，作詮釋可以詳細具體。有時根據需要，在作詮釋時也可能涉及概念的全部內涵，但其語言表述一定比下定義詳盡、通俗，如《一次大型的泥石流》中對“泥石流”作詮釋：“在一些山區的溝谷中，由于地表徑流對山坡和溝床不斷地沖蝕掏挖，山體常常崩塌滑坡，塌滑下來的大量的泥沙石塊等固體物質被水流挾帶攪拌，變成粘稠的漿體，在重力和慣性的作用下急速奔瀉。這就是人們常說的泥石流。”這里用了96個字，如若改用下定義法，只用40多字就夠了。
定義與命題范文2
邏輯學是研究思維形式結構及其規律的科學，它的一個重要特點就是邏輯嚴密、表述嚴謹。但是，在當前的部分邏輯學教材中，個別定義表述不準確，影響了邏輯學教材的科學性和嚴謹性，引起學生理解上的混亂，使其無所適從。
一、假言推理的相關定義
1．假言推理。李小克的《普通邏輯學教程》認為:“假言推理是以假言判斷為前提的推理。”［1］但其列舉的推理形式有:(P→Q)∧P)→Q，(P→Q)∧Q)→P等等。這些推理的前提中或者有性質命題，或者有性質命題的負命題。所以，該定義是不準確的，定義項的外延小于被定義項的外延，犯了“定義過窄”的邏輯錯誤。上海人民出版社出版的《普通邏輯》是國內較早的具有權威性的邏輯學教材之一?！镀胀ㄟ壿嫛氛J為，“假言推理是前提中有一個為假言命題，并且根據假言命題前、后件之間的關系而推出結論的推理……假言推理也可以分為三種，即充分條件假言推理、必要條件假言推理與充分必要條件假言推理”［2］。較多的邏輯學教材采用了類似的定義，比如說，陳樹文的《邏輯學基本原理》認為，“假言推理是前提中有一個是假言判斷，并且根據假言判斷前后件之間的關系而推出結論的推理”［3］。這種定義存在三個問題。一是沒有明確這是狹義的假言推理，還是廣義的假言推理。狹義的假言推理即假言直言推理，廣義的假言推理一般還包括假言易位推理和假言聯鎖推理等。即使教材中列舉的有關推理形式都是狹義的假言推理，也應該給予簡單的介紹，避免讀者以為教材中列舉的推理類型涵蓋了所有假言推理的類型。二是對假言推理的前提的數量表述不準確。“有一個”容易被理解為“有且只有一個”。如果該定義是廣義的假言推理，它的外延未能包括假言聯鎖推理，因為假言聯鎖推理的前提至少有兩個假言命題。這樣的話，該定義就犯了“定義過窄”的邏輯錯誤。三是對假言推理的前提的種類表述不準確。如果該定義是狹義的假言推理，應該明確指出其前提之一為假言命題，另一個前提一般為直言命題或者是直言命題的否定。否則，該定義就會犯“定義過寬”的邏輯錯誤。王漢清的《邏輯學》認為:“僅僅根據假言命題的邏輯性質或者說僅僅根據條件的邏輯性質而推出結論的推理是假言推理。”［4］“假言推理有多種形式，一般分為三種基本形式，這就是假言直言推理、假言易位推理和假言聯鎖推理”［5］。陳愛華的《邏輯學引論》對假言推理的定義更為精確:“從廣義上說，假言推理可定義為前提中至少有一個假言判斷，并且根據假言判斷前后件之間的邏輯關系而進行推演的推理。它包括假言直言推理、假言聯鎖推理、假言易位推理、假言聯言推理、假言選言推理等。從狹義上說，傳統邏輯中的假言推理僅指假言直言推理。”［6］綜上所述，可以把廣義的假言推理定義為:它是前提中至少有一個假言命題，并且根據假言命題的邏輯性質進行推演的復合命題推理。
2．假言直言推理。王漢清認為:“由一個假言命題和一個直言命題做為前提所構成的假言推理是假言直言推理，簡稱假言推理。”［7］俞瑾的《普通邏輯概要》也認為:“假言推理的前提除有一個是假言判斷外，另一個通常為直言判斷，結論通常也是直言判斷，因此又被稱為假言直言推理。”［8］這兩個定義基本一致，不同之處在于王漢清沒有介紹假言直言推理的結論命題的種類，俞瑾認為假言直言推理的結論通常也是直言判斷。事實上，他們的定義符合肯定式假言直言推理(如，肯定前件式充分條件假言直言推理和肯定后件式必要條件假言直言推理等)，卻不符合否定式假言直言推理(如，否定后件式充分條件假言直言推理和否定前件式必要條件假言直言推理等)。因為否定式假言直言推理的前提之一是條件命題，另一前提和結論不是直言命題，而是直言命題的負命題，或者說包含了一個直言命題。所以，這種定義犯了“定義過窄”的邏輯錯誤。盡管俞瑾的定義中運用了“通常”一詞，沒有明確表示假言直言推理的另一前提和結論一定是直言判斷，但這樣表述仍然不夠嚴密。金岳霖的《形式邏輯》是一本權威性的邏輯學教材，書中認為:“假言推理就是這樣一種具有兩個前提的推理，其中一個前提是假言判斷，另一個前提是這個假言判斷的前件(或其負判斷)或者是這個假言判斷的后件(或其負判斷)……假言判斷有三種，假言推理也相應地有三種，即充分條件假言推理、必要條件假言推理與充分必要條件假言推理。”［9］這一定義實際上對假言直言推理的定義，并且準確到位。因此，我們也可以把假言直言推理定義為:它是前提之一為假言命題，另一個前提和結論包含假言命題的前件或后件的假言推理;或者說，它是前提之一為假言命題，另一個前提和結論包含直言命題的假言推理;也可以進一步表述為，它是前提之一為假言命題，另一個前提和結論包含直言命題，并且依據假言命題的邏輯性質進行推演的假言推理。
3．充分條件假言推理。這里所說的充分條件假言推理是指狹義的充分條件假言推理，即充分條件直言推理?！镀胀ㄟ壿嫛氛J為:“充分條件假言推理是一個前提為充分條件假言命題，另一個前提和結論為性質命題的假言推理。”［10］陳樹文也認為:“充分條件假言推理是一個前提為充分條件假言判斷，另一個前提和結論為性質判斷的假言推理。”［11］必要條件假言推理、充分必要條件假言推理定義與之如出一轍。類似的定義在當前的邏輯學教材中大量存在。鑒于對假言直言推理定義的分析，筆者認為，應當將充分條件直言推理的定義更改為:它是前提之一為充分條件假言命題，另一個前提和結論包含充分條件命題的前件或后件的假言直言推理;或者說，它是前提之一為充分條件命題，另一個前提和結論包含直言命題的假言直言推理;也可以進一步表述為，它是前提之一為充分條件命題，另一個前提和結論包含直言命題，并且依據充分條件命題的邏輯性質進行推演的假言直言推理。必要條件直言推理、充分必要條件直言推理的定義可參照充分條件直言推理的定義作相應的修改。
二、直接推理相關定義
1．直接推理?！镀胀ㄟ壿嫛氛J為:“由一個性質命題為前提推出一個性質命題為結論的推理叫做直接推理(包括對當關系推理和命題變形推理)。”［12］魏鳳琴的《邏輯學》認為:“直接推理就是以一個性質命題為前提，推出一個新的性質命題的推理。”［13］郭彩琴的《邏輯學教程》認為:“根據一個前提判斷直接得出結論的推理稱直接推理。它的前提和結論都是簡單判斷中的性質判斷。”［14］王漢清則認為:“僅由一個命題作為前提所構成的推理叫做直接推理。”［15］李小克認為:“以一個判斷為前提的推理叫做直接推理。”［16］俞瑾也認為:“直接推理是以一個判斷為前提推出結論的推理。”［17］“直接推理有多種，本節所講的直接推理僅限于性質判斷的直接推理”［18］?！缎问竭壿嫛?第4版)認為根據“邏輯方陣”中命題間的真假關系，“知道一個命題的真假即可推知其他三個命題的真假情況，這也是一種直接推理”［19］。直接推理是“以一個命題為前提而推出結論的推理”。按照《普通邏輯》編寫組、魏鳳琴和郭彩琴的觀點，直接推理的前提和結論都是性質命題，但其列舉的直接推理的種概念———對當關系推理的有效形式中，大多數推理的前提或結論是性質命題的負命題，只是前提和結論中都包含性質命題。如對當關系推理中的SAP→SEP、SOP→SAP，前者的結論和后者的前提都是性質命題的負命題?？梢姡麄儗χ苯油评淼亩x是不準確的，犯了“定義過窄”的邏輯錯誤。王漢清、李小克等認為直接推理前提的數量是一個，沒有規定直接推理前提的種類。俞瑾認為直接推理有多種，其前提的種類不僅僅限于性質命題。《形式邏輯》(第4版)則更進一步，認為直接推理的前提和結論的種類不僅可以是簡單命題，還可以是復合命題(如負命題)。以上觀點的共同點是直接推理前提的數量只有一個。筆者認為，直接推理的準確定義是，它是僅以一個命題為前提所構成的推理，其前提和結論的種類不限。與直接推理相對應，間接推理是以至少有兩個命題為前提所構成的推理，如三段論和混合關系推理。#p#分頁標題#e#
2．性質命題直接推理。直接推理定義的準確性直接影響到性質命題直接推理定義的準確性。按照《普通邏輯》編寫組、郭彩琴、魏鳳琴的觀點，直接推理的前提和結論都是性質命題，性質命題的直接推理自然是以一個性質命題為前提推出一個性質命題為結論的推理。劉良瓊的《普通邏輯基礎》認為，“直接推理是以一個判斷為前提而推出結論的推理。本節只介紹以一個性質判斷為前提，推出另一個性質判斷為結論的直接推理”［20］，包括性質判斷變形的直接推理和性質判斷對當關系的直接推理?！缎问竭壿嫛?第4版)認為，“性質命題的直接推理，即以一個性質命題為前提而推出一個性質命題的結論的直接推理”［21］。但上述教材列舉的性質命題直接推理的種概念———對當關系推理的有效形式中，相當一部推理的結論是性質命題的負命題，如SAP→SEP、SAP→SOP?？梢?，他們對性質命題直接推理的定義也是不準確的，犯了“定義過窄”的邏輯錯誤。王漢清則認為，“如果僅由一個直言命題作為前提所構成的推理就是直言命題的直接推理;由兩個及兩個以上直言命題作為前提所構成的推理就是直言命題的間接推理”［22］。以上觀點的共同點是性質命題直接推理的前提的數量只有一個，并且其種類是性質命題。所以，筆者認為，所謂性質命題的直接推理就是僅以一個性質命題為前提所構成的推理，其結論的種類不限。性質命題的直接推理包括性質命題變形直接推理和性質命題的對當關系推理。與性質命題的直接推理相對應，性質命題間接推理是以至少兩個性質命題為前提所構成的推理，如三段論。
3．對當關系推理。直接推理、性質命題的直接推理的定義的準確性，也會影響對當關系推理的定義的準確性。劉良瓊認為，“A、E、I、O四種性質判斷之間的真假關系，就是對當關系直接推理的依據。除對當關系中那些只能得出‘真假不定’結論的不能納入這種推理以外，其余的都可以用來進行這種推理”［23］。緊接著，劉良瓊列出了4類共16種性質判斷對當關系的直接推理。反對關系推理:(1)SAP→并非SEP(2)SEP→并非SAP矛盾關系推理:(3)SAP→并非SOP(4)SEP→并非SIP(5)SIP→并非SEP(6)SOP→并非SAP(7)并非SAP→SOP(8)并非SEP→SIP(9)并非SIP→SEP(10)并非SOP→SAP差等關系推理:(11)SAP→SIP(12)SEP→SOP(13)并非SIP→并非SAP(14)并非SOP→并非SEP下反對關系推理:(15)并非SIP→SOP(16)并非SOP→SIP郭彩琴認為:“對當關系推理是根據同素材性質判斷的對當關系所進行的直接推理。”［24］她列舉了與劉良瓊相同的對當關系推理的有效形式，只是運用了不同的表述公式。值得注意的是，劉良瓊在“負判斷”部分還介紹了性質判斷的負判斷及其等值判斷。他列舉的等值判斷有:郭彩琴也在“負判斷”部分介紹了這四種推理形式。然而，這些推理形式實際上又包括了他們在對當關系推理部分列舉的部分有效推理形式，即上述推理形式中的(7)、(8)(9)(10)。這些推理形式既出現在簡單命題推理章節中的性質命題推理部分，又出現在復合命題推理章節中的負命題推理部分，勢必令學生心生困惑，不清楚這些推理究竟是簡單命題推理還是復合命題推理，是性質命題推理還是負命題推理。《普通邏輯》編寫組認為:“對當關系推理是根據A、E、I、O之間的對當關系從一個命題推出一個命題的推理。”［25］并且列出了除上述(13)、(14)之外的14種推理形式。
定義與命題范文3
關鍵詞：常用邏輯用語；或；且；非
鄭毓信教授是這樣描述數學的：數學應被看成一個由理論、方法、問題和符號語言等多種成分所組成的復合體. 筆者覺得“數學概念”應該是包含在“多種成分”中；數學概念對于數學的重要性猶如游戲規則對于游戲樂趣的影響，中學數學教師要加強對數學概念的教學，這是提高教學質量的基礎. 本文主要對“常用邏輯用語”這部分內容中相關數學概念的教學，結合自己教學過程中的一些問題，談談個人的理解，以供參考.
[?] 一個錯題的正確解法
有這樣一個高考模擬題，命題p：若a>b，則2a>2b+1；它的否定?p是________.
考生都能這樣寫“若a>b，則2a≤2b+1”，試題的答案也是這樣提供的.
本題是想對命題的否定的表達的考查，表面上確實達到了考查要求. 我們分析命題p及它的否定?p的真假性.容易發現都是假命題，但這與邏輯不符！因為命題p及它的否定?p的真假性肯定是相反的. 為什么會這樣呢？因為這個題本身是一個錯題.我們再看看命題p：若a>b，則2a>2b+1；取a=3，b=2，能得到2a>2b+1，取a=2，b=log23時，得到的是2a=2b+1，也就是對于a>b，2a>2b+1有時成立，有時不成立. 我的理解是這個陳述句若a>b，則2a>2b+1有時真，有時假，而我們課本上對于命題的定義是：可以判斷真假的陳述句叫做命題，這里的陳述句時而真，時而假，也就是不能確定到底是真還是假，所以不是命題，也就更不用談命題的否定了. 從而矛盾解決.
[?] 關于簡單命題的“或”
選修1-1課本講解“或”字聯結詞時，用了這樣一個題：
命題p：27是7的倍數；命題q：27是9的倍數，寫成“p或q”的形式是：27是7的倍數或是9的倍數.
把下面兩個命題用“或”字聯結，
命題p：方程x2-1=0的解是x=1；命題q：方程x2-1=0的解是x=-1.
很多學生都這樣寫：
方程x2-1=0的解是x=1或x=-1. 易知這樣聯結的命題是真命題，但是p是假命題，q也是假命題，那么p或q應是假命題，矛盾.
原因在于用“或”字聯結命題時，不能夠簡化謂語，可以直接聯結，本題中的p或q應寫成：方程x2-1=0的解是x=1或是x=-1，你也可以直接寫成：方程x2-1=0的解是x=1或方程x2-1=0的解是x=-1；這樣矛盾就解決了.
[?] 關于簡單命題的“且”
選修1-1課本講解“且”字聯結詞時，用了這樣一個題，
命題p：12能被3整除；命題q：12能被4整除，寫成“p且q”的形式是：12能被3整除且能被4整除.
把下面兩個命題用“且”字聯結.
命題p：函數y=+的定義域是{xx>1}；
命題q：函數y=+的定義域是{xx≠2}，
很多學生都這樣寫：
函數y=+的定義域是{xx>1且x≠2}.
易知這樣聯結的命題是真命題，但是，p是假命題，q也是假命題，那p且q應是假命題，矛盾. 原因在于用“且”字聯結命題時，不能夠簡化謂語而直接聯結，本題中的p且q應寫成：函數y=+的定義域是{xx>1}且是{xx≠2}，你也可以直接寫成：函數y=+的定義域是{xx>1}且函數y=+的定義域是{xx≠2}；矛盾解決.
[?] 關于命題形式的一點總結
高中階段考查的命題形式有以下三種：
（1）若p則q形式；（2）含量詞的形式；（3）含聯結詞的形式.
定義與命題范文4
一、不能判斷真假的不是命題
例1現有下列語句：①x
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
解： 由于不知實數x的取值范圍，所以無法判斷x＜-2是否成立，故①不是命題；同理，由于f（x）的定義域不可知，故函數f（x2+1）的定義域也無法判斷，所以④也不是命題；②和③都是可判斷真假的語句，所以是命題．選B．
評析： 判斷一個語句為命題的標準有兩個：一是陳述句，二是可以判斷真假．在例1的語句②中，當x＜-2時x2＞4，所以結論x2≥4一定成立，即②是命題，可它的條件x＜-2不是命題，結論x2≥4也不是命題．在“若p則q”形式的命題中，p與q既可各為命題，也可不為命題. 此外，“函數f（x2+1）的定義域為R”的問題是“不知定義域，不能判斷真假”，而不是“已知定義域，不能判斷結論是否成立”，所以它不是命題，切不可誤以為它是“假命題”．
二、復合命題真假性要符合規定
例2下列命題：①9的平方根是3或-3；②周長相等的兩個矩形全等或面積相等的兩個矩形全等；③對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；④菱形的兩條對角線互相垂直平分．
以上①②中為“p∨q”形式的命題的代號是；③④中為“p∧q”形式的命題的代號是．
解： 命題p∨q與p∧q由邏輯聯結詞“或”“且”聯結，應符合有關p∨q與p∧q真假性的規定．①中盡管有“或”字，但不是“p∨q”形式的命題．為了證明這點，我們可設p：9的平方根是3，q：9的平方根是-3．顯然，它們都是假命題，所以“p∨q”是假命題，這與命題①為真命題矛盾．同理可知，②是“p∨q”形式的命題，③不是“p∧q”形式的命題，④是“p∧q”形式的命題．答案為②④．
評析： 復合命題的真假性總結如下：“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“真假相反”．
三、命題的否定要找準否定對象
例3已知p：＞0，則p是
（A） -1＜x＜3 （B） -3＜x＜1 （C） -1≤x≤3 （D） -3≤x≤1
解：由p得：x＞1或x＜-3，選D．
評析： 命題的否定是“全盤否定”，是對所指全體對象的徹底否定．一般情況下，錯誤地認定所指對象是引發錯解的根源． 例3中p所指的對象是滿足已知不等式的所有實數x，并非指不等式本身． 如果誤以為p所指的對象需滿足不等式≤0，就會錯選B．
此外，還要注意命題的否定與否命題不同，雖都含有“非”的意義，可命題的否定是指p，在“若p則q”的形式中指“若p則q”；而否命題僅存在于“若p則q”的形式中，指命題“若p則q”．
四、若由條件能推出結論，則條件是充分條件；若由結論能推出條件，則條件是必要條件
例4已知a＞0，則x0滿足關于x的方程ax＝b的充要條件是
（A） x∈R，ax2-bx≥a-bx0 （B） x∈R，ax2-bx≤a-bx0
（C） x∈R，ax2-bx≥a-bx0（D） x∈R，ax2-bx≤a-bx0
解：由已知可得x0＝． 根據各選項的信息，我們可以想到函數y=ax2-bx=ax-2- ，其對應的拋物線開口向上，且當x0＝時有ymin=a-bx0=-，即由x0＝可推得A，C為真．反之，僅能由x∈R，ax2-bx≥a-bx0得到ymin=a-bx0，進而推得x0＝．選C．
評析： 解充要條件問題的關鍵在于明確推理方向．從定義的角度上來講，若pq，則p是q的充分條件；若qp，則p是q的必要條件；若pq，則p是q的充要條件.從集合的角度上來講，若記由p，q確定的集合分別為P，Q，則有“p是q的充分條件即PQ”，“p是q的必要條件即QP”，“p是q的充要條件即P=Q”．故推理方向又可轉化為包含關系．
【練一練】
1． 下列語句中，屬于命題的是
（A） x與y之和為100 （B） a>0
（C） 2或4是素數 （D） 作∠AOB的角平分線OE
2． “若b2-4ac
（A） 若b2-4ac≥0，則ax2+bx+c=0沒有實根
（B） 若b2-4ac>0，則ax2+bx+c=0有實根
（C） 若b2-4ac≥0，則ax2+bx+c=0有實根
（D） 若b2-4ac≤0，則ax2+bx+c=0沒有實根
3． 命題p：方程x2+mx+1=0有兩個不相等的負實根，命題q：方程4x2+4（m-2）x+1＝0無實根；若p或q為真，p且q為假，求實數m的取值范圍．
4． 已知拋物線y＝-x2+mx-1，A（3，0），B（0，3），求拋物線與線段AB有兩個不同交點的充要條件．
【參考答案】
1． C2． C
定義與命題范文5
一、單選題
1．下列四個命題中，為真命題的是（
）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
【答案】A
【解析】利用不等式的性質依次判斷即可.
【詳解】
對于選項A,由及“同向同正可乘性”，可得；對于選項B，令則，顯然不成立；對于選項C，若，顯然不成立；對于選項D,若，顯然不成立.
故選：A
【點睛】
本題主要考查不等式的性質，屬于基礎題.
2．錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）
A.充分條件
B.必要條件
C.充分必要條件
D.既非充分也非必要條件
【答案】B
【解析】根據等價命題，便宜T沒好貨，等價于，好貨T不便宜，故選B．
【考點定位】考查充分必要性的判斷以及邏輯思維能力，屬中檔題。
3．設、是非空集合，定義且，若，，則等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解出集合，利用交集和補集的定義得出集合和，然后利用題中的定義可得出集合.
【詳解】
解不等式，即，解得，則集合.
所以，，，
根據集合的定義可得.
故選：A.
【點睛】
本題考查集合的新定義運算，同時也考查了一元二次不等式的解法、交集與補集的運算，考查運算求解能力，屬于中等題.
4．設集合，，,，，其中、，下列說法正確的是（
）
A.對任意，是的子集；對任意，不是的子集
B.對任意，是的子集；存在，使得是的子集
C.存在，使得是的子集；對任意，不是的子集
D.存在，使得是的子集；存在，使得是的子集
【答案】B
【解析】利用集合子集的概念，任取，可推出，可得對任意的實數，；再由，，求得、，即可判斷出選項B正確，A、C、D錯誤.
【詳解】
對于集合，，任取，，則，，所以，對任意，是的子集；
當時，，，可得；
當時，，，可得不是的子集.
所以，存在，使得是的子集.
故選：B.
【點睛】
本題考查集合包含關系的判斷，同時也考查了一元二次不等式的解法，以及任意性和存在性問題的解法，考查推理能力，屬于中等題.
二、填空題
5．設集合，集合，若，則__________．
【答案】
【解析】由題意得出，由此可解出實數的值.
【詳解】
，且，，，，解得.
故答案為：.
【點睛】
本題考查利用集合的包含關系求參數，在處理有限集的問題時，還應注意集合的元素應滿足互異性，考查計算能力，屬于中等題.
6．用描述法表示所有被除余的整數組成的集合：_________．
【答案】
【解析】利用描述法和整除性質即可得出.
【詳解】
由題意知，所有被除余的整數組成的集合為.
故答案為：.
【點睛】
本題考查描述法、數的整除性質，考查推理能力，屬于基礎題.
7．設集合，，則__________．
【答案】
【解析】解方程組，求出公共解，即可得出集合.
【詳解】
解方程組，得，因此，.
故答案為：.
【點睛】
本題考查集合交集的計算，同時也考查了二元一次方程組的求解，在表示集合時要注意集合元素的類型，考查計算能力，屬于基礎題.
8．不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】將原不等式變形為，解出該不等式即可.
【詳解】
由，移項得，即，解得或.
因此，不等式的解集是.
故答案為：.
【點睛】
本題考查分式不等式的求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.
9．已知關于的不等式的解集為，則不等式的解集為__________．
【答案】
【解析】分析：不等式的解集為，則方程的根為，利用韋達定理求參數，再解不等式即可。
詳解：不等式的解集為，則方程的根為，由韋達定理可知：，，所以不等式為，所以解集為
點睛：二次函數，二次方程，一元二次不等式三個二次的相互轉換是解決一元二次不等式
問題的常用方法。
10．設、，集合，則__________．
【答案】
【解析】根據題意得出，則，則有，可得出，由此得出，然后求出實數、的值，于是可得出的值.
【詳解】
，由于有意義，則，則有，所以，.
根據題意有，解得，因此，.
故答案為：.
【點睛】
本題考查利用集合相等求參數的值，解題的關鍵就是根據題意列出方程組求解，考查運算求解能力，屬于中等題.
11．設全集，若，，，則__________．
【答案】
【解析】作出韋恩圖，將全集中的各元素放置在合適的區域內，得出集合和集合，再根據交集的定義可得出集合.
【詳解】
全集，作出韋恩圖如下圖所示：
由圖形可知集合，，因此，.
故答案為：.
【點睛】
本題考查集合的混合運算，同時也考查了韋恩圖法的應用，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.
12．下列說法中：
①“若，則”的否命題是“若，則”；
②“”是“”的必要非充分條件；
③“”是“或”的充分非必要條件；
④“”是“且”的充要條件.
其中正確的序號為__________．
【答案】③
【解析】根據否命題與原命題的關系可判斷命題①的正誤；解方程，根據充分必要性可判斷出命題②的正誤；由命題“若，則或”的逆否命題為“若且，則”得出“”是“或”的充分必要性與“且”是“”的充分必要性相同，從而判斷命題③的正誤；利用舉反例和邏輯推理來判斷命題④的正誤.
【詳解】
對于命題①，“若，則”的否命題是“若，則”，命題①錯誤；
對于命題②，解方程，得或，
所以，“”是“”的充分非必要條件，命題②錯誤；
對于命題③，由于命題“若，則或”的逆否命題為“若且，則”，可知，“”是“或”的充分必要性與“且”是“”的充分必要性相同，
“且”“”，取，則，所以，“”“且”，則“且”是“”的充分非必要條件，
所以，“”是“或”的充分非必要條件，命題③正確；
對于命題④，取，，則滿足，但“”“且”，
由不等式性質可知，當且，有，則“且”“”.
所以，“”“且”必要非充分條件，命題④錯誤.
故答案為：③.
【點睛】
本題考查四種命題以及充分必要性的判斷，常利用舉反例和邏輯推理進行推導，考查推理論證能力，屬于中等題.
13．已知集合，則m的取值范圍為______．
【答案】
【解析】當時，不等式恒成立，可知符合題意；當時，由恒成立可得；當時，不可能在實數集上恒成立，由此可得結果.
【詳解】
當時，恒成立，，符合題意
當時，，解得：
當時，集合不可能為
綜上所述：
故答案為：
【點睛】
本題考查一元二次不等式在實數集上恒成立問題的求解，易錯點是忽略二次項系數是否為零的討論，造成求解錯誤.
14．已知集合，，且，則實數的值為_________．
【答案】或或1
【解析】解方程得，因為，所以，，，分別解得的值
【詳解】
由題，，因為，所以當時，無解，；當時，；當時，，綜上所述，的值為或或
【點睛】
由集合間的關系求參數時，常根據集合包含關系的意義，建立方程求解，此時應注意分類討論思想的運用
15．集合，若，則實數的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】由，結合題意得出關于的方程有負根，分和，在的前提下，分二次方程有兩個相等的負根、兩根一正一負以及兩個負根進行分類討論，可求出實數的取值范圍.
【詳解】
，，
，則關于的方程有負根.
（1）當時，即當時，原方程為，不成立；
（2）當時，即當時，設該方程的兩個實根分別為、.
①若該方程有兩個相等的負根，則，
可得，此時方程為，即為，解得，
合乎題意；
②若該方程的兩根一正一負時，則有，解得；
③當該方程有兩個負根時，則有，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】
本題考查二次方程根的分布問題，解題時要結合判別式、兩根之和與積的符號來進行分析，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.
16．若集合,集合，且，記為中元素的最大值與最小值之和，則對所有的，的平均值是__________．
【答案】
【解析】先歸納出集合時，集合且時，的平均值，然后令可得出的平均值.
【詳解】
先考慮集合時，集合且時，的平均值.
，，則，此時，的平均值為；
，當時，，當時，，當時，，此時，的平均值為；
，當時，，當時，，時，，當時，，當時，，當時，，當時，，此時，的平均值為；
依此類推，對于集合，的平均值為.
由于，所以，.
故答案為：.
【點睛】
本題考查了集合的新定義，同時也考查了歸納推理，解題的關鍵就是利用歸納推理得出的表達式，考查推理論證能力，屬于難題.
三、解答題
17．已知集合，，若，求的值.
【答案】、或
【解析】解出集合，由得出，然后分和兩種情況討論，在時，可得出或，由此可得出實數的值.
【詳解】
解方程，解得或，則集合.
，則.
當時，，合乎題意；
當時，，，或，解得或.
因此，實數的取值有、或.
【點睛】
本題考查利用集合的包含關系求出參數，同時也考查了一元二次方程的求解，解題的關鍵就是對變系數的一次方程進行分類討論，考查運算求解能力，屬于中等題.
18．設、且，比較兩數與的大小.
【答案】見解析
【解析】將兩個代數式作差，因式分解，然后對各因式的符號進行判斷，可得出兩數與的大小關系.
【詳解】
.
，.
①當時，，此時，；
②當時，，此時，；
③當時，，此時，.
【點睛】
本題考查利用作差法比較兩數的大小，在作差后依次因式分解、討論符號，然后可判斷出兩數的大小關系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
19．已知集合，集合，，.
求：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求出集合、，利用交集的定義可得出集合；
（2）求出集合，利用并集的定義得出集合，再利用補集的定義可得出集合.
【詳解】
（1），
，因此，；
（2），由不等式的性質可得，
則集合，，
因此，.
【點睛】
本題考查集合交集、并集與補集的混合運算，同時也考查了函數定義域、值域的求解，考查運算求解能力，屬于中等題.
20．若關于的不等式的解集為，的解集為.
（1）試求和；
（2）是否存在實數，使得？若存在，求的范圍；若不存在，說明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【解析】（1）將不等式變形為，然后對和的大小進行分類討論，解出該不等式可得出集合，將不等式變形為，解出該不等式可得出集合；
（2）對和的大小進行分類討論，結合列出關于的不等式，解出即可得出實數的取值范圍.
【詳解】
（1）不等式即為.
①當時，原不等式即為，解該不等式得，
此時；
②當時，解該不等式得或，此時；
③當時，解該不等式得或，此時.
不等式即為，解得，此時，；
（2）當時，，，此時成立；
當時，，，要使得，則有，解得，此時；
當時，，，則，要使得，則，這與矛盾.
綜上所述，實數的取值范圍是.
因此，存在實數，使得.
【點睛】
本題考查一元二次不等式與分式不等式的求解，同時也考查了利用集合的并集運算求參數，解題時要注意對參數的取值進行分類討論，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.
21．對在直角坐標系的第一象限內的任意兩點，作如下定義:,那么稱點是點的“上位點”，同時點是點的“下位點”.
（1）試寫出點的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標；
（2）設、、、均為正數，且點是點的上位點，請判斷點是否既是點的“下位點”又是點的“上位點”，如果是請證明，如果不是請說明理由；
（3）設正整數滿足以下條件：對任意實數，總存在，使得點既是點的“下位點”，又是點的“上位點”，求正整數的最小值.
【答案】（1）“上位點”，“下位點”；（2）是，證明見解析；（3）.
【解析】（1）由已知中“上位點”和“下位點”的定義，可得出點的一個“上位點”的坐標為，一個“下位點”的坐標為；
（2）由點是點的“上位點”得出，然后利用作差法得出與、的大小關系，結合“下位點”和“上位點”的定義可得出結論；
（3）結合（2）中的結論，可得，，滿足條件，再說明當時，不成立，可得出的最小值為.
【詳解】
（1）對于平面直角坐標系的第一象限內的任意兩點作如下定義：，那么稱點是點的“上位點”，同時點是點的“下位點”.
點的一個“上位點”的坐標為，一個“下位點”的坐標為；
（2）點是點的“上位點”，，.
，
點是點的“下位點”，
，
點是點的“上位點”；
（3）若正整數滿足條件：在時恒成立.
由（2）中的結論可知，，時滿足條件.
若，由于，
則不成立.
因此，的最小值為.
定義與命題范文6
? 關于命題，初中的定義是：判斷一件事情的語句叫命題；高中的定義是可以判斷真假的語句叫命題．這兩個定義都不嚴格．兩個定義中使用的“判斷”一詞，與語文中通常的意義不盡相同．在邏輯學上，它的意義是：判斷是對客觀事物有所肯定或否定的思維形式，判斷有真有假．所以，初中和高中的兩個定義在意義上是完全相同的：命題是這樣一個語句，這個語句能夠判斷真假．例如語句“4的平方根是2”，作為一個判斷，它是錯誤的，所以它是命題，是假命題．
? 2 關于“或”、“且”的含義
? 復合命題“p或q”與“p且q”是用邏輯聯結詞“或”與“且”聯結兩個命題p與q，既不能用“或”與“且”去聯結兩個命題的條件，也不能用它們去聯結兩個命題的結論．
例1?。?）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1；
q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2，
寫出“p或q”．
（2）p：四條邊相等的四邊形是正方形；
q：四個角相等的四邊形是正方形，
寫出“p且q”．
錯解：（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形．
分析：（1）（2）兩題中的p、q都是假命題，所以“p或q”、“p且q”也都是假命題，而上述解答中寫出的兩個命題卻都是真命題．錯誤的原因是：（1）聯結了兩命題的結論；（2）聯結了兩命題的條件．
正確的答案是：
（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2．
（2）p且q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形．
這兩個命題都是假命題．
但是，在不影響命題真值的情況下，又可省略第二個命題的主語，這是符合語言習慣的．
例2?已知p：菱形的對角線互相平分；
q：菱形的對角線互相垂直，
寫出“p且q”．
解：p且q：菱形的對角線互相平分且（菱形的對角線互相）垂直．
這個命題中括號內的部分可以省略．
文［1］中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能簡寫成“4的平方根是2或-2”．
3 關于“非”的含義
“非”的含義有下列四條：
3．1 “非p”只否定p的結論
“非”就是否定，所以“非p”也叫做命題p的否定，但“非p”之“非”只否定命題的結論，不能否定命題的條件，也不能將條件和結論都否定，這也是“非p”與否命題的區別．所以欲寫“非p”應先搞清p的條件與結論．
例3 p：有些質數是奇數．寫出“非p”．
錯解：有些質數不是奇數．
分析：因為p是真命題，所以“非p”應為假命題，上述命題不假，故答案錯．錯誤的原因是對p的條件與結論沒有搞清楚．這個命題的條件是“質數”，結論是“有些是奇數”，正確的解法：先將p寫成等價形式，質數有些是奇數，“非p”：質數無奇數．
不是用“不”否定“是”，而是用“無”否定“有些是”．
例4 p：方程x2－5x＋6＝0有兩個相等的實根．寫出“非p”?
錯解：方程x2－5x＋6＝0有兩個不相等的實根．
分析：命題p的條件是“方程x2－5x＋6＝0”，結論是“有兩個相等的實根”，所以“非p”應否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”應為：方程x2－5x＋6＝0沒有兩個相等的實根．
3．2 p與“非p”真假必須相反
例5 寫出例1（2）中命題p的否定“非p”．
錯解：非p：四條邊都相等的四邊形不是正方形．
因為p是假命題，“非p”必須是真命題，而上述命題也是假命題，所以上述命題不是“非p”．
正確答案為
“非p”：四條邊都相等的四邊形不都是正方形．
“是”的否定有時為“不是”，有時為“不都是”，要視“是”的含義而定，此例的“是”，其含義是“都是”，故其否定為“不都是”．
3．3 “非p”必須包含p的所有對立面
邏輯聯結詞“非”相當于集合在全集中的補集．假定p與“非p”的結論所確立的集合分別是a、b，則a、b必須滿足a∪b=u（全集），a∩b=ф．“非p”的結論必須包含p的結論的所有對立面．這一點如果不注意，使用反證法證題時就可能發生錯誤．因為反證法的理論依據是欲證p為真，可證“非p”為假，如果“非p”不包括p的所有對立面，反證法就站不住腳了．
例6 p：方程x2－5x＋6＝0有兩個相等的實根．寫出“非p”．（與例4相同）
正像寫一個集合的補集必須先搞清全集一樣，這個題目也面臨類似的問題．因為實系數一元二次方程的解的情況有三種，任何一種的否定都應該包含另外的兩種，所以p的對立面是“方程x2－5x＋6＝0有兩個不相等的實根或無實根”．但“非p”不能這樣寫，而寫成等價形式：方程x2－5x＋6＝0沒有兩個相等的實根．
3．4 “非p”必須使用否定詞語
寫“非p”時還要注意，必須使用否定詞語對正面敘述的詞語進行否定．
例7 p：方程x2－5x＋6＝0有實根．寫出“非p”．
錯解：方程x2－5x＋6＝0有虛根．
盡管“虛”是對“實”的否定，但“虛”不是否定詞，“方程x2－5x＋6＝0有虛根”仍是簡單命題，正確答案為：方程x2－5x＋6＝0無實根．
4 給定一個復合命題，寫出構成它的簡單命題時應注意的問題
例8 指出構成下列復合命題的簡單命題：
（1）實數的平方是正數或0；
（2）4的平方根是2或-2；
（3）方程（x－1）（x－2）＝0的根為1或2；
（4）四邊相等且四個角相等的四邊形是正方形.
解：（1）p：實數的平方可能是正數；
q：實數的平方可能是0．
注：因為實數的平方只有正數或0兩種情況，所以由p、q構成的“p或q”中，“可能”一詞就可省略而成為“實數的平方是正數或0”，文［1］中認為它是簡單命題，這種認識是錯誤的．同樣，后三個小題的答案為：
（2）p：4的平方根可能是2；
q：4的平方根可能是-2?
（3）p：方程（x-1）（x-2）=0的一個根是1；
q：方程（x-1）（x-2）=0的一個根是2．
（4）p：四邊相等的四邊形可能是正方形；
q：四個角相等的四邊形可能是正方形．
在由p、q寫“p或q”、“p且q”時，有些詞語可以省略，反過來由“p或q”、“p且q”寫p、q時，省略的詞語必須補上．而由“非p”寫p時，必須先搞清“非p”的條件和結論．
結束語：命題的結構問題是很復雜的，中學只研究結構簡單的命題，本文的一些觀點只是筆者的一點教學體會，不當之處，歡迎同行專家指正．
參考文獻
