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一、數學方法及猜想思維方法 (一)數學方法 數學方法，有時又稱“數學思想方法”和“數學思維方法”，所表達的是指在學習和研究數學的過程中所使用的思維方法。張奠宙先生在其《數學方法論稿》中，提出了數學思想方法的四個層次：… 第一，基本的和重大的數學思想方法，如模型化方法、微積分方法、概率統計方法等，主要是可以應用這些方法來研究生活世界的某一領域的問題。數學模型方法主要處理實踐與認識的關系，基于實踐的基礎之上形成的一種數學認識；數理邏輯處理原岡與結果的關系問題；幾何方法處理時問與空問的問題‘微積分處理運動與靜止的關系問題等。 第二，與一般科學方法相應的數學方法，如類比、分析綜合、歸納演繹等。 第三，數學學科特有的方法，如數學等價、數學表示、公理化、數形轉換等。 第四，中學數學中的解題技巧，如形式化原則、簡單性原則、等價交換原則、映射反映原則等。 從這四個層次看，我國的數學教學實踐中，最多達到了第四層，就是在教學過程中，教給學生一些解題的方法與技巧，而其他三類思想方法很少涉及，而這砦卻恰恰是形成數學的學科意識和能力，促進數學學科本身的發展與應用的重要的方法，但在我們的數學教學實踐中忽視了。我們的學生只知道做題，只知道做別人給出的題，而不會自己提出問題，即使哪怕僅僅只是一個猜測性的假設，不會應用所學數學知識解決實踐中的問題。從這點來看，我國中小學生的數學意識和數學思維水平實際上是很落后的。 (二)猜想思維方法 猜想是眾多數學思維方法中的一種，具有數學思維的特性。而“所謂數學思維，就是以數學問題為載體，通過發現問題，解決問題的形式，達到對現實世界的空間形式和數量關系的本質的一般性的認識的思維過程”【2J。在這一定義中，非常強調數學問題的重要性。事實上，正是由于有了問題，于是才有了猜想的必要性。而又由于問題難以直接解決，于是猜想變成了解決問題的第一步。這既表現了數學思維的發展，又為后續的數學思維活動提供了動力和規劃了方向。 但數學猜想并不是天馬行空地亂猜，“數學猜想是依據某些數學知識和數學事實，對未知量及其關系作出的似真判斷。”【3o在形成數學猜想的過程中，需要依據長期積累的數學知識和數學事實，在綜合運用各種形象思維與邏輯思維方法的前提下形成，表現出深刻的想象力和洞察力。 猜想是直覺思維的結果。“直覺思維是指不受同定的邏輯規則束縛，直接領悟事物本質的一種思維方式。”Hj這種本質大體上包括數學中可能隱含的整體性、次序性、和諧性特征。直覺思維的一個主要特征是能夠越過邏輯推理的束縛而直接作出某種預見和判斷。在直覺思維中，人們以已有的知識為根據，以對某一問題的長期深入的思考為基礎，憑直覺對研究的問題提出某種合理的猜測，往往表現為突然的認識與領悟。 (三)猜想思維方法的重要性 猜想思維方法是數學學科領域乃至自然科學領域一種承要的思維方法，可以說，沒有猜想，就沒有數學和自然科學的發展和突破。牛頓有一句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現。”【53當代著名數學家波利啞也非常重視猜想在數學發現過程中的作用。他指出：“要成為一個好的數學家，必須首先是一個好的猜想家。”【6J“數學的創造過程是與任何其他知識的創造過程一樣的，在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得猜測證明的思路，只要數學的學習過程能反映出數學的發明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置。”【7o因此，猜想在數學學習和研究過程中構成了邏輯分析的前提和基礎，猜想為邏輯分析活動提供了動力并規劃了方向，成為邏輯分析得以開展的基礎。如此下去以實現猜想的證實與證偽。證實，則獲得一個新的定理或理論；證偽，則激勵進入一個新的假設環節。數學就是在這樣一個不斷的證實與證偽的過程中持續下去。 比如一元二次方程和三次四次方程都能用根式求解，于是人們猜想一般的n次方程都能用根式求解。然而這一猜想是不正確的，為了否定這一猜想，數學家伽羅左首創“群論”這一新的數學領域，阿貝爾則以此為基礎證明了五次及五次以上的方程小能用根式求解。數學就是在這樣猜想與證實或證偽的過程中不斷開拓新的領域。而著名的哥德巴赫猜想則至今激勵著無數的數學家和數學愛好者在數學的王國里艱難地遨游著。 由此看來，在數學的發展和研究領域中最重要的不是證明，而是猜想!如果沒有猜想，何來證明?相對于證明而占，猜想永遠具有優先性! 能夠提出一個具有深遠影響力的猜想，無論真或者偽，都足以在數學界取得相當的地位。又有誰會懷疑哥德巴赫在數學界的地位呢?要有原創，首先必要有猜想。自古概莫能外! 二、猜想思維方法在數學教學中的培育 “一個優秀的數學家會根據自己的數覺，運用科學方法，提出好的數學問題，設定數學猜想，以便深入地工作。問題選得好壞，猜想是否合適，是決定數學創造的關鍵，也是數學水平高低的分野。”【81而一個在中小學階段只知道做題的學牛長大后是無法期望他具備這種問題意識和猜想意識的。因此，在中小學階段，有意識地培養學生的猜想能力，培養學生以猜想和證明來解釋數學問題的數學意識，目前，在我國顯得尤為重要。具體而言，可以通過歸納和類比來形成猜想的意識和能力。 (一)歸納 1．完傘歸納法 #p#分頁標題#e# 完全歸納適用于某一大類里面又分若干小類的情況，要立論某一大類具有某一性質，首先必須證明里面的若干小類都具有該性質。如立論“三角形的三條高相交于一點”，三角形是一大類，里面還分銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三小類，要證明“三角形的三條高相交于一點”首先必須分別證明銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條高都相交于一點。這種歸納法就是完全歸納的思路。 2．不完全歸納法 相比較而言，不完全歸納法更具有猜想一證明的思維特色。它主要是從少數個別事實中看到某些規律現象，從而受到啟發，提出假設和猜想。著名的哥德巴赫猜想就是這樣提出來的。 1742年，德國數學家哥德巴赫根據奇數77=53+17+7，461=449+7+5=257+199+5等個另0例子看出，每次相加的三個數都是素數，于是他猜想，所有大于5的奇數都叮以分解為三個素數之和。他將此猜想告訴歐拉，歐拉肯定了他的想法，并補允提出：4以后的每個偶數也都可以分解為兩個素數之和。“哥德巴赫猜想”就這樣誕生了。此猜想一出，即激勵了數學界眾多人士進行證明，成為數學史上一個璀璨的明珠，至今無人摘得。 在我國數學教學中，歸納法的教學只在高中數列這一部分內容中進行滲透，主要是以猜想一證明的方式來求一個數列的通項公式或者求和公式，而其他內容處則很少涉及。 但實際上，在小學和中學的很多類型的知識中，都可以用到猜想一證明方法。比如小學階段的問題：“在周長一定的長方形中，哪一個的面積最大?”就這一問題，學生只要列出三組數據，分別是兩個長方形和一個正方形，通過驗證和計算，就可以得出，是正方形的面積最大。如果是在小學階段，猜想證明的要求可以到此為止。而到了初中和高中學了二次函數以后，就口了以要求學生證明這個命題，于是就又涉及通過建構數學方程來解決實際問題的思維方法?？梢栽O定X和Y為長方形的兩邊之長，周長為2a，則X+Y=a時，xy=x(a—x)=ax—x2，于是問題就轉化為求8tx—x2這樣一個二次函數的最大值。 在實際教學中，教師應該盡可能給學生提供更多的猜想機會，即使是書本上已有的知識，也可以讓學生自己去猜想，自己去求證，比如一些公式的推導與證明。當他們真正掌握了數學里的思維方法的時候，就完傘可以自學而不再依靠教師的講授。只是在小學和中學階段，這種猜想和證明的要求不一樣，小學階段對一個命題有實例證明就行，而中學階段可以要求應用數學方程、函數等進行學理上的證明。即使暫時小能從學理七證明，那也沒關系。正如韋依說過的關于歐拉的一段評價：“當歐拉猜想到一個一般定理時，他會很高興，試圖去證明它。但是，如果找不到證明，而只有一些令人信服的實驗證據，他幾乎也會感到同樣的欣慰。”一。說不定這個問題將成為影響學生終身的興趣和發展的問題，比起那些讓學生為了拿高分而絞盡腦汁的痛苦問題來說，這樣的問題的價值實在百倍于之。 (二)類比 類比也是猜想的一種重要方法。著名數學家波利啞在《怎樣解題》中指出“類比是一個偉大的引路人”，[1剛哲學家康德也同樣認為，在提出猜想的過程中，“每當理智缺乏?？空撟C的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進。”…。而“所謂類比，就是根據兩個(或兩類)對象之間某些方面的相似或相同，而指出他們在其他方面也町能相似或相同的一種邏輯推理”L12|。著名數學家歐拉就是將代數方程的某些特性類比到非代數方程中去，將有限類比到無限中去，從而巧妙地解決了所有自然數平方的倒數和這一難題的。 在中小學階段，類比的情況還是很多的。比如分配律a(b+C)=ab+ac，對數的和式運算都成立，也適用于極限運算：limA。(B。+C。)=limA。B。+limA。C。 但是類比有時候也不成立，比如分數的加法，同分母相加的運算規則卻不能類比推理到異分母的加法運算規則；分配律也不能類比推理到對數的計算中：log。(A+B)≠log。A+log。B雖然類比推理有時候正確有時候錯誤，但在課堂上，并不影響這種思維方式的演繹，不管這些類比推理是成立還是不成立，都可以使用，因為之后總會要有一個證明的過程。就比如異分母分數的相加法則，教師卜課時根據同分母相加法則進行類比推理寫出計算法則如下：a／b+c／d=a+c／b+d反應快的學生馬上就會意識到，其實1／2+1／3≠2／5，于是順理成章地引出，那異分母分數相加的法則又是什么呢?這樣對激活學生思維，比單純地告訴學生計算法則要好得多。而且學生從這樣一個過程中，也領會到了，有些類比推理是成立的，而有些類比推理是不成寺，都需要經過證明才能有效。無形之中，這種類比推理猜想的思維方法就被學生所內化和掌握。 其實，中小學階段，這種類比還很多，如數的運算與式的運算、圖形的全等與圖形的相似、整數指數的冪函數與分數指數的冪函數、平面幾何與立體幾何等當中的很多問題都町以進行類比，通過這樣的類比，既町以幫助學生找到知識之間的聯系與區別，建立起完備的知識結構，又可以培養這樣一種思維方法，比單純的知識學習與計算技能的掌握具有更潛在的發展價值。 教師在教學過程中除r有意識地多提供類似題目，培養猜想意識之外，還需要保護好學生的問題意識和所謂的“異想天開”，學生町能會根據自己的直覺對某砦問題做出自己的猜想和推理，這個時候教師一方面要保護，另一方面，可以引導學生通過實驗和數理的方式來證明自己的猜想。