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數的奇偶性范文1
一、函數的周期性
一般地說，對于函數y=f(x)，如果存在一個不為零的常數T，使取定義域內的每一個x值時， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數y=f(x)叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期。理解周期性要注意以下幾點：1.定義適合定義域中的每一個x值。2.并不是所有周期函數都存在最小正周期，如常數函數f(x)=c，所有的正數都是它的周期，但沒有最小值，故常數函數沒有最小正周期。3.周期函數的周期不止一個，若T是周期，則kT(?資∈?篆+)也是周期。4.周期函數的定義域一定是無限集，而且定義域一定無上界或無下界。5.設a為非零常數，若對于f(x)定義域內的任意x，恒有下列條件之一成立：①f（x+a）=-f (x) ②f（x+a）= ③f（x+a）=- ④ f（x+a）=⑤ f（x+a）=⑥ f（x+a）=f（x-a），則函數y=f（x）是周期函數。
二、函數的奇偶性
如果對于函數f(x)定義域內的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數y=f（x）就叫做奇函數；如果對于函數（x）定義域內的任意一個x，都有f（-x）=f（x），則稱函數y=f（x）為偶函數。理解奇偶性要注意以下幾點：1.定義域必定關于原點對稱，即定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件。2.奇偶性是研究函數在整個定義域內的函數值的對稱問題。3.若函數f（x）既是奇函數又是偶函數，則f（x）=0，反過來不一定成立，如：f（x）=0（-1
三、周期性與奇偶性的結合
周期性解決的問題是自變量相差常數（周期的倍數）時，對應的函數值相等；奇偶性解決的問題是自變量互為相反數時，函數值的關系。當求某一函數值時，可以先考慮一方面進行變化，如得不到結果，再從另一方面進行變化，從而解答相關問題?，F舉例如下：
例1：已知f（x）是定義在R上的以2為周期的偶函數，且當 x∈（0，1）時，f（x）=2x-1 ，則f（log212）的值為 。
解析：3
f（log212） =f（log212-4）=f（4-log212）=24-log212-1=
評析：函數的周期為2，則自變量相差2的整數倍的函數值相等，但只給了（0,1）時的解析式，所以再利用偶函數性質，互為相反數的兩個自變量對應的函數值相等，得出所要求的函數值。
例2：（2010?安徽卷）若f(x)是R上周期為5的奇函數，且滿足f（1）=1，f（2）＝2 ，則f（3）-f（4）= （ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2
解析：由周期性得f（3）=f（-2），再由奇函數得 f（-2）＝-f（2） f（3）=-f（2） 同理f（4）＝-f（1）f（3）-f（4）=f（1）-f（2）=1
評析：函數是奇函數可求互為相反數的兩個自變量所對應的函數值，周期可得自變量相差5的倍數的函數值相等。只有兩個性質靈活運用才能順利解決問題。
練習：已知f（x）是定義在R上的以4為周期的偶函數，若當x∈（0，2）時，f（x）=lg（x+1）， 則有（ ）。A.f（-）>f（1）>f（） B.f（-）>f（）>f（1） C.f（1）>f（-）>f（）
D.f（）>f（1）>（-）B. （答案A）
例3：已知定義在R上的函數f（x）既是奇函數，又是周期函數，T是它的一個正周期，若將方程f(x)=0在閉區間[-T,T]上的根的個數記為n，則n可能為（ ）A.0 B.1 C.3 D.5
解析：f （x）為奇函數且周期為T，f(0)=0 f(T)=f(-T)=0 又 f(-)=f(-+T)=f()=-f(f()=0, f(-)=0 f(x) 在 [-T,T]上至少有5個根。(答案D)
評析：1.奇函數定義域包含0，則f(0)=0。2.奇函數得出 f(-)=-f(),周期性得出 f(-)=-f() f()=0。此題通過兩個性質的巧妙結合可以培養學生分析問題和解決問題的能力。
練習：若f(x)是R上周期為3的奇函數，且f(2)=0，則方程f(x)=0在區間（0，6）內的解至少有（ ）。 A.4個 B.5個 C.6個 D.7個 (答案D )
例4：已知定義在R上的奇函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱，并且x∈(0,1]時，f(x)=x2+1，則f(462)的值為（ ）。A.2 B.0 C.1 D.-1
解析：由奇函數得f(x)=-f(x)，由圖象關于直線x=1對稱得 f(-x)=f(2+x)f(2+x)=-f(x)T=4 f(462)=f(2)=f(0)=0
評析：函數既有奇偶性，又關于直線x=a(a≠0)對稱，則函數必為周期函數，又奇函數f(0)=0，結合關于x=1對稱，f(2)=f(0)=0 f(462)=0
數的奇偶性范文2
關鍵詞：函數奇偶性；數學教學
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2015）36-0044-03
近期觀摩了幾位老師《函數的奇偶性》的教學，頗有感悟，所思為文，謹與各位老師共同探討。
一、理解課標，分析教材
關于普通高中課程標準實驗教科書?數學（必修1）（人教A版）（以下簡稱人教版教材）P33～36的教學內容，《數學課程標準》明確要求：結合具體函數，了解奇偶性的含義；學會運用函數圖象理解和研究函數的性質。《數學課標解讀》別說明：在教學中，要重視圖形在數學學習中的作用，挖掘函數圖象對函數概念和性質的理解，對數學的理解、數學思考的輔助功能；要注意幾何直觀的局限性，避免用幾何直觀代替邏輯證明的錯誤做法。
《教師教學用書》中也明確指出：研究函數性質時的“三步曲”為：第一步，觀察圖象，描述函數圖象特征；第二步，結合圖、表，用自然語言描述函數圖象特征；第三步，用數學符號語言定義函數性質。教科書在處理函數的奇偶性時，沿用了處理函數單調性的方法，利用圖象、表格探究數量變化特征，通過代數運算、驗證發現的數量特征，在這個基礎上建立奇（偶）函數的概念。
綜上可見，從研究對象來看，奇偶性是從形到數，再從數到形，思維對象在數形之間不斷地轉換；從思維方式來看，有嘗試、歸納、猜想、直觀等合情推理，也有嚴謹的演繹推理，思維方式在直覺與邏輯之間轉換；從語言形式來看，有自然語言、圖形語言、符號語言，問題表征在三種語言間轉換，學生思維在這三對轉換之間不斷地由粗糙到精致、由直觀到邏輯、由膚淺到深刻、由零碎到系統，得以自然的生長。
二、教學片斷，持續思考
（一）“生活問題數學化”與“數學問題生活化”
大部分老師通過生活中的實例，展示一些美麗的具有對稱性的圖片，通過感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性，讓學生在對具體問題的體驗中感知概念。有的老師從具體函數圖象引入，回顧單調性的研究過程，從數學的問題出發，引入本節課。兩種方式均是在學生認知的基礎上提出問題，引發學生在最近思維發展區積極思考，努力建立已有基礎與發展區之間的聯系。前者從一般軸對稱和中心對稱到特殊對稱，從生活中的“形”到數學中的“形”，從“形”規律到“式”的規律。后者采用“開門見山”的導入方式，充分利用教材的編排順序，直接點明要學的內容，沿用單調性的研究方法，使學生的思維迅速定向，明確目標、突出重點。情境引入環節，是“數學問題生活化”，還是“生活問題數學化”，值得我們探討。
（二）“奇偶性的定義”與“奇偶性的性質”
有些教師從幾何的角度給出定義：如果函數的圖象是給出的，并且圖象是關于y軸對稱，這樣的函數就是偶函數；如果圖象是關于原點對稱，這樣的函數就是奇函數。人教版教材也是從幾何直觀的角度導出函數奇偶性的定義的。那么，我們是否可以用觀察圖象來判斷函數的奇偶性呢？
問題的關鍵在于，函數圖象是怎么畫出來的呢？學生剛從初中升入高中，所接觸的函數只是一些最基本的初等函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數。而這些函數的圖象是比較簡單的，可以通過描點連線得到。但是這樣得到的圖象是不精確的、粗糙的。另外，函數圖象千姿百態，并不是都簡單易畫的（當然我們可以借助圖形計算器），那我們該如何判斷函數的奇偶性呢？
經過這樣的思考，顯然只有嚴格推理，才能明確函數的奇偶性。即便是我們很清楚的正比例函數、反比例函數也要通過定義去判斷去驗證。正是函數具有奇函數或偶函數性質，函數的圖象才一定會關于原點對稱或關于y軸對稱。至此，誰為定義誰為性質一目了然。
（三）“判斷奇偶性”與“x的任意性”
大多數老師把“判斷函數奇偶性”作為教學的重難點，總結判斷的步驟。從教學出發，應該把“x的任意性”作為重點，重頭戲應該是用幾何直觀感受對稱，進而用代數形式給這種對稱關系進行一般性刻畫。前者，是從評價出發，受考試影響的結果。后者，是從認知出發，努力尋找將已有知識納入到新學知識的途徑，利用已有的研究方法來研究新的知識，讓新的知識能夠在已有的方法中持續生長。如，回顧研究函數單調性的過程與方法，重溫單調性中“任取”的突破過程，這樣做都是為了讓知識能夠自然而順利的生長。如果只是停留在對知識的死記硬背，追求概念教學的最小化和習題教學的最大化，那么學生對知識的理解只能是機械的、零碎的。
（四）“整體到局部” 與“局部到整體”
如果把函數的一個個具體的知識看作“樹木個體”，把與函數相聯系的知識與方法看作“森林整體”的話，教學中就要處理好“樹木個體與森林整體”的關系，要求既能夠從“個體”認識“整體”，也能夠從“整體”認識“個體”，兩個方面都不可缺少。為此，既要注重與函數相關知識與方法的認識，又要注意對函數某一個特殊性質的分析與理解。所以，在函數奇偶性教學中，要在函數概念“大背景”下展開教學與學習。
遺憾的是，很多教學沒有在認識函數整體上下功夫。例如，函數圖象認識，從奇偶性角度，就是知道函數圖象部分，再由部分推斷函數整體；反之，由整體推斷部分，具體的說就是“已知奇偶函數的一半圖象，求另一半圖象”。如果按照以下教學流程很難體現以上教學思想①展示生活或數學中的對稱現象；②從具體到一般，形成奇（偶）函數的概念；③通過例題或練習，規范判斷函數奇偶性的步驟；④課堂小結，布置作業。這個教學流程應該說基本完成了函數性質教學要求，但從更高要求，或者從提升學生研究函數能力角度看，對函數整體性認識是有些欠缺的。事實上，人教版教材中不僅設置了一些從整體認識函數圖象與性質思考題（P35），還給出了相應的練習題（P36練習中的第2題）。教材中如此安排，目的是想告訴學生：奇偶性是研究函數的一種工具，奇偶性就是對稱性，要從整體上理解函數的奇偶性。在已知函數奇偶性的前提下，若知道半個定義域的情況，可得出整個定義域內的整體情況，體會由局部到整體的數學思想。對于教材的把握，我們應該深入理解教材編寫者的意圖，活學活用教材，把蘊涵的思想和方法顯化。
三、課堂感悟，教學啟示
教學是一門遺憾的藝術。一節課成功與否，是要看有沒有高水平的思維活動，有沒有圍繞學科概念的本質和主要的思想方法，有沒有在學生認知的基礎上提出問題，引發學生在最近思維發展區積極思考，培養學生的思維能力，幫助其逐漸形成良好的學習方法。教學過程中，要精心設計帶有啟發性和思考性的問題，創設問題情境，使學生從被動地“聽”發展為主動地獲取和體驗數學概念，促使學生掌握知識、形成能力。
隨著時間的推移，數學中的具體知識將會被多數人遺忘，但數學中所承載的文化將會影響久遠。學生在數學的課堂上，不僅學會具體知識，還應掌握一定的研究方法，這對教師的要求將會更高。教學中，數學教師要不斷地以課標、教材為本進行教學研究，要從課堂教學研究向學科的整體把握轉變，不斷地進行回顧反思，促使教學水平不斷提高。
參考文獻：
[1]嚴士健，張奠宙，王尚志.普通高中數學課程標準（實驗）解讀[Z].江蘇：江蘇教育出版社，2004，3.
[2]徐愛勇.一樣的“哈姆雷特”，異樣的“精彩”：從《雙曲線的標準方程》兩節課談起[J].數學教學，2012，（2）：12～14.
[3]普通高中課程標準實驗教科書?數學（必修1）（人教A版）[M].人民教育出版社，2009，5.
數的奇偶性范文3
關鍵詞：函數；奇偶性；高等數學
中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）09-0169-02
函數是高等數學的主要研究對象，奇偶性是函數的基本性質之一。函數的奇偶性在高等數學中有著十分廣泛的應用，如利用奇偶函數圖形的對稱性縮減函數作圖的步驟、利用被積函數的奇偶性化簡定積分的計算以及奇偶函數的麥克勞林級數和傅里葉級數的展開都可簡化。
一、函數奇偶性的定義
定義：設函數f（x）的定義域D關于原點對稱。若？坌x∈D，恒有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數；若？坌x∈D，恒有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數。例如，y=cosx是偶函數，y=sinx是奇函數。
由定義易知：①常函數y=C是偶函數，特別地，當C=0時，即常函數y=0既是奇函數也是偶函數；②偶函數的圖形關于y軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱；③偶函數在對稱區間上具有相反的單調性，奇函數在對稱區間上具有相同的單調性；④奇函數f（x）若在x=0處有定義，則f（0）=0。
二、奇偶函數的性質
（一）奇偶函數的四則運算
設所考慮函數的定義域關于原點對稱，且不恒取零值，則有以下結論成立：
兩個奇函數的和（或差）為奇函數；兩個奇函數的積（或商）為偶函數；兩個偶函數的和（或差）為偶函數；兩個偶函數的積（或商）為偶函數；一個奇函數與一個偶函數的和（或差）既非奇函數也非偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積（或商）為奇函數。
（二）奇偶函數的反函數
1.偶函數在定義域內不存在反函數；
2.奇函數若在定義域內存在反函數，則其反函數也必為奇函數。
（三）奇偶函數的復合函數
設函數y=f [g （x）]是由函數y=f（u）和u=g（x）復合得到，且它們的定義域均關于原點對稱，則有以下結論成立：
1.若y=f（u）和u=g（x）都是奇函數，則y=f [g （x）]是奇函數；
2.若y=f （u）和u=g（x）至少有一個是偶函數，則y=f [g （x）]是偶函數。
（四）奇偶函數的導數
設函數f（x）在其定義域上可導，則有以下結論成立：
1.若f（x）是奇函數，則f ′（x）是偶函數；
2.若f（x）是偶函數，則f ′（x）是奇函數。
即求導改變函數的奇偶性。
（五）奇偶函數的原函數
1.若f（x）是連續的奇函數，則其所有的原函數均為偶函數；
2.若f（x）是連續的偶函數，則其必有一個原函數為奇函數。
特別地，設f（x）是在對稱區間[-a，a]，上連續，？J（x）=f（t）dt，x∈[-a，a]，則有以下結論成立：
3.若f（x）是奇函數，則？J（x）是偶函數；
4.若f（x）是偶函數，則？J（x）是奇函數。
三、函數的奇偶性在高等數學中的應用
（一）奇偶函數在定積分中的應用
設f（x）是在對稱區間[-a，a]上連續，則有以下結論成立：
1.若f（x）是奇函數，則f（x）dx=0；
2.若f（x）是偶函數，則f（x）dx=2f（x）dx。
（二）奇偶函數在重積分中的應用
設二重積分I=f（x，y）dxdy，則有以下結論成立：
1.若積分區域D關于y軸對稱，則
（i）當f（x，y）關于x為奇函數時，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）當f（x，y）關于x為偶函數時，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，x≥0}；
2.若積分區域D關于x軸對稱，則
（i）當f（x，y）關于y為奇函數時，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）當f（x，y）關于y為偶函數時，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，y≥0}。
設三重積分I=f（x，y，z）dxdydz，則有以下結論成立：
①若積分區域Ω關于xOy坐標面對稱，則
（i）當f（x，y，z）關于z為奇函數時，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；
（ii）當f（x，y，z）關于z為偶函數時，即f（x，y，-z）=f（x，y，z），有
I=2f（x，y，z）dxdydz，其中Ω1={（x，y，z）|（x，y，z）∈Ω，z≥0}；
②當積分區域Ω關于yOz坐標面對稱，且被積函數f（x，y，z）關于x有奇偶性，或當積分區域Ω關于zOx坐標面對稱，且被積函數f（x，y，z）關于y有奇偶性時有完全類似的結論，本文不再贅述。
（三）奇偶函數在第一類曲線積分中的應用
設第一類曲線積分I=f（x，y）ds，則有以下結論成立：
1.若積分曲線L關于y軸對稱，則
（i）當f（x，y）關于x為奇函數時，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）當f（x，y）關于x為偶函數時，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，x≥0}；
2.若積分曲線L關于x軸對稱，則
（i）當f（x，y）關于y為奇函數時，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）當f（x，y）關于y為偶函數時，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，y≥0}。
本文只討論了平面曲線的積分，空間曲線的積分有完全類似的結論。
（四）奇偶函數在第一類曲面積分中的應用
設第一類曲面積分I=f（x，y，z）dS，則有以下結論成立：
1.若積分曲面∑關于xOy坐標面對稱，則
（i）當f（x，y，z）關于z為奇函數時，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；
（ii）當f（x，y，z）關于z為偶函數時，即f（x，y，-z）f（x，y，z），有
I=2f（x，y，z）dS，其中∑1={（x，y，z）|（x，y，z）∈∑，z≥0}。
2.當積分曲面∑關于yOz坐標面對稱，且被積函數f（x，y，z）關于x有奇偶性，或當積分曲面∑關于zOx坐標面對稱，且被積函數f（x，y，z）關于y有奇偶性時有完全類似的結論，本文不再贅述。
（五）奇偶函數在級數展開中的應用
設函數f（x）在x=0處可以展開為麥克勞林級數，則有以下結論成立：
1.若f（x）是奇函數，則其麥克勞林級數展開式中只含有x的奇次冪項，即
f（x）=x+x+…+x+…；
2.若f（x）是偶函數，則其麥克勞林級數展開式中只含有x的偶次冪項，即
f（x）=f （0）+x+…+x+…。
設函數f（x）在區間[-π，π]上可以展開成傅里葉級數，則有以下結論成立：
①若f（x）是奇函數，則其傅里葉級數展開式中只含有正弦項，即
bsinnx，其中系數b=f（x）sinnxdx（n=1，2，…）；
②若f（x）是偶函數，則其傅里葉級數展開式中只含有余弦項，即
+acosnx，其中系數a=f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…）。
四、結語
奇偶性是研究函數性態的重要知識，在高等數學中應用十分廣泛.本文對奇偶函數的有關結論進行較為全面的歸納總結，以促進學生對奇偶函數的認識和理解，提高其解題能力。
數的奇偶性范文4
例1是否存在這樣的實數b和c，使得方程 x2+bx+c=0 與方程 2x2+(b+1)x+c+1=0分別有兩個整數根？
解：滿足題目條件的實數b和c不存在.
假設實數b和c滿足題設條件，并設方程x2+bx+c=0的兩個整數根為x1，x2
則由韋達定理，有
-b=x1+x2,c=x1x2
①
由于x1、x2為整數，因而b、c不可能都是奇數
又設x3、x4是方程2x2+(b+1)x+c+1=0的兩個整數根，則由韋達定理有
x3+x4=-b+12,x3x4=c+12
②
因為x3、x4為整數，所以b、c均為奇數.
(1)、(2)兩種情況矛盾
所以 滿足題目條件的b、c不存在.
評注:利用兩個整數的和與積至少有一個是偶數的性質，結合韋達定理判定b、c的奇偶性，推出矛盾.
例2求方程x3+x2y+xy2+y3=8(x2+xy+y2+1)的所有整數解.
解：原方程可變形為
(x2+y2)(x+y-8)=8(xy+1)
①
當 2|(x2+y2)時 ， 即x2+y2 為偶數， x2、y2 有相同的奇偶性，那么x 與y具有相同的奇偶性，則 x+y-8 是偶數；
當 2|(x+y-8) 時， x+y-8是偶數.
(1)若x+y-8≥6，由x2+y2≥2xy,則
x2+y2≥(x+y)22≥1422>4
所以 (x2+y2)(x+y-8)≥6(x2+y2)
≥2(x2+y2)+8xy>8+8xy=8(xy+1)
即(x2+y2)(x+y-8)≠8(xy+1)
此時方程無整數解.
(2)若x+y-8=4 ，則由①得(x-y)2=2.
此時方程無整數解x+y-8=2.
(3)若 x+y-8=2，則由①得
x2+y2=4xy+4
解得 y=8 或 y=2
(4)若x+y-8=0則8xy+8=0此時方程無整數解.
(5)若x+y-8=-2,則x2+y2+4xy+4=0,故x+y=6,xy=-20.此時方程無整數解.
(6)若x+y-8≤-4.由x2+y2≥-2xy則(x2+y2)(x+y-8)≤-4(x2+y2)≤8xy
即(x2+y2)(x+y-8)≠8(xy+1)
此時方程無整數解
x=2,x=8
綜上,所求方程的整數解為 y=8或y=2.
評注:利用兩個整數的積為偶數，則這兩個數中至少有一個偶數的性質，進行分類討論，從而求出方程的解.
例3 求不定方程x4+y4+z4=2x2y2+2y2z2+2z2x2+40的整數解.
解：將方程變形為
(x4+y4+z4+2x2y2-2y2z2-2z2x2)-4x2y2=40
分解因式有
(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)=40
注意到左邊四個因式的奇偶性相同.
若四個因式全為奇數，則左邊為奇數，而右邊為偶數，矛盾；
若四個因式全為偶數，則
左邊是16的倍數，而右邊不是16的倍數，也矛盾！
數的奇偶性范文5
一布置預習內容
提前印好預習內容，在課前一至兩天發到學生手中，讓學生有充分的時間思考或完成。預習內容大致分為三部分：（1）預習提綱：這部分內容中的重點概念、定理、公式，要求學生認真看課本以及資料整理在復習筆記本上。（2）預習題：圍繞預習提綱編制預習題，思維和技巧的難度適當，使大多數學生通過看書后能做得出來。（3）提出問題：學生復習了基本概念，完成預習題后，提出有啟發性、針對性的問題， 概念進一步深化。
下面是《函數的奇偶性》這一節的預習內容 ：（1）預習提綱：①函數的奇偶性定義．②判斷函數的奇偶性方法．③奇偶性函
數的圖像特征。（2）預習題：
1．以下五個函數：（1） （2） （3） （4） （5），其中奇函數是___，偶函數是___，非奇非偶函數是 ____.
2．函數是偶函數的充要條件是____.
3．已知，其中為常數，若，則___ .
（3）提出問題：①函數的奇偶性定義，關鍵的詞句是什么？②函數的奇偶性的性質有那些？③圖象關于Y軸對稱的一定是偶函數嗎？函數的奇偶性與單調性有關系嗎？
二課前檢查
檢查預習內容完成的情況。預習題哪些已經解決？哪些還有疑難？特別是對提出的問題學生思考得怎樣？教師可以利用抽查方式去檢查。
三課堂設計
根據課前檢查，設計教學過程。課堂上對于基本概念，學生明白的問題，用提問的方式一帶而過，對于學生容易忽略、理解不深、容易出錯的問題進行解惑性講解。討論的重點放在提出的問題上，通過討論幫助學生糾正模糊概念，弄清易錯題點，了解清楚概念的內涵與外延，加深對概念的理解和記憶。對學生未能完全掌握的概念、規律、數學思想和方法進行歸納性講解。
四例題精選
精選針對性的典型例題，是課堂教學的又一個主要環節。在此環節要重視一題多解，一題多變的求異性研究。啟發學生多角度、多方位、多層次地思考問題，培養學生思維的發散性、靈活性和深刻性。使復習更上一層樓。
如在《函數的奇偶性》這一節可以選擇以下幾個例題，由師生共同分析探討完成。
例1．判斷下列函數的奇偶性、并說出理由？
①②
③．
例2．已知函數f(x)，當x
①若f(x)為R上的奇函數，能否確定其解析式？請說明理由．
②若f(x)為R上的偶函數，能否確定其解析式？請說明理由．
延伸變式：已知函數是定義在實數集上的奇函數，求函數的解析式。
例3．已知g(x)是奇函數，，求f(3)．
例4.已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在上為減函數，若，求實數a的取值范圍．
例5．設為實數，函數，．
（1）討論的奇偶性；（2）求 的最小值．
五課堂練習
采用口答，分組練或指名版演等形式。老師利用練習時間檢查學生學習掌握的情況，對完成練習有困難的學生進行指導、點撥，對全體學生可以適時采用限時完成作業的方法，提高學生的解題速度和應試的能力。
如本節課的課堂作業可以設計如下：
1． 函數是偶函數的充要條件是____．
2． 若函數是定義在R上的奇函數，則函數的圖象關于（）．
（A）軸對稱（B）軸對稱（C）原點對稱（D）以上均不對
3． 函數是偶函數，且不恒等于零，則 （ ）．
（A）是奇函數（B）是偶函數（C）可能是奇函數也可能是偶函數（D）不是奇函數也不是偶函數
六講評練習并小結教學
對學生有新穎和簡捷的解法應給予鼓勵，對學生沒有想到的解法應啟發學生探索。對本節知識進行小結性講解，指出重點，解題通法和常用技巧。例如《函數的奇偶性》這一節的重難點是奇偶函數的定義以及性質，關鍵是如何利用定義判斷以及應用函數的奇偶性性質繼續延伸。
小結如下:
1．定義域關于原點對稱是函數是奇（偶）函數的必要不充分條件.
2．y=f(x)是奇（偶）函數函數y=f(x)的圖象關于原點（軸）對稱.
3．F(x)=f[g(x)]的奇偶性.
4．函數奇偶性的判斷與應用.
七布置課外作業
數的奇偶性范文6
一、利用奇偶性求函數的解析式
例1已知x∈(-1,1),且f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,若f(x)+g(x)=2lg(1+x),求f(x)與g(x)的解析式.
解:由f(x)+g(x)=2lg(1+x),
得f(x)=2lg(1+x)-g(x)(1)
f(x)是偶函數,g(x)是奇函數,
f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)。
故f(-x)=2lg(1-x)-g(-x),
即f(x)=2lg(1-x)+g(x)(2)
由(1)+(2)得2f(x)=2lg(1+x)+2lg(1-x),
f(x)=lg(1-x2).
同理可求g(x)=lg（1+x）／（1-x）
二、利用奇偶性求函數值
例2已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于()(1990年全國高考題)
解:設g(x)x5+ax3+bx，則f(x)=g(x)-8，g(x)=f(x)+8.
g(-2)=f(-2)+8=18。
又g(x)為奇函數，
g(-2)=-g(2)，
f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26，
故選(A).
例3已知關于x的方程x2-2arcsin(cosx)+a2=0有唯一解,求a的所有值.a
解:考察函數f(x)=x2-2arcsin(cosx)+a2,則其定義域為R,且為偶函數.由題設知f(x)=0有唯一解,而由于偶函數的圖像關于y軸對稱,故此解必為0.
f(0)=-2arcsin1+a2=0,即a=π或a=-π。
這里我們挖掘f(x)隱含條件，構造奇函數g(x)，從整體著手，利用奇函數的性質解決問題.
三、利用奇偶性求函數的周期
例4設f(x)為偶函數,g(x)為奇函數,且f(x)=-g(x+c)(c>0),則f(x)是以（）為周期的函數.
解：f(x)=f(-x)=-g(-x+c)=g(x-c)=-f(x-2c),
f(x+4c)=-f(x+4c-2c)=-f(x+2c)=f(x+2c-2c)=f(x),
f(x)是以4c為周期的周期函數.
四、利用奇偶性求函數的值域
例5已知x,y∈R,且f(x+y)=f(x)+f(y)
當x>0時,f(x)>0,f(1)=2,求f(x)在[-5,5]上的值域.
解:令y=x=0,則有f(0)=0,令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x)=0.
f(x)為奇函數,
f(5)=f(4+1)=f(4)+f(1)=f(3+1)+f(1)=5f(1)=10,f(-5)=-f(5)=-10,
故f(x)在[-5,5]上的值域為[-10,10]。
五、利用奇偶性求函數的單調區間
例6求函數g(x)=x2+1／x2的單調區間.
解:設x1>x2>0,則g(x2)-g(x1)=［（x22-x12）／（x12•x22）］(x1x2+1)(x1x2-1)。當x2>x1≥1時,g(x2)>g(x1)；當1≥x2>x1>0時,g(x2)<g(x1)。由g(x)是偶函數知,g(x)在[-∞,-1]上遞減,在[-1,0]上遞增。
六、利用奇偶性證明命題
例7已知f(x)是定義在R上的奇函數,若f(x)=0有n個實根,證明n必為奇數.
證明:f(x)是R上的奇函數,f(-x)=-f(x),則f(0)=-f(0),即f(0)=0,即0是f(x)的一個實根.若f(x)=0除了x=0這個實根外,還有實根x1,x2,x3,…,xk(k∈N).而f(x)是奇函數,可知-x1,-x2,-x3,…,-xk也必為f(x)=0的實根,即f(x)=0的非零實根必成對出現,故f(x)=0的實根個數n必為奇數.
七、利用奇偶性求函數的最值
例8如果奇函數f(x)在區間〔3，7〕上是增函數且有最小值為5，那么f(x)在區間［-7，-3］上是()(1991年全國高考題)
(A)增函數且最小值為-5.
(B)增函數且最大值為-5.
(C)減函數且最小值為-5.
(D)減函數且最大值為-5.
解:設-7≤x1≤x2≤-3，則3≤-x2≤-xl≤7，
又f(x)在［3，7］上是增函數且最小值為5，
f(3)≤f(-x2)≤f(一x1)≤f(7)
-f(7)≤-f(xl)≤-f(x2)≤-f(3)=-5
又f(x)為奇函數，
f(-7)≤f(x1)≤f(x2)≤f(-3)=-5.
f(x)在〔-7，-3〕上是增函數且最大值為-5，故選(B)。
八、利用函數奇偶性證明不等式
例9設a是正數，而是XOY平面內的點集，則的一個充分必要條件是（1986年上海中學生競賽題）.
證明：考查，以–x替換x，–y替換y,A、B不變.從而知A、B關于x軸，y軸對稱.故只研究第一象限中A、B關系即可.
