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摘要：微積分課程的數學理論性較強，德州學院的部分大學生對這門課程有很大的畏難情緒。obe理念關注學生對知識的掌握、能力的提升和素養的培養，啟發式教學方法的出發點是以學生為本，以OBE理念為導向，強調互動式教學、合作學習、混合式學習等任務型教學活動，注重設計啟發式問題情境教學案例，有助于提高地方性本科院校微積分及相關課程的教學效果。
關鍵詞：微積分；啟發式教學方法；OBE理念；教學案例
微積分是德州學院本、專科各個專業的一門基礎課程，是一門數學理論性較強的課程。德州學院作為一所省屬地方性普通本科院校，招收的本專科學生的數學水平一般。針對這類大學生，如何提升他們的數學素養、較好地完成數學教育任務，是任課教師們在后疫情時代進行信息化教學改革首要考慮的問題。在對微積分等課程多年的教學實踐中，我們以OBE理念為導向，以優化學生的知識結構和提升學生的邏輯能力為目標，開展了啟發式教學探索。
一、教學背景和現狀介紹
教育的本質是以學生為本，以立德樹人和培養人的全面發展為目標。成果導向教育（Outcome-basededucation，OBE）理念關注學生的能力和素養的培養[1]，OBE要求教學過程圍繞預期的學習成果來開展，迎合了后疫情時期信息化教學改革的方向。[2]微積分是文、理、工科各院系最基礎的一門公共課，是研究生入學考試的必考課目。在微積分的教學實踐中，作者發現德州學院的部分大學生對這門課程有很大的畏難情緒，學習積極性和信心不足，本課程及數值分析等后續課程的學習效果較差。有的學生不適應大學的教學節奏，課下不能自覺預習復習；有的學生知識結構不夠系統，運用理論知識解決實際應用問題的能力較差；有的學生以期末及格為目的，學習不求甚解；還有的學生聽課云里霧里，跟不上老師的進度。如何讓這些學生學好微積分及相關課程，值得教學深思。在微積分課程中，定積分溝通函數、極限、導數、不定積分、定積分、反常積分、級數、曲線積分、曲面積分和重積分之間的內在聯系，是微積分學中的重要知識點。定積分的概念和性質通過與其他知識點建立緊密的聯系，貫穿于整個微積分學理論。部分大學生對定積分的理解不夠透徹，不擅長建立各知識點之間的聯系，對解決拓展提高類綜合問題的方法、技巧掌握不夠靈活，不能正確恰當地運用定積分。另外數值分析、微分方程數值解等后續課程與定積分關系密切。在OBE理念下，為了提高學生們對微積分的熟練掌握程度，提高學生利用微積分解決實際問題的應用能力和創新能力，提高學生對后續課程的學習熱情，微積分的啟發式教學方法值得深入探討。
二、以OBE理念為導向的啟發式教學方法
子曰：“不憤不啟，不悱不發。”啟發式教學是“授之以漁”而非“授之以魚”。在啟發式教學過程中，教師以OBE理念為導向，側重于學生的理解能力及實際應用能力的培養，根據學生的認知規律和心理特點，貫徹教師為主導、學生為主體的教學理念，通過師生之間的交流，讓學生經歷知識的形成過程，通過學生的自主探究，幫助學生深入理解知識，完善知識結構，提升認知水平，達到教學目標。[3]教師在啟發式教學實踐過程中注重引導，及時捕捉學生情感和思維的興奮點，啟發學生主動探索問題，獲取新知識，充分發揮學生的主觀能動性，與教師在學習的過程中達成相互交流、默契配合的融洽學習氣氛，提高主動發現問題的能力和數學素質。[4]啟發式教學方法，以OBE理念為導向，注重培養學生的創造性思維，面向知識形成過程，讓學生嘗試數學研究的過程，體會事物間的相互轉化、相互聯系的辯證關系，有助于提高學生的理性思維能力。[5]啟發式教學方法引導學生自主學習，激發學生的求知欲和探索欲，有助于培養學生積極動手、發散思考、協作學習、探究性學習、系統性學習的能力，讓學生體會到嚴謹、普遍聯系、迂回處理的哲學思想。[6]啟發式教學方法有如下教學技巧：（1）課堂提問是啟發式教學方法采用的最常用的主要形式。（2）設置問題情境，進行課件演示，吸引學生的注意力，使學生盡可能多地參與教學活動。突出教學重點，分散教學難點。（3）在探索、發現和解決問題的過程中，讓學生體會到快樂；注重師生之間的合作和交流，給學生提供展現思維的舞臺。（4）采用比較、聯系并采用逆向思維的方式，啟發學生通過主動思考，得出結論，進而完成對知識的內化。（5）采用層層設問的方法，引導學生去探究，活躍課堂氣氛，使學生保持良好、積極的情感體驗。
三、以OBE理念為導向開展任務型教學活動
在大數據背景下，各行各業急需具有較高數學素養的專門人才，因此，德州學院微積分課程的目標定位是“強實踐”和“高素養”。“強實踐”把培養學生解決問題的實踐能力作為首要的教學目標和教學任務，注重發展學生運用數學的應用能力，進一步增強其學術能力和創新能力。“高素養”強調課程蘊含的數學思想和文化，幫助學生加強邏輯推理訓練、提升理性思維和科學精神。在OBE理念下，教師帶著任務開展教育教學，學生帶著任務學習，不再迷失。以OBE理念為導向設計互動式教學、合作學習、混合式學習等任務型教學活動，有助于提高教學效果，達成課程目標。[7]
1.任務型教學活動
互動式教學模式適合開展任務型教學活動，注重調動學生的學習積極性，旨在通過學生的積極參與提高教學效果。翻轉課堂是其中一種互動式教學模式，充分體現了以學生為中心的教學思想。對于相對簡單的知識點，比如極限和導數的四則運算、簡單函數的積分、平面圖形的面積等，學生通過自學很容易領會要點，適合開展翻轉課堂，有利于激發學生的學習潛力，提升個人成就感，符合OBE理念。小組合作學習是開展任務型教學活動的有效途徑。為了鞏固學過的知識點，教師設計合理的實驗題目，比如定積分的應用實驗和近似計算實驗，將學生分組，要求小組成員積極思考、深入討論，研究解決方案，不斷試錯糾錯，最終給出正確的實驗結果。通過實驗教學活動，教師不斷調整優化實驗資源庫，總結學生實驗中出現的問題，及時進行相關知識的查漏補缺、復習鞏固。線上線下混合式多元化教學模式有助于開展任務型教學活動，將面對面的課堂教學與在線講座、精品課程、智慧課堂等開放式自主學習模式相結合。對于曲面積分、曲線積分和多重積分等教學內容，確定積分區域是個教學難點。在OBE理念下，為了化解積分問題中選取積分區域的難點，教師可以結合多媒體課件和動畫，展示相關的曲線、曲面和立體圖形，引導學生數形結合，通過投影、取截面等直觀地找出積分區域。任務型教學活動的開展，離不開精心設計啟發式教學案例，將知識點與問題情境有機結合起來，基于問題解決的知識引入符合OBE理念。定積分的概念和性質是微積分課程的重要知識點。在OBE理念下，為了讓學生明確定積分的性質，理解其可以干什么，需要具備什么條件才可以用，掌握定積分性質的應用類型，掌握定積分的性質與其他知識點之間的聯系，引導學生將知識結構系統化整體化，教師需要精心設計一組啟發式教學案例。
2.任務型教學活動的一個案例
級數理論是高等數學的一個重要內容和組成部分，級數是表示函數、研究函數的性質及進行數值計算的一種工具。很多工程領域實際問題需要用到級數模型，微積分方程、概率統計等學科領域也需要用到級數。級數的概念是高等數學級數理論的基礎知識點，只有掌握了級數的概念，才能更好地學習級數理論。學生對有限項和的定義和運算律（交換律、結合律、分配律）等理論比較熟悉。那么如何理解無限個數相加呢？無限個數的和與有限個數的和有本質區別嗎？如何理解學習級數理論的必要性和重要性呢？基于這些背景問題，教師精心錄制十五分鐘的微課展開級數的概念引入。錯例是學好高等數學的重要手段和工具。教師通過介紹荒謬的阿基里斯運動悖論吸引學生的注意力，引入無限項和即級數的形式定義，通過一個錯例引出對級數和的含義的思考，利用數列極限的思想，闡述級數收斂、級數發散和級數和的概念，反過來利用級數的斂散性概念回看分析運動悖論和錯例，說明級數斂散性概念的重要性。通過讓學生參與反駁運動悖論的探究分析過程，激發了學生的求知欲和創造力，實踐表明，這堂微課能很好地完成預設的教學目標，學生可以很好地理解級數的概念。
四、以OBE理念為導向進行定積分的啟發式教學思考
定積分的思想的理解和靈活應用對學生們掌握積分學理論至關重要，因此OBE理念注重引導學生透徹理解定積分的思想，并建立各知識點之間的聯系。教師如何深入淺出并自然而然地把定積分的思想和聯系介紹給學生？如何引導學生將前后章節的知識點系統地連貫起來？如何幫助學生將定積分的思想融會貫通？這些問題值得教師深思和探究，應貫穿滲透于整個微積分的啟發式教學過程中，教學案例的選取、教師適時的引導、重難點的分解、核心的點播都十分關鍵。
1.關于定積分概念的教學思考
定積分的概念本質上是一種有限積分和的極限，體現了極限的思想。基于此，教師很自然地拋給學生們一系列的思考問題：當積分區間的長度由有限變為無限會怎樣？當被積函數的取值范圍由有限變為無限會怎樣？當積分和的項數由有限變為無限會怎樣？當被積函數的自變量由一個變為兩個、三個又會怎樣？關于前三個問題的回答，很自然地將學生的學習興趣引導到無窮積分、瑕積分和級數這三部分內容上。而要搞清楚最后一個大問題，學生還要學習函數項級數、曲線積分、曲面積分和重積分這四部分內容。這樣的啟發式提問，將積分學的各知識點系統地整合在一起，學生們不僅優化了關于積分理論的知識結構，而且深入透徹地理解了定積分概念中所體現的極限思想。看似紛繁復雜的積分學知識點，通過極限思想系統地串聯起來。
2.關于定積分計算的教學思考
定積分的應用廣泛，因此定積分的計算是一個重要的研究課題。牛頓萊布尼茲公式揭示了積分區間邊界點上的被積函數值與定積分值之間的關系。針對來源于工程領域實際問題中的定積分模型，牛頓萊布尼茲公式很難有用武之地。面臨的困難是，要么被積函數的原函數無法用初等積分法求解，要么原函數的表達式很復雜，其函數值很難計算，要么被積函數沒有解析表達式，僅僅給出了一組離散的實驗采樣數據。因此定積分的近似計算值得研究。由于定積分是積分和的極限，教師引導學生可以利用特殊的積分和進行定積分的近似。很自然地，教師可以提問學生，積分和中的項數怎么選，小區間如何打點呢？這樣的啟發式提問，能夠使學生們積極進行發散思維的訓練，當積分和只有一項可得各種矩形公式，兩項和三項時分別對應梯形公式和辛普生公式。要提高近似程度，學生自然想到提高積分和的項數，從而自然地進入復化求積公式的構造。這樣的教學過程能夠啟發學生積極思考，也提高了學生對后續數值分析課程的學習興趣。學生也體會了數學知識點之間的聯系和區別，了解到系統化學習的優勢，從而在數學課程的學習訓練中做到既會化整為零，又能化零為整。
五、結語
OBE理念注重學生自主、合作和探究學習，倡導提高學生的學習能力和成果意識。德州學院很多大學生對微積分的知識點的掌握不牢固，甚至是一知半解，面對綜合類高數題尤其是復雜的應用題和考研題更是無從下手，對數值分析類后續課程的學習積極性也不高。在OBE理念下，提高學生們對微積分課程的掌握牢固程度和對后續相關課程的學習熱情，進一步培養學生的發散思維、創新思維、解決問題的能力和系統化學習的能力，教師的啟發式教學探索至關重要。
作者:尹秀玲 周小雙 趙琳琳 單位:德州學院