前言：中文期刊網精心挑選了拋物線及其標準方程范文供你參考和學習，希望我們的參考范文能激發你的文章創作靈感，歡迎閱讀。
拋物線及其標準方程范文1
一、教材分析
在這一章的三種圓錐曲線橢圓、雙曲線、拋物線中，拋物線被安排在最后，拋物線體現圓錐曲線的共性和個性，并且由它構建整章的知識網絡，形成知識體系。在高考試卷中往往以選擇題、填空題和解答題的形式出現。本節的重點是拋物線定義和拋物線標準方程的建立，難點是求拋物線的標準方程和四種標準方程的應用。針對以上的重點和難點，在教學設計時又充分考慮到教學對象是普通高中學生這一點，對教材作適當調整：對例題1，由于初學者對多種拋物線形式易混，必須及時做雙向的練習加以鞏固，即由方程到焦點、準線，再由焦點、準線到方程。在理解、掌握和強化中完成目標。對例題2則放在課堂小結之后，作為研討題加強變式練習。例題3則放在下一小結中，系統學習拋物線的弦長問題時解決，它也是本節的一個重點。
二、教學目標
①使學生掌握拋物線的定義及其標準方程；②會用解析幾何的坐標法建立拋物線的標準方程；③理解標準方程中參數P的幾何意義，能根據條件求拋物線的標準方程，并會由標準方程求相應的準線方程、焦點坐標，畫出其圖形；④培養學生的數形結合思想及主動探究精神，提高學生的分析、對比和概括能力。
三、教學方法
依據新課程理念倡導的“自主、探究、合作、交流”的學習方式，結合本課教材的特點和學生的實際情況。我采用了“啟發探究式”的教學方法。在橢圓、雙曲線的學習中，學生已經嘗試了求曲線方程的方法，因此完全可以用類比的方法，親身體會數學知識的發生、發展過程?！疤骄渴健睂W習方式是一種流行的教學方式，但如何做到“實質性”探究，不流于形式，是我們值得深思的一個問題。教師只有提高自身的數學素養，理解數學本質，挖掘“本原性”問題，才能駕馭真正的“探究”。如在本節課的“XOY”坐標系的建立中，原點的選取就是核心和本原性問題，必須抓住這一“探索”契機。
四、教學過程
教學過程設計分為四個階段
1．引入階段
通過對橢圓、雙曲線的離心率的歸納，提出學習課題。
由橢圓、雙曲線的離心率e的變化范圍進入本節教學課題。老師問：當e=1時是何種圓錐曲線?學生很快就能回答。這既體現了三種圓錐曲線的完整性，又能體現拋物線動點到定點和定直線的距離相等而不再是一個取值范圍的特殊性。
2．探索階段
一方面通過多媒體課件演示拋物線形成過程得出定義，另一方面用坐標法研究得出拋物線的標準方程。 首先通過多媒體課件來演示拋物線的形成過程，進而歸納得出定義：先固定一根直尺，讓三角板的一條直角邊緊靠直尺邊緣，確定繩長AC，并且固定兩端點A和F點使筆尖即P點緊靠直尺邊緣，當三角尺上下滑動時得到曲線，而在這一過程中，實質性的關系是｜CP｜=｜CF｜，即動點到定點和直線的距離相等，歸納出拋物線定義。F叫拋物線的焦點，L叫拋物線的準線。以上的探索要轉化為具體的知識，即數和形，引導學生進入探究過程。第二，老師在黑板上演示建立適當的直角坐標系，求拋物線的標準方程：有一條定直線和一個定點．學生自然可以想到，使x軸過定點F與L垂直，K為垂足及｜KP｜=P，而下一步原點的選取關系到y軸，學生會有以下三種探究思路：①原點在K點，②原點在F點，③原點在KP的中點。學生依據初中關于拋物線的知識完全可以正確判斷。求三種相應的標準方程，可以分組或指定三人分別去完成，在這一過程中，探究的目的除了得到y2=2px(p>0)外，更深一層要培養學生用坐標法研究問題的能力，它也是解析幾何的精髓。第三，老師進一步啟發學生提出問題，還有哪些形式的拋物線?讓學生借助于類比、聯想完成老師給出的四種標準方程表格得到初步結論：①一次項系數正負決定開口方向，②焦點坐標為一次項系數的1／4(在這里再次強化P的幾何意義)。
3．應用階段
通過對例題的分析、求解及雙向練習，使學生掌握四種標準方程的應用。
通過對例題1的分析，配置雙向習題，即由標準方程求焦點坐標、準線方程，或由焦點坐標、準線方程求標準方程，使學生在理解、掌握、強化中完成教學目標。
4.小結結階段
拋物線及其標準方程范文2
一、引思――訓練思維的流暢性
師：請同學們思考兩個問題：
1、我們對拋物線已有了哪些認識？
2、二次函數的圖像拋物線的開口方向是什么？
生：在初中數學中，拋物線是二次函數的圖象；在二次函數中研究的拋物線，有開口向上或向下兩種情形。
師：（通過課件展示圖片）實際上，在生活中存在著各種形式的拋物線，隨處可見。比如綻放的煙花、結實的拱橋、美麗的彩虹、探照燈的軸截面等，還有一些運動形成的拋物線，投籃運動、拋球運動等形成的軌跡都是拋物線，說明拋物線在實際生活中無處不在，那么今天我們就對于拋物線進一步研究，體會拋物線的美妙。
通過圖片的展示，使學生切實感受到了現實生活中確實存在許許多多的拋物線，這樣真實的感受讓學生能夠認識到學習拋物線的現實意義和必要性，為學生下面進行積極的思維奠定了良好的基礎。
師：下面我們來看拋物線可以怎樣畫出（演示拋物線的形成），請同學們仔細觀察畫圖的過程，給出拋物線的定義。
生：平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。
師：（再引導）由前面橢圓、雙曲線的學習我們可以知道這里的定點及定直線通常叫做什么？
生：定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。
評述 課堂上對定義的教學，一般都是老師講，學生被動聽，這種被動的學習方式扼殺了學生思維的積極性和主動性，難以煥發出思維的活力，更談不上學生的積極參與，他們在認識上只是依賴淺層次的策略。引導學生積極思維，得要讓學生有直觀的認知，具備一定的基礎知識，以達到訓練思維的流暢性。
二、順思――訓練思維的層次性
師：為了能夠順利的對拋物線進行研究學習，并研究與拋物線相關的問題，下面我們來求出拋物線的標準方程。這實際是求曲線方程的問題，首先要考慮求曲線方程軌跡的基本步驟是什么？
生：①、建立直角坐標系，設動點為(x,y)；②、寫出適合條件的x,y的集合；③、列方程f(x,y)=0；④、化最簡（并注明條件）；⑤、證明（常常省去）。
師：那我們現在遇到的第一個問題就是如何適當的建立坐標系，使求出的拋物線標準方程最簡呢？設焦點到準線的距離為常數P(P>0)。
生：取過焦點F且垂直于準線L的直線為x軸，準線為y軸。
師：很好！這是我們的一般方法，但是回想在初中學習的二次函數圖象的頂點在坐標原點時，二次函數的表達式才是最簡的，由此可以想象取過焦點F且垂直于準線L的直線為x軸，垂足為K，線段KF的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，所得方程更為簡單。（展示了思維的層次性）
在這里，老師將學生的習慣思維和原有的知識作以對比，引導學生通過不同的角度思考問題，有助于學生思維層次的提高，考慮問題顯得更加細致周到。
師：下面我們就進行推導，
如圖，取過焦點F且垂直于準線L的直線為x軸，線段KF的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設動點M的坐標為（x，y） ，由拋物線的定義可知，化簡得此處推導簡潔到位，同時對于舊知識也進行了復習，處理得當。
師：我們再按照最先想到的做法進行推導，與前面的結論作以對比。
如圖，若以準線所在直線為y軸，則焦點F(P,0),準線L:x=0由拋物線的定義，可導出拋物線方程為比較之下，顯然方程 更為簡單。
此處讓學生動手實踐，通過自主對比找出最簡結果，通過這樣的體驗能夠加深學生對結果的理解認識，并再次熟練了推導的過程，培養了學生探索的精神。
評述 通過從不同的角度對問題進行深入的思考，先產生一個直覺上的認識，再進行實踐，對比結果發現最優結果，增強知識的系統性，對相關問題進行聯系。同時，讓學生對所考慮的問題進行自主研究，從而使思維達到一個較高的層次。
三、延思――訓練思維的變通性
師：我們所推導的方程
叫做拋物線的標準方程。其中 p 為正常數，它的幾何意義是：焦點到準線的距離。
方程 表示的拋物線，其焦點位于X軸的正半軸上，其準線垂直于X軸的負半軸，即焦點為準線為。
但是，一條拋物線，由于它在坐標平面內的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標準方程還有其它形式。請同學們思考拋物線的標準方程還有哪些形式? 其它形式的拋物線的焦點與準線呢？（鼓勵與激發全班同學參與）
一石激起千層浪，此處的提問使學生又一次的展開了思維，在考慮到各種情形后，進入到對方程的研究，學生自然的想到能否利用前面的結果加以解決，這樣的變化讓學生的思維也發生了一些變通。
師：大家已經想到了還有開口方向朝左、朝上和朝下幾種情形（展示拋物線的各種形式），我們先來考慮開口朝左的情形。請問大家從圖象上觀察與朝右的情形有什么聯系？
生：（急切的回答）關于y軸對稱！
師：那對于方程的研究有什么幫助呢？
生：（脫口而出）圖象關于y軸對稱，即圖象上的點是關于y軸對稱，而關于
y軸對稱的點橫坐標相反，縱坐標不變！故開口朝左的方程為
師：很好！大家的思維非常棒！看來同學們是用形與數的關系解決的，那么對于開口朝上的又如何考慮呢？能否用剛才的辦法呢？（激發學生的思維）
生：（對比圖象之后）開口朝上的圖象可以看作是將開口朝右的圖象按照逆時針方向旋轉90°而得到的！
師：觀察得很好！可是我們并沒有學習過旋轉變化呀！那么能不能把這個旋轉變化歸于我們學習過的對稱變化呢？請大家再觀察。（進一步激發學生的思維）
生：由于是逆時針方向旋轉的了90°，因此可以看作是關于直線對稱！
師：非常好！那么我們的問題就可以得到解決了！具體如何給出方程呢？
生：關于直線對稱的兩點互換了橫縱坐標，因此將開口朝右的方程中的x、y互換位置即可！即方程為。（展示了思維的靈活性）
師：分析的非常到位，那最后一種情形很容易就可以給出結果了！我們一起來完成下面的表格，鞏固知識。
通過引導和提問，使學生積極的思維，自主觀察研究解決問題，提高了思維的變通性，激發了學生的學習熱情！
師：想一想，怎樣把拋物線的位置特征(標準位置）和方程特征（標準方程）統一起來？以便我們記憶！
生：從開口方向來看可分為上下型和左右型；上下型x帶平方，左右型y帶平方；朝負方向帶負號，朝正方向則不帶！
師：很好！通過這樣的統一歸類，我們記憶起來就更加的容易了！
通過歸類研究，培養了學生提煉知識的能力，養成了學生總結的習慣。
評述 這部分內容是本節課的重點，在教學的處理上也是難度比較大的，直白的給出使學生接受時比較困難，也不利于以后的記憶和應用，通過一系列的引導，使學生充分的參與進來，積極的思考，在高效的學習過程中，不知不覺中提高了學生思維的變通性，能夠應對不斷變化的問題，使知識的反饋面更加廣泛，知識的綜合運用性更加深化，達到了訓練學生思維變通性的目的。同時，利用舊方法，通過遷移解決新問題，極大的提高了學生的能力，這正是高考考察的重點！
四、反思――訓練思維的深刻性
知識點學習結束，不能看成是相應的數學活動終結，也不能意味著學生真正的掌握了知識，還要通過具體的問題對知識加以深化和鞏固。
師：下面我們通過具體例子深化對拋物線方程及相關量的認識并鞏固之。
例1：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程
師：若已知拋物線的標準方程，求其焦點坐標和準線方程；或是已知焦點坐標和準線方程，求其拋物線的標準方程，應該注意什么呢？（訓練思維的深刻性）
生：“先定位，后定量”。
師：很好！我們先研究形的特點，然后再結合所學知識，解決相應的問題，這樣一來，思路就能夠十分流暢，而且還增強了嚴謹性。下面再通過一個例子來感受“先定位，后定量”。
例3：求過點A（-3，2）的拋物線的標準方程。
分析：由點在第二象限，結合圖形知拋物線開口有朝上和朝左兩種情形。
解:(1)設拋物線的標準方程為
師：下面我們來看兩道高考題，希望同學們以最快的速度給出結果！（訓練思維的敏捷性）
練習:(2003• 天津卷) 拋物線的準線方程是y=2 則a的值為
（A） （B） （C）8 （D）-8
思考:(2000 • 全國卷)過拋物線 的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點,若線段PF與FQ的長分別為p、q則 等于
（A） 2a （B） （C） 4a（D）
生：練習中先將方程化為標準式，可知選B。
生：思考中同樣先將方程化為標準式，再由直線的任意性，可取垂直于對稱軸的直線加以計算，可知選 C。
師：非常好！說明我們對知識有了一個系統的掌握，希望在課后再加強練習以鞏固本節課所學的知識點。
評述 通過反思，可以認識到訓練思維品質的重要性，要使學生的思維具有嚴謹性、深刻性、靈活性、發散性、敏捷性，教師必須把課堂作為訓練學生思維的主要陣地，讓課堂煥發出思維的活力！
拋物線及其標準方程范文3
關鍵詞：數學素養；變式題；推理能力
圓錐曲線在數學上是一個非常重要的幾何模型，有很多幾何性質，這些重要的幾何性質在日常生活、社會生產及其他科學中都有著重要而廣泛的應用，并且學習這部分內容對于提高自身的素質是非常重要的.其中拋物線是圓錐曲線中的重要的一類，在高考中有著重要的地位.特別地，在導數引入高中數學，對拋物線的考查就更為頻繁.在學習了拋物線的定義以及拋物線的幾何性質之后，為了更好地理解拋物線的定義，筆者從下面幾個方面進行說明.
一、鞏固拋物線的定義
1.到點A（1，1）的距離與到直線l：3x-4y+1=0的距離相等的點的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線
解析：粗看滿足拋物線的定義，再仔細一看，易發現點A∈l，點的軌跡為經過點A且垂直于直線l的一條直線.這有助于理解拋物線的定義――直線外的一點.
2.經過點F（2，0）且與直線l：x=-2相切的動圓的圓心M的軌跡是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線
解析：由圓的性質及直線與圓相切的性質可知，圓心到切線的距離等于半徑，又點F在圓M上：即圓心M到定點F的距離等于到定直線l的距離，滿足拋物線的定義，所以動圓心M的軌跡是拋物線.
變式1：到點F（2，0）的距離比到直線l：x=-1的距離大1的點的軌跡是（ ）
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
解析：把直線l向左平移一個單位，可以轉化為l′∶x=-2，到定點F（2，0）的距離等于到定直線l′：x=-2的距離，滿足拋物線的定義。
變式2：動點M（x，y）滿足等式： = ，則點M的軌跡為（ ）
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
解析：等式可化為： = .
根據兩點間的距離和點到直線的距離公式可得，動點M（x，y）到定點F（2，0）的距離等于到定直線l：3x+4y-2=0的距離，滿足拋物線的定義（不是我們所熟悉的標準條件下的拋物線）.
二、拋物線定義的簡單應用
1.求焦點在x軸上，且拋物線上一點A（3，m）到焦點的距離為5的拋物線的標準方程.
解析：根據題意，設拋物線的標準方程為：y2=2px（p>0），如果運用兩點間距離公式，待定系數法聯立方程組解得，運算量較大.所以可根據拋物線的定義，拋物線上的點A到準線：x=-p/2的距離等于5，可得到p的值，從而求得拋物線的方程.
2.已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P在拋物線上，有一定點A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，及對應的點P的坐標.
解析：由定義可知，拋物線上的點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，所以求|PA|+|PF|的最小值，轉化為求|PA|+d的最小值，由點與直線上的點的連線中垂線段最短可得，過點A作準線的垂線，垂線段長即為所求的最小值，該垂線與拋物線的交點就是所求的點P.
變式：已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P在拋物線上，有一定點A（2，3），點P到y軸的距離為d，求|PA|+d的最小值.
解析：P到y軸的距離，可以延長到準線的距離，再根據拋物線的定義，轉化為到焦點的距離，即（|AP|+|PF|）-1/2的最小值，當A、P、F三點共線時取最小值.
3.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點是F，準線為l，過點F的弦AB為直徑的圓與準線l的位置關系 .
解析：過點A，B分別作準線l的垂線，垂足分別是A1，B1，取AB的中點為C，過C作準線l的垂線，垂足為C1，由拋物線的定義可知：|BB1|=|BF|，|FA|=|AA1|.
|AB|=|AA1|+|BB1|.
CC1是梯形ABB1A1的中位線.
2|CC1|=|AA1|+|BB1|.
|AB|=2|CC1|，即圓心C到準線的距離等于半徑.
以AB為直徑的圓與準線l相切.
變式：已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點是F，準線為l，過點F的弦AB，作AA1l，BB1l，垂足為A1，B1，求證：A1FB1F.
解析：在AA1F和BB1F中，根據拋物線的定義可知，|AF|=
|AA1|，|BF|=|BB1|，
2∠A1FA+∠A1AF=180°，
2∠B1FB+∠B1BF=180°，AA1∥BB1，
∠A1AF+∠B1BF=180°，
∠A1FA+∠B1FB=90°，
∠A1FB1=90°，即A1FB1F.
4.已知AB是拋物線y=x2上的動弦，且|AB|=a（a為常數且a>1），求弦AB的中點M的縱坐標的最小值.
解析：設點M的坐標為（x0，y0），過A，B，M分別作準線l∶y=- 的垂線，垂足分別為A1，B1，N，得直角梯形ABB1A1，MN為梯形的中位線.
MN= （AA1+BB1），又y0=MN- .
連接AF，BF，在ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=a，當且僅當AB經過焦點F時取“=”.
根據拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，
MN= （AA1+BB1）= （|AF|+|BF|）≥ AB= a，
當弦AB經過焦點F時，中點M的縱坐標有最小值： a- .
5.如下圖，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程是（ ）
A.y2= x B.y2=3x C.y2= x D.y2=9x
解析：過A，B分別作準線的垂線，垂足為A1，B1，準線與x軸相交于點K，則|BF|=|BB1|.
|BC|=2|BF|，|CB|=2|BB1|，∠B1CB=30°，
|AC|=2|A1A|=2|AF|=6，
F為AC的中點.
FK= AA1= ，即p= ，
拋物線的方程為y2=3x.
通過以上幾個例子，讓我們能夠進一步理解拋物線的定義，能更好地解決與拋物線有關的焦半徑問題和焦點弦問題，解決有關拋物線的最值問題和定點、定值問題.重視概念的理解是掌握基礎知識的第一步，是發展學生基本技能，培養學生的運算能力、思維能力、邏輯推理能力和分析解決問題的能力的基礎，是培養學生數學素養的基礎.
拋物線及其標準方程范文4
關鍵詞:拋物線 課堂設計
數學教學不同于其他學科,這是由于數學自身的特點――內容具有高度的抽象性,理論體系和推理方法具有邏輯嚴謹性,應用具有極端廣泛性決定的。我國數論大師、中國數學學會理事長王元長先生曾指出:“提起數學不少人仍覺得頭痛,難以入門,甚至望而生畏,我認為要克服這個鴻溝還是有可能的”。這個方法是,使學生對數學產生興趣,對數學有興趣,學生才會愿意去學習數學,喜歡數學。怎樣培養學生對數學的學習興趣,成為許多優秀教師研究的對象。而計算機進入課堂教學中,給教學帶來了新的生力,使數學教學有了質的轉變,本來枯燥無味的課堂因計算機輔助教學的作用而使得本身抽象的知識更變得生動活潑且易懂明了。我認為適時地應用多媒體輔助教學在一定程度上可以培養學生的數學興趣。
因此在實習時,為了提高學生學習數學的興趣,結合大學時學習的《中學數學教材教法》《心理學》《教育學》,更是憑借大學期間良好的計算機技術水平,我在給學生上“拋物線”這一節時,準備把PPT、幾何畫板、黑板這三者有機地結合起來,充分發揮三者的教學法優勢,取長補短,盡可能使數學課堂生動起來,從而提高課堂教學效益。因為使用多媒體輔助教學有以下特點:
(一)形象生動:多媒體輔助教學課件通常是通過計算機把靜態、抽象的課堂內容設計成動態、直觀的內容展示給學生,便于學生理解這節課的內容。
(二)效率高:它展示的教學內容的速度快,只需要用鍵盤或鼠標簡單操作幾下,就能把教學內容展示出來。
(三)交互性強:使用多媒體輔助教學,有利于教師和學生更多的交流,讓學生體會到老師就在他們學習之中。
(四)用多媒體輔助教學直觀、明了、字體大,讓學生看得清楚、能理解。
那么又怎樣把多媒體輔助教學與傳統教學(黑板)有機結合呢?
首先考慮這節課的特點,拋物線的定義和方程是很抽象的,如果教師只用黑板授課很難講解清楚,而拋物線的形成又不能在黑板上表示出來。學生對標準的拋物線圖形不了解就難以形成正確的概念。
中學生心理學研究指出,高中時期是學生智力發展的關鍵期,學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展,觀察能力、記憶能力和想象能力也隨著迅速發展。從心理學特點來看,高中學生有好動、好奇、好表現的特點,教師應該采用形象生動、形式多樣的教學方式來教學,所以上這節課前就應該把學生的注意力集中在課堂上,這樣講新知識點學生容易接受一些。
我認為每堂課的設計重點應放在知識的重點、難點的突破上,而這節課的重點、難點都體現在對拋物線的定義理解和方程的推導過程兩個方面。為突出重點,同時分散難點,我設計的大體流程如下:
第一張幻燈片用于課題引入,是用一個圓沿著拋物線運動,加上卡通畫提高學生的學習熱情,使得學生在講解定義時注意力迅速轉入到課堂內容上。拋物線的形成過程通過超級鏈接導入幾何畫板,這就發揮了幾何畫板的特點。自由控制拋物線的形成過程能讓學生仔細觀察拋物線的繪圖原理,有助于他們理解拋物線的定義,還可以培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力。這是符合學生的認知水平的(感性認識到理性認識)。
而用黑板板書拋物線方程及其推導過程有助于思維較慢的學生跟上分析過程。例2用板書來書寫解題過程,是因為解題思路和過程對本節拋物線的應用這是重點,也是難點,真正達到更好地把握以及分散難點的目的。這也發揮了黑板“及時反饋”的優點,并且,教師在黑板上板書詳細的解題過程,可以給學生以良好的示范,這樣可以讓學生在做作業時,養成較好的書寫習慣。最后用幻燈片作小結能清晰、明了地展示出本節課的知識點及重點。
這種多媒體與黑板交互使用是以提高教學質量為目的,真正讓多媒體輔助教學起到輔助作用,起到為教育教學服務的作用。在實習期間上完這節課,我發現學生提問題及其回答問題都很活躍,原來上課不認真、喜歡睡覺的學生同樣認真聽完這節課。課后我和那些有經驗的老教師交流,他們說“最頭痛的是上二次曲線這章內容,學生不易理解,我們也難給他們講解清楚?！逼鋵嵰彩撬麄冋f的這樣,這節的概念抽象,如果用傳統的教學方法是不容易講清。而用多媒體來輔助這堂課的教學,恰好能使學生的知識形成脈絡,讓學生真正達到融會貫通、學以致用的學習效果。
拋物線及其標準方程范文5
【文獻編碼】 doi:10.3969/j.issn.0450-9889（B）.2011.11.027
隨著新課程改革的推進，新的教育理念日漸推廣，教師如何組織課堂，如何在45分鐘內最大限度地整合教材、教師自身、學生、環境四位一體的課程資源，從而大幅度提高課堂教學的效率，已成為一個急待解決的重要問題。本文就這個問題提一些見解。
一、 課前做好充分備課
要提高課堂效率，教師必須在課前做好充分備課。備課主要從兩個方面進行。首先是備教材，在備課過程中要認真學習課程標準，通讀教材，深入研究和了解教材的編寫意圖、思想內容、基礎知識及其訓練的要點，明確教學目標，即學生的學習目標。對哪些是讓學生通過自己學習掌握的簡單知識，哪些是中等難度的需要教師適當引導學習的知識，哪些是要由教師帶領下共同克服困難去學習的知識，哪些是教師要重點強調的知識，教師要做到心中有數，并在教學時間分配上有個大概的安排。其次是備學生，要全面了解學生的思想狀況、知識基礎、智力水平、個性特點、興趣愛好和個體差異等。比如，教師如何才能在課堂上吸引學生的注意力，對課堂學習目標，哪些學生可以自己完成，用多少時間完成，在哪些知識點上可以讓學生 通過“自主、合作、探究”的活動去完成等，這些都要根據學生的具體情況來決定，只有充分了解學生，教師才能在課堂上進行有效的引導。
二、 課堂教學講究方法
按新課程改革的要求，數學的課時減少，但內容并沒有太多刪減，這就要在45分鐘內教學生更多的內容，因此，教師每句話都要說到點子上，力求講得精，練得精。
1. 創設教學情境，激發求知欲望
上課開始教師就要創設不同的教學情境，通過聲音、手勢、板書等的變化或應用模型、投影儀、多媒體等直觀教具，刺激學生的大腦，使學生興奮起來，激發學生對所學內容的學習興趣。教學情境主要是問題情境，它應能激發學生的求知欲望，誘發學生的表達欲望，激發學生主動參與學習的動機，營造讓學生產生切身體驗的環境。例如，教學《拋物線的定義》一節時，可以先用多媒體放一段NBA球星科比在比賽中投籃的視頻，然后提出“科比在投籃的時候籃球的運行軌跡是怎樣的”的問題。在學生發表交流自己的想法的時候，教師再點明課題。
2. 促使學生參與，開展合作探究
學生是課堂的主人。一節課的效果不只是由教師講得如何，還要看學生學得如何來決定的。因此，教師要努力促使學生積極參與，充分開展思維，通過共合作探究、小組討論解決問題。在這個過程中，教師充當引導者的角色，讓學生自己去體驗問題探究。
如教學《拋物線定義》這一節課，教學的重點是拋物線的定義和標準方程，難點是拋物線方程的化簡。學生在討論什么是拋物線的問題時，有的同學提出球的運行軌跡就是拋物線，但如何引出其方程呢？就這個問題大家開展了熱烈的討論。有的同學說可以將地平線與過籃筐且與地平線垂直的直線為坐標軸建立坐標系，有的同學提出以地平線與過籃板平面且跟地面垂直的直線為坐標軸建立坐標系，還有的提出以地平線與籃板的支柱為坐標軸建立坐標系，等等。這時教師適時進行引導：“那大家不妨按這幾個同學提出的方案列出拋物線的方程。”由于學生在前面已學習過橢圓與雙曲線的方程，在比較中可以知道它們列方程的方法有相同之處，所以思維過渡比較自然。在求方程的過程中，學生完成工作的時間和結果互不相同，這是怎么回事呢？學生開展了討論，這時教師不做任何的解釋，只是說了句：“相信自己，只要你的答案有充分的依據，它就是正確的。當然，我們還要看看誰的方案最好，這個不妨與教材比比看。”得到了老師的肯定，大家的熱情都很高，有些同學開始檢驗自己結論的正確，有些同學在比較自己的方案與其他同學方案的異同。在思考和討論中，有的同學發現了問題：大家的方法都對，但其中有一種是最簡單的。這就是所謂的標準方程。至此，教師覺得水到渠成了，讓提出最簡單的方案的同學將他的做法用投影儀展示出來，使大家都明白了求拋物線標準方程的方法與過程。最后，教師帶領學生總結拋物線方程求解的過程與方法，并聯系前面的課程，讓學生在橢圓與雙曲線的基礎上又掌握一種新的圓錐曲線。以上過程是本節課最關鍵的部分，學生通過積極參與、合作探究解決了問題，體驗了如何學習，這正是新課程標準所強調的。
3. 合理安排教學，引導學習方法
教師的組織與調控是提高課堂效率的重要因素。課堂中教師要合理安排好教與學，將學生的思維調整到解決問題的思路、方法上，讓學生輕松愉快地解決問題，并使學習的過程與成果在學生的頭腦中留下深刻的印象，這樣，學習的目的達到了，師生一起體會成功的喜悅，效果自然就好。
葉圣陶先生說過：“假如學生能夠‘領悟’了，能夠‘研究’出來了，就無須教師‘講述’了。教師所‘講述’的，只是學生想‘領悟’而‘領悟’不到，曾經‘研究’而‘研究’不出來的部分。這才顯出‘講述’的真正作用?！遍L期以來，課堂教學效率低的一個重要原因就是教師講得太多，學生活動太少，忽視了學生是否領悟。
上述的《拋物線定義》這一節課，從問題引入到求出標準方程共用了25分鐘左右，這段時間里教師的活動、講話都比較少，主要由學生自主學習、合作探究。由于學生已經具備的經驗和能力對解決問題是沒有什么困難的，所以在化簡方程的時候教師適當點撥就可以了。教師主要向學生強調數形結合的思想與比較、分析、歸納的方法，采用提問、對比、聯系相關知識等方式，讓學生通過思考自己得出正確答案或結論，這樣要比直接告訴學生更能使學生留下的印象深刻。
在教學中，教師適當引導學生掌握學習方法很重要，這是提高課堂效率的重要手段。新課程的課堂，學生在探求知識的過程中，需要自己觀察、思考、探究的時間多了，理所當然產生的“疑點”也就多了。要解決這個問題，需要教師科學合理的引導。當學生或概念模糊，或真知與謬誤難分，或挖掘不出知識內涵時，都需要教師的引導。同時，教師應根據不同的知識點，采取不同的形式，如網絡法、集合法、表格法、列主題綱要法、列符號綱要法等，引導學生將新知識納入原有知識結構中。在師生互動中，學生的認識、表達出現障礙時，教師可以通過重讀內容、評價點撥、語言鼓勵、順向或逆向牽引思維等，推動學生的認識與表達水平邁上新臺階。
4. 選擇適當練習，引導自我更正
每堂課教學的基本概念、核心知識，是要求每一個學生都要掌握的，這是課程標準的底線，所以學習新知識后要及時通過練習來鞏固學生所學的知識。在《拋物線定義》這一節課中，學生在親自解決求拋物線標準方程的問題后，對新知識的應用會有一種躍躍欲試的感覺，教師應及時讓學生在練習中進一步鞏固所學的知識。選擇練習題目時，一要控制題目的難度，二要拓展題目的寬度，在基本目標達到的前提下，對學有余力的學生要拓展提高他們的認識，做到分層教學。對難度較大的例題教師可以用多媒體演示規范化的解答過程，讓學生模仿演練。學生練習時教師巡堂并及時對學生的解法做適當的點撥，并讓做得好的同學用投影儀展示他們的方法給其他同學參考，對典型的錯誤也可以投影出來讓大家分析原因。在整個活動過程中，教師只是在出現爭論的時候引導學生自我更正，讓學生充分動腦動手動口，真正成為學習的主人。只有學生自己有體會了，能力才能真正形成，所學的東西才會消化。將練習都放到課外去，有時效率并不高，當堂練習有助于及時發現問題、及時更正、提高效率。
5. 學生自主總結，構建知識系統
每堂課的總結是學習的一種升華。通過教學實踐發現，讓學生來進行總結能提高課堂教學效率。學生在自主學習的過程中，對本節課所學習的知識是否有了深刻的印象，是否有了深切的體會，這可以從其總結中看出。如果達不到要求，教師可以用精要的語言來加以點撥。要注意的是，除要求學生總結出本節課所學的知識外，還應要求學生將所學的知識納入知識板塊中。比如學習了“拋物線的定義”這一內容，總結時學生大多都只說了本節學習了拋物線的定義、標準方程及求標準方程的方法、簡單應用等，這時教師就要引導學生注意拋物線與其他圓錐曲線的區別與聯系，并聯系高考要求強調拋物線在圓錐曲線這個知識板塊中占有的地位，讓學生有意識地將分開學習的各部分內容組成一個系統，構建起“知識樹”。
三、 以教師的魅力、能力提高效率
教師的人格魅力、應變能力和適時評價的能力等也是提高課堂教學效率的重要因素。
學生在學習過程中必定會遇到困難，當學生因此而表現出學習情緒不高、興趣不大時，教師以其文化修養與人格魅力可以極大地影響學生、感染學生，使學生樹立起克服困難的信心和勇氣。因此，教師要努力提升自身的修養與魅力，讓學生向往你的課堂，向往得到你的表揚，向往與你交流。
在教學中，往往有許多預料不到的情況出現，教師對此要能迅速、靈活、準確地做出判斷處理，維持課堂穩定平衡，使學生的學習能繼續有效開展，這是教師必備的一種課堂應變能力。這種能力要求教師能夠將不利于課堂教學的因素轉化為有利于、服務于課堂教學的契機，繼而使課堂轉入正常。
在課堂上，教師對學生的自主學習給予適時、科學的評價，能讓學生真正感到你是在與他一起解決困難的，從而想與你一起學習。因此，一些不能引起學生共鳴的評價是要注意的。比如，當學生的回答并不是很精彩時，有的教師卻給以“你真棒”、“你真聰明”……的評價；反之，對于學生精彩的回答、獨到的想法卻只給予 “你真棒”、“你真聰明”的評價，這些都會讓學生感到教師不是真正發自內心在贊賞。坦誠、真切的話語才能使學生真實地體驗到自己的成功，使學生得到主動發展的動力。
拋物線及其標準方程范文6
一、基礎知識的綜合
重難點剖析解析幾何中直線與圓的基礎知識的試題多為選擇題和填空題，難度適中，但偶爾有與圓有關的解答題，難度可能較大． 圓錐曲線的基礎試題主要考查圓錐曲線的標準方程及其幾何性質等基礎知識、基本技能及基本方法的運用．
1. 直線與圓的綜合
例1點P（x，y）在直線4x+3y=0上，且滿足－14≤x－y≤7，則點P與坐標原點距離的取值范圍是（）
A． ［0，5］ B． ［0，10］
C． ［5，10］ D． ［5，15］
簡析由于點P（x，y）在直線4x+3y=0上，則y=－x，又－14≤x－y≤7，則－14≤x+x≤7，解得－6≤x≤3，而點P到坐標原點距離為|OP|===|x|∈［0，10］，選B．
點評綜合應用直線的方程、不等式的性質、兩點間的距離公式等相關知識解決對應的直線綜合問題時，關鍵是正確把握不同知識的切入點．
2． 圓錐曲線的綜合
例2已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，過F且斜率為1的直線交拋物線C于A，B兩點． 設|FA|>|FB|，則|FA|與 |FB|的比值等于＿＿＿＿．
簡析假設A（x1，y1），B（x2，y2），由y=x－1，
y2=4x，消去y可得x2－6x+1=0，解得x1=3+2和x2=3－2（x1>x2），由拋物線定義知==3+2．
點評直接求解對應的線段長度后再加以求解比值問題，往往計算量大，難以操作． 靈活運用圓錐曲線的定義，則可輕松轉化問題，進而順利解決問題．
二、交匯知識的綜合
重難點剖析圓錐曲線的綜合問題在高考中多以壓軸題的形式出現，主要涉及位置關系、弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，對考生分析問題、解決問題及計算能力的要求較高． 解析幾何往往與平面向量、數列、導數、創新概念等交匯與綜合．
1． 解析幾何與平面向量
例3如圖1，設橢圓+=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F2，離心率e=，右準線為l，M，N是l上的兩個動點，?=0．
（Ⅰ）若||=||=2，求a，b的值；
（Ⅱ）證明：當||取最小值時，+與共線．
[圖1][y][x][O][M][l][N][F1][F2]
簡析（Ⅰ）由a2－b2=c2與e==，得a2=2b2，F1
－a，0，F
a，0，l的方程為x=a. 設M（a，y1），N（a，y2），則=
a，y1，=
a，y2. 由?=0得y1y2=－a2
由①②③三式，消去y1，y2，并求得a2=4，故a=2，b==．
（Ⅱ）
2=（y1－y2）2=y+y－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2=－4y1y2=6a2，當且僅當y1=－y2=a或y2=－y1=a時，
取最小值a，此時+=
a，y1+
a，y2=（2a，y1+y2）=（2a，0）=2，故+與共線．
點評圓錐曲線各基本量的關系，數形結合以及坐標運算均很重要．在求解圓錐曲線問題中應靈活應用“設而不求”的消元思想． 通過平面向量這一工具，巧妙入手，并結合平面向量與圓錐曲線，能夠很好地考查各方面的能力．
2． 與數列及導數的綜合
例4如圖2，設拋物線方程為x2=2py（p>0），M為直線y=－2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．
（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；
（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，－2p）時，|AB|=4，求此時拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線x2=2py（p>0）上，其中，點C滿足=+（O為坐標原點），若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
[y][A][圖2][x][B][O][M][-2p]
簡析（Ⅰ）由題意知Ax1，
，Bx2，
，x1
+2p=（x2－x0）. ②
由①②得2x0=x1+x2，所以A，M，B三點的橫坐標成等差數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x0=2時，將其代入①②并整理得x－4x1－4p2=0，x－4x2－4p2=0，所以x1，x2是方程x2－4x－4p2=0的兩根，因此x1+x2=4，x1x2=－4p2. 又kAB===，所以kAB=. 由弦長公式得|AB|=?=?，又|AB|=4，所以p=1或p=2，因此所求拋物線方程為x2=2y或x2=4y．
（Ⅲ）設D（x3，y3）（以下y1，y2分別代表A，B的縱坐標），由題意得C（x1+x2，y1+y2），則CD的中點坐標為Q
，
. 設直線AB的方程為y－y1=（x－x），由點Q在直線AB上，并注意到點
，
也在直線AB上，代入得y3=x3. 若D（x3，y3）在拋物線上，則x=2py3=2x0x3，因此x3=0或x3=2x0，即有D（0，0）或D2x0，
．
（1）當x0=0時，x1+x2=2x0=0，此時，點M（0，－2p）適合題意；
（2）當x0≠0時，對于D（0，0），此時C2x0，
，kCD==，又kAB=，ABCD，所以kAB?kCD=?==－1，即x+x=－4p2，矛盾，對于D2x0，
，因為C2x0，