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線性規劃范文1
一、向量中的線性規劃
例1（南京市2012屆高三第一次調研測試）如圖1，在正方形ABCD中，已知AB=2，M為BC中點若N為正方形內（含邊界）任意一點，求AM·AN的最大值
解：以A為坐標原點、AB所在直線為x軸建立如圖2所示的
平面直角坐標系，則M點的坐標為（2，1）設N（x，y），則
N點所在區域由不等式組
確定，將x=2，y=2代入2x+y求得
最大值等于6
二、數列中的線性規劃
例2 （蘇州、無錫、常州、鎮江2012屆高三一模試題）等差數列
解：設此等差數列的首項為a，公差為d，
則
目標函數的范圍如圖3所示，可行域中兩直線的交點坐標是（29，-2），
代入得a12=a+11d
的最大值是7故
三、導數中的線性規劃
例3已知函數
[-1，3]上是減函數，求a+b的最小值
解：因為f（x）在區間[-1，3]上是減函數，所以f ′（x） 在區間
作出可行域（圖4），求得a+b的最小值為2
四、函數單調性中的線性規劃
例4定義在R上的函數y=f（x）是增函數，且為奇函數，若實數s，t滿足不等式f（s2-2s）≥f（2t-t2）
，則當1≤s≤4時，求
3t+s的取值范圍
解：因為f（x）是奇函數，
所以-f（2t-t2）=f（t2-2t）又y=f（x）是增函數，且
所表示的可行域（圖5）將邊界點A、B、C的坐標分別代入求得
3t+4的值
，比較得最大值和最小值分別為16、-2所以-2≤3t+s≤16
五、方程根的分布中的線性規劃
例5已知
方程
x2-mx+n=0兩根為
α，β，且
1≤α≤2≤β，求m2+n2的取值范圍
解：設
f（x）=x2-mx+n，由已知得方程
x2-mx+n=0的一根在區間[1，2）內，另一根在區間
[2，+∞）內，因此
作出其可行域（圖6）圖中陰影部分的點到原點O的距離的最小值為
13，故
m2+n2的取值范圍是
[13，+∞）
六、復數中的線性規劃
例6（2012屆高三同心圓夢模擬一）
復數
可行域如圖7所示，將mn看成可行域內的點與原點O連線的斜率，求得
七、三角形三邊關系中的線性規劃
例7（蘇州市2011屆高三第一學期期末調研試題）已知ABC的三邊長為a，b，c且滿足
b+2c≤3a，c+2a≤3b，
求ba的取值范圍
解：因為a，b，c是三角形的三邊，
所以a+b>c，
|a-b|
可行域如圖8所示
將ba看成可行域內的點（a，b）與原點連線的斜率，
b-0a-0
的最大值為
八、直角三角形中的線性規劃
例8直角三角形的三邊長分別是7，24，25，P是其形內（包括邊界）的一點，求P點到三邊距離之和的最大值與最小值
解：不妨設三角形三邊為AC=7，BC=24，AB=25，以直角頂點為坐標原點，建立如圖9所示的平面直角坐標系，則AB的方程為
即7x+24y-168=0設ABC形內（包括邊界）
一點為P（x，y），它到三邊的距離之和為
所確定的可行域組成將A（0，7）、B（24，0）、C（0，0）代入d中，當x=24，y=0時求得d的最大值等于24；當x=0，y=0時求得d的最小值等于
所以P點到三邊距離之和的最大值等于24，最小值等于
九、不等式中的線性規劃
例9已知實數a，b滿足
a≥10，
a2b的最大值為n，最小值是m，求
nm的值
解：由題得a>0，b>0，將條件取常用對數，得
在此條件下求z =2x+y的最大值與最小值
可行域如圖10所示，求得
線性規劃范文2
1、線性規劃（Linear programming,簡稱LP），是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法。研究線性約束條件下線性目標函數的極值問題的數學理論和方法。英文縮寫LP。
2、線性規劃是運籌學的一個重要分支，廣泛應用于軍事作戰、經濟分析、經營管理和工程技術等方面。為合理地利用有限的人力、物力、財力等資源作出的最優決策，提供科學的依據。
（來源：文章屋網 ）
線性規劃范文3
例1已知實數x,y滿足y≤2x,y≥-2x,x≤3,則目標函數z=x-2y的最小值是.
錯解:題中的可行域如圖1的陰影部分所示,其中O為坐標原點,A(3,6),B(3,-6).
先作出動直線l:z=x-2y過原點時的情形,如圖中的虛線l0所示. 由圖1可知,當l過點B時,z取到最小值zmin=3-2×(-6)=15.
【剖析與糾正】 動直線l的方程為:y=-,該直線的截距為-,故當動直線截距取到最大值時,對應目標函數z才取到最小值. 顯然,當l過點A時,其截距最大, zmin=3-2×6=-9.
點評: 理所當然地把目標函數“z”跟“截距”畫上等號是大錯特錯的. 一般地,若目標函數為z=ax+by (b≠0),則動直線l的方程為:y=-+,才是動直線在y軸上的截距. 由此可見,當b>0時,目標函數z取到最大(最小)值等同于截距取到最大(最小)值;當b
這一錯解告訴我們,先將目標函數改寫為動直線的斜截式方程,再從中確定目標函數值與動直線截距間的對應關系,是準確求解線性規劃問題的第一步.
二、無視動直線與可行域邊界直線間的相對傾斜程度
例2若實數x,y滿足x+y≥2,2x-y≤4,x-y≥0,則2x+3y的最小值是.
錯解: 可行域如圖2陰影部分所示,其中A(2,0),B(1,1),C(4,4).設z=2x+3y,則動直線l:y=-x+過原點時的位置為l0,平移l,由圖2可知,當l過點B時有zmin=2+3=5.
【剖析與糾正】 錯解無視動直線l與可行域邊界直線AB間的相對傾斜程度,草率作出了l0的圖象,從而導致了錯解. kl=->kAB=
-1,由斜率的幾何意義可知,l的“陡峭”程度要小于AB,故l過原點時的位置應如圖中的l1所示. 由此可知,當l過A點時z取到最小值,zmin=2×2+0=4.
點評: 當線性約束條件表示的可行域為一多邊形時,明確動直線與可行域邊界直線的相對傾斜情況,是正確求解線性規劃問題的第二步.
一般地,可先觀察直線斜率的正負,然后再根據斜率絕對值的大小來確定動直線與邊界直線的相對傾斜情況.
三、忽視變量實際意義,“想當然”推斷最優解
例3要將兩種形狀不規則的鋼板截成A,B,C三種規格的小鋼板,每張鋼板可截得的各種小鋼板的塊數如表1所示.
表1
已知第一種鋼板的面積為1m2,第二種鋼板的面積為2m2. 今分別需要A,B,C三種規格的小鋼板12,15,27塊,則需使用鋼板的最小面積為
m2.
錯解一: 設需要第一種鋼板x張,第二種鋼板y張,所用鋼板總面積為zm2,則z=x+2y,且x,y滿足x+y≥12,2x+y≥15,x+3y≥27,x>0,y>0.易知可行域如圖3陰影部分所示,其中L1:x+y=12,L2:2x+y=15,L3:x+3y=27,L1,L3的交點為A,.動直線l:y=-x+過原點的直線為l0,顯然當l過點A時,zmin=+15=19.5(m2),即至少需要使用鋼板的面積為19.5m2.
錯解二: 由于x,y為鋼板的張數,故應為正整數,A,不是整數點,所以應選擇可行域內離A最近的整數點B(5,8), zmin=5+2×8=21(m2).
【剖析與糾正】錯解一忽視了所求變量x,y與目標函數z的實際意義.錯解二雖注意到了最優解應為整數解,但選擇點B只是想當然的,并沒有驗證B點是否確為最優解.
設l過點A,時的直線為l1 (此時z=19.5),過點B(5,8)時的直線為l2 (此時z=21). 假設存在其他最優解D(x0,y0),則過點D的直線l必介于l1,l2之間,此時z∈(19.5,21), z∈N*, z=20.
易知l2的方程為x+2y=21,l2與L3的交點為B′(9,6),l2與L2的交點為C(3,9)(也即L1與L2的交點).顯然點D必定在如圖3所示的AB′C(含邊界)內,則有x0+2y0=20,3≤x0≤9,6≤y0≤9,x0,y0∈N*.解得D(8,6)(舍去,不在可行域內),D(6,7)或D(4,8),故z=20可以取到,即需使用鋼板的最小面積為20m2.
點評: 求最優整數解是線性規劃的難點. 本題的剖析其實給同學們展示了一種求最優整數解的簡便方法:第一步,求出不考慮整數條件時的最優解A及此時的目標函數值z(A). 若A恰好為整數解,則問題解決;若A不是整數解,則進入第二步,在該“最優解”附近求得某一整數解B及此時的目標函數值z(B);第三步,推斷介于z(A)與z(B)之間的可能的目標函數值,并求出該目標函數值對應的所有整數解;第四步,驗證這些整數解是否在可行域內.
四、分析、轉化問題不全面
例4已知x,y滿足y≤x,x+y≤1,y≥-1,則使2x+y取到最大值的(x,y)為
.
錯解: 令z=2x+y,要使2x+y取得最大值,即要使z取得最大值. 題中的可行域如圖4陰影部分所示,由圖可知,當動直線l:y=-2x+z經過點A(2,-1)時z取到最大值,zmax=2×2-1=3,故使2x+y取到最大值的(x,y)為(2,-1).
【剖析與糾正】錯解對“2x+y取得最大值”這一條件進行了不等價轉化.2x+y的最大值應為2x+y可取到的最大值與最小值中的絕對值較大者,故解題時還應該考慮z=2x+y取到最小值的情況.
由圖4可以看出,當動直線l經過B(-1,-1)時,zmin=2×(-1)-1=-3,故2x+y的最大值確實為3,但其對應的(x,y)卻有兩組:(-1,-1)或(2,-1).
點評:求解二元一次式的絕對值這個問題似乎并沒有直接指向線性規劃,但我們通過轉化使其具有了線性意義. 設z=2x+y,找出這一目標函數的最值,等于“變相”地去掉了“絕對值”符號. 但如果分析不全面,仍然可能導致錯解. 可見,線性轉化、全面分析,乃是線性規劃應用的原則.
線性規劃范文4
關鍵詞：高職院校;線性規劃;單純形法
中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-4107（2015）12-0030-02
運籌學是應用數學的一個分支，是研究如何將生產生活、軍事管理等事件中出現的一些問題加以提煉，然后利用數學方法進行解決的學科。主要是利用高等數學、線性代數等數學知識來解決問題，使成本最小化和利潤最大化。是高等院校中經濟和管理系學生的必修課。線性規劃是運籌學的一個重要分支。1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出了解線性規劃問題的一種有效方法――單純形法，線性規劃在理論上日益成熟，在實際應用中更加廣泛與深入。特別是在計算機能解決成千上萬個約束條件和決策變量的線性規劃問題之后，線性規劃的適用領域更加廣泛。從解決一些技術問題的最優化設計，到工業、農業、商業、交通運輸業、軍事、經濟計劃和管理決策等領域都可以發揮重要作用。
線性規劃應用日益廣泛。高職高專職業院校的許多專業都將這一運籌學基本內容納入教學計劃?？墒蔷€性規劃是一種數學方法，涉及高維空間。這些專業的本科生、大專生，即便學過線性代數，往往仍比較生疏，不能靈活運用線性代數知識領會線性規劃內容。他們覺得線性規劃理論抽象難懂。部分學生甚至失去學習信心。另一方面，許多教材把線性規劃安排在線性代數后面，有作為線性代數應用舉例的用意，若前后教學設計呼應不好，這一安排也將落空。
筆者等應邀為高職高專院校編寫線性規劃新教材[1]，在教材中如何體現從此類學生數學基礎的現狀出發？如何形象化地講解線性規劃原理？如何與他們學過的線性代數呼應？如何跟著時代步伐，更新教材[2]？――這些問題就提到筆者的面前。
針對高職高專院校學生的情況，筆者提出“夯實理論基礎，抓好建模、上機兩個實際本領”。在“夯實理論基礎”方面，主要是根據經濟、管理業務需要，針對學生實際的數學基礎，加強與他們學過的線性代數相關知識的聯系，在形象化的講解上下大力氣。改變一些概念的提法，使學生感到通俗易懂，在追求概念正確的前提下力求內容講解形象生動，采用計算機畫圖并結合動畫演示等手段給學生以感性認識。使線性規劃的理論部分變得容易接受。在線性規劃題目的計算方面，減少筆算，增加機算，降低學生計算的難度，提高計算效率，增強學生學習的自信心。此外，針對線性規劃教學和教材中需要注意的一些不確切的表述，筆者提出了一些見解，希望幫助學生對知識的透徹理解，也可與同行交流。在課后習題的設置方面，筆者也作了探討，請參閱文章《編寫線性規劃習題的新構思》[3]，在教學中為了更好地培養學生的動手能力，筆者寫了《線性規劃教學中如何培養學生的動手能力》一文，在此均不再贅述[4]。
一、用“自由變量改稱非基變量”的提法，破除“基”的神秘感
目前線性規劃教材的用語是跟著運籌學的幾本大部頭著作走的。而權威著作的用語，一方面受早年開創性論文詞匯的影響，有些術語今已改譯;另一方面權威著作比較深奧，假設讀者對于線性代數中的相關基礎理論知識均已熟練掌握。但是實際上職業院校的運籌學教材大多只講到線性方程組的求解，往往未將上述基礎理論全部列入大綱，個別概念即便提到，頂多也是草草帶過。這就造成在職業院校的運籌學的很多教材中，線性規劃的許多術語學生感到生疏、抽象，或與以前學過的線性代數對不上號。
許多線性規劃教材一開始就另起爐灶，用學生不熟悉的術語下“基”的定義，舉例又很簡略。學生用不上剛學的線性代數，以致對“基”的概念懵懂，云遮霧罩，往往全憑死記，也就更談不上理解“換基”等等內容。
筆者為避免使職業院校的學生感到突兀，從他們熟悉的線性方程組求解知識入手，指出約束方程的增廣矩陣化成行最簡形矩陣后所得同解方程和相應的通解，實質上就是“用自由變量表達非自由變量”。按線性規劃的術語，稱作“用非基變量表達基變量”。不過是把“自由變量”改稱“非基變量”;把“非自由變量”改稱“基變量”罷了。再由“基變量”引入“基”的概念，由此破除“基”的神秘感。再利用他們會的通過“行初等變換”，在增廣矩陣系數矩陣中化出單位陣的知識，講“基”的性質等內容。這樣，學生就會很容易理解。
學生容易知道：寫線性方程組的通解時，最易手到拈來的是“全部自由變量皆取零值的特解”，這個“特解”在線性規劃里叫作“全部非基變量皆取零值”。并指出這個特解在線性規劃里更重要，特意命名“基本解”。若“基本解” 還符合非負條件，就成為“基本可行解” （Basic feasible solution），它與圖解法中至關重要的可行解域的頂點有對應關系。這樣引入新概念，學生感到輕松自然。連差生也能順暢地由上章知識過渡到本章的新概念。
二、合理運用多種教學手段，增強學生的感性認識
因為線性規劃單純形法比較抽象，許多關鍵點學生不容易明白，對一些知識的理解比較模糊，為了使學生對解法有清晰感性的理解，筆者想到利用二維圖形、對照頂點表及圖象和動畫演示等手段，達到較好的教學效果。
（一）用二維圖形顯示“基本可行解”與可行解域頂點的對應關系
因學時限制，職業院校的運籌學教材不作證明，僅介紹“基本可行解”與可行解域頂點的對應關系結論。很多教材一筆帶過，學生印象不深。筆者加寫一個二維例圖讓學生驗看，增添感性認識。還把該例的對應關系，包括決策變量與張弛變量的值等，詳細列出表格，供后面講“換基”時查驗。雖然費些筆墨，因事關單純形法只到各個頂點搜尋最優解的基本思路，還是值得的。
（二）在二維圖上驗看可行解域頂點上確實“全部非基變量等于零”
在以往教學中，常有學生對全部非基變量在每個可行解域的頂點都取零值感到疑惑。筆者除了指出代數上的“基本可行解”與幾何上的可行解域頂點有對應關系外，還從幾何角度在二維圖上說明該例中各個非基變量等于零的幾何意義：在坐標軸線上的頂點，它的另一個坐標的值為零，其含義為非負條件;在其他邊線上的頂點，約束方程的張弛變量為零，表明至此已踩該約束條件的邊線。例如二維圖解法中，在表示不等式約束x1+x2≤6的邊線上，由它標準化所得的等式約束x1+x2+x3=6中的張弛變量x3為零。以此幫助學生接受高維空間也有類似規律的結論。
（三）對照頂點表及圖象導出“換基”的感性認識
在從代數學角度講“換基”的過程中，筆者還讓學生觀察上述可行解域頂點與“基本可行解”對照表中頂點間各變量值的變化，結合“非基變量必取零值”，自己總結得出“換基”的規律。學生感到生動明白。
（四）用動畫概括單純形法的思路
在講完單純形法的思路后，筆者放映一個二變量線性規劃題求最優解的動畫，以動態形象的動畫演示，使學生直觀地理解單純形法的解題思路，以加深學生對此解法的印象，鞏固學習成果。
三、裁減筆算法的輔助內容，開展機算
實際工作中遇到的線性規劃問題，必然變量很多（往往十個以上）且有效數字長，計算量太大。很多學生面對實際問題，憑筆算解不出來，只能望洋興嘆。身處計算機時代，而因襲幾十年前的老教法，只教筆算內容，或雖點到某處刊有源程序，卻不上機，這是國內經濟管理類專業線性規劃教學中相當普遍的現狀。為使學生真正具備解決實際問題的能力，筆者痛感必須掌握一種軟件。有所失才能有所得，為擠出時間上機，必須割舍一些原有內容。一般教材在講完單純形法的表上求解后，還要講一種求初始基本可行解的方法，一般是“輔助規劃法”。筆者考慮這部分與單純形法主干內容的關系相對而言小些，只好割愛。況且實際工作中，用計算機解題，不需要提供初始可行解。即便偶遇簡易筆算場合，由于新講稿中加強了與上章的聯系，真正看懂新教材的學生，從引入基變量概念的例題中，也會悟出對增廣矩陣作行初等變換，搜索出一個基本可行解，繪出首張單純形表，供表上疊代求解用。所以刪去這部分內容影響不算太大。這樣節約出利用計算機解題的時間，使學生利用上機解題，提高學習效率。
四、注意語言的準確性
線性規劃是運籌學中最活躍的分支，經濟類、管理類專業學生及從業人士普遍學習?，F在市場銷售的線性規劃書籍很多，但在教學和教材中都有一些需要注意的問題。
講課中不能因為強調形象有趣而忽視科學性。在職業院校的運籌學課堂上，雖無理工科那么多證明，同樣要在關鍵地方，字斟句酌，錘煉用語。在線性規劃的教材中就有若干常見的語病。例如個別書說“基的個數為組合數Cmn”（其中m為標準化后的約束方程數，n為變量數，且R（A）=m ）。這句話就漏掉“至多”二字，因為有的m階方陣的行列式可能為零，因而不能作基。
總之，線性規劃單純形法是一種較為抽象的數學方法，經過改進教學方法，采用上述講法，學生對該部分的學習普遍接受較好。
參考文獻：
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版社，2003：276-281.
[3]閻向曜，張小慧.編寫線性規劃習題的新構思[J].河南
財政稅務高等?？茖W校學報，2008，（6）.
線性規劃范文5
一、與概率相聯系
例1：設不等式組0？燮x？燮20？燮y？燮2，表示平面區域為D，在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是
（ ）。A. ， B. ， C. ， D. 。
解析：題目中0？燮x？燮20？燮y？燮2表示的區域如圖1正方形所示，動點D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此P= = ，故選D。
二、與基本不等式相聯系
例2：設x，y滿足約束條件3x-y-6？燮0x-y+2？叟0x？叟0，y？叟0，若目標函數z=ax+by（a>0，b>0）的最大值為12，則 + 的最小值為（ ）。
A. ， B. ， C. ， D.4。
解析：不等式表示的平面區域如圖2所示陰影部分，當直線ax+by=z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4，6）時，目標函數z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而 + =（ + ） = +（ + ）？叟 +2= ，故選A。
三、與解析幾何相聯系
已知線性約束條件，探求線性截距――加減的形式（非線性距離――平方的形式，斜率――商的形式）目標關系的最值問題是本部分的重點。
例3：已知實數x、y滿足x+y-1？燮0x-y+1？叟0y？叟-1，則w=x2+y2-4x-4y+8的最值為 。
解析：目標函數w=x2+y2-4x-4y+8=（x-2）2+（y-2）2，其含義是點（2，2）與可行域內的點的距離的平方。由實數x、y所滿足的不等式組作可行域如圖3所示：
可行域為圖中ABC內部（包括邊界），易求B（-2，-1），結合圖形知，點（2，2）到點B的距離為其到可行域內點的最大值，Wmax=（-2-2）2+（-1-2）2=25；點（2，2）到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內點的最小值，Wmax= = 。
四、與函數相聯系
例4：設二元一次不等式組x+2y-19？叟0x-y+8？叟02x+y-14？燮0所表示的平面區域為M，使函數y=ax（a>0，a≠1）的圖像過區域的取值范圍是（ ）。
A.[1，3]， B.2， ]， C.[2，9]， D.[ ，9]。
解：C，區域M是三條直線相交構成的三角形（如圖4）， 顯然a>1，只需研究過（1，9）、（3，8）兩種情形，a1？燮9且a3？叟8即2？燮a？燮9。
五、與向量相聯系
例5：已知點P的坐標（x，y）滿足：x-4y+3？燮03x+5y？燮25x-1？叟0，及A（2，0），則 的最大值是___。
解析： =| |?cos ∠AOP即為 在 上的投影長，由x-4y+3=03x+5y=25？圯M（5，2），| |?cos ∠AOP的最大值為5。
六、與數列相聯系
例6：設不等式組x>0y>0y？燮-nx+3n所表示的平面區域面積為D，記Dn內整點的個數為an（n？綴N？）：①求{an}的通項；②記{an}的前項和為Sn，且Tn= ，若對一切n？綴N？，總有Tn？燮m，求m的取值范圍。
解：①畫可行域知：an=3n。②知Sn= ，故Tn= ，Tn-Tn-1= - = = （n？叟2），當n=2時，Tn-Tn-1>0，即T1
當n=3時，Tn-Tn-1=0，即T2=T3；當n？叟4時，Tn-Tn-1T4>T5…故當n=2或3時，Tn最大，最大值為 ，故m？叟 。
線性規劃范文6
[關鍵詞] 線性規劃 方法 應用
線性規劃是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支,它是輔助人們進行科學管理的一種數學方法，早在1939年蘇聯的康托洛維奇（H.B.Kahtopob ）和美國的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生產組織管理和制定交通運輸方案方面首先研究和應用線性規劃方法。1947年旦茨格等人提出了求解線性規劃問題的單純形方法，為線性規劃的理論與計算奠定了基礎，特別是電子計算機的出現和日益完善，更使規劃論得到迅速的發展，可用電子計算機來處理成千上萬個約束條件和變量的大規模線性規劃（或非線性規劃）問題。從應用范圍來看，小到一個班組的計劃安排，大至整個部門，以至國民經濟計劃的最優化方案分析，它都有用武之地，從解決技術問題的最優化，到工業、農業、商業、交通運輸業以及決策分析部門它都可以發揮作用。線性規劃方法具有適應性強，應用面廣，計算技術比較簡便的特點。其基本思路是在滿足一定的約束條件下，使預定的目標達到最優。它的研究內容可歸納為兩個方面：一是系統的任務已定，如何合理籌劃，精細安排，用最少的資源(人力、物力和財力)去實現這個任務；二是資源的數量已定，如何合理利用、調配，使任務完成的最多。前者是求極小，后者是求極大。線性規劃是在滿足企業內、外部的條件下，實現管理目標的極值(極小值和極大值)問題，就是要以盡量少的資源輸入來實現更多的社會需要的產品的產出。因此，線性規劃是輔助企業“轉軌”、“變型”的十分有利的工具，它在輔助企業經營決策、計劃優化等方面具有十分重要的作用。
一、線性規劃模型的結構
企業是一個復雜的系統，要研究它必須將其抽象出來形成模型。如果將系統內部因素的相互關系和它們活動的規律用數學的形式描述出來，就稱之為數學模型。線性規劃的模型決定于它的定義，線性規劃的定義是：求一組變量的值，在滿足一組約束條件下，求得目標函數的最優解。
根據這個定義，就可以確定線性規劃模型的基本結構。
1.變量:變量又叫未知數，它是實際系統的未知因素，也是決策系統中的可控因素，一般稱為決策變量，常引用英文字母加下標來表示，如Xl，X2，X3，Xm等。
2.目標函數:將實際系統的目標，用數學形式表現出來，就稱為目標函數，線性規劃的目標函數是求系統目標的數值，即極大值（如產值極大值、利潤極大值）或者極小值（如成本極小值、費用極小值、損耗極小值等等）。
3.約束條件:約束條件是指實現系統目標的限制因素。它涉及到企業內部條件和外部環境的各個方面，如原材料供應、設備能力、計劃指標、產品質量要求和市場銷售狀態等等，這些因素都對模型的變量起約束作用，故稱其為約束條件。約束條件的數學表示形式有三種，即≥、＝、≤。線性規劃的變量應為正值，因為變量在實際問題中所代表的均為實物，所以不能為負。
在經濟管理中，線性規劃使用較多的是下述幾個方面的問題：
(1)投資問題―確定有限投資額的最優分配，使得收益最大或者見效最快。
(2)計劃安排問題―確定生產的品種和數量，使得產值或利潤最大，如資源配制問題。
(3)任務分配問題―分配不同的工作給各個對象(勞動力或機床)，使產量最多、效率最高，如生產安排問題。
(4)下料問題―如何下料，使得邊角料損失最小。
(5)運輸問題―在物資調運過程中，確定最經濟的調運方案。
(6)庫存問題―如何確定最佳庫存量，做到即保證生產又節約資金等等。
二、應用線性規劃建立數學模型的三步驟
1.明確問題，確定目標，列出約束條件。
2.收集資料，建立模型。
3.模型求解(最優解)，進行優化后分析。
其中，最困難的是建立模型，而建立模型的關鍵是明確問題、確定目標，在建立模型過程中花時間、花精力最大的是收集資料。
三、線性規劃的應用實例
例1 某工廠生產甲、乙兩種產品，每件甲產品要耗鋼材2kg、煤2kg、產值為120元；每件乙產品要耗鋼材3kg，煤1kg，產值為100元?，F鋼廠有鋼材600kg，煤400kg，試確定甲、乙兩種產品各生產多少件，才能使該廠的總產值最大？
解： 設甲、乙兩種產品的產量分別為X1、X2，則總產值是X1 、X2的函數
f(X1，X2)＝120X1＋100X2
資源的多少是約束條件：
由于鋼的限制，應滿足2X1＋3X2≤600；由于煤的限制，應滿足2X1＋X2≤400。
綜合上述表達式，得數學模型為
求最大值（目標函數）：f(X1，X2)＝120X1＋100X2
2X1＋3X2≤600
2X1＋X2≤400
X1≥0，X2≥0
Xl，X2為決策變量，解（略）得：Xl≤150件，X2≤100件
fmax＝(120 ×150＋100×100)元＝28000元
故當甲產品生產150件、乙產品生產100件時，產值最大，為28000元。
例2：已知甲、乙兩煤礦每年的產量分別為200萬噸和300萬噸，需經過東車站和西車站兩個車站運往外地。東車站每年最多能運280萬噸煤，西車站每年最多能運360萬噸煤，甲煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為1元/噸和1.5元/噸，乙煤礦運往東車站和西車站的運費價格分別為0.8元/噸和1.6元/噸。煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最少?
解：設甲煤礦向東車站運x萬噸煤，乙煤礦向東車站運y萬噸煤，那么總運費
f(X，Y)=x+1.5(200－x)+0.8y+1.6(300－y)(萬元)
即f(X，Y)=780－0.5x－0.8y
現要求此目標函數的最小值。
x、y應滿足：x≥0 ;y≥0
200-x≥0
300-y≥0
x+y≤280
200-x+(300-y)≤360
解（略）得：X=0 ，Y=280
甲煤礦生產的煤全部運往西車站、乙煤礦向東車站運280萬噸向西車站運20萬噸時，總運費最少。
上述兩例是只有兩個變量的線性規劃（求目標函數最大，最?。﹩栴}，其求解方法為圖解法，對于含更多變量的線性規劃問題，在解決思路、步驟上基本一致，只是在具體求解方法上要用到所謂的“單純形”方法，在此不再贅述。
四、結束語
線性規劃作為運籌學的重要分支，它在輔助企業經營決策、計劃優化，對于企業優化配置資源，降低成本，實現效益最大化等方面都具有重要的作用，因此作為企業的經營決策者有必要學習一點線性規劃知識，為科學決策，合理規劃做必要的知識準備。
參考文獻:
[1]管梅谷鄭漢影:線性規劃[M].山東科學技術出版社， 1983
