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求函數值域范文1
中圖分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）10（c）-0241-02
求函數值域是一個比較復雜的問題，不同的函數解析式要用不同的方法，下面舉例說明幾種常見的求函數值域的方法。
1 配方法
例1：求函數y=2x2-6x+3的值域。
解：y=2（x-3）2-≥-
函數X的值域為[-，
2 判別式法
對于某些有理數分式函數，y=f（x）（分子或分母最高次數為2），可把函數的解析式化為關于x的一元二次方程，再根據判別式≥0得到一個關于y的不等式。解此不等式就可求得函數的值域。
例2：求的值域。
解：原方程可化為（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0
當y時，≥
解得
當y=1時，x=0屬于定義域
函數的值域為
3 非負數法
當函數的解析式中出現絕對值、偶次方冪、算數根或指數冪時，常根據他們的非負數這一性質確定函數的值域。
例3：求函數的值域。
解：原方程可化為
視為關于x的方程化為
所以函數的值域為。
4 分部分式法
當函數的解析式y=f（x）是分式且分子的次數大于或等于分母的次數時，可分部分式求函數的值域。
例4：求函數的值域。
解：
因為且，
所以，
故該函數的值域為[
5 換元法
對于某些特殊的函數y=f（x），可利用設輔助未知數的方法求得其值域。
例5：求函數的值域。
解：令）
所以（當且僅當t=1時取等號）
故原函數的值域為。
6 函數的單調性法
對于某些單調函數可根據函數的單調性求函數的值域。
例6：求函數的值域。
解：設
因為
當時，t有最小值;
又因為是增函數
所以當≥;
故原函數的值域為。
7 反函數法
因為原函數的值域正好是它的定義域，所以要求原函數的域可以轉換為先求其反函數再求其定義域，即得原函數的。
例7：求函數的值域。
解：求得的反函數為，
其定義域為;
故所求函數的值域為;
8 數形結合法
例8：求函數的值域
解：原函數化為
將此函數化為分段函數的形式
通過圖像可知
故所求函數的值域為≥
以后通過學習不等式和三角函數求函數的值域還可以用不和利用有界性法。
參考文獻
[1] 如何求函數值域[J].云南教育：基礎教育版，1980（9）：35-36.
求函數值域范文2
一、直接觀察法
有的函數的結構并不復雜，可以通過基本函數的值域及不等式的性質直接觀察求出函數的值域。
例1（1）求函數的值域。
（2）求函數的值域。
解：（1）先求函數的定義域：列不等式組
解得：
所以函數的定義域為： 而當x=，y=0
所以函數的值域為：
（2）函數的定義域為：R
因為所以：
所以函數的值域為：
注：利用觀察法求函數的值域要熟練掌握一些基本函數的性質，如等函數的基本性質。
二、二次函數法（配方法）
二次函數或可轉化為形如：類的函數值域問題均可用此法解決。
例2（1）求函數的值域。
（2）求函數的值域。
解：（1）解1：函數的對稱軸：
，
所以原函數在上單調遞增，有最小值f（1）=1，無最大值。
故原函數的值域為。
解2：
故原函數的值域為。
（2）令
（以下略）
三、換元法
運用整體代換將所給函數的值域轉化為值域容易確定的函數，從而求得原函數的值域。
例3（1）求函數的值域。
（2）求函數的值域。
解：（1）令：
（以下略）
（2）
令：
，
所以原函數可化為：
（以下略）
注：換元法是一種非常重工的數學解題方法，它可以使復雜問題簡單化，但是在解題的過程中一定要注意換元后新元的取值范圍。
四、逆求法
用函數的自變量（定義域）與函數值（值域）之間的相互制約關系，通過自變量的取值范圍而得到函數值域的方法。
例4（1）求函數的值域。
（2）求函數的值域。
解：（1）由，得
由，
列不等式組：
解得：所以原函數的值域為：（－1，1］
（2）由
即有：
解得：所以原函數的值域為：（，1）
注：逆求法是根據所學的反函數與原函數的定義域與值域互換，但在求解過程中不一定要求出x，可保留x的某種形式。
五、判別式法
一般地，如果函數可化成關于x的一元二次方程：f（y）x2 +g（y）x+ψ（y）= 0，可根據方程的判別式Δ＝g2（y）- 4f（y）ψ（y）≥0求出y的取值范圍，從而得出原函數的值域。但要注意幾點：
（1）由于在變形過程中涉及到去分母，故應考慮函數的定義域是否為R；否則用“判別式法”求出的值域與最值是不可靠的。
（2）應分別討論f（y）≠0和f（y）＝0兩種情況。
例5（1）求函數的值域。
解：對于
由去分母并整理得：
（*）
①當y-2=0，即y=2時，（*）即為：
方程無解；
②方程(*)為一元二次方程,且
則由：
又
綜合①②，可知原函數的值域為
六、單調性法
通過確定函數在定義域（或定義域的某個子區間）上的單調性求出函數值域的方法。
例6（1）求函數的值域。
（2）求函數的值域。
（3）求函數的值域。
七、奇偶性法
根據函數奇偶性的圖象性質，先求出函數在半個定義域上的值域，再根據對稱性求出函數在整個定義域上的值域的方法。
例7（1）求函數的值域
解：顯然函數的定義域為：，并且函數是奇函數。
當x>0時，，
所以當，
又因為函數是奇函數，，
所以，原函數的值域為：
八、圖象法
九、分離常數法
分離常數就是將分子中隱藏著分母的那部分分離出來，從而起到簡化函數解析式的作用。
例8（1）求函數的值域
（2）求函數的值域
解：（2）（函數的定義域為：R）
令：
故原函數的值域為：
求函數值域范文3
關鍵詞：指數函數，對數函數，疑難問題，求解方法
一、指數函數和對數函數的主要問題
1）求解含有指數式或對數式的各種問題，關鍵在于會熟練運用指數和對數的運算法則與運算性質。但是，許多學生不熟悉指數函數和對數函數的圖像與性質，因而求解指數式和對數式問題非常困難。
2）求解含有指數式或對數式的各種問題，重點在于頻繁使用指數、對數函數值的變化特點，分析時常常還要結合指數、對數的特殊值。
3）含有參數的指數、對數函數的討論問題是高考的重點題型，解決這類問題的基本方法是以“底”大于1或小于1分類。
4）指數函數和對數函數常常與其它函數組合成復合函數，許多學生不明白復合函數的定義域、值域及單調性，從而無法求解。而高考更多的把考點放在了指數函數、對數函數的相關性質及其與其它方面知識點的交匯地方，因此要努力提高綜合解題能力。
二、利用函數單調性求解
求解復合函數的單調性問題，一般分兩步進行：首先要考慮定義域，其次再考慮單調性。并且，在考慮單調性的時候，特別要注意復合函數單調性的判別法則（同向為增，異向為減，簡稱“同增異減”）。
例1：設函數 ，其中 ，解不等式 。
分析 本題是對數不等式問題，應通過考慮對數函數的單調性，把求解函數不等式問題轉化為求解代數不等式問題。但是在轉化過程中，必須注意對數函數的真數大一。
解法1 因為 所以
（1）
（2）
解不等式（1）得： 或 ；解不等式（2）得： 或
又 原不等式的解集為 或
解法2 函數 的定義域為 或
，當 時， 符合題意
當 時，解方程 得 利用復合函數的性質可知 在 上是單調遞減函數。 時，
點評：解法1直接根據對數函數 是單調遞減函數把復合函數不等式問題轉化為代數不等式求解。解法2則先滿足定義域 或 ，再分別在這兩個區間內討論求解。若去掉條件 ，則需要分 和 兩種情況討論。
三、利用數形結合思想求解
數形結合思想是高中數學中重要的思想方法之一。指數函數和對數函數具有明顯的圖像性質，利用其圖像性質我們能快速地求解問題。在指數函數和對數函數的學習中，我們應當特別注意。
例2：如果不等式 在 內恒成立，那么實數的取值范圍 （ ）
A、 B、 C、 D、
分析：本題是一個恒成立問題，如果想直接解不等式是很困難的，一般思路：將變形成 ，要符合題義，（即 的最大值比 的最小值小, ）, 的值大于零小于 ，而 的最小值要根據 的范圍而定，分類討論：
（1）、 時， 顯然不成立
（2）、 ， 的最小值為 ，故 ，所以
但是上述解題分析過程抽象，如果應用函數圖形解則將直觀簡潔。
解：構造函數： , 要使得不等式 在
內恒成立，只須 的圖象比 的圖象高即可，圖1和圖2分別展示了 和 時的圖像。故 ，所以
圖1 當 時， 與 圖像 圖2 當 時， 與 圖像
四、利用換元法的思想求解
例3：設對所有實數x，不等式 恒成立，求實數 的取值范圍。
分析：本題是一個不等式恒成立問題。如果直接求解，將非常繁瑣。我們可以使用換元法把一元二次不等式的結構簡化，從而運算得到簡化。
解：令 ，則原不等式化為 恒成立，即是
恒成立。解此不等式得 ，即是 ，解得 即是所求的取值范圍。
五、利用分類討論思想解題
例4：已知函數 ，對定義域內的任意 都有 成立．
（1）求實數 的值；
（2）若當 時， 的取值范圍恰為 ，求實數 的值．
解：（1）由 及 可得：
解之得： ．
當 時，函數 無意義，所以，只有 ．
（2） 時， ，其定義域為 .
所以， 或 ．
①若 ，則 ．為研究 時 的值域，可考慮 在 上的單調性．下證 在 上單調遞減．任取 ，且 ，則
又 ，所以， ，即 ．所以，當 ， 在 上單調遞減
由題： 時， 的取值范圍恰為 ，所以，必有 ，解之得： （因為 ，所以舍去 ）
②若 ，則 ．又由于 ，所以， ．
此時，同上可證 在 上單調遞增（證明過程略）．所以， 在 上的取值范圍應為 ，而 為常數，故 的取值范圍不可能恰為 ．所以，在這種情況下， 無解．
綜上，符合題意的實數 的值為 ，
六、總結
學習指數函數和對數函數的知識重點在于充分理解指數函數和對數函數的定義、圖像和性質，難點在于熟練運用數形結合、分類討論、等價轉換以及函數方程思想這四種重要的思想方法。在含有指數函數或對數函數的問題中，我們要特別注意以下幾點：
1）指數函數的定義重在“形式”，像 等函數形式都不符合形式 ，因此，它們都不是指數函數。
2）對數函數的底數大于0且不等于1，真數必須大于0。求解含對數式問題時一定要特別注意。
3）在進行對數函數四則運算時，特別要注意對數是否同底數，是否滿足運算的規則，還有就是不能錯記運算法則。
4）在進行換元法求解問題時，要注意換元后“新元”的取值范圍。
5）在對數式合并化簡過程中，容易引起自變量的變化，因此要先求定義域，再化簡。
求函數值域范文4
【關鍵詞】無理函數；觀察法；換元法；構造幾何法；導數法
一、一題四變
求下列函數值域：
（1）y=x-4-15-3x；（2）y=x-4+3x+15；
（3）y=x-4+15-3x；（4）y=x-4-3x+15.
二、分類解法
（一）觀察法（單調性）
如（1）y=x-4-15-3x.
解顯然f(x)=x-4和g(x)=-15-3x在各自定義域上是單調增的，
y在4≤x≤5上是增的，y∈［-3，1］.
同理，對于（2）y=x-4+3x+15，易得y∈［0，+∞).
因此，對于求y=ax+b±cx+d值域，首先就是觀察是否有單調性，若然就按（1）或(2)解之，快捷有效.
小結（1）和（2）類型是一次項（x）的系數同號兩根式相加或系數異號兩根式相減型.需要注意的是有些稍作變形就可看出單調性，如：
y=x+2-x+1分子有理化，
得y=1x+2+x+1.
函數在［-1，+∞)是遞減的，x=-1時，ymax=1.
又y>0，
y∈(0，1］.上例屬于（4）代表的類型，但這不是通法對于（4）式代表的類型而言.
對于（4）式y=x-4-3x+15我們用如下方法：
（二）導數法
解y′=12x-4-323x+15
=3x+15-3x-42x-4?3x+15(x≥4).
令y′>0，得x
令y′516.
當x∈4，516遞增，x∈516，+∞遞減.
當x=516，ymax=-32，y∈［-∞，-32］.
小結（4）式類型是一次項（x）的系數同號兩根式相減型.正如題頭所說，不是每個題目都適合導數法或者說導數法用得很輕松，但就（4）式類型而言是相對較好的方法，理論及依據可靠，解法嚴密，計算起來也不繁瑣.如果用換元法，一般是設x-4=a，x+5=b，則b2-a2=9，于是設b=3secθ，a=3tanθθ∈0，π2.但超過了新課標（三角函數由6個減為3個）的要求，而且即使運算也是難度非常大的.
求函數值域范文5
二次函數在給定閉區間上的最值或值域問題，更是常見的題型，能夠熟練地解決此類問題，也是高考必備的能力要求。借助二次函數的圖像，明確其對稱軸與給定區間的關系，是解決這類問題的關鍵所在。下面我就對這一問題的解法談談自己的見解，并進行歸納總結。
一、軸定區定問題
即二次函數的圖像的對稱軸明確，所給區間具體，只需結合其圖像，即可直接求得最值，進而得到其值域。
【例1】求二次函數y=-x+4x-2在區間［0，3］上的最大值和最小值。
解：y=-（x-2）+2且x∈［0，3］，
當x=2時，y取得最大值2。
又f（0）＜f（3），
當x=0時，y取得最小值-2。
【例2】求函數y=1-2sinx+2cosx，x∈［-，］的值域。
解：y=1-2sinx+2cosx=2cosx+2cosx-1=2cosx+-
x∈［-，］
cosx∈［，1］
當cosx=即x=±時，y=；
當cosx=1即x=0時，y=3。
所以所求函數的值域為［，3］。
【小結】對于二次函數f（x）=a（x-h）+k在區間［m，n］上的最值：
若h∈［m，n］，則當a＞0（a＜0）時，f（h）是最?。ù螅┲?，且f（m）與f（n）中最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲?；
若h?埸［m，n］，則f（x）在區間［m，n］上是單調的，因此f（m）與f（n）中的最大者為最大值，最小者為最小值。
二、軸動區定問題
即二次函數的圖像的對稱軸變化，而所給區間具體，這時要根據對稱軸“穿過”區間的不同方式進行分類討論解決。
【例3】已知二次函數f（x）=-x+2ax+1-a（a∈R），求函數f（x）在區間［0，1］上的最大值。
分析：拋物線開口方向明確，其對稱軸為x=a，由于對稱軸位置不定，所以要根據對稱軸“穿過”區間的不同方式進行分類討論。
解：函數f（x）的圖像的對稱軸為x=a。
（1）當a＜0時，（如圖1.1），f（x）在［0，1］上是減函數，
當x=0時，
f（x）=f（0）=1-a。
（2）當0≤a≤1時，（如圖1.2），此時函數的最大值在對稱軸處取得，
當z=a時，
f（x）=f（a）=a-a+1。
（3）當a＞1時，（如圖1.3），f（x）在［0，1］上是增函數，
當x=1時，
f（x）=f（1）=a。
綜上所述：當a＜0時，f（x）=f（0）=1-a；
當0≤a≤時，f（x）=f（a）=a-a+1；
當a＞1時，f（x）=f（1）=a。
【例4】已知二次函數f（x）=（4-3a）x-2x+a（a∈R），求函數f（x）在區間［0，1］上的最大值。
分析：函數的圖像的對稱軸為x=，注意到參數a對拋物線開口方向及對稱軸位置的影響，同時注意對稱軸“穿過”區間的不同方式，因此應對參數a進行分類討論。
解：易得函數圖像的對稱軸為x=（4-3a≠0）。
（1）當a＞時，4-3a＜0，從而x=＜0。
此時當x=0時，f（x）=f（0）=a。（如圖2.1）
（2）當a＜時，4-3a＞0，從而x=＞0。
①當a≤時，0＜≤，
此時當x=1時，f（x）=f（1）=2-2a；（如圖2.2）
②當＜a＜時，＞，
此時當=0時，f（x）=f（0）=a。（如圖2.3）
綜上所述：（1）當＜a＜或a＞時，f（x）=f（0）=a；
（2）當a≤時，f（x）=f（1）=2-2a。
三、軸定區動問題
即二次函數的圖像的對稱軸位置給定，所給區間變化。這時要根據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論解決。
【例5】已知函數f（x）=x-2x+2在x∈［t，t+1］的最小值為g（t）。試寫出函數g（t）的解析表達式。
分析：二次函數f（x）=x-2x+2的圖像的對稱軸方程為x=1，而對稱軸可能在區間［t，t+1］的左邊，中間，右邊。因此分三種情況加以討論。
解：f（x）=x-2x+2的圖像的對稱軸為x=1，其開口向上。
（1）當t＞1時，對稱軸在區間［t，t+1］的左邊，因此f（x）在［t，t+1］上是增函數，所以g（t）=f（t）=t-2t+2；
（2）當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，對稱軸在區間［t，t+1］的中間，因此f（x）的最小值在對稱軸處取得，所以g（t）=f（1）=1；
（3）當t+1＜1，即t＜0時，對稱軸在區間［t，t+1］的右邊，因此f（x）在［t，t+1］上是減函數，所以g（t）=f（t+1）=t+1。
綜上所述，可得：g（t）=t+1（t＜0）1（0≤t≤1）t-2t+2（t＞1）。
四、結語
求函數值域范文6
在高中階段，函數可謂是數學中的重頭戲，是高考中的壓軸部分，更是許多考生最棘手的問題。函數是高中數學中的重點，更是高中數學中的難點。關于函數，我們無非就是抓住函數的三要素：定義域，對應法則，還有就是值域。事實上，給出了函數的對應法則與定義域，函數的值域也就唯一確定了，可是，難點也就在此，給了我們函數的解析表達式，給了我們函數的定義域，我們應該如何求函數的值域呢，求函數的值域有哪些方法呢，函數的值域問題在數學中又有怎樣的應用呢？
1.我們談論一下求函數值域的方法
高中階段學完函數后，我們會發現，求函數值域的方法還是比較多的，方法有：單調性法，配方法（主要針對二次函數），判別式法，基本不等式法，換元法，導數法，幾何意義法等。
下面就請大家看一下求函數值域的一些簡單問題。
例1：求函數的值域。
分析：當我們看到這個題目時，會覺得這個題目并不難，因為它是一個典型的二次函數求值域問題，只要考察二次函數的對稱軸，開口方向就可以了?？墒俏覀冊僮屑毜乜匆幌逻@個問題，這里的x不能取到所有的實數，只能取中的實數，這就給問題又增添了一個臺階，最后就轉化為求二次函數在指定區間上的值域問題。
解：由條件：函數是二次函數，它的對稱軸為x=1，開口向上，
因此在上單調遞減，在上單調遞增。
由此得，當x=1時函數達到最小值2，而函數的最大值可能在x=0的時候取到，也有可能是在x=3的時候取到，而我們知道，開口向上的拋物線，離開對稱軸距離越遠，函數值越大。
因此當x=3時，函數達到最大值6，
因此函數的值域為[2，6]。
點評：從上述問題中，我們發現，這是求二次函數在指定區間上的值域問題，要注意二次函數的對稱軸，開口方向，以及函數在指定區間上的單調性。
例2：求函數的值域。
分析：此題是兩個二次函數的比值，求值域問題。好多考生看到這邊，不禁懵了，怎么做呢？下面我們給出解答。
解：由題意：可化為也就是
而，所以，所以，
所以，
點評：上述解題過程是先將函數拆湊，然后利用不等式的放縮，里面要注意代數式的范圍，最后求出了函數的值域。
看完上述題目，我們不禁會思考，這道題目還有其它解法嗎？回答是肯定的。既然里面看到了x的二次項，我們就可以考慮一元二次方程了。下面我們給出這道題目的另外一種解法。
另解：由題意：可化為，整理得：
由此知，這個方程是形式上的關于x的一元二次方程。當y=2時，它就不是一元二次方程了，此時方程變為1=0，而這是不可能的，所以y≠2，所以這個方程一定是一個一元二次方程，并且這個方程一定要有根，所以Δ≥0，而所以，所以，又因為y≠2，所以。
點評：上述這種解法完成后，大家都知道這種方法是判別式法，但用判別式法也有它的注意點，要注意得到的是一個形式上的一元二次方程，要對它進行討論，這是好多同學容易遺漏的地方，他們一上來就會用Δ≥0來做，而Δ只有一元二次方程才具有的。
例3：已知x2+y2=1，求xy的取值范圍。
分析：當家看到這個題目時，第一會想到的就是，而 所以一下子就得到了xy的取值范圍。
解：因為，又因為，所以，因此
思考：看到這里，我們不禁會問，這種解法對嗎？這里的xy是否會取遍中的所有數呢？答案是否定的。因為上述解法采用了基本不等式法，而基本不等式法的應用有三個條件，那就是：一正，二定，三相等。而這X2里面 未必就是x，Y2未必就是y。那這道題目應該怎么做呢？
解：因為，又因為，所以即。
點評：當我們充分了解基本不等式的適用范圍之后，上述解出來的xy的取值范圍就正確了。
思考：事實上，當我們看到時候，我們就會聯想到一個類似的表達式因此這樣我們就轉化為了求三角函數的值域問題。
另解：由于是可令因此
又因為所以
點評：上述解法也是求值域問題的一種比較好的方法，我們稱之為換元法，即"三角換元法"。
其中求值域利用了三角函數的有界性。
下面再請大家看一下延伸的題目。如下：
例4：已知x2+y2=1，求x+y+xy的取值范圍。
分析：其實x+y+xy我們可以看成是x+y與xy的和。在這個過程中，我們只要用x+y來表示xy，或者用xy來表示x+y就可以了。
解：由條件：可設x+y=t，所以，于是因此
所以，由例3的結論得：，所以解之得：令
當t=-1時，f（t）達到最小值-1，當時，f（t）達到最大值
所以x+y+xy的取值范圍為
點評：上述這道題目的解題思想就是將x+y與xy都化成同一個變量的函數，最后x+y+xy就變為了一個二次函數，但要注意里面參量的范圍。事實上，這種類型的式子我們也是見過的，例如：sinx+cosx+sinx.cosx，求這個式子的范圍，我們也是根據sinx與cosx的平方和為1來操作的。因為三個式子sinx+cosx，sinx-cosx，sinx.cosx是知一就可以求二的，知道其中一個就可以求出另外兩個來。
看了上面的求x+y+xy的范圍，大家也可以嘗試一下以下的例題。
例1：已知求x-y+xy的取值范圍。
例2：已知求x+y+4xy的取值范圍。
以上我們大致介紹了求函數值域的方法，當然了，求函數值域也遠不止上述我介紹的方法。那么，關于函數的值域問題，它在數學中有什么具體的應用嗎？
2.我們來談一下函數值域的應用
數學中包含的分支有很多，有代數，有幾何，有三角，還有其它的方面。在上面介紹求函數值域的方法中，已經介紹了用三角換元法求函數的值域。同樣的，函數的值域問題在代數與幾何中應用也是很多的。
函數的值域問題還有一個重要應用，就是在含有參數問題的習題中，主要是分離參數求最值，分離參數求值域問題。