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教學以傳授理論知識為主，雖然也講培養能力，但主要是解題能力，很少體現自學能力，分析解決實際問題的能力。傳統的數學教育普遍存在著脫離實際，重理論，輕應用的傾向。這樣的教學內容使學生感到的是數學的枯燥，遠離生活實際，同時也使學生的創造性得不到充分發揮，不利于能力的培養。 盡管目前大部分高校都開設了“數學建模”選修課，但僅此一舉，對培養學生能力所起的作用是微弱的。一方面，由于“數學建模”所包含的內容非常廣泛，對不同問題分析的方法又各不相同，真正掌握難度很大。另一方面，數學建模教育實質上是一種能力和素質的教育，需要較長的過程，單靠開設一門選修課還遠遠不夠。另外，“數學建模”作為一門選修課，學習的人數畢竟是有限的，因此解決這一問題的有效辦法是在數學教學中滲透數學建模思想，介紹數學建模的基本方法。 一、數學教學過程中數學建模思想培育 1．數學建模的思想內涵 數學建模是指人們對各類實際問題進行組建數學模型并使用計算機數值求解的過程。數學建模一般要經歷下列步驟。(1)調查研究。在建模前，建模者要對實際問題的歷史背景和內在機理有深刻的了解，對『廿】題進行全面深入細致的調查研究。(2)抽象簡化。建模前必須抓住問題的主要因素，確立和理順因素之間的關系，提出必要的、合理的假設，將現實問題轉化為數學問題。(3)建立模型。這一步是調動數學基礎知識的關鍵，要將問題歸結為某種數學結構。(4)用數值計算方法求解模型。這要求建模者熟練地使用Mauab、Mathtype、Spss等軟件。(5)模型分析。對所求出的解，進行實際意義和數學理論方面的分析。(6)模型檢驗。雖然并非所有模型都要進行檢驗，但在許多問題中，所建立的模型是否真實反映客觀實際是需要用已知數據去驗證的。(7)模型修改。對不合理部分，如變量類型、變量取舍、已知條件等進行調整，使模型中的各個因素更加合理。(8)模型應用。數學模型及其求解的目的應該是對實際工作進行指導及對未來進行預測和估計。由此可見，數學建模是一個系統的過程，在進行數學建模活動的過程中需要利用各種技巧、技能以及綜合分析等認知活動。 2．高校數學教學的現狀及其弊端 我國高等院校數學課課程在授課內容上，主要著眼于數學內部的理論結構和它們之間的邏輯關系，存在重經典、輕現代，重分析、輕數值計算，重運算技巧、輕數學方法，重理論、輕應用的傾向。過分強調數學的邏輯性和嚴密性。在教學方法上，數學教學越來越形式化，注重理論推導，著重訓練學生的邏輯思維能力，而忽視理論背景和實際應用的傳授，致使學生不知如何從實際問題中提煉出數學問題以及如何使用數學來解決實際問題。數學應用的講解，也僅僅停留在古典幾何和物理上，忽視數學在實際工程問題中的應用，導致學生主動應用數學的意識淡薄，不利于培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，不能滿足后續專業課的需要。教學過程中以教師課堂講授為主。多采用注入式。缺乏師生間必要的溝通與互動，不利于學生能力的培養，更不利于創造性思維和創造能力的培養。 二、數學建模思想融入數學教學中的有效途徑 由于教材對原始研究背景的省略、教師對原始研究背景的重視不夠和課堂有限的學習時間等各種因素，傳統數學教育很少對前人的數學探索過程進行再現。然而，這正是數學建模思想的點睛之處。任何一門數學分支學科都是由于人類在探索自然規律過程中的需要而發展起來的，所以，重要概念的提出、公式和定理的推導以及整個分支理論的完善都是前人對現實問題進行數學建模的結果。 那么，如何將前人的建模思想在傳授知識的過程中再現給學生呢?經過長期教學實踐，筆者認為，可以通過如下兩個途徑來實現。 一是盡量用原始背景和現實問題，通俗的比喻，直觀的演示引入定義、定理和公式，然后再由通俗的描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。這樣不僅使學生真正了解到知識的來龍去脈，熟悉了這類問題的本質屬性，而且掌握了處理這類問題的數學建模方法，即學會了如何從實際問題中篩選有用的信息和數據，建立數學模型，進而解決問題。同時還讓學生認識到數學不是孤立的，它與其他領域緊密地聯系著。數學模型所表現的符號美、抽象美、統一美、和諧美與嚴謹美更讓學生浸潤在數學美的享受之中。例如，教材中以“戶礦、“戶Ⅳ”語言給予形式化精確描述的極限概念，由于這種描述高度抽象與概括，造成初學者難以用自己的思想去思考、理解它的含意，只能把它看做是一些干巴巴的數學符號，不加理解地死記它，久而久之就失去了學習的興趣。如果我們從劉徽的“割圓術”講起，并利用課件進行動態數值模擬演示。盡可能地向學生展示極限定義的形成過程，挖掘極限定義的實質，然后再利用“P礦、。戶Ⅳ”語言給出準確的定義，從而使學生理解“極限”這個概念模型的構建過程。這樣既省時又直觀，教學效果自然更佳。 二是精選數學應用例題，進行建模示范，啟發學生用數學解決實際問題的意識。我們本著減少經典、增加現代、減少技巧、增加應用的原則，棄去了原書中部分經典例子，加入既能反映問題，又能開闊學生眼界的例子。這樣教學，很容易牽動學生的數學思維，加深了他們對知識的理解，讓他們體驗到了應用數學解決實際問題的樂趣，激發了他們用數學的思維和方法積極地探索現實世界。 三、數學建模思想融入數學教學中的一些教學案例 1．數學建模思想融入微積分教學中的教學案例經典微積分學理論是近代科學的偉大創造。它的背景包含了前人數學建模的過程，蘊藏著豐富的創造性思維的軌跡。“無窮小量分析”和“微元分析”是微積分學的主要思想方法，微分和積分的基本概念就是運用這兩個思想方法，在解決實際問題中，分析和處理變與不變、直與曲、局部與全局、近似與精確、有限與無限的矛盾中建立和發展起來的。#p#分頁標題#e# 下面以定積分定義的教學為例，談談如何切入數學建模的思想。 設計如下教學過程：(I)實際問題。如何求曲邊梯形的面積?(2)引導學生利用“無限細分、化整為零、以直代曲取近似、無限積累聚零為整取極限”的微積分的基本思想，得到問題的表達式。(3)概括總結，抽象出數學模型，從而引出定積分的定義。(4)回到實際問題中。數學模型的根本作用在于它將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實際問題(這樣的習題在教材和相關教輔上很多)。 2．數學建模思想融入線性代數和空間解析幾何教學中的教學案例在講Gauss消元法時，我們向同學們介紹了計算機層析X射線照相術。教學過程大致如下：(1)實際問題。計算機層析掃描儀根據僅從病人頭外部測得的X射線，來計算此病人大腦的圖像，這樣做合理嗎?(2)模型建立。引導學生用點線圖(點代表人體某個器官，線代表X射線)來描述掃描儀的工作原理，建立相關的線性方程組。(3)模型求解?？勺寣W生利用剛學的Gauss消元法求解。(4)模型分析。解釋計算機層析x射線照相術的合理性。這樣讓學生領悟到這樣簡單的數學知識也能應用到如此神秘的儀器中，學生學習線性代數的愉悅感油然而生。 這種給形式化的抽象的數學問題賦予實際意義的做法，使學生認識到數學既源于生活、又高于生活，縮小了“形式化”的抽象數學與現實之間的差距。 3．數學建模思想融入概率論與數理統計教學中的教學案例 在講全概率公式時。我們向同學們介紹了常染色體遺傳模型。教學過程大致如下 (1)實際問題。在常染色體遺傳中，后代是從每個親體的基因對中各繼承一個基因，形成自己的基因對，基因對也稱基因型。植物園中某種植物的基因型為AA、Aa和aa。計劃AA型的植物與各種基因型植物隨機相結合的方案培育植物后代，經過若干年以后，這種植物的第n代的三種基因型分布會發生什么變化?通過這樣的方法是否可以純化品種? (2)模型建立。引導學生利用全概率公式建立起第n代的三種基因型分布與第n-I代的分布的遞推關系式。 (3)模型分析和評價。通過取極限的結果來解釋用這種方法純化品種的科學性． 4．數學建模思想融入常微分方程教學中的教學案例 建立常微分方程，解常微分方程是建立數學模型解決實際問題的有力工具。因此，教師在傳授常微分基礎理論的同時，還應多花時間講授在實際問題中那些可用此方法建模、如何提煉出微分方程模型。 下面以分離變量法的教學為例，談談如何切入數學建模的思想。設計如下教學過程：(1)實際問題。根據國家計劃生育委員會估計，中國總人口的峰值年是2044年，峰值人口數達到15．6．15．7億。如何建立一個數學模型，合理的論證計生委的估計及如何準確定位、保持人口合理增長?(2)模型基本假設。假定人口總數是隨時間連續可微地變化，并假定單位時間內人口增長量與當時的人口成正比。(3)模型建立。引導學生用微分來刻畫人口增長率，用一階齊次微分方程建立模型。事實上就是著名的Malthus人口模型。(4)模型求解?？勺寣W生利用剛學過的分離變量法求解，“熱炒熱賣”以便鞏固。(5)模型分析與檢驗?？勺寣W生課后查閱計劃生育委員會的統計數據，進行檢驗及完善。 這種將數學問題賦予生活內涵的教學法，可喚起和支配學生學習數學和研究的興趣。更重要的是，在人口統計方面的驚人數字給學生的震撼力，可引導著學生關注社會、關注未來。通過對模型的檢驗，使學生體驗到對數學問題解答的合理性進行檢驗的必要性，從而培養了學生敢于質疑、善于反思、精益求精的治學態度。 5．數學建模思想融入運籌學教學中的教學案例 運籌學是一門應用性很強的數學科學，目前幾乎涉及社會的各個方面。除在產品的市場銷售、生產計劃的制定、物資的庫理、運輸問題、設備更新、工程的優化設計、城市管理、財政與會計、人事管理、計算機信息系統、軍事領域有廣泛系統的應用以外，在建筑、紡織、水利、郵電、科學研究、工農業及農林醫等方面也有它們的身影。運籌學在解決這些實際問題時，按研究對象的不同所采取的建模方法各異。運籌學模型可分為確定性模型和隨機性模型。確定性模型包括：線性規劃模型、目標規劃模型、整數規劃模型、非線性規劃模型、網絡分析中的模型。隨機性模型包括：動態規劃模型、捧隊論模型、存儲論模型、對策論與決策論中的模型。因此，從一定意義上說，數學建模屬于運籌學的一部分，所以，教師在運籌學的教學中更應該突出數學建模的思想，強化學生的數學建模能力，增強學生的數學應用意識。 運籌學在解決大量實際問題過程中形成了自己的工作步驟，所以教師在講授運籌學時，因盡量遵循如下步驟。(1)提出和形成問題。教師應盡可能選取貼近學生實際的問題。(2)建立模型。引導學生分析問題的要旨(屬確定性問題還是隨機性問題)，用準確的數學語言表述問題，并幫助其建立起模型。(3)模型求解。可讓學生利用Lindo、Lingo或Matlab自行求解。(4)解的檢驗。在作靈敏度分析時，需要建模者一定的實踐經驗，教師應對學生的所做結果給出及時的肯定和指正。(5)解的控制和實施。此步是對問題的決策者提出相關建議，也是將所得的研究結果用通俗易懂的語言進行再次“翻譯”。 四、教學中滲透數學建模思想需要注意的幾個問題 數學建模不僅是數學知識的應用和升華，而且是一種數學思想的表達和教學方法，實際上基本概念、公式、定理都是一個數學模型。所以，數學教學的實質就是數學模型教學。在教學過程中貫穿數學建模的思想和方法時，應注意如下幾點。(1)模型的選題要大眾化。應選擇密切聯系學生，易接受、且有趣味、實用的數學建模內容，不能讓學生反感。盡量講清數學模型的運用范圍，即它可以解決怎樣的現實問題。(2)設計頗有新意的例子，啟發學生積極思考，循序漸進，發現規律。(3)在教學中舉例宜少而精，忌大而泛，沖淡高等數學理論識的學習。沒有扎實的理論知識，也談不上什么應用。(4)應從現實原形出發，引導學生觀察、分析、概括、抽象出數學模型。(5)要循序漸進，由簡單到復雜，逐步滲透，逐步訓練學生用所學的數學建模知識解決現實生活中的問題。#p#分頁標題#e#
